Capitolo 2 APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD

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1 Captolo APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD

2 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC SOMMARIO. APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI Itroduzoe I crter d scelta Osservazo LE CURVE DI REGRESSIONE La retta d regressoe Calcolo de coeffcet d regressoe co l metodo de mm quadrat La parabola d regressoe Esame de dat e de rsultat Il coeffcete d correlazoe Aals degl scart Varaza rspetto alla curva d regressoe Approssmazoe polomale el seso de mm quadrat Problem ell terpolazoe polomale globale Iterpolazoe medate fuzo sple cubche INTERPOLAZIONE E REGRESSIONE CON MATHCAD La retta d regressoe La parabola (e polom) d regressoe Le curve sple Regresso specalzzate Regressoe o leare geeralzzata... 5 APPENDICE Metodo d Lagrage... 6 BIBLIOGRAFIA... 3

3 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 3. APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI. Itroduzoe I molt problem matematc e ella costruzoe stessa d alcu metod umerc d base emerge l esgeza d dover approssmare u fuzoe g (), defta medate ua sua rappresetazoe aaltca oppure ota solo alcu put { } co =,.. N, soluzoe d u problema matematco, co u'altra f () d forma pù semplce su cu s possa faclmete operare (ad esempo dervare, tegrare). Esamamo brevemete due dverse stuazo. Nella prma dopo aver eseguto delle msurazo { y } corrspodet a valor prefssat della varable dpedete { } relatve ad u determato feomeo sottoposto al ostro esame voglamo costrure u modello matematco f () che descrve suffcetemete bee l feomeo e,. Se la desderata c permetta qud d fare prevso attedbl put dvers da od { } è compresa tra l pù grade ed l pù pccolo valore delle l problema s chama terpolazoe; se la rchesta è al d fuor del rage delle allora s parla pù propramete d estrapolazoe. Le procedure d terpolazoe ed estrapolazoe rchedoo d modellzzare la fuzoe tra put cooscut o oltre ess da ua qualche forma fuzoale plausble. La forma fuzoale deve essere suffcetemete geerale modo da approssmare ampe class d feome. Le fuzo polomal soo d gra luga le pù usate ma ache fuzo razoal e trgoometrche hao u otevole campo d applcazoe. Nella secoda vece suppoamo d dover operare su d ua fuzoe g() ota b aaltcamete; per esempo voglamo calcolare l tegrale g ( ) d. Suppoamo però che a l espressoe della g () sa tale da o permetterc d otteere l valore cogto co sol strumet dell aals matematca. Covee allora approssmare la fuzoe, ell tervallo d teresse, co u altra fuzoe f () d forma pù semplce su cu sa possble operare aaltcamete e dedurre l rsultato cogto. L terpolazoe è qud coessa ma dstta dal problema d approssmazoe d fuzo. Questo problema cosste ell approssmare ua fuzoe complessa co ua pù semplce. I questo caso la fuzoe è ota è può essere calcolata qualsas puto desderato o utle per costrure l approssmazoe. Nel caso dell terpolaz oe la forma fuzoale o è ota ma è oto solo l suo valore alcu put { } o d ostra scelta. Prma d affrotare u qualsas problema d approssmazoe è dspesable:. dvduare la classe d fuzoe da usare per costrure le fuzo approssmat. dvduata la classe adottare u crtero per la scelta d ua specfca fuzoe. Rportamo ora alcu esemp d possbl class d fuzo approssmat a)... + P polom d grado : f ( ) = a + a + a Π polom trgoometrc d grado b) ( ω ) y

4 4 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC f k + k se k = ( ) = a + [( a cos( kω ) b ( kω ))] S tratta d ua classe aturale per feome perodc d frequeza crcolare ω. c) R m, : fuzo razoal ( ) ( ) p f ( ) =, p( ) P e q( ) Pm q Ua tale scelta permette d smulare sgolartà. d) E : somme espoezal f ( ) b = ake k k = Ua tale classe è coveete per feome avet cadeza espoezale. e) S m : fuzo sple polomal d grado m, coè polom a tratt d grado m, co dervate cotue fo ad u certo orde e put d raccordo.. I crter d scelta Dat qud N coppe d put spermetal (o od) {, } y, cosderamo ora alcu crter d scelta comuemete adottat per costrure la fuzoe approssmate f() a) Cocordaza esatta (terpolazoe el seso stretto): l approssmate è scelto modo tale che f( z) y ( ) =, N y = f... {} 4 6 z, Coè l valore della fuzoe f el puto spermetale ( ) è valore spermetale esattamete uguale al y. N+ è l umero d put spermetal. U tale crtero d scelta è applcable se l umero degl è uguale al umero de parametr della f () e rsulta opportuo soltato quado c s fda de valor y. L esempo è stato fatto usado MathCad. Per evtare cofuso co le varabl la fuzoe,. terpolate è stata chamata f(z) e passa esattamete per od { } y

