VIBRAZIONI DEI SISTEMI LINEARI AD UN GRADO DI LIBERTÀ

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1 7 VIBRAZIONI DEI SISTEMI LINEARI AD UN GRADO DI LIBERTÀ Nei modelli di macchie usati ei precedeti capitoli si è fatta sempre l'ipotesi che i corpi fossero solidi e rigidi o liquidi e icomprimibili. Per cosegueza l'eergia itera di u sistema meccaico era defiita solo dal cotributo di eergia cietica di traslazioe: Eci mv o di rotazioe Eci J (avedo escluso sigificative variazioi di temperatura). Nelle macchie reali questo o è vero: può essere ua ragioevole approssimazioe della realtà, ma spesso i modelli rigidi o corrispodoo al fuzioameto osservato di u sistema. Per esempio ua macchia che utilizza aria compressa (per es. el peumatico di u'automobile o i compoeti di azioameto peumatici) è sottoposta a variazioi di volume che o soo corrispodeti al modello co fluido icomprimibile. Ifatti quado u fluido si comprime o u corpo si deforma si verifica u ulteriore accumulo di eergia (detta eergia poteziale di deformazioe) che o può essere trascurato. Per otteere modelli che tegao coto della deformazioe dei corpi, ma o siao troppo difficili da trattare matematicamete, si cosiderao modelli a parametri cocetrati (descritti da equazioi differeziali ordiarie, ovvero o alle derivate parziali), lieari (equazioi lieari), tempo ivariati (equazioi a coefficieti costati). Queste ipotesi soo realistiche per alcui tipi di sistemi reali, ma largamete approssimative per altri. Ifatti: I essu sistema reale i parametri soo cocetrati. I particolare i ua macchia tutti i corpi soo deformabili e hao massa; tuttavia i molte macchie si possoo ricooscere parti molto più deformabili di altre (per esempio i peumatici e le sospesioi di u veicolo) e parti molto meo deformabili (per esempio il telaio del veicolo); per coverso, le sospesioi hao massa decisamete meo elevata di quella del complesso formato dal telaio, dalla carrozzeria, dal motore, dalla trasmissioe, etc. Si può allora cosiderare u modello formato da parti i cui è cocetrata la deformabilità delle quali è trascurata la massa e parti i cui è cocetrata la massa e trascurata la deformabilità. Nessu sistema reale è lieare, tuttavia i molti casi il comportameto, almeo el campo di fuzioameto previsto, può essere be approssimato co u modello lieare. I altri casi, ache i preseza di forti o liearità il sistema preseta "piccoli" movimeti attoro a stati di equilibrio ed è acora possibile cosiderare modelli lieari. I tutti i sistemi reali i parametri variao el tempo: per esempio la temperatura varia per effetto della produzioe di calore dovuta agli attriti e a sua volta la temperatura fa variare le forze di attrito; la massa dei corpi dimiuisce el tempo perché i corpi si usurao, etc. Tuttavia molti feomei a cui è dovuta la variazioe dei parametri soo estremamete leti (ad esempio l'usura), il loro effetto è trascurabile su itervalli di tempo ragioevoli e i parametri possoo essere cosiderati costati. Per i modelli di sistemi cosiderati el seguito si determiao le equazioi di moto e se e studia il movimeto (itegrado le equazioi rispetto al tempo) ei casi segueti: sistema libero, seza forze attive estere ageti su di esso; sistema forzato da forze attive estere. Vegoo cosiderate forzati siusoidali i quato ua geerica fuzioe periodica può essere espressa come somma di siusoidi co opportue ampiezze e fasi (sviluppo i serie di Fourier); l'effetto di ua sigola siusoide può essere valutato e i vari effetti sommati (dato che il sistema è lieare) otteedo il comportameto del sistema forzato da forzate geerica. Vegoo esamiati i dettaglio sistemi traslati i ua direzioe assegata e si mostra poi come i risultati possao essere applicati a sistemi rotati. Si riportao alcui termii utili ello studio delle vibrazioi. U moto armoico è u movimeto descritto dall'espressioe siusoidale 9

2 A si t + B cos t ovvero dalla sua equivalete X si ( t + ) elle quali la gradezza (rad/s) è detta pulsazioe ; la gradezza f = / (Hz) è detta frequeza; la gradezza T = /f (s) è detta periodo; la gradezza X è detta ampiezza; la gradezza (rad) è detta fase. Fra le costati che compaioo elle espressioi precedeti valgoo le relazioi A = X cos, B = X si, X A B, = ata (B/A) (7.) Il valore quadratico medio (root mea square, RMS) di ua siusoide di ampiezza X è FRMS X La Fig. 7. mostra tre fuzioi siusoidali X (si t + ) co uguali pulsazioi ( = rad/s) e fasi ( = rad), ma co tre differeti ampiezze (X=,.5, ). La Fig. 7. mostra tre fuzioi siusoidali co uguali pulsazioi ( = rad/s) e ampiezze (X=), ma co differeti fasi ( =,,.57). La Fig. 7.3 mostra tre fuzioi siusoidali co uguali ampiezze (X=) e fasi ( = rad), ma co differeti pulsazioi ( =,, 3). y,5,5 -,5 - -,5 -,57 3,4 4,7 6,8 t Fig. 7. Siusoidi co diverse ampiezze,5 y -,5 -,57 3,4 4,7 6,8 t Fig. 7. Siusoidi co diverse fasi 9

3 ,5 y -,5-7- Sistemi o smorzati 7-. VIBRAZIONI LIBERE,57 3,4 4,7 6,8 t Fig. 7.3 Siusoidi co diverse pulsazioi Uo schema di sistema co due accumuli di eergia (poteziale elastica e cietica) è riportato i Fig Fig. 7.4 Sistema lieare massa-molla. Lo scambio fra l'eergia cietica della massa e quella elastica della molla può provocare u movimeto detto vibrazioe meccaica. La maggior parte delle macchie e delle costruzioi meccaiche preseta vibrazioi di varia etità, talvolta tali da pregiudicare il fuzioameto della macchia e la stabilità della costruzioe. Il moto libero del sistema avviee i asseza di forze estere ad esso. L'equazioe di moto per il corpo mobile di massa m a cui e' collegata la molla viee dedotta proiettado l'equazioe cardiale F=ma ell'uica direzioe di movimeto (asse x) teedo coto, i ipotesi di liearità, che la forza di ua molla deformata della quatità x è proporzioale alla deformazioe e quidi è data da -kx, essedo k ua costate detta rigidezza della molla. Il sego egativo tiee coto del fatto che la forza della molla si oppoe sempre alla sua deformazioe. Pertato kx mx ovvero mx kx Si scrivere equivaletemete: x x (7.) avedo posto k (7.3) m L'itegrale geerale dell'equazioe differeziale è x A si t Bcos t che, i base alle (7.), può ache essere espresso ella forma x X si( t ) (7.4) 93

