Il Criterio di Nyquist

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1 Il Criterio di Nyquist (vedi Marro Par. 4.5 a 4.7 e 4.9 vedi Vitelli-Petternella Par. VIII., VIII.4 Num_Den9_n.vi realizzato con Labview) Come determinare la stabilità a ciclo chiuso dalle caratteristiche a ciclo aperto Si applica anche a Sistemi con FdT non razionale Consente di definire la robustezza di un sistema di controllo automatica ROMA TRE Stefano Panzieri-

2 Theo. Indicatore Logaritmico Ip: F(s): analitica, C: curva chiusa, s compie un giro su C, all interno di C ci sono n poli e m zeri. Th: F(s) compie m-n giri nello stesso verso intorno all origine. completa Marro Marropar. par. C4.3 C4.3 dimostrazione dimostrazione completa C (s-p) p ϕ s z = re jθ s z θ Fs K s () = ' z K' r e j s p = ρ ( θ ϕ) r e ρ non ci interessano ϕ compie un giro, θ oscilla ma complessivamente non cambia s p= ρe jϕ automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 2

3 Esempio s 3 Fs () = 2 ( s 25. )( s+ ) s.5 th=:pi/5:2*pi; j=sqrt(-); C=exp(j*th)+.5; figure() plot(c,'r'); axis('square'), grid figure(2) plot(2*(c-3)./((c-.25).*(c+)),'b') axis('square'), grid 3 2 F(s) R: rotazioni orarie di F(s) attorno all origine = - automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 3

4 L idea Quanti poli a parte reale positiva (p.r.p.) ha la FdT a ciclo chiuso W(s)? Ws () = G() s Fs GsHs Fs () ; ( ) = + ( ) ( ) Sono quanti gli zeri a p.r.p. del denominatore, cioè di +F(s). C r->inf C: una curva chiusa che abbraccia tutto Z + Il criterio, dette R le rotazioni orarie di +F, dice R = # zeri(+f) - # poli(+f) p.r.p. Ma i poli di +F sono quelli di F (FdT ciclo aperto). #poli(w) = #zeri(+f) = #poli(+f) + R = #poli(f) + R automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 4

5 Il criterio di Nyquist (vedi Marro par. 4.5) #poli(w) = R + #poli(f) Stabilità di W(s) ==> #poli(w)= p.r.p. R: rotazioni orarie di +F(s) attorno alla origine =rotazioni orarie di F attorno a +j S +F(s) R = - #poli(f) p.r.p. F(s) F(s): strettam. causale senza poli: Re[p]= : [-, j] Ovviamente se F(s) stabile R= (criterio ridotto) automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 5

6 Il grafico di che? Di quale funzione facciamo il grafico? F() s s = j ω ; ω = F(s): senza poli Re[p]= Se F(s) è stabile, risp. armonica a ciclo aperto da -inf a +inf F() s s = j ω ; ω = + per ω, 2 casi: b s m n F s as n n, <, ( ) = m= n, F( s) = K, ϕ = m m RST automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 6

7 Esempi g g stabile R la i Imag Axis R la i (colori Matlab, diversi da precedenti) NO» n=[-,];» d=[,, ];» nyquist(n,d) + s+» nyquist(.5*n,d)» nyquist(.5*n,d) R = - #poli(f) p.r.p. = s 2 s NO.5 2 s g stabile» d=[ -];» n=.5;» nyquist(n,d)» n=.5;» nyquist(n,d) + s R la i R la i R = - #poli(f) p.r.p. = automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 7

8 Poli con Re[p]= in F(s) percorso uncinato con ρ polo nell origine, F()=? (antiorario) Fs () = s 5-5 2( s + ) υ per s ( s+ 4) Fs () e j υϕ ρ υ ss ( + ) (orario) 2 s ( s+ ) Lo stesso per coppie di poli immaginari automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 8

9 Spiegazione intuititiva.5.5 u= F(s) F(s) stabile del criterio ridotto Sistema a controreazione sede di un oscillazione stazionaria con pulsazione Ω. I segnali hanno le relazioni indicate, quindi F(j Ω)= -. L oscillazione ha la pulsazione per cui F(j Ω)= -. Se il guadagno in catena diretta è maggiore, oscillazioni divergenti; se è minore, oscillazioni convergenti. F(j Ω) ω automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 9

10 Margini di Stabilità /m g Stabile (k S <k L ) (solo criterio ridotto) ω Al limite (k L ) Instabile (k I <k L ) All aumentare del guadagno un sistema generalmente diventa instabile. m K K Anche uno sfasamento (rotazione) porta instabilità g = L S m ϕ r= automatica ROMA TRE Stefano Panzieri-

11 Stabile Gm=.46 db, (w= ) Pm=7.77 deg. (w=.343) 5 Margini di Stab. su Bode Gm=-2 db, (w= ) 5 Instabile Gain db -5 Gain db Phase deg - - Frequency (rad/sec) Phase deg Frequ Frequency (rad/sec) automatica ROMA TRE Stefano Panzieri Frequ Istruzione Matlab: margin(num,den)

12 Esempio già fatto con Routh Esempio + - k ss ( + ) (. s+ ) Risultava < k < W = k 3 2. s +. s + s + k.. tracciato per K=.. K. ω> - K K< K K> automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 2

13 ML 2 θ = C + MgL sin θ D θ m θ Il Pendolo Rovesciato M 2 2 Θ() s ML s + Ds MgL = C () s Fs ()= 2 2 ML s + Ds MgL m (anello aperto) instabile θ Mg L θ D Introduciamo un controllo: C a f = k θ θ θ = m d d C m 2 2 Θ() s ML s + Ds MgL = kθ+ kθ Ws ()= Θ( s) k () s = ML s + Ds + k MgL Θ 2 2 a f d (anello chiuso) se K>MgL il sistema è stabile automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 3

14 Il Pendolo Rovesciato (continua) M = L = D = 3 θ d k 2 2 ML s + Ds MgL k > n p = Deve risultare R (orarie) = - n p Stabilità paradossale : solo per k > k il contrario del solito. Se k > MgL il sistema è stabile N=- -. k=5 k= k= automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 4

15 Guadagno db 5-5 Diagrammi di Bode del Pendolo Rovesciato (k=5) : instabile (k=5) : stabile Frequenza (rad/sec) -5 (Anello Aperto) Questo ci avverte: M ϕ = 25 M G = Fase -6-7 Mϕ Il criterio ridotto non va!! -8-2 Frequenza (rad/sec) automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 5