5 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 5 b) Metodo de mm quadrat leare. S cerca la fuzoe che reda mma la somma de f y tra valore della fuzoe e valore spermetale. quadrat degl scart ( ) y f ( z) N [ ( ) ] y = mmo = f =,... N 5 5, z {} S possoo mpegare metod classc del calcolo ftesmale per rsolvere questo problema. U tale crtero d scelta è applcable se l umero degl è maggore o uguale al umero de parametr della f () e rsulta opportuo soltato quado valor y o soo affdabl, ma soo per esempo l rsultato d msure. L esempo è stato fatto usado MathCad. Per evtare cofuso co le varabl ell'esempo la retta a mm quadrat è stata chamata f(z). La retta approssma od {, y } ma o passa esattamete per que put. Il umero d put spermetal N+ è maggore dell'orde m del polomo terpolate (m= per la retta)... Osservazo Due mportat applcazo d questo studo d dat spermetal soo: l aals delle tedeze e la verfca delle potes. Nell aals delle tedeze l adameto de dat è utlzzato per fare delle prevso. Se dat soo msurat co grade precsoe s usa l terpolazoe, se al cotraro la precsoe de dat è scarsa s usa l metodo de mm quadrat. Qud l aals delle tedeze s propoe d valutare valor della varable dpedete o put ter all tervallo de dat o oltre lmt de dat dspobl; questo secodo caso s parla d estrapolazoe. Ua secoda applcazoe dell approssmazoe d dat spermetal medate fuzo approssmat è la verfca delle potes. I dat fatt soo cofrotat co u dato modello matematco, cu parametr devoo essere determat modo tale che l modello soddsf l pù possble dat spermetal, secodo u certo crtero prefssato.

6 6 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC. LE CURVE DI REGRESSIONE. La retta d regressoe Data ua dstrbuzoe d valor spermetal {, y; =,,... N }. La forma pù semplce d relazoe tra due varabl, ed ua delle pù frequet, è quella leare, cu la varable dpedete è espressa fuzoe della varable dpedete da ua equazoe del tpo: f ( ) = a + b () Sa che l'essteza d ua relazoe leare tra le due varabl s ammetta ota a pror, sa che vega solo potzzata, è coveete calcolare term costat a e b base a dat spermetal modo da poter stmare ache la precsoe co cu vegoo determat, per quato cocere la varaza d campoameto. Quest calcol vegoo esegut co l procedmeto della regressoe leare che forsce due term cercat utlzzado come dat gresso almeo tre coppe d valor delle due varabl. La retta dvduata dalla relazoe o passerà d regola per put spermetal, deft sul pao cartesao dalle coppe d valor, y usate per calcolare a e b; v sarao coè degl scart tra l valore spermetale y assocato ad u dato valore della varable dpedete e l corrspodete valore calcolato f( ) utlzzado la. I campo spermetale quest scart possoo essere dovut sostazalmete a due tp d cause, a carattere casuale o sstematco. Ache quado la relazoe tra e y è trsecamete leare, gl effett d error casual prodott dall'flueza d altre varabl o cotrollate, fao sì che ad u determato valore d possao realtà corrspodere valor dvers della y a secoda delle crcostaze; coè ache quado la varable dpedete è soggetta ad error trascurabl, la varable dpedete sarà soggetta a fluttuazo. Dal puto d vsta pratco l problema della regressoe leare s può porre sostazalmete e seguet term: Data ua sere d coppe d valor,y calcolare base a quest term costat a e b, modo da mmzzare ua data fuzoe degl scart tra valor spermetal e valor calcolat della varable dpedete e valutare l'ettà presumble d quest scart altr cas; Valutare l'attedbltà dell'potes della relazoe leare tra e y el seso d determare se gl scart tra valor spermetal e calcolat della varable dpedete hao u carattere sostazalmete casuale o rsultao sstematc tato da suggerre l'essteza d term o lear ella relazoe tra e y.. Calcolo de coeffcet d regressoe co l metodo de mm quadrat Rsolvedo tale sstema s rcava l polomo d prmo grado a mm Dat gl N+ put spermetal {, y } determamo coeffcet a e a della retta f ( ) = a + a che mmzzo la quattà R ( a, a ) somma de quadrat degl scart tra valor spermetal e calcolat della varable dpedete oppure N ( a, a) = = [ ( )] y a + a R ()