4 I valori della coppia di costati utilizzata i ua qualsiasi delle due ultime espressioi (A e B o X e ) soo determiati dalle codizioi iiziali: trattadosi di equazioe del secodo ordie soo richieste due codizioi iiziali defiite dai valori della posizioe e della velocità della massa ad u istate dato. Nel caso i cui si impoga che al tempo t= sia x o la posizioe della massa e v o la sua velocità, si ottiee l'espressioe della risposta aturale del sistema v x x cos t si t che è idetica alla (7.4) i cui si poga v x X x e ata v Le precedeti espressioi, mostrao che la risposta del sistema del secodo ordie seza smorzameto e' u movimeto siusoidale co pulsazioe detta pulsazioe aturale o pulsazioe propria (ovvero co frequeza aturale f = / e periodo aturale T = /f ); la pulsazioe aturale dipede solo dai parametri del sistema (k e m), metre l'ampiezza e la fase dipedoo dalle codizioi iiziali. Il movimeto permae el tempo data l'asseza di dissipazioi di eergia (attrito ullo). x (m) t (s) x (m) t (s) Fig. 7.5 Risposte libere di u sistema per due diverse codizioi iiziali La Fig. 7.5 riporta due esempi di risposta libera per u uico sistema avete = rad/s i corrispodeza di due diverse coppie di codizioi iiziali: ella prima si ha x =, v (la curva di risposta parte dall'origie co pedeza o ulla); ella secoda si ha x, v = (la curva di risposta parte da ua x diversa dall'origie co pedeza o ulla). 94

5 ESEMPIO Ua macchia ha ua massa m= kg ed è motata su ua fodazioe elastica costituita da 4 supporti i parallelo ciascuo dei quali ha rigidezza k =5 kn/m. Trovare la frequeza aturale e il periodo delle oscillazioi o smorzate della macchia. I quattro supporti equivalgoo ad u uica elasticità co costate k=4k = kn/m (vedi paragrafo 7-3.). La pulsazioe aturale è =(k/m).5 =7.7 rad/s. La frequeza aturale è f = / =.3 Hz. Il periodo aturale è T =/f =.89 s. ESEMPIO U carrello per autoveicoli ha massa a pieo carico m=55 kg. La sospesioe del carrello è realizzata co due molle a balestra, ciascua co rigidezza k =45 kn/m. I due peumatici hao ciascuo rigidezza k = 8 kn/m. Si vuol calcolare frequeza aturale del carrello. La rigidezza della molla equivalete ad u peumatico i serie co ua delle due sospesioi è (vedi paragrafo 7-3.) k * = /(/k + /k ) = 88 N/m Essedoci due di tali molle i parallelo, la rigidezza totale (sospesioi più peumatici) vale k = k * = 576 N/m La frequeza aturale del carrello è f = / =(k/m).5 / =.7 Hz. Il periodo di oscillazioe è T = /.7 =.85 s. 7-. VIBRAZIONI FORZATE Il moto forzato del sistema avviee i preseza di ua forza F(t), detta forzate, applicata dall'estero alla massa m. L'equazioe di moto per il corpo mobile di massa m a cui è collegata la molla, dedotta proiettado F=ma sull'asse x, è kx F(t) mx ovvero mx kx F(t) equazioe differeziale ordiaria del secodo ordie, lieare, a coefficieti costati, o omogeea. La soluzioe e' otteuta aggiugedo all'itegrale geerale dell'omogeea, ua soluzioe particolare x f. E' possibile trovare itegrali particolari per tutti i casi di forzati iteressati le applicazioi (per esempio forzati impulsive, a gradio, a rampa, etc.), ma per ua trattazioe elemetare è sufficiete cosiderare ua forza estera siusoidale, F(t) = F o si ( t), i cui F è l'ampiezza della forzate e la pulsazioe della forzate: i tal caso la soluzioe particolare e' siusoidale, x f = X f si( t + f) (7.5) co F / k per Xf f (7.6) per La Fig. 7.6 riporta gli adameti di x f (t) per 8 diversi valori della pulsazioe della forzate siusoidale: i parametri del sistema soo: k = N/m, m = 4 kg, per i quali la pulsazioe aturale è =5. La forzate siusoidale ha ampiezza F = N. Co ua bassa pulsazioe della forzate ( = i figura) l'ampiezza delle oscillazioi è quasi uguale a F /k= m; aumetado l'ampiezza delle oscillazioi aumeta fio ad u valore tedete ad ifiito quado la pulsazioe della forzate tede a quella aturale del sistema ( = ); per valori di maggiori di l'ampiezza delle oscillazioi dimiuisce e tede a zero per elevati valori della pulsazioe della forzate. Quado = si ha cotiua immissioe di eergia el sistema e le oscillazioi divetao ifiite: questa e' la codizioe di risoaza per u sistema o smorzato. Questa codizioe o è stata riportata i figura, ma soo stati riportati gli adameti della risposta per due valori "a cavallo" della risoaza ( =4.75 e =5.5) per i quali l'ampiezza delle oscillazioi è circa, cioè circa volte quella co pulsazioe della forzate =. 95

6 x (m) = t (s) x (m) = t (s) = 4 = 4.75 x (m) x (m) t (s) - 5 t (s) = 5.5 = 6 x (m) t (s) x (m) t (s) = = 5 y (m) y (m) t (s) - 5 t (s) Fig. 7.6 Risposta forzata (itegrale particolare), al variare della della forzate. Xf (m) 5 kxf/f rad/s Fig. 7.7 Risposta i frequeza dimesioale e adimesioale La Fig. 7.7 riporta a siistra u grafico, rappresetativo della (7.6), dell'adameto di X f i fuzioe di per u sistema co k=4 N/m, m= kg, =, F = N. I questo grafico la variabile i ascisse ha uità di misura i radiati al secodo, quella i ordiate ha uità di misura i metri. La (7.6) può 96

