Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame+Compitino del 24 giugno 2002

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1 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame+Compitino del giugno 00 TOTALE PUNTI: opz. L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: [per la discussione dello scritto si contattino i docenti via rocca@elet.polimi.it oppure spagnoli@elet.polimi.it]. Le domande opzionali sono diversificate per gli studenti che hanno seguito il corso e per gli studenti degli anni precedenti: l allievo svolga solo una delle due opzioni. Esercizio (foglio bianco) (Esame: punti 0): Filtro passa-basso con finestra triangolare e struttura polifase Si consideri un segnale passa basso con frequenza massima 0 KHz, campionato alla frequenza di 50 KHz. Lo si vuole filtrare nella banda 0- KHz e poi sottocampionare alla frequenza KHz utilizzando un filtro la cui banda di transizione sia 0Hz (si prenda come banda di transizione la larghezza del lobo principale della risposta in frequenza della finestra di troncamento). a) (3 punti) Si determini la lunghezza del filtro nell ipotesi che la sua risposta all impulso sia un sinc rastremato a triangolo. b) (3 punti) Si determini la lunghezza del filtro nell ipotesi che sia un filtro ottimizzato secondo Remez e la cui lunghezza sia deducibile dalla formula: N =.66 f c f log 0 0δ δ Si assegnino per δ, δ le specifiche che risultano dall imposizione della rastremazione triangolare. Si assuma, per semplicità, δ = δ. c) ( punti) Si determini la struttura polifase per il filtro, ottimizzandola dove sia possibile, sia per la lunghezza del filtro sia per l occupazione di memoria. Esercizio (foglio verde) [Esame+Compitino: punti (+ Opzionale, corso 00-0)]: DOA e beamforming Due processi monocromatici a frequenza f o =60Hz incidono con direzioni di arrivo (DOA) θ e θ su una schiera lineare da N=6 sensori (la misura e svolta a tempo costante): s(x) =A exp[j ω o c x sin(θ )] + A exp[j ω o c x sin(θ )] + w(x). Si assumano i seguenti parametri: velocita di propagazione c=330m/s; spaziatura tra i sensori λ/ (ovvero s n = s(n λ/) con n =0,,...,N ), A e A sono due variabili casuali Gaussiane indipendenti (E[A A ]= 0, E[A A ]=0), complesse, a valore medio nullo e potenza E[ A ]=E[ A ]=σ A ; rumore Gaussiano complesso, spazialmente incorrelato e con potenza E[ w(n) ]=σ w. a) ( punti) Si rappresenti graficamente la densita spettrale di potenza di s n assumendo che σ w = σ A /0 eledoa:θ =30dege θ = 60 deg. b) ( punti) Si vuole stimare la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma su N=6 campioni. Si calcolino le DOA θ (oppure θ ) per cui e nulla la polarizzazione del periodogramma. Tra questo insieme di valori, si trovino quali DOA θ e θ massimizzano la risoluzione. c) ( punti) Si vuole stimare la potenza di rumore dalle sole celle utili del periodogramma nell ipotesi di assenza di polarizzazione (vedi punto b); si definisca lo stimatore e se ne valuti valore atteso e varianza. d) ( punti) Rispetto al punto precedente, si stimi la potenza di una delle DOA e se ne valuti il rapporto segnale/disturbo (SNR). Come cambierebbe il SNR raddoppiando il numero di sensori? e) ( punti-opzionale) Si assuma, per semplicita N= sensori, si calcoli (numericamente) il filtro spaziale (beamforming) {b 0,b } che abbia guadagno unitario in corrispondenza di θ =30dege abbia guadagno nullo per θ =0deg. Esercizio 3 ( foglio rosa) [Esame+Compitino: punti 8 (+ Opzionale, corso 00-0) ]: Stima adattativa in rumore colorato per un sistema