7 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 7 N ( a, a) = = [ ( )] y f R (3) Cerchamo valor de coeffcet a e a che redao mma la somma de quadrat degl scart coè la fuzoe R ( a, a ). La codzoe d mmo rchede la ulltà delle dervate prme. I u puto che mmzz R ( a, a ) le dervate parzal R / a e R / a soo etrambe. Aullado tal dervate parzal otteamo l seguete sstema leare d due equazo elle due cogte a e : a ( N + ) = = N N N a + a = = = = N a + a = y N y. (4) y y f ( 8 ) f( ) 6 {, y } ( ) y f Fgura Il sstema che s ottee è quadrato due equazo e due cogte, qud faclmete rsolvble.. La parabola d regressoe Dat gl N+ put {, y } determamo coeffcet a, a e a della parabola f ( ) = a + a + a che mmzz [ ] y ( a + a + a N, a, a) = ) = R ( a (5) Aullado le dervate parzal R / a, R / a e R a s ottee u / sstema d tre equazo elle tre cogte a, a e. Rsolvedo tale sstema s a ottee l polomo d secodo grado a mm quadrat. y f( z) 4 4 5, z

8 8 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC.3 Esame de dat e de rsultat.3. Il coeffcete d correlazoe Quado tra le due varabl v è (o o v è) ua relazoe d tpo leare è utle dsporre d u parametro che permetta d valutare l ettà d tale assocazoe. Il parametro utlzzato è l coeffcete d correlazoe dcato co r. Il fatto stesso che l coeffcete d correlazoe vega utlzzato per smetre l potes ulla, che o c sa coè alcua correlazoe tra le due varabl, basta ad dcare l utltà d rcorrere a questo parametro quado è data per ammessa a pror l essteza d ua be defta terdpedeza tra le due varabl o addrttura sussste tra loro u rapporto d causa ad effetto. Rcordamo che: ( ) ( y y) (, ) = = Cov y = ( ) = = σ (7) (6) ( ) y y = = σ y (8) rsulta ache Cov(, y) r = (9) σ σ y σ r = b () σ y Il campo d varabltà d r è compreso tra e ; due estrem corrspodoo ad ua correlazoe perfetta cu og varazoe d ua delle varabl è accompagata da ua d proporzoale ettà dall altra. Se r rsulta prossmo allo zero s deduce che le due varabl o soo legate da ua relazoe d tpo leare. Questo o sgfca affatto però che le due varabl o sao strettamete collegate e dpedao maera fuzoale l ua dall altra. Uo sguardo all equazoe basta per cofermare che per qualsas relazoe tra la e la y che da luogo a b= rsulta detcamete r=; è suffcete che el pao cartesao la relazoe y=f() da orge ad ua curva smmetrca (ad esempo cercho, perbole, parabola) perché tale codzoe sa soddsfatta. S deve qud teer presete che u basso valore del coeffcete d correlazoe o mplca automatcamete l asseza d assocazoe tra le due varabl; alteratva v è la possbltà che essta ua correlazoe, magar assa marcata, ma sostazalmete o esprmble medate ua relazoe leare.

9 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 9.3. Aals degl scart Cosderamo valor spermetal rportat Tabella. La retta d regressoe ha come equazoe f ( z) = z. I put spermetal e l equazoe della retta soo rportat fgura. Gl scart soo rportat Tabella e fgura Tabella y scart f( z) y scart 4 5 z, fgura E mportate aalzzare gl scart tra valor spermetal e valor calcolat. I questo caso la fgura o forsce motv per mettere questoe la valdtà dell potes s relazoe leare. Cosderamo ora u uovo esempo. I dat spermetal soo raccolt Tabella La retta d regressoe ha come equazoe f ( ) = I put spermetal, e la retta d regressoe soo rportat fgura 3 e Tabella. 4 6 Tabella y scart f( z) y scart 4 5 z, fgura 3 4 5