7 ache essere scritta come Xf F / k il cui grafico i fuzioe di è riportato i Fig. 7.7 a destra. I questo caso sia i ascisse sia i ordiate le variabili soo adimesioali. Etrambi i grafici i Fig. 7.7 rappresetao la risposta i frequeza del sistema del secodo ordie o smorzato. 7- Sistemi smorzati I questi sistemi soo acora preseti accumuli di eergia cietica (ella massa) e di eergia poteziale di deformazioe (ell'elemeto elastico), ma soo ache preseti dissipazioi di eergia cocetrate i u elemeto lieare detto smorzatore. Lo scambio fra l'eergia cietica della massa e quella elastica della molla può provocare u movimeto detto vibrazioe meccaica che può o meo prodursi effettivamete a secoda dell'etità dell'effetto dello smorzatore. (7.7) Fig. 7.8 Sistema lieare massa-molla-smorzatore Pur essedo u semplicissimo modello di sistema meccaico, cotiee tutti gli effetti eergetici meccaici rilevati: ierziali (massa), elastici (molla), di attrito (smorzatore) e può forire utili iformazioi ell'aalisi dei sistemi vibrati. Tutti i sistemi meccaici soo soggetti a dissipazioi di eergia dovute agli attriti e ad altre resisteze (per esempio la resisteza dell'aria); se o viee forita eergia dall'estero il movimeto vibratorio di estiguerà el tempo; la vibrazioe può ivece essere mateuta se ua forza estera forisce eergia pari a quella dissipata. 7-. VIBRAZIONI LIBERE L'equazioe di moto per il corpo mobile di massa m a cui soo collegati la molla e lo smorzatore è otteuta aggiugedo alla forza elastica della molla ua forza proporzioale alla velocità della massa; idicado co c la costate di proporzioalità detta costate di smorzameto si ottiee kx cx mx equazioe differeziale ordiaria del secodo ordie, lieare, a coefficieti costati, omogeea. Si usa scrivere l'equazioe ella forma equivalete: x z x x essedo z c /( km). Il valore del coefficiete c per il quale z= è detto smorzameto critico ed è dato da cc km. Lo studio dell equazioe di moto porta ai segueti risultati Se z< il sistema, tolto dalla posizioe di equilibrio vi ritora oscillado co ampiezza decrescete el tempo. Il sistema è detto sottosmorzato. Se z> il sistema, tolto dalla posizioe di equilibrio vi ritora seza oscillare. Il sistema è detto sovrasmorzato. 97

8 7-. VIBRAZIONI FORZATE Il moto forzato avviee i preseza di ua forza F(t), detta forzate; l'equazioe di moto è: kx cx F mx equazioe differeziale ordiaria del secodo ordie, lieare, a coefficieti costati, o omogeea. La soluzioe e' otteuta aggiugedo all'itegrale geerale dell'omogeea ua soluzioe particolare x f (t) dell'equazioe completa. Ricordado che l'itegrale geerale dell'omogeea ha adameto che tede a zero per tempo tedete ad ifiito, si può dire che l'itegrale particolare della completa descrive il movimeto della massa a regime. Quado la forza estera e' siusoidale, F(t) = F o si ( t) e l'equazioe di moto e' mx cx kx F si( t) (7.8) L'itegrale particolare dell'equazioe completa e' siusoidale x f = X f si( t + f) (7.9) co F / k z / X f z e a ta f / (7.) Come si vede, l'itegrale particolare, che descrive il movimeto della massa a regime, è siusoidale, ha pulsazioe uguale a quella della forzate, ha ampiezza e fase che dipedoo dalla pulsazioe della forzate ( ), dall'itesità della forza applicata (F o ) e dai parametri del sistema (k, c, m); o dipede dalle codizioi iiziali. Questa proprietà è comue ai sistemi lieari per ogi tipo di forzate e cosete di semplificare lo studio delle macchie, poiché spesso e' iteressate studiare il fuzioameto a regime e si può igorare l'effetto delle codizioi iiziali sul movimeto a regime. Come el caso o smorzato, la relazioe che forisce X f e' spesso scritta come rapporto fra e X f e F o /k (detto rapporto di amplificazioe o coefficiete di amplificazioe): X f F / k z (7.) Della (7.) si può disegare u grafico, per ogi valore di z, i fuzioe della variabile adimesioale / (Fig. 7.9). La relazioe (7.) e la sue rappresetazioe grafica costituiscoo la risposta i frequeza del sistema smorzato. Ovviamete per z= il grafico della (7.) coicide co quello della (7.7), co ampiezza ifiita i corrispodeza di ua forzate co pulsazioe pari a quella aturale del sistema. Per valori di z> il deomiatore della frazioe o si aulla mai (è la somma di due quadrati che o si aullao mai cotemporaeamete) e l'ampiezza delle oscillazioi si matiee limitata, ache se per piccoli z può comuque essere molto grade (e daeggiare o o essere accettabile per ua macchia reale). Il valore di per cui ad u dato z l'ampiezza di oscillazioe forzata è massima si chiama pulsazioe di risoaza ed e' dato dall'espressioe r ( z ) Per z</ (z<.77), la pulsazioe di risoaza e' u umero reale (esiste fisicamete), e quidi l'ampiezza di oscillazioe aumeta co fio al valore r e poi dimiuisce. Ivece per z>/ (z>.77) il valore della pulsazioe di risoaza è immagiario e o esiste quidi u massimo per l ampiezza di oscillazioe che decresce sempre all'aumetare di /. 98

9 kx/f z= z=.5 z=. 3 z=. z=.5 z=,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 / Fig. 7.9 Risposta i frequeza (z=,.5,.,.,.5, ) kx/f z= z=.5 z=. z=. z=.5 z=,,, Fig. 7. Grafico della risposta i frequeza i scala bilogaritmica (z=,.5,.,.,.5, ) E' possibile avere ache rappresetazioi i scala bilogaritmica della risposta i frequeza. La Fig. 7. e riporta u esempio. / 99

10 7-3 Applicazioi 7-3. REALIZZAZIONE E DISPOSIZIONE DI COMPONENTI ELASTICI I compoeti elastici il cui modello è stato determiato i base al parametro k (rigidezza) possoo ella pratica avere realizzazioi e disposizioi molto varie. Realizzazioi a trave iflessa U caso che si icotra di frequete è quello di u elemeto strutturale el quale ua delle dimesioi L (detta lughezza) è ettamete più grade delle altre due: questo elemeto è detto trave. La trave iflessa è caricata perpedicolarmete al suo asse co ua forza F e subisce ua deformazioe y i corrispodeza del puto di applicazioe della forza. La costate elastica della trave è k=f/y. I risultati segueti valgoo per ua trave uiforme, omogeea e a sezioe costate. Si cosiderao: E= modulo di elasticità logitudiale (di Youg) del materiale della trave (E= GPa per l acciaio), J= mometo quadratico equatoriale di area della sezioe trasversale 3EJ Trave icastrata ad u estremo, caricata all'altro: k 3 L 48EJ Trave appoggiata agli estremi, caricata al cetro: k 3 L L F 768EJ Trave icastrata ad u estremo e appoggiata all'altro, caricata al cetro: k 3 7L y 9EJ Trave icastrata agli estremi, caricata al cetro: k 3 L

