Studio della prontezza di un sistema del primo e del secondo ordine ordine

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1 Istituto Tecico Idustriale M. Paetti BARI Tesia sviluppata dall aluo Zito Fabio della classe 5 ETB. Esami di Stato 003 Docete Prof. Ettore Paella Studio della protezza di u sistema del primo e del secodo ordie ordie Sistema del primo ordie. Determiare: le fuzioi di trasferimeto delle reti RC e CR il tempo di salita (t r) il tempo di discesa (t f) il tempo di assestameto (t a) la costate di tempo τ Utilizzare: Pspice Excel VBasic 6 Matlab Simulik Ssi riporta lo schema circuitale realizzato i ambiete SCHEMATICS di PSpice delle reti e la successiva aalisi el domiio di LAPLACE. Va premesso che i tale domiio le resisteze rimagoo ivariate, metre i codesatori soo sostituiti da sc. E Vo E Vo RETE CR Vi( R Vo( Vo ( G( Vi( R + sc RETE RC R src + sc src src + RC s RC ( s + ) RC s s Vi( Vo ( sc R + sc Vo( G( Vi( sc src + sc src + RC s + RC 000 s + 000

2 Aalisi i ambiete PSPICE L aalisi delle due reti è stata effettuata utilizzado il software applicativo PSPICE, che ha cosetito di simulare il fuzioameto e di aalizzare la risposta al gradio (studio della protezza)..come prima operazioe si soo disegati gli schemi circuitali i ambiete SCHEMATICS..Successivamete si soo impostati i parametri della simulazioe Si oti che all itero della fiestra trasiet viee defiito l itervallo di tempo preso i cosiderazioe. E molto importate attivare la casella i quato cosetirà di visualizzare sul grafico l adameto di V o durate il trasitorio 3.Mediate il tasto F o il percorso ANALYSIS-SIMULATE il programma va i simulazioe e l applicativo ci forisce il grafico che cosete di visualizzare l adameto della tesioe di uscita V o el tempo.

3 RISPOSTA AL GRADINO DI UN CIRCUITO RC Aalisi grafica Nell istate t0 i cui applichiamo alla rete il gradio il circuito RC è sottoposto alla d.d.p E e per la legge di Kirchhoff deve essere istate per istate E vr ( t) + vc ( t). Dato che il codesatore o può caricarsi istataeamete, ell istate t0 v c è acora ulla. Pertato EV RRi (0). La E correte è massima e vale i( 0) I M. Tale correte fluisce el circuito co verso cocorde a R quello della f.e.m. E caricado il codesatore. La tesioe v C cresce e di cosegueza la correte E vc ( t) circolate el circuito dimiuisce essedo, i ogi istate i( t). Quado il C è R completamete carico V ce e la correte el circuito è ulla. Le equazioi che goverao la carica di u codesatore per il circuito RC, soo : v C ( t) E t / RC ( e ) E t / RC i( t) e R La rapidità co cui il codesatore si carica dipede dal prodotto RC. Tale quatità è deomiata costate di tempo τ e si misura i secodi. 3 Cosiderado i valori precedetemete foriti relativi a R e C si ottiee τ R C s. La costate τ è defiita come il tempo ecessario affiché la tesioe di uscita si porti al 63% del valore fiale E. 3

4 Lo stesso software applicativo grazie alla fuzioalità PROBE CURSOR ha cosetito di ricavare direttamete dal grafico il valore di τ. Ifatti mediate questo cursore ci si è posizioati sul puto della curva dove V o630mv (63% di E ) riscotrado u valore del tempo che coicide co il valore di τ calcolato precedetemete. Dopo u tempo t a 4 τ la tesioe ai capi del codesatore differisce dal valore fiale E per meo del % e pertato il codesatore si può riteere completamete carico. t a è detto tempo di assestameto è rappreseta il tempo che impiega il segale a portarsi al 98% del valore fiale. Nel ostro caso t a ms. Ciò è possibile verificarlo, acora ua volta, grazie al PROBE CURSOR posizioadoci sul puto della curva dove V o980mv (98% di E). Si defiisce tempo di salita t r (rise time) il tempo ecessario affiché la tesioe di uscita 3 passi dal 0% al 90% del valore fiale. t r.τ. 0 s. Sempre i ambiete PROBE grazie alla fuzioe GOAL FUNCTION VALUE è stato possibile verificare l esattezza del valore teorico. RISPOSTA AL GRADINO DI UN CIRCUITO CR 4

