Avvertenza. Rendite frazionate

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1 Avverteza Quest lucd soo pesat solo come u auslo per l ascolto della lezoe. No sosttuscoo l lbro d testo Possoo coteere error e svste, che gl studet soo vtat a segalare Redte frazoate L tervallo tra ua rata e la successva è costate (t t e par a /m d ao Ivece d pagare R alla fe (zo d og ao, pago R/m alla fe (zo d og mesmo d ao Le formule date fora soo valde, ma l tasso da usare è quello corrspodete al perodo d frazoameto utlzzato Es. valore attuale della redta frazoata atcpata m m R R ( m ( m V a R m m m m j m m

2 Esempo d esame/ Calcolare, al tasso composto auo del %, l valore attuale d ua redta postcpata d durata 4 a, co rata aua d pagable semestralmete. Esempo d esame/ Calcolare, al 9% composto auo, l valore attuale d ua redta postcpata trmestrale co rata d 5 og tre mes che dura a.

3 Motate d ua redta (utara aua atcpata mmedata temporaea d durata a R R R R Σ m m M co ( ( ( ( ( L m m m ( ( ( ( s& & Quattà ota: Nel caso d redta o utara: ( ( ( ( R Rs R R M & & Motate d ua redta aua postcpata mmedata temporaea d durata a R R R R Σ M s ( ( ( ( ( ( ( ( ( L s& & Nel caso d redta o utara: ( R Rs M

4 Osservazoe a ( ( Duque: s a ( ( Coè: regme d teresse composto (scdble posso sempre trovare l motate captalzzado da a l relatvo valore attuale s M V Σ R R R R Valutazoe d redte co regm dvers dall teresse composto S procede come per qualuque OF Es.: Calcolare l V d ua redta utara auale postcpata mmedata temporaea d a usado lo scoto razoale V L 3 Es. : Calcolare l medesmo V usado lo scoto commercale V ( d ( d ( d3 L ( d ( d d Sommatora de prm umer atural

5 Esercz d cosoldameto S soo versat per a cosecutv 5 au postcpat. Il tasso auo composto, zalmete del 8%, è stato portato, dopo l versameto della 4 a rata, al %. Calcolare l motate fale. Data ua redta d rate aue, ogua d 4, calcolare l valore attuale, al tasso auo composto del 8,5%, ell potes che la prma rata scada. Tra u ao. Ogg 3. Tra 4 a 4. Tra 8 mes Esercz d cosoldameto Ua redta è costtuta da rate aue postcpate, d cu le prme 8 d.3 e le successve d.6. Calcolare l valore attuale della redta al tasso auo del,5%. Per u acqusto del valore d 4.5, paghamo subto l 3% e saldamo co 8 rate aue postcpate. Calcolare la rata, se l tasso applcato è l 5% composto auo.

6 Esercz d cosoldameto U prestto d 7 vee rmborsato co rate mesl postcpate d l ua, al tasso composto auo del 6,8%. Determare. Trovare composto auo tale che l motate d ua redta costtuta da 6 rate postcpate aue d 8 è uguale al motate d ua redta d rate aue postcpate d 3. V Redte co rata o costate besì progressoe geometrca Rv 3 R Rq Rq Rq Rq Rv Rqv Rv [ qv ( qv ( qv Rq v 3 ( qv ( qv Rv qv L Rq 3 L ( qv v Rq v ( qv ] ä, ma co qv al posto d v

7 Esempo d esame Usado u tasso composto del 5%, calcolare l valore fale d ua redta aua co la prma rata, d, tra u ao, e le successve ove ogua par alla precedete pù l %. Costtuzoe d u captale M ad ua data futura T Per dsporre d M alla data T c soo 3 mod. Versameto uco, al tempo t<t, d C C m(tt M. Versamet perodc costat, par a R, tal che R& s M oppure Rs 3. Versamet rregolar d mport r [R R R ] a temp t [t t t ], tal che sa T t W ( r, t; T R ( M t Vedamo ora tre esemp M

8 Esempo d esame/ Costture, co u uco versameto data odera, la somma M tra ove a, utlzzado l tasso composto del %. Determare l valore del fodo d costtuzoe dopo cque a da ogg. Esempo d esame/ Determare la rata ecessara per costture u captale d, al tasso composto del 7%, co 5 versamet au postcpat.

