EQUILIBRI E ISOCLINE. Definizione Un equilibrio è uno stato x tale che. Nei sistemi a tempo continuo x ( t) : x è equilibrio f ( x)

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1 EQUILIBRI E ISOCLINE Deiizioe U equilibrio è uo stato tale che implica t t. Nei sistemi a tempo cotiuo t t : è equilibrio Nei sistemi a tempo discreto t t : è equilibrio Nota Bee: [ ] è u sistema di equazioi elle icogite,,,. Esempio: sistemi del ordie Esempio: sistemi a tempo cotiuo del ordie isoclie,,,, Equilibri ei sistemi o lieari

2 MOLTEPLICITÀ DEGLI EQUILIBRI Il umero di equilibri di u sistema può essere essu equilibrio equilibrio uico iito > equilibri multipli o i u sistema lieare! umerabile o i u sistema lieare! o umerabile Esempio: crescita logistica: t biomassa all istate t r k equilibri: k capacità portate La biomassa t tede verso la capacità portate k. Equilibri ei sistemi o lieari

3 Equilibri ei sistemi o lieari 3 Esempio: modello preda-predatore: t biomassa delle prede t biomassa dei predatori b a e m m e b a k r b a k r >,,,,, Equilibri e isoclie si trovao poedo: b a e m b a k r

4 STABILITÀ Deiizioe U equilibrio è stabile localmete se per ogi ε > esiste δ > tale che < δ t < ε, t [Qualuque piccola perturbazioe dello stato o porta il sistema lotao dall equilibrio.] Deiizioe U equilibrio è asitoticamete stabile se è stabile e se t t [Qualuque piccola perturbazioe dello stato viee asitoticamete riassorbita.] Deiizioe U equilibrio è istabile se o è stabile. Deiizioe Dato u equilibrio asitoticamete stabile, l isieme { : t } B è detto bacio di attrazioe di. Deiizioe U equilibrio asitoticamete stabile è detto globalmete stabile se B R co l eccezioe al più di u isieme di misura ulla. Equilibri ei sistemi o lieari 4

5 STABILITÀ: ESEMPI Nota Bee: ei sistemi o lieari la stabilità è ua proprietà dell equilibrio e o del sistema: lo stesso sistema può possedere equilibri stabili e istabili. Esempio: crescita logistica è istabile. k è asitoticamete stabile. B k R Esempio: modello preda-predatore 3 equilibri istabili. Esempio: circuito elettrico Esempio: competizioe ra batteri r k r k a a 4 equilibri: asitoticamete stabili istabili Equilibri ei sistemi o lieari 5

6 Il metodo della liearizzazioe IL SISTEMA LINEARIZZATO E LA MATRICE JACOBIANA Cosideriamo t t e u suo equilibrio. t t t è goverato dall equazioe di stato t O t t O t t t t t Deiiamo sistema liearizzato ell itoro di il sistema lieare che si ottiee trocado lo sviluppo di Taylor al primo ordie: t J t dove J è la matrice Jacobiaa J

7 VARIETÀ STABILE, INSTABILE, CENTRO Se J possiede autovalori co Re λ < autovalori co Re λ > autovalori co Re λ allora ell itoro di esistoo s W varietà stabile dim W s u W varietà istabile dim W u W varietà cetro dim W tali che s,u, soo ivariati W implica s,u, t W t soo tageti i alle corrispodeti varietà del sistema liearizzato la diamica su s W e su u W è equivalete a quella del sistema liearizzato la diamica su W dipede ivece dai termii di ordie superiore al primo dello sviluppo di Taylor O t o può essere studiata per mezzo del sistema liearizzato Nota Bee: el caso di sistema a tempo discreto tt, il sistema liearizzato ell itoro di u equilibrio si deiisce i modo del tutto aalogo. Le varietà stabile, istabile, cetro, soo associate rispettivamete agli autovalori co λ <, λ >, λ. Il metodo della liearizzazioe

8 ESEMPI autovalori di J J Il metodo della liearizzazioe 3

9 LINEARIZZAZIONE E STABILITÀ Le proprietà relative a s W, u W, W implicao i risultati segueti. Teorema J asitoticamete stabile asitoticamete stabile J asitoticamete stabile sigiica che J ha tutti gli autovalori strettamete stabili Re λ i < o λ i. i < Teorema J espoezialmete istabile istabile J espoezialmete istabile sigiica che J ha almeo u autovalore strettamete istabile i tale che Re λ i > o λ. Esempio: crescita logistica: i > r J r k k equilibri:, k, J r, Jk r, istabile asitoticamete stabile Nota Bee: se J è semplicemete stabile o debolmete o espoezialmete istabile o si può dedurre ulla a proposito della stabilità di. Esempio: sistemi quadratici e cubici:,, J, J???,, J, J??? 3,, 3,, J 3, J??? J 3, J??? Il metodo della liearizzazioe 4

10 ESEMPI autovalori di J J ASINTOTICAMENTE STABILE ASINTOTICAMENTE STABILE espoezialmete SEMPLICEMENTE STABILE radici SEMPLICI del poliomio miimo INSTABILE debolmete almeo uo è radice MULTIPLA del poliomio miimo INSTABILE ortemete INSTABILE espoezialmete Il metodo della liearizzazioe 5