Sesto test di autovalutazione di CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 2015/2016

Transcript

1 Sesto test di autovalutazione di CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 25/26 Data: 8 Novembre 25. Con riferimento alle seguenti funzioni di trasferimento (a) W (s) = (b) W (s) = s + 9 (s + )(s + ) ; s + (s + 2)(s + 5) ; (c) W (s) = 2s + (s + ) 2, se ne determini il tipo k, la risposta forzata del sistema, w (k+) (t), al segnale canonico δ (k+) (t) := tk k! δ (t) e l errore di regime permanente [ ] e (k+) rp := lim δ (k+) (t) w (k+) (t). t + 2. Con riferimento alle seguenti funzioni di trasferimento razionali proprie a coefficienti reali, G(s), interpretate come le funzioni di trasferimento di un processo a tempo continuo lineare, tempo-invariante e SISO, (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = s s 3 + 3s ; s + 2 s 3 + s 2 + 2s ; s 3 s 3 + 5s 2 + 3s +. si determini per quali valori del parametro K il sistema retroazionato + K G(s) risulta BIBO stabile.

2 3. Per ciascuna delle seguenti funzioni di trasferimento razionali proprie a coefficienti reali, G(s), si tracci il diagramma di Nyquist completo (per ω R) e si determini (ove possibile ed eventualmente riportando tali diagrammi al finito) il numero N di giri che il diagramma compie attorno al punto + j e, il numero di poli a parte reale positiva della funzione W (s), ottenuta da G(s) per retroazione unitaria negativa. (a) G(s) = (b) G(s) = (c) G(s) = s 2 (s ) 2 ; s (s + )(s + ) ; 5 (s + )s ; (d) G(s) = s s 2 (s + ). 2

3 RISPOSTE. Tipo, risposta forzata ed errore di regime permanente: (a) W () = 9 =.9 pertanto il sistema è di tipo e l errore di regime permanente al gradino è e () rp = lim t + δ (t) W ()δ (t) = W () =.. Il calcolo della risposta al gradino, w (t), può essere effettuato nel dominio della trasformate e porta a ovvero W (s) = W (s) s = s + 9 s(s + )(s + ) = 9 s 8 9 w (t) = [ e t ] 9 e t δ (t). s + 9 s +, (b) W () = dw () 2 5 =, mentre ds =.6. Pertanto il sistema è di tipo e l errore di regime permanente alla rampa lineare δ 2 (t) = t δ (t) è e (2) dw () rp = =.6. ds Il calcolo della risposta alla rampa lineare, w 2 (t), può essere effettuato nel dominio della trasformate e porta a ovvero W 2 (s) = W (s) s 2 = s + s 2 (s + 2)(s + 5) =.6 s + s s s + 5, w 2 (t) = [.6 + t 2 3 e 2t + 5 e 5t ] δ (t). dw () (c) W () =, ds = mentre d2 W () = 2. Di conseguenza il sistema è di tipo 2 e l errore ds 2 di regime permanente alla rampa parabolica δ 3 (t) = t2 2! δ (t) è e (3) rp = d 2 W () 2! ds 2 =. Il calcolo della risposta alla rampa parabolica, w 3 (t), può essere effettuato nel dominio della trasformate e porta a ovvero W 3 (s) = W (s) s 3 = 2s + s 3 (s + ) 2 = s + s 2 + s 3 s + + (s + ) 2, [ ] w 3 (t) = + t2 2! e t + te t δ (t). 3

4 2. Stabilità di sistemi retroazionati con guadagno K variabile: (a) Tabella di Routh del polinomio d(s) + Kn(s) = (s 3 + 3s 2 + 2) + K(s ) = s 3 + 3s 2 + Ks + (2 K): 3 K K 4K K Pertanto il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se 2 < K < 2. (b) Tabella di Routh del polinomio d(s) + Kn(s) = (s 3 + s 2 + 2s ) + K(s + 2) = s 3 + s 2 + (K + 2)s + (2K ): 3 K K- 2 - K 2K- Pertanto il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se 5 < K < 2. (c) Tabella di Routh del polinomio d(s) + Kn(s) = (s 3 + 5s 2 + 3s + ) + Ks 3 = ( + K)s 3 + 5s 2 + 3s + : 3 +K K 5 Per K il sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se < K < 4. Per K = si noti che il sistema retroazionato non è proprio e per esso non ha nemmeno senso porsi il problema della BIBO stabilità. Infatti W (s) = s 3 5s 2 +3s+. 3. Criterio di Nyquist: 4

5 (a) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dall origine (per ω = + ), con fase π, e arriva nel punto, sul semiasse reale positivo, con fase 2π (ovvero nulla), per ω = +, ruotando in verso antiorario. Poichè n G+ = 2 e N =, ne consegue che n W + = 2 e quindi il sistema retroazionato non è BIBO stabile e presenta 2 poli a parte reale positiva. (b) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto., sul semiasse reale negativo, (per ω = + ) con fase π, e arriva nell origine, con fase π/2, per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e N =, ne consegue che n W + = e quindi il sistema retroazionato è BIBO stabile. (c) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è 5

6 Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto improprio (per ω = + ), con fase π/2, e arriva nell origine, con fase π, per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e, una volta riportato il diagramma di Nyquist al finito, con una semicirconferenza dal punto di pulsazione ε al punto di pulsazione ε, che descrive un angolo, in verso orario, di π radianti, si trova N =. Ne consegue, quindi, che n W + = e quindi il sistema retroazionato è BIBO stabile. (d) Il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R è Si noti che il diagramma di G(jω) per ω parte dal punto improprio (per ω = + ), con fase nulla, e arriva nell origine, con fase π (ciò non si nota in figura per motivi numerici), per ω = +, ruotando in verso orario. Poichè n G+ = e, una volta riportato il diagramma di Nyquist al finito, con una circonferenza dal punto di pulsazione ε al punto di pulsazione ε, che descrive un angolo, in verso orario, di 2π radianti, si trova N =. Ne consegue, quindi, che n W + = e quindi il sistema retroazionato non è BIBO stabile e presenta polo a parte reale positiva. 6