9 Esempo d esame/3 Per costture, al tasso auo composto del %, la somma d 5. tra a vegoo programmat seguet versamet R 8 al tempo t R 4. al tempo t 5 Determare l mporto del terzo e ultmo versameto, da effettuare t 3 8. Ammortameto d u debto Specfcazoe d rate e temp ( valute e qual s cocretzzao la resttuzoe e la remuerazoe del debto Resttuzoe e remuerazoe d u debto par a S Rate e temp vegoo specfcat u pao (prospetto d ammortameto Uco pagameto fale: M S ( T, oppure M S (t, ecc. Pù pagamet (ammortameto: Iteress perodc su S e rmborso fale d S Rmborso graduale d S e pagameto graduale d teress Ammortameto vero e propro

10 7 caratterstche d u pao d ammortameto. R C I Og rata s dvde quota captale (rmborso e quota teress (remuerazoe. S D E I qualuque mometo, l debto resduo D e quello gà estto E eguaglao l debto orgaro S 3. I partcolare, se E D S E S D 4. D D C E E C 7 caratterstche d u pao d ammortameto 5. I (t t D L teresse pagato all state è coteggato sul perodo tra t e t, e sul debto resduo el perodo precedete. Adottado ad esempo l teresse composto, questa caratterstca dveta: I t t [( ] D Se po l ammortameto è perodco auo, coè t t (coè: t t, allora: I [( ] D D

11 6. 7 caratterstche d u pao d ammortameto C S codzoe d chusura elemetare 7. v ( t R S codzoe d chusura fazara, o d equtà Esempo d pao d ammortameto valdo Resttuzoe d u prestto d. 3 a, al tasso composto del % t I C R I C D E Nota bee: C S Verfcare oltre che v ( t R S

12 Esempo d esame Completare l seguete pao d ammortameto al tasso composto auo del % t I C R I C D S 3 I I 835 Esempo d esame Completare l seguete pao d ammortameto utlzzado l regme d captalzzazoe composto t I C R I C D S

13 Metod d ammortameto Qualsas pao che rspett le sette caratterstche vste sopra è valdo Tuttava, esstoo alcu metod pù usat:. Rmborso dell tero captale a scadeza. Metodo talao (quota captale costate 3. Metodo fracese (rata costate 4. Metodo amercao (o de due fod Vedamol N.B. Per semplctà tratteremo scadeze aue tere. Se fossero frazoate mesm d ao, bsogerebbe cosderare l umero d rate m e l tasso equvalete m, ma le formule resterebbero valde.. Rmborso del captale a scadeza e pagameto perodco d sol teress Il debto resduo (su cu pago teress resta quello orgaro fo all ultma rata L ultma rata comprede teress e rmborso del captale S S D S,,, I S C,,, S R S,,, ( S E,,, S SS

14 Esempo d ammortameto co questo metodo Ammortzzare u prestto d 3 a, al tasso del % t 3 I C % R D E Nota bee: C S Verfcare oltre che v ( t R S C C,. Metodo talao: quote captal costat duque dalla codzoe d chusura elemetare: S C S C C D cosegueza: E D C j S E C S S S s

15 Metodo talao e progressoe artmetca S dce che x vara progressoe artmetca d ragoe r se x x r Col metodo talao, D, E, I e R varao tutt progressoe artmetca, fatt: E S S E ( S I C D I D I S D D ( S S ( ( S S S Esempo Ammortzzare, co metodo talao, u prestto d 8 4 a, al tasso del % t I C 8 6 % R 8 6 D E 4 Nota bee: C S Verfcare oltre che v ( t R S

