STATISTICA DESCRITTIVA

Transcript

1 STATISTICA DESCRITTIVA aratoetta Rugger Dpartmeto d Sceze statstche e matematche S.Vaell Uverstà degl stud d Palermo

2 Prefazoe Questa dspesa è stata creata per gl studet della Facoltà d Ecooma d Palermo de cors d laurea : - AINISTRAZIONE ED ECONOIA DELLE IPRESE; - ECONOIA E VALUTAZIONE DELLE POLITICHE PUBBLICHE E TERRITORIALI; - ECONOIA E FINANZA; - STATISTICA E INFORATICA PER LA GESTIONE E L ANALISI DEI DATI. Gl esercz rportat soo stat svolt aula, co l auslo del foglo elettroco Ecel, durate le eserctazo.

3 INDICE Cos è la Statstca 5. Ce storc 5. Fot d dat 6.3 La Statstca come dscpla auslara 7.4 Feome rpetbl, parzalmete rpetbl, o rpetbl 8.5 Scale d msura e classfcazoe delle varabl statstche 9.6 Gl error e dat 3.7 I dat statstc 3.8 Popolazo e campo d dat 4 La stes de dat 5. Sere d dat e dstrbuzo d frequeze 5. Rappresetazo grafche 7.3 Esemp 8 3 Le mede 9 3. ede secodo l Chs ede d poszoe ede decsoal Propretà della meda artmetca 47 4 La varabltà 5 4. Gl dc d varabltà assoluta Gl dc d dspersoe Gl dc d varazoe Gl dc d dverstà Idc d varabltà relatva Coeffcet d dspersoe Coeffcet d varazoe Coeffcet d dverstà Esemp sugl dc d varabltà assoluta Esemp sugl dc d varazoe Esemp sugl dc d dspersoe Esemp sugl dc d dverstà Esemp sugl dc d varabltà relatva Propretà della varaza Idc d eterogeetà 7 3

4 5 Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe d frequeza emprca Ce d calcolo delle probabltà La dstrbuzoe bomale La dstrbuzoe d Posso La dstrbuzoe ormale o d Gauss Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe emprca 89 6 Idc d forma I momet emprc Asmmetra e curtos Il boplot Esemp 00 7 L'terdpedeza fra due varabl Tabelle doppe d frequeza Idpedeza dstrbuzoe Dpedeza perfetta Idc d assocazoe per tabelle Idc d cograduazoe Cocordaza tra graduatore Cograduazoe per tabelle doppe d frequeza Iterdpedeza fra varabl quattatve 7.6. Esemp d calcolo della covaraza e d ρ 5 8 Idpedeza meda 8 8. ede e varaze codzoate e margal 8 8. Rapporto d correlazoe Puto medo e puto medao Frequeze cumulate per ua tabella doppa 34 9 La regressoe La regressoe leare semplce La regressoe o leare La regressoe multpla 46 Esercz 50 4

5 Cos'è la Statstca. Ce storc Tracce d cò che potremmo defre statstche s rscotrao gà da temp della prestora; l uomo, fatt, da sempre ha setto l esgeza d quatfcare e regstrare avvemet mportat della propra vta, come l ammotare delle ascte, delle mort, del umero de cap d bestame possedut, de prodott agrcol raccolt e scambat, e così va. a la Statstca come dscpla vera e propra asce Ighlterra e Germaa toro al 600; essa s occupa dello studo de feome demografc, socal e de prcpal fatt rguardat la vta d uo Stato. Nello stesso perodo asce l Calcolo delle probabltà, braca della atematca, tuttava per lugo tempo resta cofato a goch d azzardo; solo successvamete l Calcolo delle probabltà, e pù geerale la atematca, dvetao uo strumeto fodametale per la metodologa statstca, partcolare per la Statstca ferezale. Co lo svluppo dell Iformatca la metodologa statstca ha fatto u eorme passo avat; ogg è possble trattare ua gra quattà d dat ed effettuare elaborazo prma mpossbl da esegure maualmete o comuque temp brev. Ogg tutt paes dustralzzat dspogoo d SERVIZI STATISTICI NAZIONALI, per cu o solo è aumetata la quattà dspoble de dat statstc, ma e è mglorata ache la qualtà. I Itala l ISTAT asce come Isttuto autoomo el 96; dal 989 è u Isttuto d Stato a gestoe autooma, dotato d persoaltà gurdca, ed è dvetato Isttuto azoale d Statstca, sotto la dpedeza del Cosglo de str. L Istat ha sede Roma ed ha l compto d raccoglere, elaborare e dffodere formazo 5

6 statstche rguardat tutt gl aspett (demografc, socal, ecoomc) della vta dello Stato. L ISTAT per legge o possede l moopolo della formazoe statstca; esstoo ache altr et, sa pubblc che prvat, che producoo statstche d rlevate teresse azoale, che o hao però valore uffcale. S pes, ad esempo, a var mster, a comu, alle rego, alle provce, oché alla Baca d Itala. Altr et soo la Camera d Commerco, la Cofdustra, l Cess, la RAI, l ENEL, l ENI, la Doa, la Demoskopea, e così va.. Fot d dat Le pubblcazo ISTAT hao carattere perodco; c soo pubblcazo aual, deceal, ma ache occasoal e saltuare. Ctamo fra le pù mportat l Auaro, l Compedo, l Bolletto mesle, gl Auar specalzzat, che costtuscoo u aals dettaglata de var captol compres ell Auaro, oltre alle pubblcazo dedcate a Cesmet. Rcordamo, fatt, che co perodctà deceale l ISTAT effettua l Cesmeto della popolazoe e delle abtazo, l Cesmeto dell agrcoltura e l Cesmeto dell dustra, commerco, servz e artgaato. Ogg c s può collegare a ua BANCA DATI, che cosete d dsporre d dat aggorat tempo reale su dvers feome. C soo alcu paes, come l Afrca, che o dspogoo d u servzo statstco azoale, per qual o è ma stato effettuato u cesmeto e per qual, duque, è mpossble valutare mutamet e le dmeso de feome demografc, ecoomc, satar, ecc Per quato rguarda le fot statstche terazoal, rcordamo le pubblcazo effettuate da alcu orgasm terazoal qual: 6

7 - l ONU (Statstcal yearbook, Demographc yearbook, earbook of atoal accouts Statstcs, othly bullett of Statstcs); - l UNESCO (Auaro dell Istruzoe); - la FAO (Producto yearbook, Trade yearbook, earbook of forest products); - l BIT-ILO (earbook of labour Statstcs); - l OS (World health Statstcs aual); - l OCSE; - l FI; e così va..3 La Statstca come dscpla auslara La Statstca asce come Sceza d Stato, e questo seso trovao ua cootazoe cesmet, ma col tempo assume u altro sgfcato: la Statstca e ua dscpla auslara alle altre dscple scetfche, d cu la dscpla prcpale è la fsca, e assume u ruolo fodametale el processo d acquszoe scetfco della coosceza. Vedamo d capre meglo quato affermato. Il etodo Spermetale, come è oto, fu trodotto da Galleo Galle toro al 600. Per molt secol l uomo, terrogados sul comportameto della atura e sul verfcars d determat feome, ha trovato rsposta el ragoameto flosofco e alcu teore, come quella arstotelca, servedos della sola logca. Il etodo Spermetale rvedca la ecesstà d u accurata spermetazoe e rcoosce la caductà d qualsas legge o modello, la cu mportaza è assolutamete relatva. Galle evdeza l valore del legame esstete fra: - l modo smbolco del razoale (TEORIA); 7

