Sistemi lineari con ingresso stocastico

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1 January 21, 2011

2 1 Media e densità spettrale 2 Processi a spettro razionale 3 MA 4 AR 5 ARMA 6 ARMAX

3 Media e densità spettrale

4 Media Ipotesi: Y (z) = G(z)U(z) 1 u(t) processo casuale stazionario in senso lato momenti del I e II ordine stazionari: media m u := E[u(t)] non dipende da t autocovarianza γ uu (τ) := Cov[u(t), u(t + τ)] dipende solo da τ 2 G(z) rapporto di polinomi con poli stabili (modulo < 1). Proposizione: m y := E[y(t)] = G(1)m u = µm u

5 Densità spettrale 1/2 Proposizione: Sotto le Ipotesi 1 e 2, y(t) è un processo casuale stazionario in senso lato. Proposizione: La densità spettrale di y(t) è data da Γ yy (ω) = G(e jω ) 2 Γ uu (ω) Φ yy (z) = G(z)G(z 1 )Φ uu (z) Estensione: Siano u(t) e y(t) processi vettoriali Γ yy (ω) = G(e jω )Γ uu (ω)g(e jω ) T Φ yy (z) = G(z)Φ uu (z)g(z 1 ) T

6 Densità spettrale 2/2 Osservazioni: G(e jω ) "modula" la densità spettrale di u(t) Dato Γ yy (ω), se riesco a trovare G(z) (shaping filter) stabile e tale che Γ yy (ω) = G(e jω ) 2, posso simulare y(t) come l uscita di un sistema G(z) con ingresso un w(t) WN(0, 1) Y (z) = G(z)W (z) Γ yy (ω) = G(e jω ) 2 Γ ww (ω) = G(e jω ) 2

7 Processi a spettro razionale

8 Processi a spettro razionale Definizione: Un processo casuale stazionario y(t) è detto a spettro razionale se esiste un rapporto di polinomi G(z) con poli stabili tale che Φ yy (z) = G(z)G(z 1 ) Osservazione: Se z è una radice del denominatore (numeratore) della densità spettrale Φ yy (z) di un processo a spettro razionale, allora è radice del denominatore (numeratore) anche 1/ z.

9 Processi MA

10 Processi MA Definizione: Un processo casuale stazionario y(t) è detto a spettro razionale se esiste un rapporto di polinomi G(z) con poli stabili tale che Φ yy (z) = G(z)G(z 1 ) Osservazione: Se z è una radice del denominatore (numeratore) della densità spettrale Φ yy (z) di un processo a spettro razionale allora sono radici del denominatore (numeratore) anche: 1/ z, z, 1/ z.

11 Processi MA(n): definizione Definizione: Processo MA(n): y(t) = c 0 w(t)+c 1 w(t 1)+...+c n w(t n), w(t) WN(0, σ 2 ) w(t) WGN y(t) è gaussiano (combinazione lineare di V.C. gaussiane) Funzione di trasferimento: Y (z) = (c 0 + c 1 z c n z n )W (z) G(z) = c 0 + c 1 z c n z n = c 0z n + c 1 z n c n z n n zeri (radici del numeratore) n poli nell origine G(z) stabile y(t) stazionario

12 MA(n): media e autocovarianza Media: E[y(t)] = n c i E[w(t i)] = 0 i=0 Autocovarianza: { (c0 c γ yy (t) = τ + c 1 c τ c n τ c n )σ 2, 0 τ n 0, τ > n Ridondanza: se definisco c i := αc i, σ 2 = σ 2 /α 2 e considero n ỹ(t) = c i w(t i), w(t) WN(0, σ 2 ) i=0 si vede che ỹ(t) è equivalente a y(t) (stessa media e autocovarianza) di solito si fissa c 0 = 1

13 MA(n): densità spettrale 1/2 Φ yy (z) = σ 2 G(z)G(z 1 ) Esempio (MA(1)): y(t) = w(t) + cw(t 1), w(t) WN(0, σ 2 ) Autocovarianza: γ yy (τ) = (1 + c 2 )σ 2, τ = 0 cσ 2, τ = 1 0, τ > 1. Funzione di trasferimento: G(z) = 1 + cz 1

14 MA(n): densità spettrale 2/2 Densità spettrale: Φ yy (z) = σ 2 G(z)G(z 1 ) = σ 2 (1 + cz 1 )(1 + cz 1 ) = σ 2 (cz 1 + (1 + c 2 ) + cz) Γ yy (ω) = Φ yy (e jω ) = σ 2 (c(cos(ω) j sin(ω)) + (1 + c 2 ) +c(cos(ω) + j sin(ω)) = σ 2 ((1 + c 2 ) + 2c cos(ω))

15 Processo MA( ) Definizione: Processo MA( ): y(t) = c i w(t i), w(t) WN(0, σ 2 ) i=0 Ipotesi: i=0 c2 i < Pertanto, lim i c i = 0 stabilità y(t) stazionario E[y(t)]= 0 Var[y(t)] = σ 2 ( ) i=0 c2 i < γ yy (τ) = σ 2 ( i=0 c ic i+τ )

