C.d.L. in Matematica - I Modulo

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1 A A ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - gennaio 2007 CdL in Matematica - I Modulo Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione 4, U un suo sottospazio di dimensione 2, ϕ un endomorfismo di V che lascia U stabile, ϕ U la restrizione di ϕ a U, ϕ l endomorfismo x + U ϕx + U di V/U Indicare quale delle seguenti possibilità non richiede che esista un ulteriore sottospazio 2-dimensionale di V che sia anch esso stabile sotto ϕ: a ϕ e ϕ U hanno polinomio minimo x 2 + ; b ϕ U e ϕ hanno polinomio minimo x 2 + ; c ϕ e ϕ hanno polinomio minimo x 2 + ; d ϕ, ϕ e ϕ U hanno polinomio minimo x 2 + Soluzione: a, c e d richiedono che ϕ abbia due divisori elementari, ciascuno uguale a x 2 + la somma dei gradi dei divisori elementari deve essere 4 ed il polinomio minimo è il minimo comune multiplo dei divisori elementari La possibilità b invece permette anche che ϕ abbia x come unico divisore elementare e quindi che V non abbia una decomposizione V = U W con ϕw W si tenga presente che essendo x 2 + indecomponibile su R, U non possiede alcun sottospazio di dimensione che sia stabile sotto ϕ 2 Nelle ipotesi dell esercizio precedente assumendo quindi che non esista un ulteriore sottospazio 2-dimensionale di V che sia anch esso stabile sotto ϕ, individuare quale tra i seguenti R[x]-moduli può descrivere la struttura di R[x]-modulo determinata dalla coppia V, ϕ: a R[x]/x R[x]/x 2 + 2; b R[x]/x 3 + R[x]/x + ; c R[x]/x 4 + 4x 2 + 4; d R[x]/x 2 + Soluzione: Nell eventualità a V è somma diretta di due sottomoduli, cioè di due sottospazî vettoriali stabili sotto ϕ, ambedue di dimensione 2 L R[x]-modulo b si può scrivere anche nella forma R[x]/x 2 x + R[x]/x + R[x]/x + e si vede che anche in questo caso V è somma diretta di due sottomoduli di dimensione 2 quello corrispondente a R[x]/x 2 x + e quello corrispondente a R[x]/x + R[x]/x +

2 Poiché x 4 + 4x = x e x è irriducibile, nell eventualità c la restrizione di ϕ su ogni sottospazio stabile deve avere polinomio minimo x La presenza di un ulteriore sottospazio stabile richiederebbe allora per V una struttura di R[x]-modulo come la a La d è infine da scartare perché riferibile solo ad uno spazio vettoriale di dimensione 2 3 Nelle ipotesi dell esercizio assumendo quindi che non esista un ulteriore sottospazio 2-dimensionale di V che sia anch esso stabile sotto ϕ, individuare quale tra le seguenti matrici non può presentare la struttura di R[x]-modulo determinata dalla coppia V, ϕ: a c x x 2 + x 2 x ; b ; d x ; x 2 x Soluzione: Diagonalizzando le matrici c e d si ottiene in ambedue i casi la matrice x 4 + 2x 2 + = x che presenta l R[x]-modulo R[x]/x 2 + 2, che è lo stesso presentato dalla matrice b Per questo modulo valgono le stesse considerazioni fatte per R[x]/x nell esercizio 2 La matrice a presenta invece il modulo R[x]/x 2 + R[x]/x 2 + che, come nel caso del modulo R[x]/x R[x]/x dell esercizio 2, non può essere la struttura di R[x]-modulo corrispondente alla coppia V, ϕ 4 Sia dato l endomorfismo dello spazio vettoriale reale R 4, ϕ : x, y, z, t 2x, αx + 2y + δz + ρt, βx + 2z, γx + ɛz, con α, β, γ, δ, ɛ, ρ R Individuare tra le seguenti affermazioni l unica che risulta falsa: a Se α = β = δ = ρ = 0, allora ϕ è diagonalizzabile; b Se β = 0, ϕ si può rappresentare mediante la matrice ; 2

3 c in nessun caso ϕ si può rappresentare mediante la matrice ; d una delle precedenti affermazione è sbagliata Soluzione: La matrice associata a ϕ rispetto alla base canonica di R 4 è A = α 2 δ ρ β 0 2 0, γ 0 ɛ 0 per cui il polinomio caratteristico di ϕ è λλ 2 3 Conseguentemente per il polinomio minimo µ ϕ di ϕ ci sono solo le seguenti tre possibilità: µ ϕ λ= λλ 2 ed allora ϕ è diagonalizzabile; µ ϕ λ= λλ 2 2 ed allora A è simile a µ ϕ λ= λλ 2 3 ed allora A è simile a Perché si verifichi il primo caso deve essere AA 2I = 2α + βδ + ργ 0 2δ + ɛρ 0 2β βɛ = ;, condizione soddisfatta per α = β = δ = ρ = 0 Perché si verifichi il secondo caso si deve avere la condizione AA 2I 2 = β2δ + ɛρ =, che per β = 0 è verificata Infine il terzo caso si ha esattamente quando AA 2I 2 non è la matrice nulla, ovvero quando il numero reale β2δ+ɛρ è 0 3

4 5 Sia ϕ un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale di dimensione 9 avente polinomio minimo µ ϕ x = x x 2 2 Si individui tra le seguenti matrici l unica che non può rappresentare né ϕ nè ϕ C : a b c d A a = A b = A c = A d = i i i i i i i i

5 Soluzione: Il polinomio minimo di ϕ ha su C la decomposizione µ ϕ x = x x 2 2 = x 2i 2 x + 2i 2 x 2 x + 2, con ciascun fattore irriducibile di molteplicità 2 Quindi ϕ C si può rappresentare in forma canonica di Jordan utilizzando i blocchi 2i 2i,,,, 0 2i 0 2i 0 0 più un blocco di dimensione, necessariamente del tipo o, essendo + e gli unici autovalori reali di ϕ Dalla teoria segue allora che ϕ ammette rappresentazioni in pseudo-forma canonica di Jordan della forma ± Si noti infine che il polinomio minimo di A a è x x 3 x + 2 che è diverso da quello assegnato 6 Siano V e V 2 i due Z-moduli presentati rispettivamente dalle matrici: A = , A 2 = Si individui tra le seguenti affermazioni l unica che risulta falsa: a V ha un sottogruppo isomorfo a Z 5 ; b V 2 ha un sottogruppo isomorfo a Z 6 ; c Esiste un monomorfismo ψ : V V 2 ; d Esiste un epimorfismo φ : V V 2 Soluzione: Diagonalizzando la matrici di presentazione A ed A 2 si ottengono le matrici: , Da cui segue che V è isomorfo a Z 2 Z 5 e V 2 è isomorfo a Z 2 Z 3 Z 5 = Z 6 Z 5 5