Variabili casuali ( ) 1 2 n

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1 Varabl casual &. Valore edo. Data ua varable casuale = ( x,x 2, K,x ) (.) cu valor assuoo le rspettve probabltà P = p,p, K,p (.2) s defsce valore edo la quattà ( ) 2 = [ ] T M = M = P = xp (.3) Sgfcato: l valore edo d ua varable casuale rappreseta l valore che s realzza eseguedo u gra uero d prove e qud ell potes che le frequeze possao sostture le rspettve probabltà. (vc e valore edo.xls) = S defsce, fe, valore edo del quadrato d ua varable casuale la quattà: (vc e valore edo.xls). 2 2 = M = x p (.4) &2. Scarto. Idcado co l valore edo della varable casuale s defsce scarto d tale varable l vettore: da cu s evce che [ ] [ x x x ] 2 x 3 M = L (.5) [ ] = 0 M (.6) S defsce varaza della varable casuale l valore edo del quadrato dello scarto: 2 [ ] [ ] ( ) 2 var = σ = M 0 (.7) ovvero (coe s rcava faclete) Pag.

2 2 [ ] = ( ) 2 var M (.8) Sgfcato: la varaza sura l grado d varabltà della varable casuale. Idcado co a e b due costat arbtrare s verfca faclete: var[ a ] = 0 (.9) 2 [ a ] = a [ ] (.0) [ a + ] = var [ ] (.) 2 [ a + b] = a [ ] (.2) var var var var var Ife s defsce scarto quadratco edo o devazoe stadard la quattà: [ ] var[ ] σ = (.3) vc e valore edo.xls &3. Applcazo alla faza. Quado ua operazoe fazara fluss d cassa o possoo essere cosderat coe soe certe ( ad esepo, el caso d u prestto, l rscho d solveza del debtore) tutta l operazoe deve essere trattata da u puto d vsta probablstco e le soe dvetao varabl aleatore avet ua certa probabltà d realzzars. Da u puto d vsta ateatco l valore edo d queste soe aleatore dà la sura della possbltà del loro realzzo e prede l oe d valore atteso o speraza ateatca. Se p è la probabltà d rcevere ua soa S e qud -p la probabltà d o rceverla, allora l porto ha valore atteso: [ ] 0 ( ) E = Sp+ p = Sp (.4) Pù geeralete, se (,, K, ) è la varable aleatora d probabltà p ( p,p, K,p ) 2 che rappreseta u certo flusso d cassa l suo valore atteso è E [ ] = 2 = p (.5) Nell potes che è l tasso d teresse perodale ed l uero d perod d durata dell operazoe, l valore atteso attualzzato a( ) = ( + ) (.6) = V E p rappreseta l valore, all state attuale, della operazoe stessa. Pag. 2

3 Nel caso d prestt a rscho, voledo deterare l teresse da applcare, occorre pra deterare l valore attuale della speraza ateatca utlzzado l teresse prvo d rscho co la (.9), e po cosderare tale valore coe l attualzzazoe al tasso cercato (* ) della soa da dare prestto. Per cu, se S è la soa, l perodo utaro, p la probabltà d rceverla ed l tasso del perodo prvo d rscho, s ha: V = Sp + (*) Per cu l equvaleza fazara è data da: a ( ) ( *) Va = S + (**) e qud, dal cofroto delle (*) e (**) segue: [esercz su soe aleatore.doc] + Sp ( + ) = S ( + *) * = p Varabl casual doppe o bvarate Date due varabl e s possoo esegure co esse le operazo d soa e prodotto otteedo così due uove varabl: Z= + (.7) ovvero Z= (.8) Poché, og caso, la varable Z è fuzoe d due varabl casual essa prede l oe d varable casuale doppa o bvarata. Resta l problea d cooscere valor delle probabltà da assocare a valor che copogoo l vettore Z. Suppoao che la varable assua valor x co probabltà = 2,, K, e la varable valor y co probabltà p' ( = 2,, K ). Per deterare le probabltà p da assegare alle varabl z = x + y ovvero z = x y occorre dstguere se le varabl e soo dpedet o dpedet. p ( ) Se gl evet soo dpedet, per l teorea della probabltà coposta, segue che la probabltà da assocare alla coppa ( x,y ) è p = pp'. Se, edate queste operazo, l vettore Z preseta valor rpetut quest devoo essere cosderat ua sola volta assegado ad og valore rpetuto ua probabltà data dalla soa delle probabltà degl evet che hao prodotto tale valore Pag. 3