2 Si consideri la sequenza: x(n) =u (n)+u (n) somma di due termini; ogni termine e ottenuto filtrando due processi gaussiani bianchi, mutuamente incorrelati u(n) e v(n) entrambi a valore medio zero e potenza unitaria: u (n) = u(n) u(n ) u (n) =.9u (n )+v(n) a) ( punti) Si calcolino alcuni campioni dell autocorrelazione di u (n), u (n), x(n). b) (3 punti) Si vuole stimare il campione u (n) a partire da una combinazione lineare di campioni della sequenza x(n) (in questo caso il processo u (n) rappresenta il disturbo): û (n) =αx(n)+βx(n ) Si calcoli lo stimatore [α, β] che minimizza l errore quadratico medio e il valore (numerico) dell errore quadratico medio minimo. c) (3 punti) Si determini lo stimatore a minimo errore quadratico medio di u (n) da x (n) nel dominio delle frequenze. Si indichi come e possibile ricavare la risposta all impulso dello stimatore. d) ( punti-opzionale) Si assuma di aggiornare iterativamente lo stimatore a minimo errore quadratico medio ricavato ai punti (b) ed (d), si scriva l espressione dell aggiornamento iterativo LMS (o tecnica di Widrow), si calcoli per i due casi il numero minimo di passi che porta l algoritmo iterativo a convergenza. Si assuma un criterio adeguato per la convergenza in media. Esercizio -Opzionale, corsi precedenti ( foglio azzurro) (Esame: 6 punti): Sinusiodi D e campionamento Si consideri il segnale D misurato da una schiera lineare: s(x, t) =exp[jω t]exp[j ω c x sin(θ )] + exp[jω t]exp[j ω c x sin(θ )] in cui ω =ω =0rad/ sec, θ =30dege θ = 60 deg. a) (3 punti) Calcolare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier D di s(x, t). b) (3 punti) Calcolare il passo minimo di campionamento rettangolare X, T di s(x, t) per evitare l equivocazione. Esercizio 5 (foglio bianco con la scritta MATLAB al centro) (Esame+Compitino: punti 8): Periodogramma di processo colorato Una sequenza del segnale y(n), di lunghezza N = 000 campioni, è ottenuta filtrando un processo gaussiano bianco w(n) a valore medio nullo e potenza σ = 0 con un filtro passabasso IIR con frequenza di taglio pari π/. Si vuole simulare l esperimento per generare il segnale y(n) e stimare la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma. a) Si costruisca un vettore w rappresentativo della sequenza w(n) costituito da N = 000 campioni. b) Si calcolino i coeff. diunfiltro di Butterworth di ordine 5 con frequenza di taglio a π/. c) Si costruisca il vettore y costituito dai campioni del segnale y(n) ottenuto filtrando il rumore w(n) con il filtro calcolato al punto b) d) Si stimi la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma su N = 000 campioni e se ne rappresenti graficamente l andamento. e) si confronti la stima ottenuta al punto d) con la densita spettrale di potenza calcolata conoscendo la funzione di trasferimento del filtro f) Si stimi la densita spettrale di potenza mediante il periodogramma su 00 campioni ottenuto suddividendo la sequenza di N = 000 campioni in L = 0 sottosequenze disgiunte e facendo la media dei periodogrammi cosi ottenuti. Si rappresenti graficamente la stima della densita spettrale di potenza cosi ottenuta g) Si scriva infine il codice per l analisi spettrale mediante la tecnica WOSA utilizzando finestre di Hanning di lunghezza 00 campioni con sovrapposizione del 50 (la sovrapposizione indica il passo di ricopertura tra finestre contigue).

3 NOTA: Per la soluzione dei punti d), f), g) NON si faccia uso delle routine Matlab psd, spectrum. h) I punti d), f), g) possono essere risolti in maniera molto compatta utilizzando la routine spectrum: se si conosce tale routine, si replichi la soluzione dei punti d), f), g) utilizzando opportunamente i parametri di spectrum. 3