10 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC I questo caso gl scart hao u adameto sstematco tal da suggerre ulteror aals. Il calcolo de coeffcet d ua retta d regressoe permette d utlzzare la relazoe leare otteuta per la stma de valor d y assocat a valor d, seza però dvduare esplctamete quato sa realtà lecta l assuzoe dell potes d relazoe leare tra le due varabl. Nel caso della relazoe fuzoale dscussa quest esemp se le due varabl fossero veramete legate da ua legge leare, le dffereze y f () dovrebbero o solo essere meda uguale a zero ma ache avere seg postv e egatv secodo ua sequeza casuale quado vegoo cosderat valor crescet della. Questa cosderazoe suggersce l pù semplce metodo d cotrollo quello coè d rportare grafco resdu y f ( ). La fgura 3 rcavata dalla Tabella e dca l adameto. E chara la preseza d effett sstematc; y rsulta maggore d f() a due estrem del campo d varazoe e more ella zoa cetrale modo da suggerre ua effettva curvatura della lea che rappreseta la relazoe tra e y el pao cartesao. Quado l potes d leartà s dmostra valda solo prma approssmazoe quato essa o rsulta suffcete a spegare tutt gl effett sstematc preset s può rcorrere ad u modello pù complcato ad esempo alla rappresetazoe medate u polomo d orde superore al prmo- ad ua trasformazoe d varabl che dao luogo ad ua relazoe leare tra le varabl trasformate. I og caso l problema d determare se ua data potes che dà luogo ad u modello matematco è adeguata a rappresetare ua data sere d valor spermetal o può essere rsolto se o vee formulato u altro modello da cotrapporre alteratva. Va da sé che l modello pù adatto può esser formulato solo da ch coosce a fodo sotto og aspetto tecco l problema corso d studo..3.3 Varaza rspetto alla curva d regressoe La varaza σ (chamato ache scarto quadratco medo) e la devazoe stadard σ calcolate rspetto alla retta d regressoe costtuscoo ua msura degl scart tra gl valor spermetal e corrspodet calcolat utlzzado l'equazoe della retta corrspodeza degl stess valor della varable dpedete. L aals della varaza è utle quado s dspoga d due modell dvers alteratva. scart p σ = = = = scart σ () p p è l umero de parametr ecessar per defre la curva d regressoe. Ifatt, p= per la retta, p=3 per la parabola, e così va.

11 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 3. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE Cosderamo l seguete problema. Sao assegat seguet N+ dat spermetal {, y; =,,... N }, dove y dca l valore msurato corrspodete all ascssa. Costrure u polomo algebrco f ( ) = a + a +... a + modo che sa soddsfatta la codzoe d terpolazoe seso stretto, tale coè che: f ( ) = y, =,,..., N. Impoedo le codzo d terpolazoe, s ottee u sstema d equazo lear : a + a a + a a + a a a a + a + a + a = y = y = y =,..., N () S ottee qud u sstema s N+ equazo N+ cogte che soo gl N+ coeffcet a, a, a... a del polomo terpolate. Il sstema ha u'uca soluzoe se l determate della matrce de coeffcet è dverso da zero Dall algebra sappamo che ua matrce d questo tpo è d forma specale (s chamao matrc d Vadermode) ed l suo determate è sempre dverso da zero. Esste qud u polomo uco d grado (o orde m=n+) che assume valor dat N+ put dstt. La fuzoe f ( ) co tal caratterstche è chamata polomo d terpolazoe d grado e el seguto sarà deotata co P ( ). Dal mometo che sstem co matrc d Vadermode soo mal codzoat, la costruzoe del polomo d terpolazoe o è realzzata rsolvedo l sstema sopra aalzzato. 3. Approssmazoe polomale el seso de mm quadrat Sao assegat seguet dat spermetal {, y; =,,... N }, dove y dca l valore msurato corrspodete all ascssa. Suppoamo che tutte le ascsse sao dstte tra d loro. Voglamo trovare ua fuzoe P ( ) coè u polomo d grado :

12 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC tale che sa mma la quattà ( ) = a + a +... a P + (3) N [ ] y P ( ) R = (4) = S può dmostrare che l problema ha u uca soluzoe. Nel caso = la fuzoe P ( ) è u polomo d grado, che dà luogo alla cosddetta retta d regressoe leare. Nel caso = s otterrà u polomo d grado, rappresetato dalla parabola a mm quadrat. Sottoleamo l fatto che el caso =N+ (umero put N+ corrspode all orde m del polomo) l approssmazoe polomale el seso de mm quadrat degeera el polomo d terpolazoe per put dat, metre el caso >N+ l problema o ha soluzoe uca (e ha fte). 3. Problem ell terpolazoe polomale globale. Il umero d put usato ell terpolazoe s chama orde dell terpolazoe. Aumetare l orde o ecessaramete aumeta l accuratezza. Se put aggut soo lota dalla zoa d teresse l polomo terpolate tede ad avere fort oscllazo. Le oscllazo o hao geere alcua relazoe co la forma della fuzoe vera. Naturalmete aggugere put ella zoa d teresse d solto auta la qualtà dell terpolazoe ma o sempre. U tpco cotroesempo è quello dovuto a Ruge che rede palese questo fatto el caso che l terpolazoe vega fatta per od equdstazat. Cosderamo la fuzoe: f ( ) =, ell tervallo 5 < < 5. + Dvdamo l tervallo u umero d od 6, 8 e. Costruamo polom d terpolazoe d grado 6, (P 6 ()); 8 (P 8 ()) e (P ()). Notamo l forte adameto oscllate ache ell tervallo.5 f( ) P 6 ( ) P 8 ( ) P ( )

