Control System Toolbox. Matlab 5.3

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1 Cotrol System Toolbox Matlab 5.3

2 Geeralità il Cotrol System Toolbox offre ua serie di strumeti per l aalisi dei sistemi diamici i modelli possoo essere rappresetati i varie forme:. State-Space. Trasfer-Fuctio 3. Zero-Pole-Gai Itroduzioe ai modelli di sistemi LTI Verrà ora preso i esame il caso dei sistemi lieari a tempo ivariate (LTI). Il Cotrol System Toolbox e cosete la rappresetazioe elle segueti forme: modelli State-Space (SS) U modello ello spazio degli stati viee idetificato dalle quattro matrici (A, B, C, D) dx dt y = = Ax + Bu Cx + Du dove A, B, C e D soo matrici di dimesioi opportue, x è il vettore di stato, metre u ed y soo rispettivamete i vettori degli igressi e delle uscite del sistema. Ad esempio, u sistema del secodo ordie caratterizzato da ua coppia di poli complessi coiugati co pulsazioe aturale ω =. 5 rad/s e rapporto di smorzameto ξ = 0. si può rappresetare come x& x& per cui le matrici A, B, C e D soo y () t = x () t () t = ω x() t ξω x () t + ω u() t = x () t A = 0 0 = = B C ω D ξω ω [ 0] 0 = modelli Trasfer Fuctio (TF) La forma trasfer fuctio permette di rappresetare u modello tramite ua fuzioe di trasferimeto G(s) defiita dai poliomi NUM(s) e DEN(S) () s = C( si A) G B + D = NUM ( s) DEN( s)

3 Nel caso dell esempio precedete si ha G () s = s s +.5 modelli Zero-Pole-Gai (ZPK) Si tratta della forma fattorizzata della fuzioe di trasferimeto G () s Nell esempio preso i esame si ha G () s = k =.5 ( s z )( s z )...( ( s p )( s p )...( s zm s p ) ) ( s i)( s i) Rappresetazioe dei sistemi LTI i Matlab La versioe 5.3 di Matlab cosete di rappresetare u sistema LTI come u oggetto uico, a partire da ua delle rappresetazioi precedetemete descritte. Di seguito si farà sempre riferimeto all esempio fiora utilizzato. modelli State-Space (SS) iazitutto vao defiite i Matlab le quattro matrici A, B, C e D >> w =.5; >> csi = 0.; >> A = [0 ; -w^ *csi*w]; >> B = [0; w^]; >> C = [ 0]; >> D = 0; (w e csi soo la pulsazioe aturale ω ed il rapporto di smorzameto ξ rispettivamete) successivamete si utilizza il commado ss >> sys_ss = ss(a,b,c,d); modelli Trasfer Fuctio (TF) si defiiscoo i due poliomi NUM(s) e DEN(s) >> NUM =.5; >> DEN = [ 0.6.5]; e si utilizza il comado tf >> sys_tf = tf(num,den);

4 modelli Zero-Pole-Gai (ZPK) si defiiscoo il guadago k ed i vettori degli zeri e dei poli, z e p rispettivamete >> k =.5; >> z = []; >> p = [ i; i]; i questo caso il comado da utilizzare è zpk >> sys_zpk = zpk(z,p,k); Coversioi fra modelli Le fuzioi fiora presetate (ss, tf, zpk) soo ache i grado di operare ua coversioe tra le diverse rappresetazioi dei modelli. Ad esempio, la sitassi seguete cosete di otteere ua rappresetazioe tramite fuzioe di trasferimeto di u modello state-space: >> sys_tf = tf(sys_ss); Le fuzioi ssdata, tfdata e zpkdata cosetoo ivece di estrarre da u modello LTI qualsiasi (sys) i dati caratteristici di ua particolare rappresetazioe >> [A,B,C,D] = ssdata(sys) >> [NUM,DEN] = tfdata(sys, v ) >> [Z,P,K] = zpkdata(sys, v ) dove il parametro v, da utilizzarsi el caso di sistemi SISO, specifica di restituire il risultato i forma vettoriale. Cosiderado sempre u sistema LTI (sys) defiito attraverso ua qualuque delle rappresetazioi possibili, la fuzioe pole e calcola i poli >> P = pole(sys) la fuzioe pzmap e traccia graficamete la mappa poli-zeri >> pzmap(sys) disega la mappa poli-zeri del sistema >> pzmap(sys,sys,...) disega sullo stesso grafico le mappe poli-zeri di più sistemi LTI permettedoe il cofroto >> [P,Z]=pzmap(sys) calcola i poli e gli zeri del sistema e li salva ei vettori P e Z rispettivamete metre la fuzioe dcgai e calcola il guadago statico >> dcgai(sys) 3

