METODI DI STIMA DELL ORDINE p

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1 METODI DI STIMA DELL ORDINE p Per la scelta dell ordine ottimo p per un modello AR, si definisce un criterio di errore che indichi qual è l ordine ottimo per quel modello. L approccio più semplice è quello di costruire modelli AR di ordine via via crescente, fino ad ottenere un minimo nella funzione di errore, data dalla varianza dell errore di predizione. Per i metodi visti, però, la varianza decresce monotonicamente al crescere di p. Sono stati definiti numerosi criteri basati su funzioni non monotone decrescenti, che raggiungono un valore minimo per qualche valore di p per poi crescere nuovamente. Il principio è quello di inserire nel criterio un termine penalizzante, funzione di p: infatti, il principio di parsimonia afferma che l ordine del modello deve essere il più basso possibile. Vediamo i criteri più noti. Ricordiamo comunque che la conoscenza delle caratteristiche del segnale allo studio e del/dei parametri che vogliamo estrarre da esso è di fondamentale importanza per la definizione di un range ammissibile di valori entro cui stimare p.

2 CRITERI DI STIMA DELL ORDINE OTTIMO N=n.. di dati, ρ p = varianza dell errore errore LP Final Prediction Error Spesso sottostima l ordine l ottimo. Akaike Information Criterion Tende a sovrastimare p per N grande Minimum Description Length Non presenta il problema dell AIC Criterion Autoregressive Transfer Analogo al precedente

3 CONFRONTO METODI I dati (circa 1000) provengono da un sistema di equazioni differenziali enziali del 3 ordine p=3? p=3 p=3 p=3

4 STIMA LS RICORSIVA (RLS) RLS = Recursive Least Squares.. E detta anche stima parametrica on line : i parametri all istante t sono stimati sulla base di quelli ottenuti ti all istante t-1. t Caratteristiche: Alla base dei sistemi di controllo adattativo (es: dosaggio farmaci) Occupazione di memoria modesta Utili per il tracking dei parametri tempo- varianti, e per individuarne cambiamenti significativi (es( es: : diagnosi di malfunzionamento).

5 MINIMI QUADRATI RICORSIVI Con il metodo LS abbiamo visto che i parametri θ(t) si ottengono da: (1) Definiamo: Da cui: (2) Sostituendo nella (1): Che possiamo scrivere come: (3) ε(t)= erroree di predizione Il calcolo di P(t) implica un inversione di matrice ad ogni iterazione (numericamente poco efficiente).

6 RLS (cont( cont.) Utilizzano il lemma di inversione di matrici (v. sotto), da (2) la ricorsione su P(t) si può scrivere come segue: Divisione fra scalari invece di inversione di matrice Da cui nella (3): LEMMA DI INVERSIONE DI MATRICI Dimostrazione:

7 RLS CON FORGETTING FACTOR Modifica del metodo RLS visto, per il tracking dei parametri nel caso di sistema tempo-variante. Si modifica il funzionale da minimizzare tramite un fattore λ (forgetting factor): λ<1. Minore è λ,, più velocemente vengono dimenticate le misure passate. La memoria è data da: 1/1- λ. Es.: λ=0.99 1/1- λ=100; λ=0.95 1/1- λ=20. La formulazione del metodo generale è quindi (caso precedente: λ=1): Condizioni iniziali:

8 ESEMPIO: SIMULAZIONE SEGNALE ULTRASONICO λ variabile Valore teorico λ fisso Obbiettivo: Mappe spettrali per la differenziazione non invasiva di patologie oculari. Retinoblastoma,, melanoma, ecc. sono assimilabili a sfere di dimensioni variabili (20 µ -100µ.) Valore massimo della PSD con modello AR(3) tramite RLS e forgetting factor variabile: 0.7 λ 0.99 (da 3 a 100 campioni passati di memoria) o fisso: λ=0.98 (50 campioni passati).

9 IDENTIFICAZIONE PARAMETRICA: ASPETTI PRATICI Scelta del segnale di ingresso (raramente possibile per segnali biomedici!): deve avere PSD>0 nel range di frequenze di interesse. Presenza di valor medio non nullo: : genera una continua non desiderata e crea una polarizzazione delle stime. Si può eliminare il valor medio prima a delle elaborazioni o lavorare sul segnale differenziato: y(t) y(t)=y(t) (t)-y(t-1). Scelta della frequenza di campionamento: : bassa perdita di informazione alle alte frequenze; alta esaltazione del contributo delle componenti alle alte frequenze (può essere solo rumore, non sempre è di i interesse). Prefiltraggio per ridurre il rumore: solo se l obbiettivo l non è proprio quello di stimare il rumore! Scelta del modello e dell ordine ordine: : dipende dalla disponibilità o meno di ingressi misurabili e dal tipo di analisi che si vuole effettuare. Vale il principio di parsimonia = utilizzare il modello ottimo di ordine minimo possibile, anche tramite i metodi i visti (AIC, MDL, ecc.). Validazione del modello: : analisi statistica degli errori di predizione (dovrebbero essere scorrelati con l ingresso l e fra di loro). Buon senso e conoscenza del problema: : documentarsi sulle caratteristiche del segnale, sugli obbiettivi, osservare i dati, osservare i risultati, ecc.

10 ESEMPIO ingresso Modello ARMA(1,2): simulazioni con ARMA(n,n), n=1,2,3. 1=segnale vero; 2=segnale simulato. ARMA(1,1): residui correlati; ARMA(2,2): residui scorrelati ARMA(1,1) AC residui Corr.I/O ARMA(2,2) AC residui Corr.I/O ARMA(3,3)

11 CAMPIONAMENTO Segnale analogico: : rappresentazione dell evento fisico descritto da un segnale continuo. Il segnale cioè è sempre simile (analogo) a se stesso. Segnale digitale (o numerico): assume solo un numero fisso di valori, corrispondenti a determinati istanti temporali. E una rappresentazione discretizzata di un segnale analogico che viene memorizzato con una serie di digits pari a 0 o 1, detta codice binario. Frequenza di campionamento F s : il teorema del campionamento di Nyquist afferma che un segnale può essere rappresentato in modo esatto se campionato ad una frequenza almeno doppia della massima frequenza presente nel segnale. Aliasing: : distorsione data dalle frequenze oltre F s /2. Si usano filtri passa-basso basso,, con valore di cutoff < F s /2. I filtri non sono in genere perfetti. ES.: nei CD si usa F s = Hz l orecchio umano fa da filtro naturale (range( udibile: 20Hz-20kHz). 20kHz).

12 QUANTIZZAZIONE L ampiezza di ogni campione di segnale è rappresentata da un numero compreso fra 0 e 2 n (es:: 2 16 = Il convertitore A/D è in questo caso a n = 16 bit). (a) Segnale analogico (b) segnale campionato (c) quantizzazione a 3 bit Schema di acquisizione e conversione A/D di un segnale Ω c =freq.. max. del segnale analogico; Ω N =freq. max del filtro analogico; Ω sampl =freq.. di campionamento; ω c = freq. max del filtro digitale.