13 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 3 cu soo deft od che aumeta all aumetare dell orde dell terpolazoe (orde del polomo terpolate). Qud che elle applcazo può essere opportuo o usare l terpolazoe polomale globale, ma la tecca d terpolazoe composta, che cosste ell terpolare dat co u polomo a tratt d basso grado, evtado così le fort oscllazo che preseta l polomo d terpolazoe globale. L esempo pù semplce d applcazoe d tale tecca è l terpolazoe leare a tratt, che cosste el costrure ua fuzoe, che terpol put dat e che su og tervallo [, + ] cocda co u polomo d grado uo. La curva che rappreseta tale fuzoe rsulta ovvamete la spezzata che usce put dat. 3.3 Iterpolazoe medate fuzo sple cubche Abbamo gà osservato che, poché polom terpolat d grado elevato hao u comportameto oscllate, per evtare tale problema s possoo utlzzare fuzo polomal a tratt. Tuttava tal polom presetao delle dscotutà elle dervate e put d raccordo. Al fe d costrure fuzo terpolat regolar s troducoo le fuzo sple. Dat put,,...,, = u dato tervallo [ b] a, tal che: a < <... < < b. (5) Sa s ( ) ua fuzoe che su og tervallo [, ], =,...,, cocda co u polomo d u dato grado k, che e od assuma cert valor prefssat y e tale che o solo sa cotua ma abba ache tutte le dervate cotue fo all'orde k- cluso tutto l tervallo a, b. Ua tale fuzoe s drà fuzoe sple d grado k. [ ] Usare u polomo leare a tratt (l grado k del polomo è ) è la soluzoe pù semplce (ache se o la pù soddsfacete); vuol dre approssmare la fuzoe og tervallo [, ] co ua fuzoe leare S () (u tratto d retta) passate per put, defta ucamete ell tervallo [, ] (per due put passa ua sola retta). Le fuzo pù popolar soo certamete quelle cubche. La loro costruzoe è assa semplce. I partcolare dremo sple terpolate cubca assocata alla partzoe () ua fuzoe 3 S3 ( ) = a + b + c + d defta cascuo degl tervall [, ] ; la fuzoe k ( k) d S ) S 3( 3 = è ua fuzoe cotua ell tervallo [ a, b] per k=,,. k d La costruzoe d tale fuzoe rchede la determazoe d 4 parametr (4 per cascua cubca per gl tervall). Occorre defre qud 4 codzo.. S 3 ( ) = y =,... E la codzoe d terpolazoe: c soo + equazo ua per cascu odo. 3 ( S + ) S3( ) - equazo 3. () () S 3 ( + ) S3 ( ) - equazo

14 4 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC () () 4. S 3 ( + ) = S3 ( ) - equazo Per og odo dchamo 3 ( + S ) ( 3 ( S )) l lmte sstro (destro) d S 3 () per Complessvamete le codzo,, 3 e 4 cosetoo d scrvere 4- equazo. Ne macao due. A secoda delle scelte d tal due ulteror codzo s otterrao dvers tp d sples cubche terpolat, qual ad esempo : () + () ) sples atural se s mpoe S 3 ( ) = S3 ( ) = () () ) sples perodche se 3 ( + ) = 3 ( () () S S ) ; S 3 ( + ) = S3 ( ) Vedamo la fuzoe d Ruge approssmata ora da ua fuzoe Sple cubca. f( ) sple( )