16 Esempo d esame U prestto è ammortzzato co metodo talao 8 a. Le quote teresse decrescoo og ao d 54, e la oa rata è d 99. Trovare S e 3. Metodo fracese: rate costat I questo caso: R R, duque dalla codzoe d chusura fazara: v( t R R v( t S segue che: R S a S v Ra

17 Esempo co questo metodo Ammortzzare u prestto d 3 a, al tasso del 5% R S v,5,5 3 t I C 367, R D Σ , 367, 68,8 5% 34, 333, 367, 7,5 349,7 5% 5% 367, 349,7 Metodo fracese e progressoe geometrca I qualuque state, l debto resduo cocde co l valore attuale delle rate acora da pagare: D Ma allora I Ra Da cu: C v D R R R I R R C Rv v C Rv C ( C ( v ( v Rv Progressoe geometrca d ragoe q

18 R Metodo talao e fracese S R S I C a I C Italao: R e I decrescoo progressoe artmetca Fracese: C aumeta progressoe geometrca Esercz d cosoldameto U prestto è rmborsable 5 a, co ammortameto fracese, al tasso auo del 3,5%. Il debto estto subto dopo l versameto della 6 a rata è d 5.4. Calcolare l mporto del prestto e della rata. U prestto è rmborsable a co ammortameto fracese. La quota captale della quarta rata è.74,3, metre la quota teress è 394,655. Calcolare S e.

19 Nota al prmo eserczo: t R I C D E Metodo amercao, o de due fod Per t, paga teress I al tasso Og rata è composta da due pagamet che servoo a: pagare gl teress su S; almetare u fodo co cu rmborsarlo Debtore Per t, costtusce u captale par a S versado rate Q calcolate al tasso j Deposto Baca I t, resttusce S Og rata è: R I Q Coè: co Q Q s R S S s j j S

20 Redgere l pao d ammortameto a 5 a, co metodo amercao, d. al tasso %, utlzzado u tasso j% per la costtuzoe del captale S. Esempo d esame % % Osservazoe sull eserczo U ammortameto fracese al % avrebbe comportato u esborso auo par a S, R 638 > 574, 5 a a, 5 % I questo esempo l metodo amercao è pù coveete perché la baca c rcoosce u j > che accelera la costtuzoe del fodo. Se fosse j <, allora sarebbe pù coveete l metodo fracese Il prossmo eserczo mostra u caso cu la scelta apparetemete o è mmedata

21 Esempo d esame Dato u debto d 5. s scelga l pù coveete tra Ammortameto amercao 8 a co pagameto d teress al % e tasso auo d costtuzoe del captale del % Ammortameto fracese 8 a al tasso del,5% Valutazoe d u prestto Comporta l calcolo del valore attuale delle rate o acora scadute u dato state τ t < τ < t S valuta l vettore r* {R t > τ} co t* {t t > τ} E smle al valore resduo d ua geerca OF La valutazoe avvee a u tasso y detto tasso tecco, geerale dverso dal tasso orgaro ( t τ W ( r*, t*; τ V R ( y τ Se vece questo y cocde co l tasso a cu era stato redatto l pao d ammortameto, allora W ( r*, t*; τ V D τ t > τ τ (coè: l valore attuale delle rate resdue cocde co l valore del debto resduo

22 Esempo d esame / U prestto d. è ammortzzato 5 a al % rate costat. Se e determ l valore, al tasso tecco del %, subto dopo l pagameto della terza rata. S, R 77,4 5 a a, 5% V 3 77,4a % al %, 77,4, 48,45 Esempo d esame / Trovare V 3 al % se l precedete prestto fosse stato ammortzzato a quote captale costat al tasso del %.

23 Usufrutto e uda propretà V soo cas cu l valore V τ del prestto va scsso due compoet, ad esempo perché s cedoo le future quote captale a qualcuo, e le future quote teress a qualcu altro Usufrutto: U Nuda propretà: τ t > τ P τ I ( y t > τ ( t τ C ( y N.B. da R C I ( segue che V τ U τ P τ ( τ ( t τ Esemp d esame. U prestto d. è ammortzzato 5 a al % rate costat. S determ l valore, al tasso tecco del %, d usufrutto e uda propretà subto dopo l pagameto della terza rata.. Trovare U 3 e P 3 al % se l precedete prestto fosse stato ammortzzato a quote captale costat al tasso del %.