4 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame+Compitino del aprile 00 Soluzione Esercizio a) La risposta all impulso del filtro è ottenuta moltiplicando un sinc (ovvero la risposta del filtro passabasso ideale, con banda KHz) con una finestra triangolare di lunghezza N (convoluzione di rettangoli di lunghezza (N + )/). La risposta all impulso del filtro h(n) sara quindi: µ h(n) = n Ã! sin(π,pern = N N/,...,N 50 n) πn 5 E importante che la finestratura tronchi il sinc nei passaggi per lo zero. La sua trasformata di Fourier sarà quindi data dalla convoluzione di un sinc (f) ediunrettangolo: µ sin(ω(n + )/) H(f) = rect sin(ω/) (ω) ωfilt con frequenza di taglio ω filt =πf filt =π KHz. La banda di transizione sarà invece controllata dal lobo principale della trasformata di Fourier della finestra di troncamento (in questo caso il sinc ). Il lobo principale deve avere larghezza 0 Hz: 5 π (N + )/ =π 5 0 N + =5 0 3 N 0000 b) Per calcolare la lunghezza del filtro ottenuta con la tecnica di Remez e valori paragonabili di attenuazione si deve inserire l attenuazione di -7 db dovuta alla rastremazione triangolare. Si assume anche che il ripple in banda passante sia δ = δ = 7dB e quindi N =.66 f c f log 0 = log 0δ δ 0 0 0δ = log c) La decimazione richiesta e M =50KHz/KHz =5. La struttura polifase rappresenta la realizzazione della cascata di filtro + decimazione :M a minimo costo computazionale (per lo schema si rimanda all eserciziario). La risposta all impulso h(n) viene decimata con M pettini di campionamento, h λ (k) =h(km + λ), con λ = 0,,...,. In particolare, la risposta all impulso filtro h(n), lunga 0000 campioni e divisa in 5 (fattore di decimazione) sequenze sottocampionate h 0,...,h, ognuna delle quali lunga N/5 = 0000/5 = 800 campioni. Inoltre, le M =5sottosequenze polifase h λ (k) eseguono le operazioni alla frequenza f s =KHz. I filtri effettivi sono (h 0 e ottenuto campionando il sinc(n) nei passaggi per lo zero, e quindi h 0 (n) =δ(n)). Il costo computazionale complessivo diventa quindi R = 800 f s = operazioni al secondo. Soluzione Esercizio a) La pulsazione normalizzata è in particolare, per le due DOA date si ha: u = π sin θ, u = π sin θ = π, u = π sin θ = 3 π.

5 La densità spettrale di potenza del processo x è S x (u) = W B (u) ~ h σ Aδ u π + σ Aδ u + 3 π i + σ w, W B (u) = N µ sin (un/) sin (u/). b) Il periodogramma è definito come: Ŝ x (k) = X k, k =,, 0,,, 3. N Per non avere polarizzazione deve essere: u k = π sin θ k = k π 6 θ k = arcsin k 3 {0, ±.8} deg Si noti che, tranne la situazione di DOA centrale alla schiera (θ =0deg), esiste solo una seconda condizione (θ = ±.8 deg) per non avere polarizzazione (questo e legato alla scelta del passo di separazione tra i sensori). La risoluzione è massima nell intorno di θ =0. Si scelga ad esempio θ =0deg, θ =.8 deg, si ha: E Ŝx (k) var Ŝx (k) = = ½ ½ σ w k =,,, 3 σ A N + σ w k =0, σ w k =,,, 3 σ A N + σ w k =0,,. Si osserva che, poiché la polarizzazione è nulla, le celle del periodogramma Ŝ x (k) sono incorrelate e con varianza E Ŝx (k). Inoltre, la sequenza x(n) ècomplessaequindisihavarianzaσ w anche in corrispondenza della cella al Nyquist e in k =0. c) La stima della potenza di rumore si può ottenere come ˆP w = Ŝx ( ) + Ŝ x ( )+Ŝ x () + Ŝ x (3), con media e varianza: E ˆP w = σ w, var ˆP w var Ŝx ( ) + var Ŝx ( ) + var Ŝx () + var Ŝx (3) = σ w. = 6 d) Si definisce il seguente stimatore della potenza del primo segnale P = σ A : con valore atteso e varianza E ˆP var ˆP ˆP = Ŝx () N, = σ A + σ w N, = N Nσ A + σ w Poiché l errore di stima è E ˆP P = σ w/n,sen raddoppia il rapporto segnale rumore raddoppia. e) Sia N =. Si vuole determinare il beamformer [b 0 b ] tale che l uscita y = b 0 s(0) + b s(). 5

