Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte 1)

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1 Eserctazoe 4 del corso d Statstca (parte ) Dott.ssa Paola Costat Febbrao 0 Eserczo Data la dstrbuzoe del carattere Reddto d cu all eserczo precedete se e msur l grado d cocetrazoe. La cocetrazoe d u carattere quattatvo è possble solo se l carattere è trasferble, coè quado l carattere può passare da u utà all altra del collettvo. Il carattere Reddto è u carattere trasferble e s parte dalla successoe de valor ordat seso o decrescete. Reddto La cocetrazoe d u carattere s msura rspetto ad ua codzoe detta d equdstrbuzoe. S ha cocetrazoe ulla quado l ammotare totale del carattere è rpartto part ugual tra le utà. S ha cocetrazoe massma quado tutto l carattere è posseduto da ua sola utà, metre (-) utà o possedoo ulla. p q la frazoe cumulata de prm reddter,,,3,... p reddter,,,3,... la frazoe cumulata del reddto posseduto da prm p

2 q Reddto Reddto Cumulato p q p q ,083 0,066 0, ,67 0,3 0, ,5 0,06 0, ,33 0,85 0, ,4 0,364 0, ,5 0,443 0, ,58 0,5 0, ,67 0,604 0, ,75 0,696 0, ,83 0,789 0, ,9 0,89 0, ,497 Possamo dre che c è equdstrbuzoe quado q p per og,,3,... U dce che msura la cocetrazoe è l Rapporto d cocetrazoe (R) d G. S tratta d u dce relatvo che vara tra 0 e. 0 R R ( p q ) p R 0,497 5,5 0,09 R0 s ha cocetrazoe mma. R s ha cocetrazoe massma. Ua rappresetazoe grafca della cocetrazoe può essere fatta attraverso la curva d Lorez (curva d cocetrazoe), ovvero la spezzata che s ottee uedo put d coordate (p, q) rappresetat sul pao cartesao.

3 La bsettrce rappresetata sul grafco rappreseta la stuazoe d equdstrbuzoe. L area compresa tra la curva d cocetrazoe e la retta d equdstrbuzoe vee detta area d cocetrazoe, I alcue crcostaze s poe u maggor teresse sullo studo della varabltà tra le sgole utà statstche, puttosto che lo studo della varabltà rspetto ad u cetro. Lo studo della mutua varabltà è possble attraverso l calcolo dell dce Delta ( ) che rappreseta la meda delle dffereze, valore assoluto, d tutte le possbl coppe seza rpetzo. Eserczo Data la dstrbuzoe del carattere Reddto de sol masch, espresso mglaa d euro, se e msur l grado d cocetrazoe. Sesso Reddto M,5 M,8 3 M 3,0 4 M 3,0 5 M 3, 6 M 3,5 7 M 4,0 ( ) S dspogoo valor ordat ua tabella doppa sa rga che coloa:

4 ,5, , 3,5 4,5, , 3,5 4 I modo da calcolare faclmete le dffereze d tutte le possbl coppe,5, , 3,5 4,5 0 0,3 0,5 0,5 0,6,5,8 0,3 0 0, 0, 0,3 0,7, 3 0,5 0, 0 0 0, 0,5 3 0,5 0, 0 0 0, 0,5 3, 0,6 0,3 0, 0, 0 0,4 0,9 3,5 0,7 0,5 0,5 0,4 0 0,5 4,5, 0,9 0,5 0 Effettuado la somma degl elemet d og coloa (margale d coloa) s ha: 4,4,9,3,3,4 3,6 6, Effettuado la somma de margal d coloa s ottee l valore 4 che corrspode al umeratore dell dce Delta. Adesso dspoamo d tutt dat per poter calcolare l dce. ( ) 4 4 0,57 Quado tutte le modaltà cocdoo, l dce Delta assume valore zero ( 0).I preseza d caratter trasferbl è possble calcolare la varabltà massma e qud l valore massmo d Delta. L dce Delta assume l valore massmo quado tutte le modaltà trae ua soo ulle ( µ). Il Rapporto d Cocetrazoe (R) d G s ottee dvdedo Delta per l suo valore massmo. R µ

