Sesto test di autovalutazione di CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 2009/2010
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- Romeo Tarantino
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1 Sesto test di autovalutazione di CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 29/2 Data: 24 Novembre 29. Con riferimento alle seguenti funzioni di trasferimento (a) W(s) = (b) W(s) = s + 5 ( + s)( + s) ; s + (s + 2)(s + 5) ; (c) W(s) = 2s + (s + ) 2, se ne determini il tipo k e, in corrispondenza al segnale canonico tk k! δ (t), si determini l errore di regime permanente [ ] t k e (k) rp := lim t + k! δ (t) y (k) (t) (dove y (k) (t) rappresenta la risposta forzata del sistema al segnale canonico δ (k+) (t) := t k k! δ (t)) con cui risponde il sistema (la domanda (a) vale punto, la domanda (b) 2 punti, la domanda (c) 3.5 punti)., 2. Con riferimento alle seguenti funzioni di trasferimento razionali proprie a coefficienti reali, G(s), interpretate come le funzioni di trasferimento di un processo a tempo continuo lineare, tempo-invariante e SISO, (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = s s 3 + 3s ; s + 2 s 3 + s 2 + 2s ; s 3 s 3 + 5s 2 + 3s +. si determini per quali valori del parametro K il sistema retroazionato + K G(s) risulta BIBO stabile (ogni domanda vale 2.5 punti).
2 3. Per ciascuna delle seguenti funzioni di trasferimento razionali proprie a coefficienti reali, G(s), si tracci il diagramma di Nyquist completo (per ω R) e si determini (ove possibile ed eventualmente riportando tali diagrammi al finito) il numero N di giri che il diagramma compie attorno al punto + j e, il numero di poli a parte reale positiva della funzione W(s), ottenuta da G(s) per retroazione unitaria negativa. (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = s 2 (s ) 2; s (s + )(s + ) ; 5 (s + )s ; (d) G(s) = s s 2 (s + ). (Ogni domanda vale 4 punti.) 2
3 RISPOSTE. Tipo ed errore di regime permanente: (a) W() = 5 =.5 pertanto il sistema è di tipo e l errore di regime permanente al gradino è e rp = lim t + δ (t) W()δ (t) = W() =.5. (b) W() = dw() 2 5 =, mentre ds =.6. Pertanto il sistema è di tipo e l errore di regime permanente alla rampa lineare δ 2 (t) = t δ (t) è e rp = lim [t δ (t) [.6 + t]δ (t)] =.6 = dw(). t + ds dw() (c) W() =, ds = mentre d2 W() ds 2 della) risposta del sistema a tale segnale: = 2. Consideriamo la (trasformata di Laplace Y (s) = W(s) s 3 = A s + A s 2 + A 2 s 3 + n(s) (s + ) 2. Sappiamo che A 2 A A = lim Y (s) s 3 = lim W(s) = W() = s s ( = lim Y (s) A ) 2 s s 3 s 2 W(s) W() = lim = dw() = s s ds ( = lim Y (s) A 2 s s 3 A ) ( W(s) s 2 s = lim s s 3 W() ) s 3 s = lim s (s + ) 2 =. Di conseguenza l errore di regime permanente alla rampa parabolica δ 3 (t) = t2 2! δ (t) è t 2 [ ] e rp = lim t + 2! δ (t) + t2 δ (t) = = d 2 W() 2! 2! ds Stabilità di sistemi retroazionati con guadagno K variabile: (a) Tabella di Routh del polinomio d(s) + Kn(s) = (s 3 + 3s 2 + 2) + K(s ) = s 3 + 3s 2 + Ks + (2 K): 3 K K 4K K Pertanto il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se 2 < K < 2. 3
4 (b) Tabella di Routh del polinomio d(s)+kn(s) = (s 3 + s 2 + 2s )+K(s + 2) = s 3 + s 2 + (K + 2)s + (2K ): 3 K K- 2 - K 2K- Pertanto il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se 5 < K < 2. (c) Tabella di Routh del polinomio d(s) + Kn(s) = (s 3 + 5s 2 + 3s + ) + Ks 3 = ( + K)s 3 + 5s 2 + 3s + : 3 +K K 5 Per K il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se < K < 4. Per K = si noti che il sistema retroazionato non è proprio e per esso non ha nemmeno senso porsi il problema ddella BIBO stabilità. Infatti W(s) = s 3 5s 2 +3s+. 3. Criterio di Nyquist: (a) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è
5 Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dall origine (per ω = + ), con fase π, e arriva nel punto, sul semiasse reale positivo, con fase 2π (ovvero nulla), per ω = +, ruotando in verso antiorario. Poichè n G+ = 2 e N =, ne consegue che n W+ = 2 e quindi il sistema retroazionato non è BIBO stabile e presenta 2 poli a parte reale positiva. (b) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto., sul semiasse reale negativo, (per ω = + ) con fase π, e arriva nell origine, con fase π/2, per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e N =, ne consegue che n W+ = e quindi il sistema retroazionato è BIBO stabile. (c) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto improprio (per ω = + ), con fase π/2, e arriva nell origine, con fase π, per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e, una volta riportato il diagramma di Nyquist al finito, con una 5
6 semicirconferenza dal punto di pulsazione ε al punto di pulsazione ε, che descrive un angolo, in verso orario, di π radianti, si trova N =. Ne consegue, quindi, che n W+ = e quindi il sistema retroazionato è BIBO stabile. (d) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto improprio (per ω = + ), con fase nulla, e arriva nell origine, con fase π (ciò non si nota in figura per motivi numerici), per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e, una volta riportato il diagramma di Nyquist al finito, con una circonferenza dal punto di pulsazione ε al punto di pulsazione ε, che descrive un angolo, in verso orario, di 2π radianti, si trova N =. Ne consegue, quindi, che n W+ = e quindi il sistema retroazionato non è BIBO stabile e presenta polo a parte reale positiva. 6
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