5 Aalisi grafica Nell istate t0 i cui viee applicato il gradio dato che il codesatore o può caricarsi istataeamete risulta E i( 0) I M ; vc (0) 0; vr (0) E. R Il codesatore comicia a caricarsi quidi v C(t) cresce e di cosegueza si ha ua dimiuzioe sia della correte che della d.d.p. ai capi della resisteza. La correte i(t) e la tesioe v R(t) soo goverate dalle segueti relazioi: v R i( t) ( t) v O E R e t / RC ( t) E e t / RC La costate di tempo τ RC caratterizza l adameto espoeziale della curva sopra riportata. I questo caso la costate di tempo rappreseta il tempo ecessario affiché la tesioe di uscita v O subisca ua variazioe del 63% rispetto al valore massimo E portadosi quidi al valore di 0.37E. Mediate PROBE CURSOR ci si è posizioati sul puto della curva dove V o370mv (37% di E 3 che è uguale a ) riscotrado u valore del tempo che coicide co τ R C s. Il tempo di assestameto vale acora t a ms. Ciò è possibile verificarlo posizioadoci col 4 PROBE CURSOR sul puto della curva dove V o8mv i quato E e 0.08 E. v O Si defiisce tempo di discesa t f (fall time) il tempo ecessario affiché la tesioe di 3 uscita passi dal 90% al 0% del valore fiale. t f.τ. 0 s. Grazie alla fuzioe GOAL FUNCTION VALUE è stato possibile verificare l esattezza del valore teorico. BLOCCO LAPLACE Tra i vari compoeti dispoibili ella libreria di PSPICE compare ache il blocco di Laplace. Iseredo al suo itero la fuzioe di trasferimeto della rete i esame è possibile, sempre 5

6 mediate la stessa procedura, aalizzare l adameto del segale d uscita sia di ua rete CR che di ua rete RC. Si oti l utilizzo della G( precedetemete ricavata EXCEL L aalisi delle due reti è stata effettuata ache utilizzado il software applicativo Excel. Si riporta il foglio grafico. $B$9*(-EXP(-D4/$B$)) $B$9*EXP(-D4/$B$) $B$3*$B$6 0*$B$/5 6

7 All itero delle caselle B3, B6 e B9 soo riportati i valori, rispettivamete, di R, C e l ampiezza del gradio. Il valore della costate di tempo τ è presete ella casella B. Essa è data dal prodotto RC. All itero della casella B4 è stato defiito il valore dello step (passo0,000). La coloa D cotiee i vari valori assuti dalla variabile idipedete t (si è teuto coto del passo precedetemete stabilito), che verrao successivamete riportati sull asse delle x. Nelle coloe E e F soo riportati i vari valori assuti dalla tesioe di uscita Vo, rispettivamete relativi al t / RC v ( t) E e e circuito RC e CR. Tali valori soo otteuti sfruttado le formule ( ) v ( t) O t / RC E e precedetemete ricavate. Mediate il comado autocomposizioe grafico si è otteuto: C Risposta al gradio RC Vo(V),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 0 0,0005 0,00 0,005 0,00 0,005 0,003 τ t r t( ta Risposta al gradio CR Vo(V),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 0 0,0005 0,00 0,005 0,00 0,005 0,003 τ t f t( ta I due grafici otteuti i ambiete EXCEL ci foriscoo u ulteriore coferma riguardo l esattezza dei valori teorici, precedetemete calcolati, relativi al tempo di salita (t r), al tempo di discesa (t f), al tempo di assestameto (t a) e alla costate di tempo τ. 7