5 Aalisi dei sistemi LTI A partire dalla versioe 5.3, Matlab mette a disposizioe u potete strumeto per l aalisi dei sistemi LTI: ltiview. L iterfaccia grafica permette di selezioare diverse visualizzazioi (risposta a scalio, risposta ad impulso, diagrammi di Bode e Nyquist, ecc ), a cui si accede tramite il meu tasto destro del mouse. Per aalisi più specifiche, è possibile utilizzare fuzioi dedicate, elecate di seguito (egli esempi si cosideri l oggetto sys come modello di u sistema LTI rappresetato i ua qualsiasi delle forme precedetemete descritte): step risposta a scalio >> step(sys) traccia la risposta a scalio del sistema >> step(sys,ted) traccia la risposta a scalio fio all istate di tempo fiale specificato (Ted) >> step(sys,t) traccia la risposta a scalio utilizzado il vettore degli istati di tempo specificato (t) >> step(sys,sys,,t) traccia le risposte a scalio di più sistemi mettedole a cofroto; il parametro t è opzioale >> Y=step(sys,t) >> [Y,t]=step(sys) calcola la risposta a scalio la salva el vettore Y; il vettore degli istati di tempo t può essere specificato come parametro o come output impulse risposta ad impulso >> impulse(sys) traccia la risposta ad impulso del sistema >> impulse(sys,ted) traccia la risposta ad impulso fio all istate di tempo fiale specificato (Ted) >> impulse(sys,t) traccia la risposta ad impulso utilizzado il vettore degli istati di tempo specificato (t) >> impulse(sys,sys,,t) traccia le risposte ad impulso di più sistemi mettedole a cofroto; il parametro t è opzioale >> Y=impulse(sys,t) >> [Y,t]=impulse(sys) calcola la risposta ad impulso la salva el vettore Y; il vettore degli istati di tempo t può essere specificato come parametro o come output iitial movimeto libero >> iitial(sys,x0) traccia l adameto del movimeto libero dello stato a partire dalla codizioe iiziale X0 >> iitial(sys,x0,ted) traccia l adameto del movimeto libero dello stato fio all istate di tempo fiale specificato (Ted) >> iitial(sys,x0,t) traccia l adameto del movimeto libero dello stato utilizzado il vettore degli istati di tempo specificato (t) >> impulse(sys,sys,,x0,t) traccia l adameto del movimeto libero dello 4

6 stato di più sistemi mettedole a cofroto; il parametro t è opzioale >> [Y,t,X]=impulse(sys,X0) calcola l adameto del movimeto libero dello stato e salva l uscita del sistema el vettore Y; il vettore degli istati di tempo i t; la traiettoria dello stato i X bode diagramma di Bode >> bode(sys) traccia il diagramma di Bode (margie e fase) del sistema >> bode(sys,{wmi,wmax}) traccia il diagramma di Bode del sistema ell itervallo di frequeze limitato dai valori wmi e wmax >> bode(sys,w) traccia il diagramma di Bode utilizzado il vettore delle frequeze specificato (w) >> bode(sys,sys,,w) traccia i diagrammi di Bode di più sistemi mettedoli a cofroto; il parametro w è opzioale >> [MAG,PHASE]=bode(sys,w) >> [MAG,PHASE,w]=bode(sys) calcola il diagramma di Bode e salva i MAG e PHASE i vettori dei guadagi e degli sfasameti della risposta i frequeza rispettivamete; il vettore delle frequeze w può essere specificato come argometo oppure richiesto come output margi margie di fase >> margi(sys) traccia il diagramma di Bode del sistema, idicado i margii di fase e di guadago co ua liea verticale >> [Gm,Pm,Wg,Wp]=margi(SYS) traccia il diagramma di Nyquist utilizzado il vettore delle frequeze specificato (w) yquist diagramma di Nyquist >> yquist(sys) traccia il diagramma di Nyquist del sistema >> yquist(sys,{wmi,wmax}) traccia il diagramma di Nyquist del sistema ell itervallo di frequeze limitato dai valori wmi e wmax >> yquist(sys,w) traccia il diagramma di Nyquist utilizzado il vettore delle frequeze specificato (w) >> yquist(sys,sys,,w) traccia i diagrammi di Nyquist di più sistemi mettedoli a cofroto; il parametro w è opzioale >> [RE,IM]=yquist(sys,w) >> [RE,IM,w]=yquist(sys) calcola il diagramma di Nyquist e salva i RE e IM i vettori della parte reale e della parte immagiaria della risposta i frequeza rispettivamete; il vettore delle frequeze w può essere specificato come argometo oppure richiesto come output 5

7 rlocus luogo delle radici >> rlocus(sys) traccia il diagramma di Nyquist del sistema >> rlocus(sys,k) traccia il diagramma di Nyquist utilizzado il vettore delle frequeze specificato (w) >> rlocus(sys,sys, ) traccia i diagrammi di Nyquist di più sistemi mettedoli a cofroto; il parametro w è opzioale >> R= rlocus(sys,k) >> [RE,IM,w]= rlocus(sys) calcola il diagramma di Nyquist e salva i RE e IM i vettori della parte reale e della parte immagiaria della risposta i frequeza rispettivamete; il vettore delle frequeze w può essere specificato come argometo oppure richiesto come output 6