6 in corrispondenza del segnale d ingresso s (n) =e iπ sin θ n/ sia e l uscita in corrispondenza del segnale d ingresso s (n) =e iπ sin θ n/ sia 0, cioè ½ b0 s (0) + b s () = b 0 s (0) + b s () =0, ½ b0 + b e iπ sin θ / = b 0 + b e iπ sin θ / =0. Per θ =30dege θ =0degsi ottiene il sistema " +i # b0 b = 0, la cui soluzione è b0 b = +i " +i # 0 =.5+.07i.5.07i. Soluzione Esercizio 3 a) Il segnale x(n) è un processo ARMA ottenuto dalla somma del processo MA() u (n) e del processo AR() u (n) u (n) = u(n) h(n), h(n) = δ (n) δ (n ), Le funzioni di autocorrelazione sono u (n) = v(n) g(n), G(z) = F [g(n)] = 0.9z. r u (m) = r u (m) h(m) h( m) =δ (m) δ (m ) δ (m + ), r u (m) = m, r x (m) = r u (m)+r u (m) =δ (m) δ (m ) δ (m + ) m. In particolare si ha r u (0) =, r u () =, r u (0) = 0.9 =.053, r u () = = 8.97 r x (0) = 3.053, r x () =7.97 b) Imponendo la condizione di ortogonalità si ottiene: ½ E [(u (n) û (n)) (x (n))]=0 E [(u (n) û (n)) (x (n ))] = 0, ½ αrx (0) + βr x () =r u (0) αr x ()+βr x (0) = r u (), ½ α β = 7. 97α β =, la cui soluzione è {α =.305, β =.8}. L errore quadratico medio corrispondente è u (n) = u(n) u(n ) u (n) =.9u (n )+v(n) 6

7 û (n) =αx(n)+βx(n ) h MSE = E (u (n) û (n)) i = E [(u (n) û (n)) u (n)] = E [(u (n) αx (n) βx (n )) u (n)] = r u (0) αr u (0) βr u () =.06 c) Si vuole determinare lo stimatore Û (z) =B(z)X(z) tale da minimizzare E[ U (z) Û (z) ].Applicando il principio di ortogonalità si ha h i E U (z) Û (z) X(z ) =0 E U(z)X (z ) i = E hû (z)x (z ) B(z) = E U (z)x (z ) H(z)H (z ) E [X(z)X (z = )] H(z)H (z )+G(z)G (z ) sostituendo G(z) = 0.9z e H(z) = z si ottiene: B(z) = z ( z) ( z )( z)+ ( 0.9z )( 0.9z) = 0. 9z +3. 6z z 0. 9z 0. 9z 3. 6z z +0.9z I poli dello stimatore trovato dipendono dall unica radice ρ = i in quanto: 0. 9z 3. 6z z +0.9z =8 ρz ρ z ( ρz)( ρ z) La risposta all impulso dello stimatore B(z) e ottenibile fattorizzando l espressione precedente: 0. 9z +3. 6z z 0. 9z 8( ρz )( ρ z )( ρz)( ρ z) = A A 0 + ( ρz ) + A ( ρ z ) + A 3 ( ρz) + A ( ρ z) iterminia 0,...,A si possono ottenere come fratti semplici. Si ricorda che la risposta all impulso corrispondente al singolo termine e : ( ρz ) ρn u[n]; (la risposta all impulso corrispondente agli altri termini si ricava in modo equivalente). Si realizzera poi separatamente la parte causale e la parte anticausale della risposta complessiva trovata. d) Volendo aggiornare iterativamente i coefficienti dello stimatore a (n) =[α β] T con la tecnica LMS si ha: a (n + )=a (n)+γx (n) ε(n) dove ε(n) =u (n) a (n) x (n) rappresenta l errore di stima. Per N si ottiene la soluzione MMSE calcolata al punto b. L errore al passo n + e g (n + ) =a (n + ) a ( ) =( γr) n+ g (0). Per la convergenza senza oscillazioni il coefficiente γ deve soddisfare la condizione: γ λ max 7