11 Realizzazioe a trazioe La trave è sollecitata ad ua delle estremità da ua forza assiale F e subisce ua deformazioe y alla EA stessa estremità. Posto A= area della sezioe trasversale, la costate elastica è k=f/y: k L Realizzazioe a torsioe La trave è sollecitata da u mometo torcete M t ad ua delle estremità e subisce ua deformazioe di rotazioe alla stessa estremità. Posto J t = mometo quadratico polare di area della sezioe trasversale, G = E/(+ ) modulo di elasticità tageziale del materiale ( =.3 per l acciaio), la costate elastica è: GJ t k t =M t / = L Realizzazioe ad elica Le molle ad elica soo realizzate avvolgedo secodo u'elica di raggio R u filo di diametro d. L'elica è composta da u umero di spire. La rigidezza assiale della molla (ossia il rapporto fra 4 Gd ua forza applicata assialmete alla molla e la deformazioe assiale) è: k 3 64R Le disposizioi dei compoeti elastici, comuque realizzati, possoo essere: i serie, i parallelo, mista. Elasticità i parallelo Due (o più) elemeti elastici si dicoo i parallelo quado gli estremi soo collegati tutti i puti comui e subiscoo pertato gli stessi spostameti (Fig. 7.). Fig. 7. Elasticità i parallelo

12 E' possibile determiare la costate elastica di ua elasticità equivalete (el seso che forisce forza uguale a quella delle due elasticità date a parità di deformazioe) teedo coto che: le deformazioi delle molle date e soo uguali fra di loro e uguali a quella della molla equivalete e ; duque = = e ; la somma delle forze prodotte dalle molle date è pari alla forza della molla equivalete; duque F e = F + F ; valgoo al solito le relazioi lieari: F e = k e e ; F = k ; F = k ; Si ha pertato F e = k e e = k e + k e ; da cui si ottiee k e = k + k Nel caso di elasticità i parallelo la relazioe precedete si geeralizza a k k e i i Elasticità i serie Due (o più) elemeti elastici si dicoo i serie quado l'estremo di uo dei due elemeti è collegato ad u estremo dell'altro (Fig. 7.). Fig. 7. Elasticità i serie E' possibile determiare la costate elastica di ua elasticità equivalete (el seso che forisce forza uguale a quella delle elasticità date a parità di deformazioe) teedo coto che la somma delle deformazioi delle molle date e' pari alla deformazioe della molla equivalete; duque e = + ; le forze trasmesse dalle molle date soo uguali fra di loro e uguali a quella della molla equivalete F = F = F e ; valgoo al solito le relazioi lieari: F e = k e e ; F = k ; F = k ; Si ha pertato e = F e /k e = F /k + F /k ; da cui si ottiee /k e = /k + /k Nel caso di elasticità i serie la relazioe precedete si geeralizza a k k e i i 7-3. TRASMISSIONE DELLE FORZE E ISOLAMENTO ATTIVO Le forze ageti elle diversi parti di ua macchia vegoo trasmesse alle altre parti attraverso i vicoli e possoo provocare eccessive sollecitazioi o eccessivi movimeti. E' quidi ecessario procedere alla valutazioe di tali forze e, se possibile, alla loro riduzioe. Esistoo due modi fodametali di operare: il primo modo cosiste ell isolare le masse ove ha origie la vibrazioe, ossia el ridurre le forze trasmesse ai vicoli da ua massa che vibra i quato sollecitata da rilevati forze periodiche ageti su di essa: è detto isolameto attivo; il secodo modo cosiste el

13 ridurre le sollecitazioi che attraverso i vicoli vegoo applicate a parti o soggette a forze periodiche ed è detto isolameto passivo. Si può facilmete determiare l'espressioe della forza trasmessa al vicolo dal sistema co ierzia, elasticità e smorzameto (Fig. 7.3), a cui sia applicata ua forza siusoidale F=F si t. La forza trasmessa al vicolo F t è la somma della forza F k = kx trasmessa attraverso la molla e della forza F cx trasmessa attraverso lo smorzatore. Teedo coto dell'espressioe a regime x=x f si( t + c f) e della sua derivata x Xfcos( t + f ), si ottiee F t = k X f si( t + f) + c X f cos( t + f) Fig. 7.3 Aalisi delle forze trasmesse al vicolo Come si e' visto i precedeza a tale espressioe si può dare la forma alterativa F t = F T si t + t) dove l'ampiezza della forza trasmessa è data da T f f f F kx c X X k c e l'espressioe di X f si ricava dalla (7.). Effettuado questa sostituzioe si ottiee il fattore di trasmissioe delle forze o trasmissibilità F z T TR F z (7.) il cui adameto è riportato i Fig. 7.4 per alcui valori di z. 3

14 9 z= z=.5 6 TR z=. 3 z=. z=.5 z=,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Fig. 7.4 Fattore di trasmissibilità (z=,.5,.,.,.5, ) / Si può osservare che a basse pulsazioi della forzate ( «) la forza trasmessa al vicolo è sostazialmete uguale a quella forzate (TR=); per valori cresceti della pulsazioe si aumeta la forza trasmessa e se il fattore di smorzameto z è piccolo, l'ampiezza di tale forza può divetare molto grade per (ifiita se z=). Ad alti valori della pulsazioe della forzate (» ) la forza trasmessa dimiuisce e tede a zero al tedere di all'ifiito. L'adameto della (7.) è duque simile a quello della (7.), ma co ua differeza importate per le applicazioi: come si vede dalla Fig. 7.4 per valori di / >, l'effetto del fattore z sul decremeto delle curve si iverte rispetto a quato si vede ella Fig. 7.9; i altri termii, metre dalla Fig. 7.9 si osserva che per limitare l'ampiezza delle oscillazioi è sempre opportuo avere elevati smorzameti, el caso della Fig. 7.4 si vede che uo smorzameto elevato è coveiete solo fio a che / <. Questo fatto si comprede cosiderado che quado la velocità agolare è grade viee trasmessa ua grade forza attraverso lo smorzatore, data da cx c Xfcos( t + f ), che o è completamete compesata dalla riduzioe di ampiezza delle oscillazioi coseguete all'effetto filtro degli spostameti che ha il sistema alle alte frequeze. Quado la trasmissibilità è iferiore a l'ampiezza della forza trasmessa al vicolo è miore dell'ampiezza della forzate: questo feomeo avviee quado / > ed è detto isolameto attivo dalle vibrazioi. Perché ciò avvega è ecessario dotare il sistema di ua frequeza aturale "bassa" rispetto a quella della forzate. I tale caso ua molla da sola produce u'atteuazioe della forza trasmessa maggiore di quella che si ottiee iseredo ache uo smorzatore. Va però teuto presete che quado la dell'eccitazioe dovesse passare, ache solo saltuariamete, ella zoa di risoaza sarebbe comuque utile avere u certo smorzameto per limitare l'ampiezza delle vibrazioi all'attraversameto di questa zoa. Per realizzare l isolameto attivo si trovao i commercio appositi supporti ativibrati, costituiti da elemeti elastici, predisposti per il motaggio tra la macchia e la fodazioe (Fig. 7.5). I supporti possoo essere fatti di vari materiali, ma i più comui soo i gomma (mescole a base di elastomeri co additivi ativecchiameto, autoestigueti, resisteti agli ageti atmosferici) o i metallo (molle di acciaio). Possoo essere ache di tipo peumatico (molle ad aria). 4