8 MATLAB Lo studio della rete è stato effettuato ache co il software applicativo MATLAB. Mediate la scrittura di semplici righe di comado, il software ci ha forito i due grafici relativi alla risposta al gradio delle reti RC-CR. fdt RC Il seguete comado ha cosetito l iserimeto della G( Il Il seguete comado ha ha cosetito di di otteere i due il grafico grafici sottostate fdt CR RISPOSTA AL GRADINO RC τ t f ta 8

9 RISPOSTA AL GRADINO CR τ t f ta I due grafici otteuti i ambiete MATLAB ci foriscoo u ulteriore coferma riguardo l esattezza dei valori teorici, precedetemete calcolati, relativi al tempo di salita (t r), al tempo di discesa (t f), al tempo di assestameto (t a) e alla costate di tempo τ. SIMULINK All itero di MATLAB è dispoibile l ambiete di lavoro Simulik, adibito prettamete alle simulazioi di reti elettriche. Si riporta lo schema per la simulazioe. Si oti che le uscite delle due reti i esame soo iviate i u multiplexer, la cui uscita comada u oscilloscopio virtuale. Sull oscilloscopio soo visibili, duque, etrambe le curve che, come detto, 9

10 costituiscoo l adameto delle tesioi di uscita delle reti RC-CR a cui viee applicato i igresso u gradio. VISUAL BASIC Si riporta il programma applicativo ierete l esercitazioe. Mediate la stesura dei segueti codici relativi al circuito RC-CR Private Sub Commad_Click() tmi 0 tmax 0 Vbb Val(Text3.Text) tau Val(Text4.Text) t0 V0 Picture.Cls Picture.Scale (0, 0)-(0, 0) Picture.Lie (0, V0)-(0, V0) Picture.Lie (t0, 0)-(t0, 0) I valori di τ e Vbb vegoo foriti dalle due text t Picture.Lie (t0, Vbb + V0)-(0, Vbb + V0) V For t Val(tmi) To Val(tmax) Step 0.0 V Vbb * ( - Exp(-t / tau)) Picture.PSet (t + t0, V + V0), RGB(55, 0, 0) Next Ed Sub Private Sub Form_Load() Text3.Text 5 Text4.Text 4 Ed Sub Private Sub Commad_Click() tmi 0 tmax 0 Vbb Val(Text3.Text) Taratura asse t(x) e V(y) tau Val(Text4.Text) t0 V0 Picture.Cls Picture.Scale (0, 0)-(0, 0) Picture.Lie (0, V0)-(0, V0) Picture.Lie (t0, 0)-(t0, 0) Picture.Lie (t0, Vbb + V0)-(0, Vbb + V0) For t Val(tmi) To Val(tmax) Step 0.0 V Vbb * Exp(-t / tau) Picture.PSet (t + t0, V + V0), RGB(55, 0, 0) Next Ed Sub Private Sub Form_Load() Ed Text3.Text 5 Text4.Text 4 t V 0

11 Nel programma soo state evideziate le espressioi di V o relative al circuito RC e CR. Si soo otteuti i segueti applicativi che cosetoo di tracciare più grafici variado di volta i volta il valore della τ e della tesioe V bb. No è cosetito variare ivece i valori del tempo (miimo e massimo) a meo di o iterveire sul codice. Il grafico è\ disegato per puti utilizzado il metodo RGB. Si oti che le sopra riportate fiestre soo state realizzate utilizzado le proprietà dell ambiete FORM tramite il quale si è curato l aspetto grafico dei programmi (realizzazioe dei commad- Butto, label, text e picture box). Ad esempio, tale fiestra, cosete di variare i caratteri grafici i questo caso relativi il commad-butto.

12 ESPERIENZA PRATICA L esperieza cosiste el realizzare le due reti circuitali prese i esame, e visualizzare l adameto della tesioe V o mediate l utilizzo di u oscilloscopio. E Vo E Vo Sull oscilloscopio è stato possibile verificare, acora ua volta, l esattezza dei valori teorici.