8 - l modo emprco del reale (ESPERIENZA). Secodo l metodo da lu fodato, la coosceza passata d u feomeo deve essere arrcchta e tegrata da uove formazo o espereze, che cosetoo d formulare uove potes, le qual possoo essere formalzzate medate modell o legg. I questa fase tervee la atematca, duque l Calcolo delle probabltà. Le potes vao cotuamete verfcate e aggorate, evetualmete sosttute, dopo aver osservato uov dat. I questa fase tervee la Statstca. Qualsas teora, duque, e d cosegueza qualsas sceza, ha carattere assolutamete temporaeo. I tale processo scetfco duttvo-deduttvo d acquszoe della coosceza, la Statstca rcopre l ruolo essezale d dscpla auslara. Essa tervee elle seguet fas: osservazoe de caratter che descrvoo u feomeo; raccolta delle formazo sotto forma d dat, loro orgazzazoe, elaborazoe e stes; verfca d coformtà de modell teorc alla realtà..4 Feome rpetbl, parzalmete rpetbl, o rpetbl La Statstca, dopo aver orgazzato dat, l predspoe per l aals e l elabora per stetzzare, el modo mglore, le formazo ess coteute. L obettvo è quello d otteere alcu dc approprat, che cosetao d avere ua vsoe globale del feomeo oggetto d studo. La fase dell elaborazoe de dat, e partcolare quello della stes, è u mometo molto mportate e dpede: dal partcolare tpo d feomeo studato; dalla atura del carattere osservato; dalla tpologa degl error che fluezao dat. 8

9 I feome atura possoo essere dstt : rpetbl parzalmete rpetbl o rpetbl I feome rpetbl soo que feome del reale per qual è possble rpetere pù volte e elle stesse codzo la msura d ua gradezza cogta. Cascua msura è affetta da error ε d atura accdetale: X+ε. Tal error soo elmabl, qualuque sa la cura de rlevator e la precsoe degl strumet d msura. E compto della Statstca trovare l modo mglore d combare le osservazo, al fe d otteere la mglore valutazoe del vero valore della gradezza cogta X. I feome parzalmete rpetbl soo que feome del reale legat all evoluzoe delle stago. E oto, ad esempo, che Scla a gugo matura l grao, a settembre l uva, a ovembre le olve. Per quest feome le metodologe statstche dspobl soo meo formatve rspetto a quelle relatve a feome rpetbl. I feome o rpetbl soo que feome del reale per qual tervee la varabltà bologca. Og uomo, ad esempo, preseta caratterstche dverse tal da redere mpossble la rpetbltà della prova. Per quest feome le metodologe statstche rsultao scarsamete formatve..5 Scale d msura e classfcazoe delle varabl statstche La qualtà e l sgfcato dell formazoe stetca rcavata, tramte l aals statstca, dalle sgole osservazo dpedoo fortemete dalla atura del feomeo, ma dpedoo ache dal tpo d carattere che lo descrve e dalla sua msurabltà. 9

10 I Statstca dstguamo dvers tp d CARATTERI o VARIABILI, relazoe a quattro dstte SCALE DI ISURA: NOINALE; ORDINALE; DI INTERVALLI; DI RAPPORTI. U carattere è esprmble su scala omale o cardale se fra le modaltà del carattere s può stablre solo ua relazoe d EQUIVALENZA. I tal caso, l carattere prede l ome d VARIABILE QUALITATIVA SCONNESSA O UTABILE. Esemp d varable qualtatva scoessa soo: - l sesso; - la azoaltà. Rlevat su soggett l sesso e/o la azoaltà, è possble dre solo se due dvers soggett hao uguale sesso/azoaltà oppure o. Questo tpo d dat ha, pertato, u coteuto formatvo molto basso. U carattere s dce msurable su scala ordale, e tal caso prede l ome d VARIABILE QUALITATIVA ORDINABILE O GRADUABILE, se fra le modaltà del carattere è possble stablre, oltre ad ua relazoe d equvaleza, ache ua relazoe d ORDINE. I poche parole, fra le modaltà è possble formulare ua graduatora: () () (3)... (). Il coteuto formatvo d tal varabl è pertato maggore rspetto a quello delle varabl cosderate precedeza. Esemp d varabl qualtatve ordabl soo: - l ttolo d studo; 0

11 - la qualfca professoale. I tal caso, d due soggett dvers, è possble dre se hao lo stesso ttolo d studo o la stessa qualfca professoale, ma è ache possble stablre ch ha l ttolo d studo o la qualfca mglore. I geere, quado s parla semplcemete d caratter, s tedoo le varabl qualtatve. Le VARIABILI QUANTITATIVE, o semplcemete le VARIABILI, a dffereza delle varabl qualtatve, soo espresse da valor umerc. Le varabl quattatve s dstguoo : - DISCRETE; - CONTINUE. Le varabl quattatve dscrete possoo ache dervare da eumerazoe o coteggo d oggett o soggett e assumoo valor ter postv. Esemp d varabl quattatve dscrete soo: - l umero d fgl d ua famgla; - l umero d va d u appartameto. Le varabl quattatve cotue soo espresse da msure (umer razoal o, pù geerale, real) e possoo assumere ft valor all tero d u tervallo. Esemp d varabl quattatve cotue soo: la statura, l reddto, l tempo. U carattere quattatvo cotuo s dce msurable su SCALA A INTERVALLI se fra valor del carattere è possble stablre ua relazoe d: - equvaleza; - orde; - uguaglaza ( + - j+ - j ).

12 Per valor d tal caratter soo lecte le operazo d addzoe e sottrazoe; la dffereza fra due put della scala è uguale alla dffereza fra altr due put della scala che hao la stessa dstaza. Ovvero u tervallo, preso dvers put della scala, deve rappresetare sempre la stessa quattà. U carattere quattatvo s dce msurable su SCALA DI RAPPORTI se tra valor del carattere è possble stablre ua relazoe d: - equvaleza; - orde; - uguaglaza; - rapporto ( + / j+ / j ). Le varabl quattatve cotue msurabl su scala d rapport hao, duque, u coteuto formatvo molto elevato. Per valor d tal caratter soo lecte, oltre alle operazo d addzoe e sottrazoe, ache le operazo d moltplcazoe e dvsoe; l rapporto fra due put della scala è uguale al rapporto fra altr due put della scala che hao la stessa dstaza. La temperatura ( grad Celsus, Fahrehet, Reamur), l peso, la statura soo varabl msurabl su scala d tervallo; soo msurabl su scale d rapporto se rlevate sempre elle stesse codzo fsche, per esempo ello stesso luogo. Lo zero della scala è, fatt, uo zero covezoale e o cocde co lo zero assoluto (zero fsco, reale). La temperatura grad Kelv, vece, è sempre msurable su scala d rapport, perché lo zero della scala cocde co lo zero assoluto, che è l puto cu le molecole d qualsas gas o s muovoo pù. Tal varabl, duque, o possoo assumere valor egatv. VARIABILI SEPLICI E ULTIPLE Raramete atura feome soo descrtt da u solo carattere.