15 Fig. 7.5 Supporti ativibrati i gomma e i metallo ESEMPIO Ua macchia di massa M= kg è sottoposta ad ua forza verticale siusoidale co frequeza f=4 Hz e ampiezza F =75 N. Si vuol motare la macchia su 4 supporti ativibrati co smorzameto trascurabile i due casi: el primo si vuol avere / =, el secodo / =4. I etrambi i casi si voglioo calcolare: - la rigidezza di ciascu supporto; - la deformazioe statica dei supporti; - il fattore di trasmissioe delle forze: - l ampiezza di oscillazioe della macchia. Il modello del sistema è quello di Fig. 7.8, co la molla che corrispode ai supporti ativibrati motati i parallelo. Alla frequeza f=4 Hz della forzate corrispode la pulsazioe =5 rad/s. Nella prima codizioe ( / =), si ha: = /=.5 rad/s, k=m =35 N/m. Questa costate elastica equivale a quella dei 4 supporti i parallelo sui quali è motata la macchia, per cui la costate elastica di ogi supporto è k =k/4=78 kn/m. La deformazioe statica dei supporti X s è data dal rapporto fra il peso della macchia Mg e la costate elastica complessiva k, cioè X s =Mg/k=.63 m. Il fattore di trasmissioe delle forze TR si ricava dalla (7.) poedo z= e risulta TR=.33. L ampiezza di oscillazioe della macchia si ricava dalla (7.), sempre co z= e risulta X =.8 mm. I risultati soo riassuti ella prima riga della tabella seguete. 3 Caso k (N/m) k (kn/m) X s (mm) TR X (mm) M=, / = M=, / = M=8, / = Ripetedo il calcolo per la secoda codizioe ( / =4), si ottegoo i risultati riportati ella secoda riga della tabella. Cofrotado i valori umerici si osserva che il secodo supporto riduce molto di più la forza trasmessa (di circa 5 volte), ma che aumeta la deformazioe statica di quattro volte portadola a 5 mm, il che può essere eccessivo. L ampiezza delle oscillazioi o è molto diversa ei due casi. Si poga ora la macchia su u basameto di cemeto di massa M'=6 kg, cosicché la massa vibrate totale diveti M+M'=8 kg. Ripetedo i calcoli per / = si trovao i valori riportati ell ultima riga della tabella. L aggiuta della massa del basameto che ha quadruplicato la massa iiziale richiede supporti quattro volte più rigidi. La deformazioe statica o è modificata, é lo è il fattore di trasmissibilità, ma l ampiezza delle oscillazioi si è ridotta di quattro volte rispetto alla situazioe iiziale. 5

16 ESEMPIO U compressore moocilidrico di massa M=5 kg ruota a regime a velocità =5 giri/mi e deve essere motato su 4 supporti ativibrati. Soo dispoibili a catalogo due tipi di supporti (u tipo i gomma, uo i metallo), le cui caratteristiche elastiche (k) e viscose (c) soo riportate i tabella. Si devoo scegliere i supporti i modo che il rapporto fra frequeza della forzate e frequeza aturale della macchia motata sui supporti ( / ) sia maggiore di 3. Discutere il comportameto dei diversi supporti riportati i tabella. IN GOMMA METALLICI k (kn/m) c (Ns/m) k (kn/m) c (Ns/m) La rotazioe del compressore a velocità di regime fa ascere forze ierziali periodiche. Queste possoo essere scomposte i ua somma di forze siusoidali la cui prima armoica ha pulsazioe = /6=57 rad/s. Il modello della macchia è acora quello di Fig. 7.8 i cui la massa è quella del compressore; la costate elastica k e è 4 volte quella del supporto scelto (le elasticità dei 4 supporti soo i parallelo); la costate viscosa c e è 4 volte quella del supporto scelto (gli smorzameti dei 4 supporti soo i parallelo). Per ogi tipo di supporto scelto si possoo calcolare la pulsazioe aturale =(k e /M).5 =(4k/M).5, il fattore di smorzameto z=c e /(k e M).5 =4c/(4kM).5 ; il fattore di trasmissioe delle forze TR è calcolato co la (7.). I risultati dei calcoli soo riportati i tabella. IN GOMMA METALLICI (rad/s) z / TR (rad/s) z / TR I risultati mostrao che per tutti i supporti, ad eccezioe dei. 4 e 5 i gomma, si ha >.4 e quidi il fattore di trasmissioe è iferiore all uità: si ha cioè isolameto attivo. I supporti che rispettao la codizioe / > 3 soo il. fra quelli i gomma e,, 3, fra quelli metallici. I supporti metallici foriscoo miglior TR i quato il loro smorzameto è ettamete miore. Il supporto. 3 i metallo è adeguato per l applicazioe, ma è certamete più costoso di quello i gomma. La sua deformazioe statica sotto il peso della macchia è mg/4k = 4.9 mm VIBRAZIONI DI ROTORI SBILANCIATI I questo caso la forzate F agete su u sistema meccaico e' dovuta a feomei ierziali geerati o da masse che soo soggette a moto o uiforme, o da masse rotati il cui baricetro o coicide co l'asse di rotazioe (si veda il capitolo 8). Due sistemi di questo tipo soo schematizzati i Fig