13 RETE RLC Scopo dell esercitazioe è quello di aalizzare la protezza di u sistema del secodo ordie R-L-C e la risposta i frequeza delle reti RLC-RCL-LCR dal puto di vista teorico, pratico e mediate la simulazioe al PC. STUDIO DELLA PRONTEZZA RETE RLC Si riporta lo schema circuitale relativo alla rete RLC Aalisi circuitale Fig. Il circuito i esame costituisce u circuito risoate serie ed è alla base della realizzazioe dei filtri passa-bada ed aulli-bada. Il segale d uscita è prelevato sulla capacità C, metre la resisteza R, che prede il ome di resisteza critica, costituisce la resisteza di perdita della bobia L. Si è deciso di applicare i igresso u gradio d ampiezza massima pari ad V che istataeamete si porta al suo valore massimo. Studio della rete el domiio di Laplace Si cosidera il circuito di parteza e lo si trasforma el domiio di Laplace, facedo rimaere ivariate la resisteza e tramutado l iduttaza e la capacità rispettivamete i sl e /sc. Circuito el domiio di Laplace Dato che il segale d uscita è prelevato sulla capacità si applica la legge del partitore, teedo coto che si è applicato i igresso u gradio uitario pari a /s el domiio di Laplace. Vo( Vi( G( sc. Si ricava dopo alcui passaggi: s sl + R + sc 3

14 Vo( s s LC R + s + L LC. Tale relazioe mostra che il circuito è del secodo ordie e geeralmete si esprime ella forma Vo(. Da ciò deriva che: s( s + sξ + ). la pulsazioe aturale 0 5 rad / sec e la f 5. 9kHz ; LC π LC R C R 3. lo smorzameto (rapidità co cui si esaurisce u feomeo) ξ 0. L Se si cosidera la fuzioe di trasferimeto G(, essa preseta il seguete deomiatore s + sξ + co due poli (radici del deomiatore) idividuati dall espressioe p / ( ξ ± ξ ). A tal puto si presetao tre casi distiti prettamete legati al valore dello smorzameto ξ che può essere maggiore, miore o uguale a. I grafici che seguirao soo stati otteuti mediate la simulazioe della rete mediate il software applicativo PSpice. Si oti che la R è stata resa parametrica (può assumere i tre differeti valori di 500-k-5k) 4

15 Si soo impostati i parametri della simulazioe. Si oti che all itero della fiestra trasiet viee defiito l itervallo di tempo preso i cosiderazioe. E molto importate attivare la casella i quato cosetirà di visualizzare sul grafico l adameto di V o durate il trasitorio All itero della fiestra parametric si è stabilito che la resisteza R assumesse tre differeti valori che soo riportati ella casella evideziata ξ I questo particolare caso i poli della fuzioe di trasferimeto G( risultao essere reali e coicideti e valgoo p p -. E da otare che tal caso si ha solo ella circostaza i cui 3 R C R attribuiamo alla resisteza critica R il valore di KΩ ( ξ 0 0. L A B C L equazioe del segale d uscita diviee pertato Vo( + +. s s + s s + s + Applicado il metodo dei residui si ottiee A, B - e C -A -. Si ottiee così l espressioe fiale s ( s + ) s + t t el domiio del tempo v o(t) te e. ( ) ( ) ( ). Atitrasformado si ottiee la risposta 5

16 La risposta al gradio della rete i esame attribuedo il valore di kω alla resisteza R è la seguete: Si oti che la risposta è espoeziale pura seza alcua sovraoscillazioe (overshoot). ξ> I questo caso i poli della fuzioe di trasferimeto G( risultao essere reali e distiti e valgoo: p ( ξ + ξ ); p ( ξ - ξ ) L equazioe del segale d uscita Vo( vale A B C + +. s( s p)( s p ) s ( s p) ( s p ) Atitrasformado tale espressioe si ottiee v o(t) p t A + Be p t + Ce. Applicado il metodo dei residui si determiao i valori di A, B, C. A ; B p p p ( p p ) ; C p ( p p ). Sostituedo tali valori ella formula precedete si ottiee l espressioe fiale v o(t) p p ( p p e p ) pt + ( p p e p ) La risposta al gradio della rete i esame attribuedo il valore di 5kΩ alla resisteza R è la seguete: pt. Si oti che la risposta è espoeziale pura seza alcua sovraoscillazioe (overshoot). 6