16 Processi AR

17 Processi AR(n): definizione Definizione: Autoregressione di ordine n y(t) = a 1 y(t 1)+a 2 y(t 2)+...+a n y(t n)+w(t), w(t) WN(0, σ Funzione di trasferimento: G(z) = (1 a 1 z 1... a n z n )Y (z) = W (z) 1 1 a 1 z 1... a n z n = z n z n a 1 z n 1... a n n poli (radici del denominatore) n zeri nell origine

18 AR(n): stabilità A differenza del caso MA, la soluzione dell AR non è necessariamene un P.C. stazionario Se tutti i poli hanno modulo < 1, allora G(z) è stabile e la soluzione y(t) converge ad un P.C. stazionario (ergodico) che prende il nome di processo AR(n) Il processo AR(n) è l unico processo stazionario che soddisfa l autoregressione di ordine n

19 AR(n): media e autocovarianza 1/2 Media: E[y(t)] = G(1)E[w(t)] = 0 Autocovarianza: equazioni di Yule-Walker γ yy (0)a 1 + γ yy (1)a γ yy (n 1)a n = γ yy (1) γ yy (1)a 1 + γ yy (0)a γ yy (n 2)a n = γ yy (2). =. γ yy (n 1)a 1 + γ yy (n 2)a γ yy (0)a n = γ yy (n) γ yy (1)a 1 + γ yy (2)a γ yy (n)a n = γ yy (0) σ 2 n + 1 equazioni per n + 1 incognite γ yy (τ), τ = 0,..., n

20 AR(n): media e autocovarianza 2/2 Esempio (AR(1)): y(t) = ay(t 1) + w(t), w(t) WN(0, σ 2 ) y(t) 2 = ay(t)y(t 1) + y(t)w(t) = ay(t)y(t 1) + ay(t 1)w(t) + w(t) 2 γ yy (0) = E[y(t) 2 ] = ae[y(t)y(t 1)] + ae[y(t 1)w(t)] + E[w(t) 2 ] = aγ yy (1) + σ 2 y(t)y(t + τ) = ay(t)y(t + τ 1) + y(t)w(t + τ) γ yy (τ) = E[y(t)y(t + τ)] = aγ yy (τ 1) = a τ γ yy (0)

21 AR(n): densità spettrale 1/2 Φ yy (z) = σ 2 G(z)G(z 1 ) Esempio (AR(1)): y(t) = ay(t 1) + w(t), w(t) WN(0, σ 2 ) Funzione di trasferimento: G(z) = 1 1 az 1 Densità spettrale in z: Φ yy (z) = σ 2 G(z)G(z 1 ) = σ 2 1 (1 az 1 )(1 az) = σ 2 1 (1 + a 2 a(z + z 1 ))

22 AR(n): densità spettrale 1/2 Densità spettrale in ω: Γ yy (ω) = Φ yy (e jω ) = = σ a 2 a(cos(ω) + j sin(ω) + cos(ω) j sin(ω)) σ a 2 2a cos(ω)

23 Processi ARMA

24 Processi ARMA(n a, n c ): definizione Definizione: AutoRegressive Moving Average di ordine (n a, n c ) y(t) = a 1 y(t 1) + a 2 y(t 2) a na y(t n a ) + w(t) + c 1 w(t 1) c nc w(t n c ), w(t) WN(0, σ 2 )

25 Processi ARMA: funzione di trasferimento Funzione di trasferimento: (1 a 1 z a na z na )Y (z) = (1+c 1 z c nc z nc )W (z) G(z) = 1 + c 1z c nc z nc 1 a 1 z 1... a na z na = zna nc (z nc + c 1 z nc c nc ) z na a 1 z n 1... a na n poli (radici del denominatore) n zeri nell origine n a > n c n a n c zeri nell origine n a < n c n c n a poli nell origine

26 ARMA: stabilità La soluzione dell ARMA non è necessariamene un P.C. stazionario Se tutti i poli hanno modulo < 1, allora G(z) è stabile e la soluzione y(t) converge ad un P.C. stazionario (ergodico) che prende il nome di processo ARMA(n a, n c ) Il processo ARMA(n a, n c ) è l unico processo stazionario che soddisfa l autoregressione a media mobile ARMA(n a, n c ).

27 Processi ARMAX

28 Processi ARMAX(n a, n b, n c, k): definizione Definizione: AutoRegressive Moving Average exogenous di ordine (n a, n b, n c, k) y(t) = a 1 y(t 1) + a 2 y(t 2) a na y(t n a ) + b 0 u(t k) + b 1 u(t k 1) b nb w(t k n b ) + w(t) + c 1 w(t 1) c nc w(t n c ) w(t) WN(0, σ 2 ) u(t) ingresso deterministico esogeno

29 Processi ARMAX: funzioni di trasferimento Y (z) = G(z)U(z) + H(z)W (z) G(z) = z k B(z) A(z) H(z) = C(z) A(z) A(z) = 1 a 1 z 1... a na z na B(z) = b 0 + b 1 z b nb z n b C(z) = 1 + c 1 z c nc z nc