13 Quado su uo stesso oggetto o soggetto s rlevao cotemporaeamete le modaltà o valor d k caratter samo preseza d ua VARIABILE ULTIPLA. Ua varable multpla è OOGENEA se le k varabl che la compogoo soo tutte rlevate co la stessa scala d msura, è ISTA tutt gl altr cas. I Statstca s mpegao metodologe dverse a secoda se dat soo omogee o mst..6 Gl error e dat Gl error modfcao la qualtà dell formazoe coteuta e dat. S suddvdoo : - grossola; - sstematc; - accdetal. Gl error GROSSOLANI soo dovut, ad esempo, ad u rlevatore maldestro o ad ua mmssoe errata de dat. Gl error SISTEATICI soo dovut a strumet poco precs o tarat male. Gl error ACCIDENTALI soo dovut, vece, ad fte cause perturbatrc, ftesme, spesso o ote. I u dage statstca sera gl error grossola e gl error sstematc o dovrebbero ma essere preset. La Statstca ha percò l compto arduo d elmare gl error accdetal o meglo d dvduare la mglore combazoe delle osservazo a f d rdure l flueza..7 I dat statstc I dat statstc possoo essere suddvs dat spazal, temporal, terrtoral. I dat spazal soo dpedet dal luogo e dal tempo, per cu o è mportate l orde co cu soo stat rlevat. Voledo, ad esempo, dagare sul carattere 3

14 statura degl studet che compogoo ua classe, è possble effettuare le rlevazo gor e ambet dvers. I dat temporal (sere storche) dpedoo fortemete dal tempo, per cu è mportate effettuare u osservazoe u determato state puttosto che u altro. S pes, ad esempo, se s vuole studare la legge d accrescmeto del peso d ua cuccolata durate l prmo ao d vta. I dat terrtoral dpedoo dal luogo cu soo stat osservat. S pes, ad esempo, se s vogloo effettuare stud sulla ataltà o sulla mortaltà d ua determata regoe geografca..8 Popolazo e campo d dat No sempre è possble dsporre d tutt dat ecessar per descrvere u feomeo, coè d tutta la POPOLAZIONE o UNIVERSO de dat. Per motv d tempo o d costo, o semplcemete per mpossbltà, l pù delle volte s rcorre ad u CAPIONE suffcetemete rappresetatvo della popolazoe. Dalle propretà stetche rlevate sul campoe s fersce po alle propretà cogte dell uverso de dat. A dscplare tale procedura è ua braca partcolare della Statstca, deomata Statstca ferezale. 4

15 La stes de dat. Sere d dat e dstrbuzo d frequeze Ua dstrbuzoe d frequeze cosete d avere ua rappresetazoe pù compatta e pù formatva rspetto alla sere d dat osservat e tato pù quato pù la sere è umerosa. I partcolare cosete d: - dsporre dell eleco d tutte le modaltà (valor) dstte/; - dvduare le modaltà (valor) pù frequet; - determare l tervallo d varazoe, se s dspoe d valor, della sere orgara; - potzzare partcolar modell teorc, att a descrvere l adameto delle frequeze. Le frequeze assolute dcao l umero d volte co cu cascua modaltà (valore) s preseta ella sere. Oltre alle frequeze assolute possoo essere calcolate le frequeze relatve f, date dal rapporto fra cascua frequeza assoluta e l totale delle osservazo ed esprmbl ache term percetual. Le frequeze relatve cosetoo d cofrotare due varabl rlevate su collettv d umerostà dversa. S pes ad esempo d voler cofrotare l peso d u gruppo d soggett d sesso maschle co l peso d u gruppo d soggett d sesso femmle. A partre da ua varable qualtatva ordable, per costrure ua dstrbuzoe d frequeze, è ecessaro aztutto dsporre le modaltà/valor orde crescete. Ha seso, tal caso, calcolare ache le frequeze cumulate, assolute N o relatve F, date dalla somma d cascua frequeza assoluta, o relatva, co le precedet. 5

16 I valor d ua varable quattatva dscreta, se umeros, possoo essere raggruppat class; tuttava, questo caso, le class o hao lo stesso sgfcato che hao per la descrzoe d u feomeo cotuo e ecessaramete l estremo superore d ua classe o cocde co l estremo ferore della classe successva. La descrzoe class per feome quattatv cotu ha apputo lo scopo d recuperare la atura cotua del carattere, che al mometo della rlevazoe vee a cadere, a causa degl arrotodamet. Se l carattere è d tpo cotuo, le dstrbuzo d frequeze per valor sgol possoo rsultare poco utl o addrttura utl per suggerre l evetuale modello teorco atto a descrvere l feomeo. S rede pertato ecessaro raggruppare valor osservat opportue class d ampezza costate o varable. Il crtero d raggruppameto class comporta sempre ua perdta d formazo rspetto alla sere orgara e tato pù quato pù soo ampe le class. La perdta d formazo flusce sulla correttezza delle costat stetche calcolate sulla dstrbuzoe d frequeze. Purtroppo, le procedure co cu le class possoo essere formate soo assolutamete arbtrare e possoo codurre a dstrbuzo d frequeze sesblmete dverse, sebbee determate sulla stessa sere d dat. S auspca, pertato, che vegao rspettate le seguet regole geeral: - gl estrem delle class sao arrotodat all'tero pù prossmo o abbao almeo l mor umero possble d cfre decmal; - le ampezze delle class sao costat e pccole (l ampezza determa l umero delle class e vceversa); 6

17 - l estremo ferore della prma classe e l estremo superore dell ultma dfferscao l meo possble, rspettvamete, dal valore pù pccolo e dal valore pù grade osservato; - essua classe abba frequeza ulla; - c sa u solo massmo o al pù due; - l adameto sa crescete e po decrescete o comuque mootoo; - scegledo tervall apert (chus) sa a destra che a sstra, s serscao, se è possble, cas ugual egual umero elle class cotgue.. Rappresetazo grafche Da ua tabella d frequeze possoo dedurre formazo solo gl espert del settore, o comuque ch ha u mmo d coosceze statstche, metre u grafco è mmedatamete terpretable da chuque. Cò perché la mete umaa percepsce e memorzza co maggore rapdtà fgure puttosto che cfre. U grafco, d altra parte, rappreseta ua fote d formazoe meo rcca, quato o cosete d evdezare pccole dffereze tra frequeze. Grafco e tabella, duque, vao utlzzat etramb, coè soo complemetar. Tuttava, ua rappresetazoe grafca deve essere autooma dalla tabella, ovvero deve coteere tutte le formazo ecessare per la sua terpretazoe: va rportata la fote da cu soo rcavat dat, vao specfcate le varabl rlevate e le modaltà o valor assut, vao dcate le utà d msura. Le dcazo devoo essere leggbl e l grafco o deve apparre cofuso se s rappresetao pù feome. E ecessaro, oltre, sceglere la rappresetazoe pù semplce, se v è la possbltà d ua gamma d alteratve. 7

18 .3 Esemp All'zo dell'ao accademco 00/03 è stato sottoposto l seguete questoaro agl studet del corso d Statstca Corso d laurea Ecooma e faza, Facoltà d Ecooma d Palermo: Corso d laurea Ecooma e Faza Dscpla: STATISTICA A.A. 00/03 QUESTIONARIO ) Cogome Nome ) Sesso F 3) Data d ascta 4) Comue d resdeza 5) Provca d resdeza 6) Altezza ( cm) 7) Peso ( Kg) 8) Scuola meda superore Lceo classco Lceo scetfco Isttuto tecco commercale Isttuto tecco per geometr Isttuto tecco dustrale Altro 9) Voto d maturtà /00 /60 0) atrcola S No A.A. d mmatrcolazoe / ) N. d esam sosteut ) Ha sosteuto l esame d atematca S voto No 3) Dffcoltà cotrate e cors d I semestre Scarse ede Elevate olto elevate 4) E soddsfatto per la scelta del Corso d stud? S No 5) N. d compoet del ucleo famlare 6) Ttolo d studo del capofamgla Nessu ttolo Lceza elemetare Lceza meda aturtà Laurea 8