17 ξ< Nel caso i cui lo smorzameto valga meo della quatità, i poli della G( risultao essere complessi e coiugati a parte reale egativa e valgoo: Dove la quatità a ξ p ξ ξ a ± / ± j j costituisce la costate di tempo τ, metre d d è detta pulsazioe aturale smorzata. La risposta di u sistema del secodo ordie co poli complessi coiugati vale duque: ξ t u( t) e se( ξ t + ϕ ξ Il software applicativo MICROSIM ha cosetito la simulazioe del circuito di fig. attribuedo il valore di 500Ω alla resisteza R.. Si deduce che per poli complessi la risposta è oscillatoria 7

18 Vao defiiti i segueti parametri caratteristici della curva:. tempo di massima elogazioe T M. E il tempo ecessario affiché l uscita raggiuga il puto di massima sovraoscillazioe (overshoot). Si determia poedo pari a 0 la derivata prima della fuzioe u(t) precedetemete calcolata. π π T M ξ d. tempo di ritardo T d. E il tempo ecessario affiché l uscita raggiuga il 50 % del valore di regime. 3. costate di tempo τ. Precedetemete calcolata, e pari a, è defiita come il tempo ξ ξ ecessario affiché l espoeziale decrescete della u(t) diveti e e. 4. tempo di assestameto T a. E il tempo ecessario affiché l uscita differisca dal valore di regime di o più del %. 5. tempo di salita T s. E il tempo ecessario affiché l uscita passi dal 0% al 90% del valore di regime. FILTRI RLC-RCL-LCR t Soo filtri del secodo ordie i quato caratterizzati dall avere, al deomiatore della f.d.t., ua fuzioe di secodo grado D( che geeralmete viee espressa ella forma: D( s + sξ + o ella forma equivalete: D( s + s + dove si è posto Q Q ξ La pulsazioe è quella di taglio che caratterizza i filtri passa-basso o passa-alto ovvero la pulsazioe di cetro-bada per i filtri passa bada e aulli-bada. Lo smorzameto ξ caratterizza la risposta i frequeza. Come si è già visto per ξ i poli soo coicideti, per ξ > soo reali distiti e egativi e per ξ < complessi coiugati a parte reale egativa. FILTRO PASSA-BASSO DEL SECONDO ORDINE (RLC) Uscita su C. La f.d.t G(, come già visto, assume la forma: G( s + sξ + ( ) La G( preseta così due poli e per sj il modulo e la fase valgoo rispettivamete: G( j) ( ) + (ξ ) 8

19 ξ ϕ arctg Utilizzado PSpice, si è potuto otteere il diagramma di Bode (risposta i frequeza del modulo per tre differeti valori dello smorzameto) della rete i esame. Ciò cosete di visualizzare l adameto dell espressioe matematica sopra riportata. Si oti l utilizzo del marker vdb che cosete di otteere u grafico i cui l asse delle ordiate è tarato i db Si soo impostati i parametri della simulazioe All itero della fiestra AC sweep soo stati tarati l asse delle ascisse e quello delle ordiate secodo ua scala logaritmica. 9

20 ξ < ξ > ξ f Si oti che il valore di f coicide co quello calcolato precedetemete a livello teorico. Alla f, che costituisce la frequeza di taglio, corrispode ua pulsazioe 0 5 rad / sec LC Per valori << si ha G ( j) K (zoa piatta ad amplificazioe costate), metre per > si K ha G( j) che corrispode, el grafico, ad ua pedeza di 40db/dec. Si oti che quado lo smorzameto è miore di viee geerato u picco di risoaza. FILTRO PASSA-ALTO DEL SECONDO ORDINE (RCL). Uscita su L. La f.d.t. assume la forma: Ks G( s + sξ + ( ) La G( preseta, per ξ < due poli complessi coiugati e due zeri ell origie. I regime siusoidale il modulo e la fase valgoo: K G( j) ( ) + (ξ ) ξ ϕ arctg. La risposta i frequeza della rete è stata otteuta co l applicativo PSpice. Si è disegata la rete i ambiete Schematics e si soo impostati i parametri della simulazioe. 0

21 Si riporta la risposta i frequeza. ξ < ξ > ξ f Si oti che il valore di f coicide co quello calcolato precedetemete a livello teorico. Alla f, che costituisce la frequeza di taglio, corrispode ua pulsazioe 0 5 rad / sec LC Per valori >> si ha G ( j) K (zoa piatta ad amplificazioe costate), metre per K << si ha ( j) G che corrispode, el grafico, ad ua pedeza di +40db/dec.