24 Redte sego costate Valutazoe d progett Progett U progetto è u OF, co fluss x a temp t, tale che esstoo almeo due fluss co sego dscorde:, h x < sego che camba x h OF Operazo fazare Alcue tpologe d progetto Ivestmeto seso stretto: tutt gl esbors precedoo tutt gl trot Fazameto seso stretto: tutt gl trot precedoo tutt gl esbors Ivestmeto seso geerale: la scadeza meda poderata (per gl mport degl esbors è ferore a quella degl trot Fazameto seso geerale: la scadeza meda poderata (per gl mport degl trot è ferore a quella degl esbors

25 Cofroto tra progett Il cofroto tra pù progett è ammssble solo se quest godoo d 4 requst, e soo: Ammssbl compatbl co la stuazoe ecoomcofazara del soggetto che l valuta Idpedet l attuazoe d uo o flueza l attuabltà degl altr Alteratv uo esclude l altro, per esempo perché l captale da vestre è lmtato Cofrotabl ( completezza omogee per durata e captale vestto Redere cofrotabl due progett Cosderamo due progett molto semplc: H e K No soo cofrotabl, perché rchedoo vestmet dvers Aggugamo K, regolato a tass d mercato Metto baca 5 euro avazat Ora H e K* (K K soo cofrotabl! Se vece la durata fosse dversa dovre prevedere u progetto d revestmeto, co durata par alla durata resdua del progetto pù lugo Progetto K. 7 5 Progetto K Ivestt al tasso d mercato (%. Progetto H.5 Progetto K*

26 Crter d valutazoe/selezoe. REA Redmeto Ecoomco Attualzzato Detto ache VAN (Valore Attuale Netto o DCF (Dscouted Cash Flow. TIR Tasso Itero d Redmeto Detto ache IRR (Iteral Rate of Retur REA Redmeto Ecoomco Attualzzato No è altro che l valore attuale del progetto, valutato ad u certo tasso composto REA x ( I pratca, esbors e trot vegoo: t. Res omogee dal puto d vsta temporale, esprmedol tutt come valor al tempo zero. Sommat, per calcolare l saldo etto

27 Esempo d esame Dato l progetto A, descrtto da: x [ 6 7] e t [ ] valutare l suo REA al tasso del %. Nota: posso usare l REA come crtero d Valutazoe: l l progetto A Selezoe: dat due o pù è coveete perché progett alteratv, scelgo ha ha u u REA> quello co l l REA (postvo progetto accettable pù elevato Esempo d esame / Dato l progetto B, descrtto da: x [ 3] e t [ ] dre se, al tasso del %, è preferble a A base al crtero del REA. Valutazoe: l l progetto B è è accettable Selezoe: l l progetto B è è preferble a a A

28 Osservazo sul REA REA (AB REA A REA B Il REA d u progettosomma è par alla somma de REA REA αa α REA A Se scalo (es. raddoppo fluss, scala ache l REA REA f( Il REA dpede da, è ua fuzoe d REA A ( % 9,375 REA A (5% 6,5 7,5,6 REA A (5% 6,5 7,5 REA A,6 9,37 7, 5% 7, REA f( % 5% REA P f(: cofroto tra progett Rpetamo l cofroto tra A e B: REA A REA B % 9,375 6% 35, 5% 8,9,5 36,7 8,9 meo peggo

29 REA f(: studamola meglo Cosderamo u progetto d vestmeto seso stretto (prma gl esbors, po gl trot Il prmo flusso x ( t è u esborso (x < La somma de fluss o scotata è postva: Σx > E cotua, > 3 REA f ( x ( t f( Σx > (ha tercetta postva lm x x x x lm L x < t ( t t ( ( ( ha u astoto orzzotale (egatvo REA f(: studamola meglo REA f( Σx 4 E possble mostrare che se l progetto è d vestmeto seso stretto, REA( ha dervata egatva (decresce co 4 3 f( cotua y x <