19 Raccolt tutt questoar, è stato effettuato lo spoglo. I dat soo stat orgazzat sotto forma d matrce d dmesoe k, che per motv d spazo o rportamo, dove 40 è l umero delle matrcole frequetat l corso e k soo le varabl rlevate. I dat rguardat le varabl rlevate (sesso, provca d resdeza, altezza, peso, scuola d proveeza, ecc ) soo stat elaborat e stetzzat. D seguto rportamo alcue d queste varabl, ua per og tpologa. S cosder la varable "scuola superore d proveeza". Se s suppoe che le dverse scuole abbao par mportaza, tale varable può essere cosderata ua varable qualtatva scoessa, poché cosderat due soggett è possble dre solo se quest provegoo dallo stesso tpo d scuola o meo. Per rago d spazo, le osservazo rguardat 40 soggett soo rportate sotto forma d tabella, ma ella matrce de dat, rappreseterebbero ua sgola coloa. Ovvamete, è coveete attrbure u'etchetta, o meglo u codce, a cascua modaltà della varable, per veloczzare l'mmssoe de dat: Lceo classco LC Lceo scetfco LS Isttuto tecco commercale ITC Isttuto tecco per geometr ITG Isttuto tecco dustrale ITI Altro A 9

20 LC LS LS ITC ITC LS LS LC LS LS ITC LS ITC ITC ITC LC LC ITC ITC LS LC ITC ITG ITC A ITC ITC ITC ITC LC ITC ITC A LS LC ITC ITC LS A ITC ITC LC LS ITC LC ITC LS ITC ITC LS ITC LS A LS LS ITC ITC LS LS ITC LS LS A LS ITC LS ITC LS A LS ITC LS ITC LS LS ITC ITC LS LS ITC ITC LS ITC ITI LS ITC ITC LS LS ITC ITC ITC ITC LS LS ITC LS LS LS LC ITC LS LS LS LS ITC LS LS ITC LC LS ITC LS ITC A LC LS LS LS LS LS LS LS A LS A ITC ITC ITC LC ITC LS ITC A ITG ITC ITC LS ITC ITC La tabella sopra cotee la sere de dat che, come è evdete, o è per ulla formatva; costruamo, duque la dstrbuzoe d frequeza, ovvero cotamo quate volte cascua modaltà s rpete ella sere. D seguto, oltre alle frequeze assolute, s rportao ache le frequeze relatve f e le frequeze relatve percetual f *00: f f *00 A 0 0,07 7 ITC 58 0,4 4 ITG 0,0 ITI 0,0 LC 3 0,09 9 LS 56 0,40 40 totale Dalla tabella s evce mmedatamete qual soo le modaltà pù frequet. I partcolare, la maggor parte degl studet, rspettvamete l 4% e l 40%, provegoo dall'itc e dal LS. La modaltà cu è assocata la frequeza pù alta vee defta "moda". I questo caso la moda è "ITC". Le rappresetazo grafche tpche d ua varable qualtatva scoessa soo l grafco a coloe, l grafco a barre o a astr e, se l umero delle modaltà o è elevato, come questo caso, gl areogramm. 0

21 I u areogramma le frequeze soo rappresetate da superfc d fgure pae (quadrat, rettagol, cerch), poste l ua accato all'altra, oppure da part d ua stessa fgura. L'areogramma, rspetto al grafco a coloe e al grafco a barre, dà meo possbltà d apprezzare pccole dffereze fra le frequeze, perché l'occho umao è pù abtuato a cofrotare lughezze puttosto che aree. Il grafco a settor crcolar o grafco a torta è u areogramma. S costrusce u cercho d area uguale o proporzoale al totale delle frequeze e s rpartsce tat settor quate soo le modaltà. Cascu settore ha area uguale o proporzoale alla frequeza della modaltà cu è assocato, per cu l'agolo α d cascu settore s può rcavare dalla proporzoe: : α : α 360 f. Ogg, realtà, esstoo dvers software statstc che cosetoo d costrure tabelle e grafc tramte procedure molto semplc e automatche. I geere, l grafco a torta è accompagato da ua legeda, che assoca color o trattegg dvers a cascu settore. I alteratva, s possoo specfcare le modaltà su cascu settore: Grafco a torta A 7% A LS 40% ITG LC ITI % 9% % ITC 4% ITC ITG ITI LC LS Aalzzamo adesso la varable "ttolo d studo del capofamgla". Questa varable è ua varable qualtatva ordable poché, cosderat due soggett, è

22 possble dre o solo se hao u ttolo d studo dverso, ma ache ch possede u ttolo pù mportate. S rporta d seguto drettamete la dstrbuzoe d frequeza. Nel costrurla è ecessaro rcordare d ordare le modaltà. Le modaltà soo state codfcate el seguete modo: Nessu ttolo NT Lceza elemetare LE Lceza meda L aturtà Laurea L f f *00 N F F *00 NT 3 0,0 3 0,0 LE 3 0, , L 37 0, , , ,8 8 L 7 0,9 9 40,00 00 totale Dalla tabella s evce che la maggoraza de getor ha coseguto la maturtà (43%). Per questo tpo d varable ha u seso calcolare ache le frequeze cumulate, assolute N, relatve F o percetual F *00. La frequeza assoluta cumulata N 3 sta ad dcare, ad esempo, che 53 getor su 40 hao u ttolo d studo ferore o uguale alla L. La frequeza relatva cumulata F 4 sta ad dcare che l'8% de getor ha u ttolo d studo ferore o uguale alla maturtà, e così va. Le rappresetazo grafche tpche d ua varable qualtatva ordable soo ugual a quelle d ua varable qualtatva scoessa. Se l carattere è ordable, è preferble dsporre astr o le coloe secodo l'orde co cu s susseguoo le modaltà. Sceglamo l grafco a astr. I grafc a astr soo rappresetat da rettagol avet tutt la stessa altezza e bas ugual o proporzoal alle frequeze relatve alle sgole modaltà:

23 Grafco a astr modaltà L L LE NT frequeze assolute Può accadere che le dmeso del dsego o sao coteute el foglo. I tal caso, s può assumere u'utà d msura dversa oppure s possoo trocare rettagol, ovvero s può spostare l'orge d rfermeto; così facedo, però, c s può o redere coto delle effettve varazo elle frequeze. D'altra parte raddoppado o dmezzado l'utà d msura s possoo amplfcare o atteuare le oscllazo d u feomeo. L'arbtraretà ella scelta dell'utà d msura e lo spostameto dell'orge degl ass può forre mpresso totalmete dverse del feomeo rappresetato; s parla d mapolazoe delle formazo medate lo strumeto statstco. S pes, ad esempo, alle rappresetazo grafche rguardat l'adameto de mercat fazar. Quado le dmeso d u rettagolo ( questo caso d ua base, ma potrebbe rguardare l'altezza el caso d u grafco a coloe) s dscostao d molto rspetto alle dmeso degl altr, u buo metodo potrebbe essere quello d amputare l rettagolo e specfcare ella parte amputata la frequeza ad esso assocata. Cosderamo adesso ua varable quattatva dscreta, qual è ad esempo l "umero de compoet del ucleo famlare". 3