8 dove λ max e l autovalore massimo di R (λ min =5. 06, λ max =.0). Scegliendo il passo γ = tr (R) = λ min + λ max = r x (0) = =. 8 0, che non rappresenta il valore minimo, si ha convergenza all in un numero di passi T conv uguale a ( γλ min ) Tconv = 0.0 T conv = 0. Il numero minimo di passi si ottiene invece scegliendo γ = /λ max =0.0 equindi µ λ Tconv min =0.0 λ max T conv =35. Soluzione Esercizio La trasformata di Fourier D: s(x, t) = exp[jω t]exp[jx ω c sin(θ ) ]+exp[jω t]exp[jx {z } c sin(θ ) {z } u S(u, ω) = δ(ω ω,u u )+δ(ω ω,u u ) ω u ] mentre il campionamento risulta: T π max{ω, ω } = π 0 '.57s X min{λ, λ } dove λ i = ω i πc sin(θ i), i =,. Il problema e quindi equivalente a due DOA con frequenze diverse, il dimensionamento della schiera deve essere fatto rispetto al fronte d onda con lunghezza d onda spaziale lungo la schiera minima. Soluzione Esercizio 5 (Matlab) Compitino Periodogramma Generazione di 000 campioni di rumore w(n) con varianza =0 w=randn(,000)*sqrt(0); Costruzione del filtro di Butterworth del 5o ordine, con ft=pi/ [B,A]=butter(5,.5); Costruzione del segnale filtrato y(n) y=filter(b,a,w); Costruzione del periodogramma P (su 000 campioni) P=(abs(fft(y))).^/000; Costruzione del risultato teorico, dalla conoscenza del filtro 8

9 f=filter(b,a,[, zeros(,999)]); risposta all impulso del filtro Pteor=0*(abs(fft(f))).^; Confronto dei due risultati figure, fpos =[0:/000:/]; faxis=[fpos,fliplr(-fpos(:end-))]; costruzione asse delle frequenze normalizzate semilogy(fpos,p(:50), -k,fpos,pteor(:50), :k ), disegno delle densità spettrali di potenza axis([0.5e-5e]); xlabel( freq. norm. ) grid legend( D.Spet. stimata, D.Spet. teorica ) Costruzione del periodogramma P (media di 0 period. su 00 campioni) y=reshape(y,00,0); divido in 0 sottosequenze P=mean( (abs(fft(y))).^/00,); Confronto dei due risultati figure, fpos =[0:/00:/]; faxis=[fpos,fliplr(-fpos(:end-))]; costruzione asse delle frequenze normalizzate semilogy(fpos,p(:5), -k,fpos,pteor(:0:50), :k ), disegno delle densità spettrali di potenza axis([0.5e-5e]); xlabel( freq. norm. ) grid legend( D.Spet. stimata (0 sotseq), D.Spet. teorica ) Costruzione del periodogramma con la tecnica WOSA fin=hanning(00); y3=zeros(00,9); for k=:9, y3(:,k)=y((k-)*50+:(k-)*50+00).*fin; costruzione delle sottosequenze sovrapposte 50 end, Calcolo del periodogramma Pwosa Pwosa=mean( (abs(fft(y3)*00/sum(fin))).^/00,); attenzione al fattore di scala per tener conto della finestratura Confronto dei due risultati: si noti come l effetto della finestratura sia la riduzione della polarizzazione figure, fpos =[0:/00:/]; faxis=[fpos,fliplr(-fpos(:end-))]; costruzione asse delle frequenze normalizzate semilogy(fpos,pwosa(:5), -k,fpos,pteor(:0:50), :k ), disegno delle densità spettrali di potenza axis([0.5e-5e]); xlabel( freq. norm. ) grid legend( D.Spet. stimata (WOSA), D.Spet. teorica ) Tutto potrebbe essere fatto in sole 3 istruzioni utilizzando la routine "spectrum"... Periodogramma P: unica sequenza di 000 campioni Pnew=spectrum(y,000,0,ones(000,)); finestra rettangolare, nessun overlap Periodogramma P: 0 sottosequenze di 00 campioni, senza overlap Pnew=spectrum(y,00,0,ones(00,)); finestra rettangolare, nessun overlap 9

10 Periodogramma Pwosa: 0 sottosequenze di 00 campioni, senza overlap Pwosanew=spectrum(y,00,50,hanning(00)); finestra di hanning, overlap 50 0