30 REA P f(: cofroto tra progett REA REA K < REA K REA K > REA K REA K REA H E evdete che la scelta d è crucale dev essere u tasso d mercato, sgfcatvo delle codzo a cu u azeda può debtars o revestre provet del progetto La scelta d u d mercato rede utle l agguta d progett tegratv per redere cofrotabl progett Progett cofrotabl e scelta d 7 5 Progetto K Ivestt al tasso d mercato (% 55 5 Progetto K..5. Progetto H. REA ( % H 9,9 REA K 5 ( % Ma ache: REA K 5 7 ( % Ifatt: REA Progetto K* * K* REAK K REAK REAK REAK 36,4 36,4 perché regolata a tass d mercato (equa

31 La scelta del gusto tasso E trsecamete arbtrara e dffcle: S suppoe lo stesso tasso sa per sald passv (debt che attv (revestmeto d provet S suppoe lo stesso tasso per somme d dversa ettà S suppoe lo stesso tasso per tutta la durata dell operazoe Cresce allora l teresse per u crtero d valutazoe / selezoe de progett dverso TIR, o tasso tero d redmeto TIR Tasso Itero d Redmeto REA( REA(> <<* * REA(< >* x TIR * REA( * t ( Esempo: Per og progetto d vestmeto seso stretto, esste u * tale che REA(* Se <*, REA > e vceversa Azché sceglere u d mercato e po calcolare l REA del progetto, possamo Trovare * che e aulla l REA ( tasso tero d redmeto Verfcare che sa superore a possbl tass d mercato *3% Il progetto è 48% accettable

32 Perché è assmlable al redmeto d u ttolo che pagasse ua cedola propro par a * Calcolamo ad esempo l TIR d u ttolo d Stato treale co cedola del % aua postcpata rsulta essere propro l % Perché Tasso Itero d Redmeto? t 3 x x (% t 9, 8,3 8,6 REA(% E davvero terpretable come l redmeto fale? Solo se è possble revestre provet termed al tasso *, coè al TIR (ell esempo, al % Se ad esempo s ha accesso solo a u %, l motate fale sarà: Metre se guadagassmo davvero l % avremmo otteuto: (% 3 33,>3,6 I effett l ostro vero redmeto è: ( 3 3,6 (% (% 3,6 revestt al % 3,6 3 9,3%

33 Due propretà del TIR REA TIR A TIR (A Il TIR d u progetto d vestmeto A è uguale a quello del progetto (d fazameto che s ottee cambado d sego tutt fluss TIR αa TIR A Moltplcado tutt fluss per ua costate, l TIR o camba * REA * REA A REA A REA A REA αa αrea A REA A Esempo d esame Dato l progetto A, descrtto da: x [ 6 7] e t [ ] calcolare l suo TIR.

34 Utlzzo del Tr Il TIR può essere utlzzato come crtero d Valutazoe (gà vsto: l l progetto A è accettable se se tass d d mercato soo feror al al TIR Selezoe: dat due o pù progett alteratv, scelgo quello co l l TIR pù elevato* * Attezoe! Se l TIR è rrealstcamete elevato, revestre provet a quel tasso sarà mpossble e l vero redmeto del progetto potrà essere molto pù basso. Il crtero va duque usato co cautela. Σx Possble ouctà del TIR REA * Attezoe! Se l progetto valutato o è u progetto d vestmeto seso stretto x < La mootoctà della fuzoe REA( o è garatta Possoo avers pù TIR: U equazoe d grado può avere fo a radc real!

35 Esempo d ouctà Dato l progetto C, descrtto da:x [ 49 3] e t [ ] valutare l suo TIR. * v 3v 3v v, 49v 49 ± 5 v 6 48 v ± 6 6 * 6 % v 5 * 5 5% v 4