24 D seguto s rporta la sere de dat gà ordata e la dstrbuzoe delle frequeze assolute, relatve e relatve cumulate: f F f *00 F *00 0,0 0,0 0,0 0,0 3 0,6 0, ,54 0, ,6 0, ,03, tot Dalla tabella s evce che la famgla meda è costtuta per lo pù da 4 compoet (54%). La rappresetazoe grafca tpca d ua varable d coteggo è l dagramma cartesao o ache l grafco a coloe. Ne grafc a coloe, o a rettagol, og modaltà vee rappresetata sull'asse delle ascsse co segmet ugual ed equdstat. S costrusce po, su cascu segmeto, u rettagolo d altezza uguale o proporzoale alla frequeza assocata a quella determata modaltà. Il dagramma cartesao dffersce dal grafco a coloe quato azché rettagol cosdera segmet d retta d lughezza par o proporzoal alle sgole frequeze. 4

25 N. COPONENTI FAIGLIA S cosder adesso ua varable quattatva cotua, ad esempo la statura. I questa fase dell'elaborazoe o c'è dffereza fra varabl msurabl su scala d tervall o su scala d rapport. S rporta duque la sere delle stature: Costrure ua dstrbuzoe d frequeza per valor sgol o porterebbe per tale varable ad ua stes sgfcatva delle formazo; come s può otare, fatt, la tabella che segue è troppo luga per dare formazo mmedate sull'adameto delle msure; molt soo valor dvers e co frequeza par a o comuque co frequeza molto bassa: 5

26 totale 40 Occorre, pertato, costrure ua dstrbuzoe d frequeza per class. Sceglamo otto class d ampezza costate e par a 5 cm, chuse a destra. Spesso, è coveete lascare aperte la prma e l'ultma classe, modo tale da poter serre uove osservazo, rlevate temp successv: - 55,5 5 55,5-60,5 60,5-65,5 65,5-70, ,5-75,5 75,5-80,5 6 80,5-85,5 >85,5 3 totale 40 Le rappresetazo grafche tpche d ua varable quattatva cotua soo l'stogramma e l polgoo d frequeza. L'stogramma è costtuto da tat rettagol adacet quate soo le class e hao area A uguale o proporzoale alle frequeze : 6

27 A b h Cascu rettagolo ha duque base b par all'ampezza della classe e altezza h par alla destà d frequeza, ossa h b. Ovvamete, se le class hao tutte la stessa ampezza, le bas agscoo solo come fattore d scala qud, tal caso, rportare ordata frequeze o destà d frequeze è pratca la stessa cosa. Nell'esempo cosderato, per poter rappresetare l'stogramma, la prma e l'ultma classe s cosderao d ampezza par a quella delle altre: Istogramma <55,5 55,5-60,5 60,5-65,5 65,5-70,5 70,5-75,5 75,5-80,5 80,5-85,5 >85,5 dstrbuzoe delle stature I relazoe alla dversa ampezza delle class, c'è u cambameto ella rappresetazoe grafca; l'arbtraretà ella scelta delle class modfca, duque, la vsualzzazoe del feomeo esame. Il polgoo d frequeza vee geere sovrapposto all'stogramma. S tratta d ua spezzata che passa per put med delle bas superor de rettagol: 7

28 Polgoo d frequeza Statura cm Se le class soo tutte della stessa ampezza, l'area sottesa dal polgoo d frequeza è uguale all'area dell'stogramma. 8

29 3 Le mede La costruzoe d ua dstrbuzoe d frequeza cosete d dsporre d ua rappresetazoe pù compatta e formatva rspetto alla sere de dat osservat. Alle dstrbuzo d frequeza vao affacate le rappresetazo grafche che, sebbee o cosetao d evdezare evetual sfumature del feomeo oggetto d studo, tuttava e dao ua vsoe mmedata, terpretable o solo da u esperto d Statstca. S è detto che uo de compt fodametal della Statstca è quello d rassumere, alcue costat d stes, caratterstche partcolar del feomeo. Esstoo dverse categore d costat stetche, cascua descrve u aspetto d ua dstrbuzoe. I partcolare, valor med, se dat soo quattatv, e pogoo evdeza la dmesoe o testà, ossa l loro orde d gradezza. La scelta del tpo d meda da utlzzare dpede dalla tpologa de dat a dsposzoe e dagl scop che c s propoe ua rcerca. Le mede che dscedoo dalla defzoe d Chs soo gradezze che dervao o dpedoo da valor dat e che sosttute ad ess l stetzzao seza alterare la vsoe d seme del feomeo cosderato. Le mede d poszoe suddvdoo la sere osservata u umero prefssato d part ugual; tal mede trovao gustfcazoe ella defzoe d Cauchy: è valore medo d ua sere d dat qualsas valore compreso tra l pù pccolo e l pù grade d ess. Le mede decsoal dervao dalla mmzzazoe d ua fuzoe d perdta dell formazoe. I dat osservat, fatt, se rsultao dalla msura rpetuta d uo stesso oggetto o soggetto, soo affett evtablmete, da error accdetal. 9

30 3. ede secodo l Chs Le mede d Chs s applcao su dat rlevat su oggett/soggett dvers, omogee, ossa rlevat co la stessa utà d msura, e per potes o affett da error. Fssata ua fuzoe f, s chama meda quel valore costate che, sosttuto ad og sgolo valore, lasca alterata la seguete uguaglaza: f(,,.., ) f(,,.., ). Se l feomeo è addtvo, la fuzoe f è la fuzoe somma, e la meda che s rcava dall uguaglaza suddetta è la meda artmetca: Se l feomeo è moltplcatvo, ovvero se s evolve modo pù che proporzoale rspetto all utà d msura cosderata, la fuzoe f è la fuzoe prodotto e la meda che s rcava dalla precedete uguaglaza è la meda geometrca:. Se le soo fuzo d altre varabl: f(y ), per esempo y m, l uguaglaza dvee: f( m, m,.., m ) f(y m, y m,.., y m ) da cu, se f è la fuzoe somma, s rcava la meda potezata d orde m: m y m m m y m m y 30

31 m m m m y y / Per ua dstrbuzoe d frequeze è: m k m y /. Al varare d m, s rcavao le seguet mede: m- meda armoca m 0 meda geometrca m meda artmetca m meda quadratca m3 meda cubca tra le qual vale la relazoe - 0 3, avedos l uguaglaza solo el caso cu le y sao costat. Se f è la fuzoe prodotto, s ottee la meda geometrca: m m y m m y m m y y. Cosderadoe l logartmo s ha: y log log. La meda geometrca deve l suo ome al fatto che rappreseta l terme cetrale d ua progressoe geometrca, co u umero d term dspar. 3

32 Propretà della meda geometrca ) La m.g. d ua sere d valor moltplcat per ua costate è uguale alla costate per la m.g. de valor; ) La m.g. d ua sere d rapport d valor è uguale al rapporto tra le m.g. delle due sere d valor; 3) La m.g. del recproco d ua sere d valor è uguale al recproco della m.g. Esemp sulle mede potezate d orde m eda quadratca S abbao quattro pastre d oro quadrate d uguale spessore, ma d lat rspettvamete ugual a, 4, 0, 8 cm. S voglao fodere e forgare 4 pastre quadrate d lato uguale. Il lato medo sarà: , eda cubca S abbao 4 cubett d oro d dverso volume. S voglao fodere e forgare 4 cubett d uguale volume. Se lat de cubett msurao rspettvamete mm, 4, 0, 8, l lato medo sarà: / / 3 / eda geometrca Esempo U bee dal costo zale C subsce: - l ao u aumeto del 9%; - l ao u aumeto del 4% sul costo del ao; 7,34. 3