5 S tratta d u dce relatvo che vara tra 0 ed. 0 R R0 s ha cocetrazoe mma. R s ha cocetrazoe massma. Nel ostro eserczo la meda del reddto de masch è par a N µ N 4 7 3,4 Qud l massmo valore che può assumere Delta sarà: µ 3,4 6,86 Per cu l rapporto Cocetrazoe d G (R) sarà par a Eserczo 3 R µ 0,57 6,86 0,083 A partre dalla dstrbuzoe della varable Età, costrure l boplot ETA' f N F 9, 0,05 0,05 9, 0,05 0, 0, 0,05 3 0,5 0,3 0,05 4 0, 0,5 0,05 5 0,5 0,6 0, 7 0,35 0,8 0, 9 0,45 0,9 0,05 0 0,5 0, 0,6,4 0,05 3 0,65,8 0,05 4 0,7, 0,05 5 0,75,7 0,05 6 0,8 3,3 0,05 7 0,85 3,9 0,05 8 0,9 5 0,05 9 0,95 7, 0,05 0 totale 0 Q 0,5 Me 0,9 Q3, a Q,5 (Q3 Q) 0,5 -,5 (,-0,5) 8 b Q3 +,5 (Q3 Q), +,5 (,-0,5) 4,5 α m 9,

6 β ma 7, 8,00 9 6,00 4,00,00 0,00 8,00 ETA' Eserczo 4 Calcolare gl dc d forma per l carattere Età suddvso 3 class equfrequet. a) L dce d Fsher, è u dce d forma basato su momet terz stadardzzat: Partedo dalla dstrbuzoe class del carattere Età, C f N F ĉ C [9,; 0,6] 7 0,35 7 0,35 9,85 C ] 0,6;,8] 7 0,35 4 0,70, C3 ],8; 7, ] 6 0,30 0 4,45 Total 0,00 Calcolamo dapprma la meda artmetca e la medaa Meda µ X k ˆ k (9,85 7 +, 7 + 4,45 6) 0,7

7 Medaa Me + ( ) Me Me Me 0,5 F F F Me Me Me 0,5 0,35 Me 0,6 + (,8 0,6), 0,70 0,35 0,5 0 Q 9, + (0,6 9,) 0, 7 0,35 0 0,75 0,70 Q3,8 + (7,,8), 68 0,70 Po la varaza ( 9,85,7 ) 7 + (,,7 ) 7 + ( 4,45,7 ) 6 σ ( ˆ c ) * 3,5 0 σ σ,9 A questo puto abbamo tutt gl elemet utl per calcolare l dce d asmmetra d Fsher. ĉ ˆ ( c ) Z ˆ ( cˆ ) 3 Z c Z σ σ ( ) C [9,;0,6] 7 9,85 -,85-0,97-0,9-6,37 C ] 0,6;,8] 7, -0,5-0,6-0,075-0,5 C3 ],8; 7, ] 6 4,45,75,45 3,05 8,3 Total 0,8 cˆ γ σ 3,8 0,59 0 Possamo cocludere che la dstrbuzoe è caratterzzata da u asmmetra postva (dce maggore d zero). Tale rsultato è cofermato dal cofroto tra la medaa e la meda artmetca.,7 > Me,

8 b) Hotellg-Solomo Hotellg-Solomo,7,0,3,9 Asmmetra postva Eserczo 4 Cosderado ua dstrbuzoe d frequeza relatva alla dstrbuzoe della varable QUADRATURA ABITAZIONE 5 class come d seguto rportata calcolare la dffereza meda semplce. Quadratura abtazoe Frequeze assolute [85, 95[ 4 [95, 05[ 6 [05, 5[ 3 [5, 5[ 4 [5, 35[ 3 40 Per ua dstrbuzoe d frequeza la dffereza meda semplce o dce d mutua varabltà s calcola come segue: ( ) S chama dffereza meda assoluta la meda artmetca de valor assolut delle dffereze. Tale dffereza s dce co rpetzoe se s cosderao tutte le dffereze (coè comprese le ulle); seza rpetzoe se s cosderao solo le ( ) dffereze otteute escludedo term ull della dagoale prcpale ( ) (40 ),3