Dott.ssa Marta Di Nicola

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1 RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quado s cosderao due o pù caratter (varabl) s possoo esamare ache l tpo e l'testà delle relazo che sussstoo tra loro. Nel caso cu per og dvduo s rlevo cogutamete due varabl quattatve, è possble verfcare se esse varao smultaeamete e quale relazoe matematca susssta tra queste varabl. ESEMPIO S rcorre all'aals della regressoe e a quella della correlazoe: Aals della regressoe: per svluppare u modello statstco che possa essere usato per prevedere valor d ua varable, detta dpedete o pù raramete predetta ed dvduata come l'effetto, sulla base de valor dell'altra varable, detta dpedete o esplcatva, dvduata come la causa. Aals della correlazoe: per msurare l'testà dell'assocazoe tra due varabl quattatve, d orma o legate drettamete da causaeffetto, faclmete medate da almeo ua terza varable, ma che comuque varao cogutamete. I Tabella soo rportat valor assut da due caratter quattatv età (ETA ) e pressoe sstolca (PAS) msurat u campoe d 8 soggett: soggetto ETA (a) PAS (mm Hg) Dagramma d Dspersoe (Scatter) Domade 40 D quato vara la pressoe sstolca all aumetare dell età? La relazoe tra le due varabl è tedezalmete leare? Pressoe Sstolca ETÀ

2 REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE La forma d relazoe matematca pù semplce tra due varabl è la regressoe leare semplce, rappresetata dalla retta d regressoe: Y a + b X dove : Y valore stmato d Y attraverso l modello regressvo X valore emprco d X a tercetta della retta d regressoe b coeffcete d regressoe (coeffcete agolare della retta) Per stmare la retta che meglo approssma la dstrbuzoe de put, s può partre cosderado che og puto osservato Y s dscosta dalla retta d ua certa quattà detta errore o resduo Og valore d resduo può essere postvo o egatvo: - postvo quado l puto Y spermetale è sopra la retta - egatvo quado l puto Y spermetale è sotto la retta Metodo de mm quadrat La retta mglore per rappresetare la dstrbuzoe de put è quella che mmzza la somma: ε (y - y ) Secodo l prcpo de mm quadrat s stmao matematcamete a e b: b Codev(x, y) Dev(x) a y b x Codev(x, y) (x -x)(y y) Dev(x) (x x) Dev(y) (y y)

3 ESEMPIO ETA (X) PAS (Y) X x Y y (X x) (Y y) (X x ) (Y y ) x48.4 y S ottee: coeffcete d regressoe b. 54 Itercetta a * DEV(X) DEV(Y) CODEV(X,Y) Supposto accettable l modello regressvo leare, affrotamo le seguet domade:. d quato aumeta medamete la pressoe sstolca all aumetare d u ao d età?. che valore ha la PAS alla ascta? Valore predttvo dell'aals della regressoe Iterpretado valor de coeffcet della retta d regressoe s può dre:. l aumeto medo della pressoe è d crca b.5 mmhg per l aumeto d u ao d età. La semplce rappresetazoe grafca de valor osservat e della retta d regressoe forsce alcue dcazo mportat per l'terpretazoe delle relazo esstet tra le due varabl.. alla ascta l valore della pressoe sarebbe (!) d a68.56 mmhg, ma questa è ua dcazoe teorca perché o è possble stmare l valore della pressoe arterosa per età fuor del rage cosderato ( 8 aa). L tercetta è quel valore che assume la varable dpedete quado quella dpedete è uguale a 0. Il valore del coeffcete agolare dca quato aumeta meda la varable dpedete Y all'aumeto d ua utà della varable dpedete X. Se s camba la scala della varable dpedete o predttva X (per esempo l'altezza msurata mm o m e o pù cm) lascado varata quella della varable dpedete o predetta Y, muta proporzoalmete ache l valore del coeffcete agolare b. 3

4 Coeffcete d Determazoe Nell'aals della regressoe: è frequete, specalmete egl utlzz predttv, l rcorso al tempo come varable dpedete; vee spesso dmetcato che qualsas prevsoe o stma d Y dervata dalla retta è valda solo etro l campo d varazoe della varable dpedete X; o è dmostrato che la relazoe esstete tra le due varabl sa dello stesso tpo ache per valor mor o maggor d quell spermetal rlevat. Espresso a volte percetuale ed dcato alcu test co R o Rsq, serve per msurare quato della varable dpedete Y sa predetto dalla varable dpedete X e, qud, per valutare la botà dell equazoe d regressoe a f della prevsoe su valor della Y. E' ua msura che ha scop descrttv de dat raccolt. No è legata ad fereze statstche, ma a scop pratc, specfc dell'uso della regressoe come metodo per prevedere Y cooscedo X. Il suo valore, compreso tra 0 e, è tato pù elevato quato pù la retta passa vco a put, fo a raggugere (o 00%) quado tutt put spermetal soo collocat esattamete sulla retta e qud og Y può essere predetto co precsoe totale dal corrspodete valore d X Nell'esempo co le 8 osservazo d età e pressoe l valore del coeffcete d determazoe è: R Cò sgfca che, oto l valore dell'età, quello della pressoe è stmato medate la retta d regressoe co ua approssmazoe d crca l 7%. Il restate r 9% è determato dalla varabltà dvduale d scostameto dalla retta ed dca la parte d varabltà della varable rsposta mputable evetualmete ad altr fattor dvers dall età. La valutazoe del valore d r è stretto rapporto co la dscpla oggetto d studo. S può rteere alcu ambt che l modello leare abba u buo fttg co valor spermetal se r > 0.6, ma va detto ache che elle sceze socal spesso s reputa alto u valore uguale a 0.30 metre fsc stmao basso u valore par a CORRELAZIONE LINEARE SEMPLICE Ua msura della botà del modello leare può essere otteuta studado l terdpedeza tra due caratter statstche quattatv X e Y. Uo degl dc molto oto per ua tale msura è l Coeffcete d Correlazoe Leare r: R CODEV(X,Y) DEV(X) DEV(Y) Tale quattà, dcata ache co R, vara tra e. U valore d r vco a dca ua assocazoe stretta o molto stretta tra le due varabl; s parla tal caso d correlazoe leare postva tra X e Y: all aumetare d ua varable aumeta ache l altra. U valore d r vco a deota u alta o molto alta correlazoe leare egatva (dscordaza) tra X e Y: all aumetare d ua d esse l altra dmusce. U valore d r 0 o prossmo a 0 dca dffereza (dpedeza) tra le varabl. 4

5 Nell esempo, utlzzado calcol della Tabella, s ha: r e s regstra, qud, u apprezzable grado d correlazoe leare postva tra l età e la pressoe sstolca per dat pres esame. L aals della correlazoe msura solo l grado d assocazoe spazotemporale d due feome; l coeffcete r è semplcemete ua msura dell testà dell assocazoe tra due varabl. Valor d r toro all 80% o superor possoo, teora, far rteere buoa l assocazoe leare: ma va teuto coto dell ambto dscplare e della umerostà de dat. CENNI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Soggetto Sesso Età PAS PAD Fumo M F M F F M M M PAS Età PAS Età 0.54 Fumo 5