33 - l 3 ao u aumeto del % sul costo del ao; - l 4 ao u aumeto del 0% sul costo del 3 ao. Determare l aumeto percetuale medo. r 0,09 r 0,4 r 3 0, r 4 0,0 C C+Cr C(+r ) C C +C r C (+r ) C(+r ) (+r ) C 3 C +C r 3 C (+r 3 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) C 4 C 3 +C 3 r 4 C 3 (+r 4 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) (+r 4 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) (+r 4 ) C(+r ) 4 4,09,4,,0 + r,3- r r 0,3 Duque l tasso d aumeto medo durate 4 a è dell,3%. Esempo Il umero d mcrorgasm ua certa coltura è aumetato da 000 a 9000 tre gor. Qual è stato l cremeto medo goralero? Il. de mcrorgasm dopo u goro sarà: r000(+r) Dopo gor: + r (+r)000(+r) Dopo 3 gor: 3 + r (+r)000(+r) 3 Poché l. de mcrorgasm alla fe de 3 gor è uguale a 9000, s ha: (+r) 3 da cu, rsolvedo rspetto ad r s ottee: 33

34 4,5(+r) 3 3 4,5 + r 3 4,5 r r0,6509 Il tasso d crescta medo è stato duque del 65,%. eda armoca Vee utlzzata quado s hao quattà tra cu esste ua relazoe versa (es. durata e cosum, veloctà e tempo, ecc ) Esempo I 4 prove d veloctà sul km lacato, u corrdore bccletta ha realzzato, rspettvamete, le veloctà d 6, 64, 65, 68 km all ora. I recproc d queste veloctà forscoo l tempo (vs/t), frazo d ora, mpegato cascua delle 4 prove, per percorrere u km: /6, /64, /65, /68. Determare quella veloctà meda che lasc varato l tempo totale croometrato elle 4 prove: 6 + da cu ,68 Esempo Nelle aals d mercato spesso è teressate cooscere l cosumo medo auo d u determato prodotto. Suppoamo s vogla dagare sul cosumo medo auo d lamette da barba; vee duque tervstato u campoe d cosumator: 34

35 persoe durata meda gor d ua lametta cosumo auo d lamette 0 365:036, :660, :30, : :46, totale 65 08,6 08,6 cosumo pro-capte: 4, 7 lamette 5 durata meda d og lametta: 365 8, 8 gor. 4,7 Pù semplcemete: 5 8, Esempo 3 U dvduo spede per l rscaldameto d 3 a cosecutv sempre la stessa cfra d 500 all ao, acqustado l combustble a: - 0,30 l ao; - 0,40 l ao; - 0,50 l 3 ao. Determare l costo medo d l d combustble per l tero perodo. Soo stat acqustat: l ao 5000 l d combustble; 0, l ao 3750 l d combustble; 0, l 3 ao 3000 l d combustble. 0,50 35

36 Il costo medo al l per l tero perodo è: COSTO TOTALE ,38. TOTALE LITRI Pù rapdamete, basta calcolare la meda armoca del costo al l: 3 0, ,30 0,40 0,50 3. ede d poszoe Le mede d poszoe trovao applcazoe el cotesto d ua sere d modaltà/valor ordat successoe o decrescete: (), (), (3),..., () Defamo QUANTILI que valor che rpartscoo la sere osservata (q+) part d uguale umerostà; ovvamete è q -. Al varare d q, s ottegoo seguet quatl: q medaa q terzl q3 quartl q5 sestl q9 decl q99 cetl. Nella stessa sere l quartle, così come l 3 sestle, cocderà co la medaa: e se è dspar se è par l pedce dca la poszoe che l valore occupa ella sere. Ad esempo, suppoamo d aver rlevato l peso kg d 3 uom: 36

37 Voledo calcolare la medaa, dobbamo aztutto ordare la sere: Poché l umero delle osservazo 3 è dspar, la medaa è: e + 8. Se o avessmo osservato l ultmo valore (3) 90, l umero delle osservazo sarebbe stato par. I tal caso, e 80,5. Se la varable esame è quattatva cotua, quatl possoo essere calcolat el seguete modo: q+ + q+ q+ + + q+ : se q + q + se q + q + dove,,, q. Suppoamo, ad esempo, d aver rlevato l peso kg d 8 doe. S rporta la sere gà ordata: edaa ,5 59,5 37

38 Terzl 3 3 0,33 0, Quartl ,5 0,5 0, , ,5 Sestl ,6 0,33 0,5 0,66 0, ,5 Vedamo adesso come calcolare quatl su ua dstrbuzoe d frequeze. Cosderamo la seguete dstrbuzoe: TITOLO DI STUDIO lceza elemetare, essu ttolo lceza meda qualfca professoale maturta' dottorato, laurea, dploma uverstaro 3679 TOTALE Popolazoe resdete Itala ell ao 999 secodo l ttolo d studo Fote: ISTAT, Auaro statstco talao

39 Per determare quatl occorre calcolare le frequeze cumulate: N h f F h h h f f *00 F * ,379 0,379 37,9 37, ,304 0,683 30,4 68, ,047 0,73 4,737 73, ,09 0,939 0,87 93, ,06 6, Poché N53934 è par, la medaa occuperà ua poszoe compresa tra N 6966 N e Tal poszo soo coteute ella secoda frequeza cumulata N , cu è assocata la modaltà "lceza meda". D'altra parte, guardado le frequeze relatve o percetual cumulate, s evce subto che l 50% delle osservazo è coteuto propro F. Cosderamo adesso la dstrbuzoe d frequeze del umero d carburator osservat su 3 automobl d marca dversa: f N F 7 0,9 7 0, ,33 7 0, , , , , , ,03 3 0, , , totale 3 90 Calcolamo la medaa e la meda artmetca: e N + N N 90 3,85 39

40 Notamo che la meda artmetca, essedo espressa da u umero decmale, o può rappresetare l umero d carburator d u automoble! Per varabl d coteggo, duque, la meda artmetca assume valore "dcatvo-formale", metre valor med d poszoe assumoo peezza d sgfcato. Cosderamo la dstrbuzoe del umero d prodott dfettos d u certo processo produttvo: f N F 0 3 0,06 3 0,06 9 0,8 0,4 3 0,6 5 0,50 3 0, 36 0, ,6 44 0, , ,96 6 0,04 50,00 totale 50,00 N Poché N50 è par, la medaa occuperà ua poszoe compresa tra 5 e N + 6. Osservamo però che la 5 osservazoe è compresa ella terza frequeza cumulata N 3 5, cu è assocato l valore, metre la 6 osservazoe è compresa ella quarta frequeza cumulata N 4 36, cu è assocato l valore 3. Per covezoe s cosdera, allora, la semsomma d tal valor: + 3 e Q,5. Voledo calcolare gl altr due quartl, Q e Q 3, basta osservare le frequeze relatve cumulate; quella che cotee l 5% delle osservazo è F 3, metre quella che cotee l 75% delle osservazo è F 5, duque Q e Q 3 4. Cosderamo la dstrbuzoe d u gruppo d famgle agrcole secodo l umero de fgl: 40