15 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 5 4. INTERPOLAZIONE E REGRESSIONE CON MATHCAD 4. La retta d regressoe Le fuzo MathCad che cosetoo d calcolare la retta d regressoe soo slope ed tercept (oppure la fuzoe le). D seguto è rportata la stass d queste fuzo seme ad esemp d utlzzo. tercept Stass Descrzoe Argomet v, vy tercept(v,vy) Forsce l tercetta b della retta d regressoe a mm quadrat: f()=b+m vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy slope Stass Descrzoe Argomet v, vy slope(v,vy) Forsce l coeffcete agolare m della retta d regressoe a mm quadrat: f()=b+m vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy le Stass Descrzoe Argomet v, vy le(v,vy) Forsce u vettore cu elemet cotegoo l tercetta ed l coeffcete agolare m della retta d regressoe a mm quadrat: f()=b+m vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy v := vy := a := slope ( v, vy) a := tercept ( v, vy) a =.438 a =.8463 f( ) := a + a vy f( ) v, Iteressate l uso della fuzoe le le( v, vy) =

16 6 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC 4. La parabola (e polom) d regressoe La fuzoe MathCad che cosete d calcolare l polomo d regressoe d grado è regress. La fuzoe forsce u vettore che può essere utlzzato come put della fuzoe terp che cosete d valutare l polomo d terpolazoe. D seguto è rportata la stass d queste fuzo seme ad esemp d utlzzo. 3 y := := f( ) := terp( coef,, y, ) f( ) := coef := regress (, y, ) coef = y f( ) 5, y f( ) 5, regress Stass Descrzoe Argomet v, vy Commet regress(v,vy,) Forsce u vettore co coeffcet del polomo che approssma dat coteut v e vy. Il vettore può essere forto come put alla fuzoe terp che costrusce tale polomo vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy umero tero > La fuzoe d regressoe regress è utle per approssmare dat d ua msura spermetale co u polomo d grado. Per = s ha ua regressoe leare, per = parabolca, =3 cubca ecc S usa regress quado s vuole usare u solo polomo per approssmare tutt dat spermetal. I pratca raramete s va oltre =6. Le prme tre compoet del vettore d output vr= regress(v,vy,) soo vr =3 specfca alla fuzoe terp che dat provegoo da regress, vr =3 è l dce del vettore da cu comcao coeffcet del polomo, vr = l orde del polomo. I successv + elemet cotegoo coeffcet del polomo dal terme d mor grado al terme d grado pù elevato

17 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD Le curve sple Il polomo terpolate leare a tratt vee costruto co la fuzoe lterp. I polom terpolat a tratt cubc (le curve spe cubche) vegoo costrute co la fuzoe csple. Questa fuzoe forsce forsce u vettore che può essere utlzzato come put della fuzoe terp che cosete d valutare l polomo d terpolazoe. D seguto è rportata la stass d queste fuzo seme ad esemp d utlzzo. coef := csple( v, vy) f( ) := terp( coef, v, vy, ) vy l vy lterp( v, vy, ).5 f( ).5 5 v, 6 5 v, lterp Stass lterp(v,vy, ) Descrzoe Iterpola valor coteut usado ua fuzoe leare. Argomet v, vy Commet vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy. Gl elemet v dovrebbero essere orde crescete. L terpolazoe cosste ell usare put spermetal o comuque dspobl per predre valor compres tra quest put. MathCad cosete d coettere quest put co delle lee rette (terpolazoe leare). A dffereza delle fuzo d regressoe, queste fuzo terpolat forscoo ua curva che passa per put spermetal. Pertato la fuzoe rsultate è molto sesble a dat spur. Se dat spermetal presetao molto rumore dovrebbe essere meglo utlzzare u polomo d regressoe. Per trovare l valore d terpolazoe per ua partcolare, lterp trova due put tra cu è compreso e forsce l valore corrspodete d y usado l equazoe della lea retta che coguge due put. Per valor d pù pccol del pù pccolo valore v, MathCad estrapola l polomo cubco ell tervallo descrtto da pù pccol valor v. Per valor d pù grad del pù grade valore v, MathCad estrapola l polomo cubco ell tervallo descrtto da pù grad valor v. Per avere rsultat sesat o usare terp co valor lota da put spermetal. Ifatt le fuzo lterp soo tese per terpolazoe d dat ma o per estrapolazoe.