4 poché le vare coppe ( ) x,y rappresetao sepre evet fra loro copatbl. [bvarata (evet dpedet).xls]. La probabltà p p' assegata al valore z della varable Z prede l oe d probabltà coguta etre le p e q soo dette probabltà argal. Se gl evet soo dpedet o può assegars al valore z della varable Z la dstrbuzoe d probabltà coguta costruta co l precedete etodo (prodotto delle probabltà argal). I tal caso tale dstrbuzoe coguta, p, deve essere assegata a pror pra d procedere al calcolo (soa) della dstrbuzoe d probabltà da assegare a valor rpetut d Z. [bvarata (evet dpedet).xls]. I og caso, vrtù del teorea della probabltà totale, essedo le coppe ( x,y ) e ( y,x ) copatbl, s ha: ( 2K ) (.9) p = p =,, = ( 2 K ) (.20) q = p =,,, = Per la varable Z possoo essere calcolate le ede e gl scart. Cocao ad osservare che qualuque sa la relazoe fra due varabl casual (dpedet o dpedet) s ha sepre: Ifatt: [ ] [ ] ( ) M + = M + M (.2) M + = x + y p = x p + y p che, vrtù delle (.9) e (.20), forsce: = = = = = = [ ] M + = x p + y p' = = ossa [ ] M + = M + M (.22) Date due varabl casual, s defsce loro covaraza la quattà: [, ] = M ( M )( M ) cov (.23) Pag. 4

5 Osservao che la covaraza sarà postva quado gl scart M e M hao lo stesso sego co probabltà alta, etre assuerà valor egatv quado tedoo co alta probabltà ad avere sego opposto La (.26), opportuaete svluppata, può scrvers ella fora: Dalla defzoe (.26) segue: [ ] [ ] cov, = M M M (.24) cov cov [, ] = var[ ] [, ] = cov[, ] Ioltre, se, e Z soo tre varabl casual rsulta: (.25) (.26) [ a + b ] = a [, ] + b [, ] cov ; Z cov Z cov Z (.27) dostrazoe della (.30) Utlzzado la (.27) rsulta: cov [ a+ b; Z] = M ( a+ b) Z M[ a+ b] MZ = = M az + bz a M M b M M = Dalle (.28)-(.30) rsulta po: [ ] Z Z [ Z] [ Z] Z Z ( [ Z] Z) ( [ Z] Z) [ Z] + [ Z] = am + bm am M bm M = = a M M M + b M M M = = a cov, b cov, c.d.d. [ a+ b] = [ a+ b a+ b] = = a cov [ ; a+ b] + b cov [ ; a+ b] = 2 2 = a cov [ ; ] + ab cov [ ; ] + b a cov [ ; ] + b cov [ ; ] var cov ; e qud [ a + b ] = a 2 [ ] + b 2 [ ] + ab [ ] var var var 2 cov ; (.28) Se le due varabl casual soo dpedet allora la loro covaraza è ulla. Ifatt, coe è stato gà ostrato, se le varabl ( x ) (d probabltà p ) e ( y ) (d probabltà q ) soo dpedet le loro probabltà argal deterao la probabltà coguta; ad esepo la varable ( xy) ha probabltà z = pq. Poché gl scart hao le stesse probabltà della varable a loro relazoata segue che: Pag. 5

6 [ ] ( )( ) cov ; = x M y M pq = = = ( x M) p ( y M) q = = = = 0 Pag. 6