41 f N F 0 4 0, , ,0 3 0, , , ,76 4 0, ,5 8 0, , , , , ,09 4 0, , , , , , ,995 0, ,000 totale 437 Q 3 Q e N Q 3 6. Suppoamo adesso d voler calcolare quartl su ua dstrbuzoe d frequeze per class. S cosdero le temperature ( grad) mme goralere d 5 mes d luglo ua zoa delle alp oretal: - + f N F 6-7 0,00 0, ,00 0, , , ,09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

42 N + Poché N775 è dspar, la medaa occuperà la poszoe 388. Tale poszoe è compresa ell'8 frequeza cumulata, cu è assocata la classe 3-4. La medaa, pertato, sarà u valore all'tero d tale classe. Per covezoe, s scegle l valore cetrale della classe e 3, 5 o, meglo, s utlzza l metodo dell'terpolazoe. A tale proposto, rcordamo che, l'equazoe d ua retta passate per due put A e B è: y y y y B A A B A A. Cosderato u puto P(, y) apparteete alla retta, d cu è ota l'ordata y, è semplce, qud, determare l'ascssa : y y ( B A ) A. y y A + B A Se potzzamo che A e B abbao coordate A(, N - ), B( +, N ), l puto P( e, N + ) è tero al segmeto A-B, per cu la medaa s determa faclmete: N + N N N e + e poché N -N - : e N + N ( ) + ( 4 3) + 3 3, 83. Ovvamete, se N + N, allora e +. Cosderamo u altro esempo, cu N è par: 4

43 - + N totale 600 N N N + 30 N N + + N N N e + I luogo d N + N + s può cosderare semplcemete N : e N N ( ) + ( 00 00) , 5. I modo aalogo s possoo determare gl altr quartl. 3.3 ede decsoal Quest valor med rvestoo u mportaza partcolare dal puto d vsta scetfco, perché presetao u valore formatvo molto elevato. Trovao collocazoe ell ambto d tutt que feome del reale rpetbl, per qual coè è possble rpetere pù volte, e elle stesse codzo, la msura d ua gradezza cogta X. Quest dat rsultao affett da error accdetal, dovut alla preseza d ft fattor d dsturbo, che o cosetoo d determare co esattezza la msura X della gradezza cu samo teressat. La Statstca è chamata a trovare l modo pù opportuo d combare le osservazo, al fe d otteere la mglore valutazoe del valore vestgato X. 43

44 Se assumamo che la relazoe fra l vero valore X e l errore casuale sa d tpo addtvo X+ε,,.., cò che teressa è mmzzare l errore : ε -X, per cu la mglore combazoe delle osservazo s ottee mmzzado la fuzoe d perdta globale dell formazoe coteuta e dat: Σ ε p Σ - p, p (0, ) è u parametro che dpede dalla atura probablstca dell errore ε. La metodologa statstca s foda buoa parte sull assuzoe che gl error seguao ua dstrbuzoe d probabltà ormale. I realtà, gl error seguoo ua dstrbuzoe d tpo smmetrco ed umodale, che vara, al varare d p, da forme cuspdate a forme pù appattte (famgla d curve ormal d orde p). I partcolare s dmostra che: - per p, ε ~ LAPLACE : medaa - per p, ε ~ NORALE : meda artmetca - per p, ε ~ UNIFORE : semsomma de valor estrem Questa meda, che dcheremo co p-, per sottoleare che dpede da p, rappreseta l vero valore della gradezza vestgata X, coè l valore che avremmo msurato se o c fosse stata la preseza dell errore. La meda p-, detta meda d orma p, s ottee, come s è detto, mmzzado la fuzoe d perdta globale, ossa rsolvedo l equazoe: -pσ - p- p- sego( - p- )0, 44

45 che ha soluzoe esplcta solo per p: ( ) mmo ( ) 0 0. Esemp d mede decsoal La seguete tabella rporta 50 msure spermetal rlevate u puto d u crcuto elettroco co u voltmetro dgtale; valor (msure della tesoe) soo espress volt: 5,45 5,0 5,46 5,4 5,34 5,48 5,46 5,43 5,45 5,56 5,3 5,38 5,39 5,40 5,39 5,3 5,8 5,4 5,3 5,38 5,43 5,59 5,3 5,48 5,3 5,43 5,46 5,9 5,4 5,35 5,45 5,39 5,36 5,6 5,8 5,4 5,38 5,5 5,46 5,38 5,3 5,60 5,69 5,4 5,9 5,3 5,8 5,40 5,50 5,30 5,4 5,50 5,40 5,36 5,50 5,58 5,44 5,3 5,45 5,4 5,33 5,37 5,3 5,37 5,54 5,55 5,6 5,6 5,33 5,49 5,8 5,5 5,33 5,34 5,44 5,33 5,57 5,34 5,38 5,4 5,43 5,66 5,54 5,34 5,4 5,9 5,55 5,53 5,46 5,54 5,58 5,48 5,40 5,33 5,34 5,33 5,5 5,55 5,3 5,35 5,36 5,48 5,53 5,50 5,47 5,6 5,9 5,48 5,5 5,57 5,5 5,37 5,8 5,40 5,43 5,40 5,30 5,53 5,4 5,5 5,46 5,48 5,37 5,57 5,58 5,57 5,53 5,3 5,64 5,59 5,34 5,48 5,44 5,43 5,56 5,47 5,45 5,3 5,40 5,6 5,39 5,5 5,3 5,54 5,8 5,40 5,5 5,38 5,39 5,4 S tratta d msure rpetute della stessa gradezza, affette da error accdetal, duque valor med pù doe a rappresetare tale gradezza soo le mede decsoal. S è scelto d raggruppare dat class d ampezza par a 0,005 V. Ache se dat assumoo valor compres tra 5,4 e 5,69, s è amplato l'tervallo d varazoe e scelto come estremo ferore 5,0 e come estremo superore 5,70. Le class soo chuse a destra: 45

46 + 5,0 5,5 5,5 5,0 5,0 5,5 5 5,5 5,30 3 5,30 5,35 5 5,35 5,40 6 5,40 5,45 5,45 5,50 0 5,50 5,55 8 5,55 5,60 5,60 5,65 4 5,65 5,70 totale 50 Dalla rappresetazoe grafca de dat, s possoo avere formazo, sebbee molto grossolae, sulla dstrbuzoe degl error. I dat, fatt, dfferscoo dagl error per ua costate: X+ε. Polgoo d frequeza ,3 5,8 5,3 5,8 5,33 5,38 5,43 5,48 5,53 5,58 5,63 5,68 sure della tesoe V Se s suppoe che dat provegao da ua dstrbuzoe ormale (p), la meda pù approprata è la meda artmetca: 46

47 77, 50 c c c 5,3 5,3 5,8 0,35 5,3 5 5,63 5,8 3 66,658 5,33 5 8,33 5, ,575 5,43 3,35 5,48 0 0,950 5,53 8 9,745 5,58 6,890 5,63 4 0,650 5,68 0, ,0 5,44 Se s suppoe che dat provegao da ua dstrbuzoe d Laplace (p); la meda pù approprata è la medaa: + N 5,0 5,5 5,5 5,0 3 5,0 5, ,5 5,30 3 5,30 5, ,35 5, ,40 5, ,45 5, ,50 5, ,55 5, ,60 5, ,65 5,70 50 totale 50 N N ( ) + ( 5,45 5,40) + 5,40 5, Propreta' della meda artmetca La meda artmetca ha ua capactà formatva otevole (a meo che o sa calcolata per varabl d tpo eumerazoe o coteggo; el qual caso assume 47