17 Fig. 7.6 Ierzie o bilaciate su supporti elastici Nel primo sistema, che rappreseta u cilidro di u motore a combustioe itera la forzate è costituita dal moto alterativo del pistoe (il moto alterativo è, per defiizioe, o uiforme quidi produce effetti ierziali); el secodo sistema la rotazioe di u rotore o bilaciato (il cui baricetro o coicide co l'asse di rotazioe) diveta sorgete della forza eccitate. I motori elettrici, le turbie, gli alberi a gomiti dei motori a combustioe itera, le pompe, i vetilatori, le ruote dei veicoli, soo esempi tipici di ierzie rotati che possoo essere sbilaciate. L'aalisi diamica sarà effettuata per il secodo sistema i Fig. 7.6, ma i risultati possoo essere applicati ache al primo. Il rotore i Fig. 7.6 ha massa m, ruota co velocità agolare costate ed il suo baricetro o coicide co l'asse di rotazioe (il rotore e' eccetrico co eccetricità e). La massa complessiva della macchia è M. La parte o rotate della macchia (statore) ha massa M-m Per effetto dell'eccetricità asce ua forza ierziale cetrifuga diretta dal cetro di rotazioe al baricetro del rotore, di itesità em. La proiezioe di questa forza i verticale costituisce la forzate del sistema ed è pari, i u istate geerico, a em si( t). La macchia, el suo complesso ha massa M; la sua posizioe e' defiita dalla variabile x. L'equazioe di moto della macchia e' duque Mx cx kx me si( t) (7.3) Si può trovare la risposta a regime del sistema co rotore sbilaciato usado la soluzioe (7.) dell'equazioe (7.8), che è idetica alla (7.3) ove si poga F =me : si ottiee me / k X f z avedo ora k M Si può ache scrivere i forma adimesioale Xf M em z il cui grafico e' riportato i Fig (7.4) 7

18 3 z= z=.5 z=. z=. z=.5 z= / Fig. 7.7 Risposta i frequeza per rotore sbilaciato (z=,.,.,.5,.5, ) Si può otare l'evidete differeza di questo grafico rispetto a quello della risposta i frequeza per forzate siusoidale (Fig. 7.9) dovuta al fatto che i questo caso l'itesità della forzate o è costate, ma e' dipedete da. A basse velocità agolari i valori delle ampiezze di oscillazioe soo piccoli e tedoo a zero co : ifatti la forza di ierzia è piccola (al limite ulla) e la macchia o e risete gli effetti; aumetado la velocità agolare aumetao gli effetti ierziali dovuti all'eccetricità e cotemporaeamete la diamica del sistema favorisce l'aumeto delle oscillazioi, fio ad avere codizioi di risoaza (se lo smorzameto lo cosete); per valori molto elevati della velocità agolare (al limite per valori che tedoo ad ifiito) le forze di ierzia divetao molto gradi (al limite ifiite di ordie ) metre il sistema massa + elasticità si comporta come u filtro passabasso (di ordie ) e tede ad aullare le oscillazioi. I due feomei, crescita dell'ampiezza della forzate co e decremeto dell'ampiezza delle oscillazioi della macchia co, si compesao per cui l'effettiva ampiezza X f del movimeto verticale del corpo della macchia per tedete ad ifiito tede a em/m. No e' difficile dimostrare che questo corrispode ad u movimeto i cui il baricetro dell'itera macchia (di massa M) resta fermo, metre il baricetro del rotore e dello statore si muovoo co versi fra loro opposti VELOCITÀ CRITICHE U caso importate di aalisi delle vibrazioi dovute a forze di ierzia sbilaciate si icotra quado la massa totale M del sistema vibrate e la massa m del rotore coicidoo. Questo modello può essere applicato per esempio quado u rotore co albero deformabile è supportato rigidamete dallo statore a sua volta rigidamete coesso al telaio. I tal caso ifatti la massa del rotore coicide co la massa vibrate. I u modello a parametri cocetrati si può cosiderare u rotore rigido di massa m motato su u albero deformabile di massa trascurabile. La Fig. 7.8 riporta uo schema di questo modello. 8

19 Fig. 7.8 Rotore su albero elastico I figura il baricetro del rotore è spostato di e rispetto al suo cetro geometrico, sul quale è fissato l albero. Quado il rotore è fermo l albero (a meo dell effetto del peso) o è deformato ed assume cofigurazioe orizzotale (Fig. 7.8-a). Quado il rotore ruota, a causa dell eccetricità asce ua forza cetrifuga che sposta il cetro del rotore di ua quatità X rispetto alla posizioe ideformata e fa deformare l albero della stessa quatità (Fig. 7.8-b), cosicché l albero si comporta come ua molla che si oppoe alla forza cetrifuga. L espressioe dell ampiezza dello spostameto X può essere ricavata immediatamete dalla (7.4) poedo m=m. X e f z La pulsazioe aturale =(k/m).5 è calcolata a partire dalla costate k dell'albero che è schematizzato come ua trave soggetta a flessioe, vicolata i modo cogruete co i vicoli fra telaio e albero (vedi cap. 7.3.). Il relativo grafico i fuzioe di /, è idetico a quello di Fig Dato che el modello di Fig. 7.8 lo smorzameto delle vibrazioi può derivare solo dagli attriti iteri al materiale costituete l albero e che questi soo spesso molto bassi (z attoro a qualche cetesimo), si può cosiderare valido per la determiazioe di X il grafico co z=, di Fig. 7.8, per il quale valgoo coclusioi aaloghe a quelle riportate al capitolo e qui riassute: - esiste u valore della velocità agolare per il quale lo spostameto del rotore diveta ifiito (questo vale per il modello lieare che è stato adottato: i realtà ua macchia reale si romperebbe o comuque si daeggerebbe prima di arrivare a questa codizioe): la velocità agolare per la quale si ha questo effetto viee detta velocità critica crit e coicide co la pulsazioe aturale del sistema albero + rotore, per cui crit=(k/m).5 ; - per basse velocità agolari la deformazioe dell albero è piccola e cresce co la velocità fio a crit, dove (teoricamete) diveta ifiita; il campo di fuzioameto i cui < crit è chiamato zoa subcritica; - per velocità agolari superiori alla velocità critica la deformazioe dell albero decresce co la velocità e tede al valore dell eccetricità per velocità molto elevate; il campo di fuzioameto i cui > crit è chiamato zoa ipercritica. Ua macchia può fuzioare i zoa subcritica o i zoa ipercritica, ma comuque deve ruotare co velocità sufficietemete diversa dalla velocità critica. Per avere piccola deformazioe X el caso di fuzioameto ipercritico occorre che l eccetricità sia piccola. Ioltre ua macchia che fuzioi i zoa ipercritica dovrà passare per la velocità critica quado viee avviata. Per evitare che si producao oscillazioi eccessive è ecessario che il passaggio avvega molto rapidamete, ragio per cui la macchia deve avere elevata accelerazioe. Ioltre è coveiete che il passaggio per la velocità critica o avvega ripetutamete durate il fuzioameto, il che comporta che la 9