18 8 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC csple Stass Descrzoe Argomet v, vy csple(v,vy) Forsce u vettore de coeffcet d ua sple cubca. Il vettore può essere forto come put alla fuzoe terp che costrusce tale fuzoe. vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy terp Stass terp(vs,v,vy, ) Descrzoe Argomet vs Iterpola valor coteut usado la fuzoe cu coeffcet soo coteut vs. v e vy soo vettor de put spermetal su qual s è costuta la fuzoe approssmate. vettore forto come output dalle fuzo csple o regress v, vy Commet vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy Cosderamo prma l caso cu terp è usata co l output della fuzoe csple. Per trovare l valore terpolato corrspodeza d u partcolare valore, MathCad trova due put tra qual è compreso l valore. Qud MathCad forsce l valore f() usado l polomo cubco compreso tra due put. Per valor d pù pccol del pù pccolo valore v, MathCad estrapola l polomo cubco ell tervallo descrtto da pù pccol valor v. Per valor d pù grad del pù grade valore v, MathCad estrapola l polomo cubco ell tervallo descrtto da pù grad valor v. Per avere rsultat sesat o usare terp co valor lota da put spermetal. Ifatt le curve Sple soo tese per terpolazoe d dat ma o per estrapolazoe. Nel caso s sa usata vece la fuzoe regress, terp calcola valor f() usado l polomo d regressoe

19 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD Regressoe leare geeralzzata. No tutt dat possoo essere modellzzat da rette o polom. C soo cas cu c'è la ecesstà d modellzzare dat co ua combazoe leare d fuzo arbtrare. La fuzoe d MathCad lft è costruta per rsolvere quest problem. Se s pesa che dat esame possao essere approssmat da ua fuzoe F() combazoe leare d alcue fuzo scelte arbtraramete F ) = a f ( ) + a f ( ) a f ( ) s usa lft per determare coeffcet a. L'esempo ( rportato sopra mostra ua fuzoe F() combazoe leare d tre fuzo, e (-) -. F ( ) = a + a + a3. La fuzoe lft utlzza ua tecca a mm quadrat per + determare coeffcet a, a e a 3 ecessar per defre la fuzoe F() v := vy.8 := F( ) := S := lft( v, vy, F) S = vy f( ) fuzoe approssmate f( ) 3.87 := v, lft Stass Descrzoe Argomet v, vy F Commet lft(v,vy,f) Forsce u vettore co coeffcet usat per creare ua combazoe leare d fuzo come specfcato F che meglo approssma dat specfcat v e vy. Forsce come rsultato u vettore che cotee coeffcet per costrure la fuzoe F vettor real della stessa dmesoe che cotegao le coppe d valor spermetal orde crescete per la varable dpedete v e per la varable dpedete vy Fuzoe d ua sgola varable costtuta da u vettore coteet sgole fuzo La fuzoe d MathCad lft è basata sulla tecca de mm quadrat lear. Forsce u vettore d coeffcet per costrure la combazoe leare co cu cascua fuzoe specfcata el vettore F, cotrbusce alla defzoe della fuzoe F complessva. C soo stuazo cu eache lft è suffcete. Ifatt dat potrebbero o essere modellzzat da ua combazoe leare d fuzo. Ad esempo se dat possoo essere modellzzat dalla fuzoe F( ) = a s( ) + a tah(3 ) è suffcete calcolare pes a e a usado lft. Se vece è rchesta ua fuzoe del tpo F ( ) = a s( b ) + a tah( b ) occorre determare ache parametr b e b ed è ecessaro l'utlzzo d altre fuzo specalzzate d MathCad come epft, logft, ecc.. o la procedura geerale medate l'uso della fuzoe merr

20 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC che s basao su tecche a mm quadrat o lear. La soluzoe d equazo o lear è trattata el captolo 7. Alcue fuzo caratterstche che s possoo utlzzare co la fuzoe lft soo:. Somme d poteze d (polom d grado cu possoo o o macare uo o pù term). Ad esempo 3 f ( ) = a + b + c. f ( ) = a + b ep( ) 3. f ( ) = a + b ep( ) 4. f ( ) = a + b l( ) 5. f ( ) = a + b ( ) 4.5 Regresso specalzzate I alcu cas è ecessaro utlzzare fuzo approssmat cu parametr da calcolare o soo semplcemete de pes che moltplcao var term che le compogoo (ved esemp -5 del puto precedete), ma soo ess stess argometo della fuzoe. Ad esempo s cofrot la fuzoe g( ) = a + ep( b ) co la fuzoe f ( ) = a + b ep( ). Nella fuzoe g() l parametro b o è semplcemete l peso del terme ep() ella fuzoe complessva ma è esso stesso argometo dell espoezale. La dffereza è che parametr a e b della fuzoe f() vegoo determat medate l metodo de mm quadrat che porta a rsolvere u sstema d equazo lear a e b. Nel caso della fuzoe g() l calcolo de parametr a e b medate ua tecca a mm quadrat coduce a rsolvere u sstema d equazo o lear a e b che rchede qud l uso d tecche umerche. MathCad possede alcue fuzo specalzzate per l calcolo de parametr d alcue tpche fuzo matematche.. epft calcola parametr della fuzoe a ep( b ) + c. logft calcola parametr della fuzoe a l( + b) + c 3. pwrft b calcola parametr della fuzoe a + c 4. sft calcola parametr della fuzoe a s( + b) + c 5. lgsft a calcola parametr della fuzoe + b ep( c ) epft, lgsft, logft, pwrft, sft Stass epft(v,vy,vg), lgsft(v,vy,vg), logft(v,vy,vg), pwrft(v,vy,vg), sft(v,vy,vg) Descrzoe Forscoo parametr a, b e c per defre le fuzo descrtte e put -5 Argomet v, vy v e vy soo vettor de dat spermetal vg vg è u vettore che cotee valor d parteza per parametr a, b e c (ved le tecche umerche descrtte el captolo 7. Commet Utlzzao tecche basate su mm quadrat o lear. Utlzzao qud metod umerc descrtt el captolo 7. Rdurrel valore della varable TOL mglora l'accuratezza co cu queste fuzo calcolao valor de parametr