22 Va sottolieato che alla f viee associata la pulsazioe di taglio 05 rad / sec che, sia per il passa alto che per il passa basso, è defiita come quella pulsazioe che produce u atteuazioe di (-3db) rispetto al valore massimo del modulo G ( j). Ache i questo caso la risposta i frequeza per ξ < preseta u picco di risoaza. FILTRO PASSA-BANDA DEL SECONDO ORDINE (RLC). Uscita su R. Nell aalisi dei filtri attivi passa-bada la f.d.t. si esprime i fuzioe del fattore di merito Q/ξ piuttosto che i fuzioe dello smorzameto e ciò per poter esprimere l aalogia di questi filtri co quelli passivi passa-bada realizzati co circuiti risoati RLC. Nei circuiti risoati il fattore di merito Q caratterizza la larghezza della bada passate B defiita come Bf s-f i dove f s ed f i soo, rispettivamete, la frequeza di taglio superiore e iferiore del filtro. Si dimostra, ioltre, che L Bf o/q dove f o è la frequeza di cetro bada del filtro e Q. Elevati valori di Q cosetoo Rs di otteere filtri a bada stretta ovvero filtri ad elevata selettività. La f.d.t. di u filtro passa-bada assume la forma: Ks Q G( s + s + Q La G( preseta, per Q>/ due poli complessi coiugati e uo zero ell origie. I regime siusoidale il modulo e la fase valgoo: K Q G( j) ( ) + ( ) Q ϕ 90 arctg. Q( ) La risposta i frequeza della rete è stata otteuta co l applicativo PSpice. Si è disegata la rete sotto riportata i ambiete Schematics e si soo impostati i parametri della simulazioe.

23 Si riporta la risposta i frequeza. Q < / Q > / Q / f o Dal grafico si deduce che il modulo della f.d.t preseta u massimo alla pulsazioe di cetro bada che vale K. Si hao ioltre due frequeze di taglio f s ed f i, rispettivamete, la frequeza di taglio superiore e iferiore del filtro. Soo du particolari valori di f alle quali il modulo della f.d.t. si riduce di rispetto al valore massimo di cetro bada. ESPERIENZA CON MATLAB Attraverso il software applicativo Matlab è stato possibile otteere gli stessi risultati derivati dalla simulazioe delle tre differeti reti co Pspice. I particolari si soo calcolati aaliticamete i vari umeratori e deomiatori delle tre differeti f.d.t per i 3 valori prefissati di R. RLC-FILTRO PASSA-BASSO G( co Rc50000 G( co Rc000 G( co Rc5000 um di G( deom di G( Il comado ltiview ha cosetito di aprire l ambiete LTI Viewer utile per otteere diversi diagrammi e grafici iereti le tre f.d.t. Nel ostro caso si è aalizzato, e cofrotato co quello otteuto precedetemete, il diagramma di Bode (risposta i frequeza). 3

24 RCL-FILTRO PASSA ALTO G( co Rc50000 G( co Rc000 G( co Rc5000 4

25 LCR-FILTRO PASSA BANDA G( co Rc50000 G( co Rc000 G( co Rc5000 ESPERIENZA PRATICA I laboratorio è stato possibile effettuare u ulteriore studio, a livello pratico si itede, della protezza delle rete RLC sempre attribuedo ad R i tre valori ohmici fissati i precedeza. Si riporta la rete i esame realizzata su bread-board. Vo oscilloscopio 5

26 La visualizzazioe del segale di uscita è stata possibile grazie all utilizzo dell oscilloscopio. Regolazioe scala delle tesioi Regolazioe scala dei tempi Schermo Sode Si riportao le tre visualizzazioi del segale di uscita per R500,000,5000 Tempo di salita 6

27 Tempo di salita overshoot Tempo di salita 7