20 macchia fuzioi ormalmete i codizioe di regime piuttosto che di moto vario e che la velocità di regime sia sufficietemete più elevata della velocità critica VIBRAZIONI INDOTTE DAL MOVIMENTO DEL VINCOLO. ISOLAMENTO PASSIVO Nelle aalisi effettuate i precedeza si è sempre ammesso che il vicolo del sistema elastico fosse fisso. I realtà al vicolo può essere impresso u movimeto da altre parti della macchia o per effetto del moto dei motori o per effetto delle vibrazioi di altre parti della macchia. Il modello del sistema vibrate deve duque essere geeralizzato i modo da compredere almeo la traslazioe del vicolo rispetto ad u riferimeto fisso. Fig. 7.9 Spostameto del vicolo I Fig 7.9 soo idicati co y lo spostameto di traslazioe del vicolo rispetto ad u riferimeto fisso, co x lo spostameto di traslazioe della massa rispetto allo stesso riferimeto. L'equazioe di moto si ottiee el modo cosueto osservado che: la deformazioe della molla è data da x-y, quidi la forza che la molla esercita sulla massa è -k(x-y); la velocità di deformazioe dello smorzatore è data da x y, quidi la forza che lo smorzatore esercita sulla massa è c(x y) ; si ottiee duque c(x y) k(x y) mx e, riordiado i termii, mx cx kx ky cy Se ora si ammette che il vicolo si sposti siusoidalmete co legge y = Y f si( t) e che pertato la velocità del vicolo sia y Yf cos( t), l'equazioe di moto che si ottiee è mx cx kx kyf si( t) c Yf cos( t) Il sistema è lieare e si possoo studiare separatamete i due movimeti co forzate siusoidale: mx cx kx kyf si( t) mx cx kx c Yf cos( t) e sovrapporre poi gli effetti e otteere la soluzioe x= x + x. Le soluzioi particolari (moto a regime) delle due equazioi possoo essere determiate come si è visto per la (7.8) e i risultati soo poi sommati essedo il sistema lieare, otteedo la soluzioe particolare complessiva x f = X f si( t + f) + X f cos( t + f) = X f si( t + f), co X f = X f ) + X f ) ].5. Usado la (7.) per determiare X f si( t + f) + X f e sviluppado i calcoli, si ottiee

21 X Y f f z z (7.5) L'espressioe appea trovata è idetica a quella del fattore di trasmissibilità (7.). La discussioe porta acora a cocludere che è possibile ridurre l'ampiezza dello spostameto trasmesso dal vicolo alla massa m (isolameto passivo dalle vibrazioi) quado / >. Ache i questo caso o è ecessario avere elevati smorzameti ACCELEROMETRO Fig. 7. Accelerometro La Fig. 7. preseta u esempio di strumeto per la misura delle vibrazioi: si tratta di u accelerometro che viee utilizzato per misurare le accelerazioi di ua superficie vibrate seza utilizzare u riferimeto fisso. E costituito da ua base predisposta per il collegameto alla superficie vibrate, da ua massa (detta sismica) e da u elemeto piezoelettrico, iterposto fra la base e la massa sismica, costituito da due dischi sovrapposti di quarzo. Le oscillazioi relative fra la base e la massa deformao il materiale piezoelettrico geerado ua differeza di tesioe fra le sue basi. Nel semplice caso qui esamiato si ammette che il materiale piezoelettrico possa subire sia compressioi che dilatazioi. Dato che le deformazioi del materiale piezoelettrico determiao variazioi di tesioe elettrica fra le sue basi che possoo essere amplificate e misurate co adeguati strumeti, è ecessario trovare la relazioe fra le accelerazioi delle vibrazioi della superficie a cui l accelerometro è collegato e le deformazioi idotte el materiale dalla iterazioi fra il movimeto della base e della massa sismica. Il corrispodete modello si trova immediatamete ricorredo allo schema di sistema co eccitazioe per spostameto del vicolo (fig. 7.9), dove lo spostameto del vicolo y(t) (rispetto ad u riferimeto assoluto) è quello della superficie vibrate della macchia a cui lo strumeto è applicato, lo spostameto x(t) è quello della massa sismica, lo spostameto z(t) è quello relativo fra massa e superficie vibrate (cioè lo schiacciameto del materiale piezoelettrico). I questo caso occorre mettere i relazioe la variabile z (che rappreseta la deformazioe del quarzo)

22 co la derivata secoda di y (l'accelerazioe che si vuol misurare co lo strumeto) L equazioe di moto della massa è acora c(x y) k(x y) mx che viee espressa i fuzioe di z=x-y e di y cz kz mz my ovvero, riordiado i termii mz cz kz my Per spostameto siusoidale della superficie vibrate, y=y f si( t), l accelerazioe dello stesso è y Yf si( t) Af si( t), avedo idicato co A f l ampiezza dell accelerazioe della superficie vibrate che si vuol misurare. Pertato l equazioe di moto è mz cz kz maf si( t) Questa relazioe è idetica alla (7.8) purché al posto della forzate di ampiezza F si cosideri ua forzate di ampiezza ma f. La relazioe tra ampiezza dell'accelerazioe A f e ampiezza della deformazioe del quarzo Z è deducibile dalla (7.) A / z / Z f f z f Le vibrazioi provocao effetti ocivi sull uomo, sulle strutture e sulle macchie. Gli effetti delle vibrazioi sul corpo umao dipedoo dalla loro frequeza. Le vibrazioi a frequeza molto bassa (- Hz) provocao la cietosi, comuemete detta mal di mare o mal d auto; quelle a bassa frequeza (- Hz) provocao ua distorsioe delle ormali risposte biologiche e psicofisiologiche agli stimoli, quali alterazioi osteoarticolari, disturbi cardiocircolatori, affezioi all apparato digerete; le vibrazioi ad alta frequeza (oltre Hz) determiao lesioi osteoarticolari e artrosi. La Fig. 7. riporta i tempi limite di tollerabilità per l esposizioe a vibrazioi i fuzioe della a ta / (7.6) il cui grafico è acora dato dalla Fig Il campo di fuzioameto dell accelerometro sarà quello i cui il rapporto fra Z e A f è praticamete costate, i modo che o vi siao sigificative distorsioi di ampiezza ella misura delle varie compoeti siusoidali di u geerico segale di igresso periodico. Ciò, per bassi smorzameti, è possibile solo per valori di decisamete iferiori a quelli della frequeza aturale dell accelerometro, per cui u accelerometro deve avere ua elevata pulsazioe aturale. Dai grafici si può però vedere che per smorzameto z= la bada utile di frequeza per lo strumeto è massima. Cosiderazioi aaloghe possoo esser fatte per la fase, allo scopo di evitare distorsioi di fase. Esempio Calcolare la pulsazioe aturale di u accelerometro co due dischi uguali (Fig. 7.). Soo dati: m, massa sismica = 5 g t, spessore dei dischi piezoelettrici = 9 mm D, diametro dei dischi piezoelettrici = mm E, modulo di elasticità del materiale piezoelettrico = 3 kn/mm La costate elastica di u disco piezoelettrico si calcola usado il modello di trave soggetta a trazioe (capitolo 7-3.) i cui la lughezza della trave coicide co lo spessore t del disco e l'are adella sezioe è l'area della base del disco k = EA/L = E D /(4t) = 394 kn/mm La costate elastica equivalete ai due dischi i serie è K = k / = 97 kn/mm La pulsazioe aturale del sistema è = (K/m).5 = 68 rad/s, la frequeza aturale è Hz EFFETTI DELLE VIBRAZIONI