21 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 4.6 Regressoe o leare geeralzzata β β S vuole approssmare ua sere d dat co la fuzoe F(, α, β ) α β ep( α ). Nessua delle fuzo d MathCad vste fora può calcolare parametr d questa fuzoe. Ua possbltà è l utlzzo della fuzoe Merr. Gve ( ) := α β F, α, β ( ) R α, β := = α := β := R( α, β) ( ) β ep α β ( ( )) y F, α, β α := Merr( α, β) α =.58 β =.35 β valor d prova := y := y F( z, α, β ).5 Gve Merr Stass 3 4, z Gve somma scart quadratc = Merr(var, var, ) Descrzoe Forsce valor delle varabl var, var, pù prossme a rsolvere u sstema d equazo specfcate da Gve. Le struzo Gve Merr costtuscoo u solve block. Argomet var, var, soo varabl real o complesse a cu bsoga forre valor d prova fuor dal blocco Gve Merr Commet La fuzoe Merr è molto smle alla fuzoe Fd e usa esattamete lo stesso algortmo. La dffereza è che se ache l sstema o ha soluzo, Merr cercherà comuque valor pù prossm a rsolvere l sstema. La fuzoe Fd questo caso darebbe u messaggo d errore avvertedo d o poter trovare ua soluzoe. L uso d Merr è esattamete detco a quello d Fd. La ecesstà d ua maggore accuratezza de rsultat rchede d rdurre l valore d TOL (covergece tolerace). Il sgfcato d TOL è descrtto el paragrafo 7.. Allo stesso modo potrebbe essere utle rdurre l valore d CTOL (costrat tolerace). CTOL cotrolla quato u vcolo deve essere rgdo affché ua soluzoe sa accetable. Ad esempo CTOL=. (valore d defaoult) dca che l vcolo < può cosderars soddsfatto se <. Merr geere forsce ua soluzoe che mmzza l'errore. Merr o garatsce che l rsultato sa u mmo assoluto. La qualtà delle soluzo va sempre verfcata co l calcolo della devazoe stadard o dello scrto quadratco medo. Merr è partcolarmete utle el rsolvere problem a mm quadrat o lear

22 A. M. Ferrar - Apput d LPCAC 5 APPENDICE 5. Metodo d Lagrage Preseteremo ora u metodo umerco per la costruzoe del polomo P ( ). S poga : evdetemete j l,..., j= j j l l ( ) =, =, ( ) P, j = δ j ( ) =,,..., j = j, j =,,..., I polom l (), =,.. soo dett polom caratterstc d Lagrage ed attraverso d ess è possble otteere P () ella seguete forma detta d Lagrage: (6) P ( ) = l ( ) f = (7) j δ j j,...,. (8) = Ifatt : P ( ) = f = f, j =,

23 . APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD 3 6 BIBLIOGRAFIA [] G. Moegato Calcolo Numerco Levrotto e Bella 985 [] A. Quartero Elemet d Calcolo Numerco Progetto Leoardo 994 [3] W. H Press et al. Numercal Recpes Cambrdge Uversty Press 99 [4] R. Lev Elemet d Statstca Spermetale Isttuto per le rcerche d tecologe meccache Vco Caavese 97 [5] R. G. Mortmer Mathematcs for Physcal Chemstry Academc Press 999 [6] Mathcad Referece Maual MathSoft [7] MathCad User's Gude MathSoft