23 loro frequeza e ampiezza. I ordiate è riportato il valore quadratico medio (RMS) della vibrazioe. A secoda del tempo di esposizioe alla vibrazioe e della frequeza cambia l ampiezza sopportabile. Si oti che: - vibrazioi a basse o ad alte frequeze soo più tollerabili di vibrazioi a frequeze itermedie; - si possoo sopportare ampiezze maggiori per tempi iferiori. Gli effetti delle vibrazioi sulle macchie devoo essere valutati caso per caso. Il liea di larga massima si possoo dare idicazioi qualitative per verificare se le vibrazioi di ua macchia rietrao ella orma o se devoo essere cosiderate eccessive. La Fig. 7. fa riferimeto al valore quadratico medio (RMS) della velocità di vibrazioe per alcui tipi di macchia, riportado gli itervalli di valori per i quali la macchia fuzioa i codizioi buoe, accettabili o limite. I quattro tipi di macchia corrispodoo a : ) sigoli compoeti; ) macchie di dimesioi e poteza media (motori elettrici da 5 a 75 kw e macchie i geere fio a 3 kw); 3) macchie su fodazioi rigide; 4) macchie co masse sbilaciate o su fodazioi co pulsazioe aturale iferiore alla velocità agolare della macchia. Per esempio il fuzioameto di u compoete meccaico (tipo ) è buoo se la velocità di vibrazioe (RMS) è iferiore a.7 mm/s, è accettabile se iferiore a.8 mm/s, è al limite di tollerabilità se arriva a 4.5 mm/s. accelerazioe RMS (m/s) 8 ore 4 ore ore ora, frequeza (Hz) Fig. 7. Limiti di esposizioe alle vibrazioi 3

24 velocità di vibrazioe RMS (mm/s) buoo,7,,8,8 accettabile,8,8 4,5 7 limite 4,5 7 8 tipo di macchia 7-4 Sistemi rotati Fig. 7. Livelli ammissibili di vibrazioe per tipi di macchie Lo studio delle vibrazioi presetato ei capitoli precedeti ha sempre fatto riferimeto a sistemi co masse traslati metre elle macchie si hao ache vibrazioi di sistemi rotati e rototraslati. Se si cosidera lo schema motore rotate e carico rotate a cui si è spesso fatto riferimeto, è evidete che le parti di collegameto fra motore e carico possoo deformarsi e itrodurre u effetto elastico che origia vibrazioi. Molto spesso fra motore e carico si iterpogoo giuti elastici (esamiati i u successivo capitolo) che, grazie alla loro elasticità, hao lo scopo di dimiuire la trasmissioe di picchi di forza, ma che possoo origiare vibrazioi. Lo studio delle vibrazioi di sistemi rotati ad u grado di libertà co asse di rotazioe fisso è del tutto aalogo a quello dei sistemi traslati: basta sostituire alla massa m (kg) il mometo di ierzia J (kg m ) del corpo attoro al suo asse di rotazioe, alla costate elastica k (N/m) la costate elastica torsioale k t (Nm/rad), al coefficiete di smorzameto c (Ns/m) il coefficiete di smorzameto torsioale c t (Nms/rad). Co queste sostituzioi si possoo trasformare le relazioi trovate per i sistemi traslati i relazioi dei corrispodeti sistemi rotati. Per esempio il sistema di Fig. 7.4 assume l aspetto di Fig. 7.3, la sua l'equazioe di moto diveta J k t e la defiizioe di pulsazioe aturale è = (k t /J).5 Fig. 7.3 Sistema rotate co elasticità ed ierzia 4

25 7-5 Sistemi a più gradi di libertà Nelle stesse ipotesi discusse precedetemete, la posizioe dei corpi di u sistema a gradi di libertà viee espressa da variabili x, x, x, e si possoo scrivere equazioi differeziali lieari di moto aveti come variabili le x i e le loro derivate prime e secode. I asseza di forze estere (sistema libero) e seza smorzameti (sistema o smorzato) la soluzioe delle equazioi può essere ricavata facilmete e si ottegoo i segueti risultati il movimeto di ciascua variabile è dato dalla sovrapposizioe di oscillazioi siusoidali: x = X si( t + ) + X si( t + ) X si( t + ) x = X si( t + ) + X si( t + ) X si( t + ) x = X si( t + ) + X si( t + ) X si( t + ) esistoo e si possoo calcolare valori delle pulsazioi aturali,,..., che dipedoo dalle caratteristiche elastiche e di massa del sistema, ma o dalle codizioi iiziali le ampiezze delle oscillazioi X, X,... X, soo determiate, a meo di ua costate arbitraria, dalle caratteristiche del sistema; la costate arbitraria dipede dalle codizioi iiziali; lo stesso vale per le ampiezze X, X,... X, e così via per tutte le altre i gruppi di valori, X, X,... X ;, X, X,... X ;..., X, X,... X soo detti modi di vibrare o modi aturali o modi pricipali del sistema. Nel caso di oscillazioi forzate co forzate siusoidale co pulsazioe la soluzioe particolare delle equazioi di moto (corrispodete alla soluzioe a regime) è data, per ua geerica variabile x i, da x fi = X fi si( t + i) e l'ampiezza di oscillazioe X fi è fuzioe di e delle,,...,; essa tede ad ifiito quado la pulsazioe della forzate tede ad ua qualuque delle pulsazioi aturali. Esistoo pertato codizioi di risoaza. 5