48 valore puramete dcatvo), sa se rcavata dalla defzoe d Chs, sa come meda decsoale. A prescdere dalla defzoe da cu derva, la meda artmetca gode d due mportat propretà: ) la somma degl scart de valor osservat dalla propra meda artmetca è sempre ulla: Σ( -)0 dmostrazoe: Σ( -) Σ -Σ -Σ 0 ) la somma de quadrat degl scart de valor dalla propra meda artmetca è u mmo rspetto alla somma de quadrat degl scart degl stess valor da qualsas altra meda: Σ( -) mmo dmostrazoe: Σ( -k) Σ[( -)+(-k)] Σ[( -) +(-k) +( -)(-k)] Σ( -) +(-k) +(-k)σ( -) Pochè: - (-k) 0, essedo (-k) u quadrato ed ua quattà postva; - (-k)σ( -)0, essedo Σ( -)0 per la propretà; allora Σ( -) Σ( -k), dove l uguaglaza s ha per k. esemp: () () (3) (4) (5) poché è l terme cetrale d ua sere artmetca co u umero d term dspar. Ifatt: 48

49 propretà Σ( -)(60-64)+ (6-64)+ (64-64)+ (66-64)+ (68-64) propretà Σ( -) k6<64 Σ( -k) (60-6) + (6-6) + (64-6) + (66-6) + +(68-6) <60 k66>64 Σ( -k) (60-66) + (6-66) + (64-66) + (66-66) + +(68-66) <60 I forma tabellare: - ( -) -6 ( -6) -66 ( -66) totale La meda artmetca gode d altre propretà. Sa X ua varable statstca co meda X. Sa ua trasformazoe leare d X: α+βx; dmostramo che: α + β X dmostrazoe ( α + β ) α + β y α + β X 49

50 Se β, α+x ed è: α + X Ovvero, se la varable X subsce ua traslazoe, la meda subsce la stessa trasformazoe della varable. Se α0, βx, ovvero X subsce solo u cambameto d scala ed è: β X Suppoamo, ad esempo, d aver rlevato la statura, m, su 5 soggett: X:,50,60,70,80,90 X,70 m Voledo dsporre della meda cm, trasformamo dat da m cm: : cm oppure possamo trasformare drettamete X : β 00,7070 cm. X S cosder adesso ua varable statstca X co meda X e ua varable statstca co meda. Sa ZX+. Dmostramo che: Z X + dmostrazoe ( + y ) Z + X + z y 50

51 4 La varabltà Come s è detto, og categora d dc stetc descrve partcolar aspett d ua dstrbuzoe. Gl dc d varabltà msurao l atttude che hao dat ad assumere valor dvers. I quato costat d stes, gl dc d varabltà s dstguoo relazoe: - agl scop che c s propoe; - al tpo d dat esame; - al lvello d formazoe che s vuole otteere. I partcolare, ell ambto degl dc d varabltà assoluta, dstguamo: - gl dc d dspersoe; - gl dc d varazoe; - gl dc d dversta. 4. Gl dc d varabltà assoluta Gl dc d varabltà assoluta soddsfao le seguet propretà: - rsultao ull se tutt valor soo ugual fra loro, coè se o c è varabltà fra dat; - assumoo valor postv se valor soo dvers fra loro e soo tato pù elevat quato pù è elevata la varabltà fra le ; - soo varat per traslazoe; - soo espress ella stessa utà d msura de dat. 4.. Gl dc d dspersoe Gl dc d dspersoe fao rfermeto a dat omogee, che dervao da msure rpetute d ua medesma gradezza cogta, rguardate uo stesso soggetto/oggetto o ache soggett dvers, ma rgorosamete selezoat dal puto d vsta geetco. 5

52 Tal msure s suppoe sao affette da error accdetal, che o cosetoo d cooscere co esattezza l vero valore della gradezza vestgata. Compto della Statstca è dvduare la mglore combazoe delle osservazo a f d rdurre l flueza degl error. La mglore combazoe delle osservazo, coè la combazoe che meglo rappreseta l vero valore, sotto l potes d addtvtà degl error, è la meda seso decsoale p. I tale cotesto, ha sgfcato dvduare u dce d dspersoe che dch d quato l valore rlevato s dscosta dal vero valore. Se o c fosse l flueza degl error accdetal, tutt dat rlevat sarebbero ugual fra loro e ugual a p, qud la dspersoe sarebbe ulla, perché ull sarebbero tutt gl scart ( - p ),,,.,. a cò, realtà, o s verfca e la varabltà sarà tato pù elevata quato pù grad soo gl scostamet de valor da p. Sotto quest presuppost, ua buoa msura della varabltà de dat è rappresetata dall dce d dspersoe: / p p σ p, p che rsulta varate se aggugamo a cascu valore ua costate α, coè se cambamo sstema d rfermeto. I ua dstrbuzoe d frequeze, le osservazo vao poderate, per cu: k / p p p k / p p p p f σ. 5

53 Il parametro p (0, ) dpede dalla partcolare struttura degl error che fluezao dat: - se p, duque ε ~ LAPLACE, s ha lo scostameto semplce medo dalla medaa σ che msura, meda, d quato valor osservat s dscostao dalla medaa ; - se p, coè se ε ~ GAUSS, s ha lo scarto quadratco medo ( ) σ, che msura, meda quadratca, d quato valor osservat s dscostao dalla meda artmetca. Il quadrato d σ è oto co l ome d VARIANZA, l cu calcolo s può effettuare co facltà, evtado gl scart; fatt è: ( ) ( + ), + ossa la varaza d ua sere d valor è uguale al quadrato della meda quadratca meo l quadrato della meda artmetca. - Quado p, coè quado ε ~ UNIFORE, s dmostra che σ p è l semtervallo d varazoe: ( ) ( ) σ. σ p è espresso ella stessa utà d msura de valor osservat. 53

54 4.. Gl dc d varazoe Gl dc d varazoe trovao applcazoe quado la varabltà d ua sere osservata o è dovuta all flueza d error accdetal, ma cascu valore dffersce dagl altr e dal valore medo per l effetto sstematco d ua legge d dpedeza g(.), che descrve l evolvers degl stess valor. I questo cotesto, le mede d rfermeto traggoo orge dalla defzoe del Chs. Tale defzoe è legata alla atura del feomeo, che può essere d tpo addtvo o moltplcatvo e all essteza d ua legge d dpedeza, che cosdera valor osservat fuzo d altre varabl y: g(y). La varabltà d ua sere d valor, questo caso, può acora essere msurata term d valore medo degl scart d cascu valore dalla meda d rfermeto, che rappreseta l barcetro della sere, ma og scarto o può, alcu modo, essere assmlato al cocetto d errore accdetale. La uova famgla d dc d varabltà è rappresetata dall espressoe: V m m / m che al varare d m, dove m,, 3,, forsce cosddett dc d varazoe. Per ua dstrbuzoe d frequeze, bsoga poderare le osservazo, per cu: V m k / m m k m f / m Gl dc d dverstà Se cosderamo ua varable quattatva d tpo dscreto, che derva da eumerazo o cotegg d uo stesso oggetto/soggetto, o ha seso logco calcolare le dffereze d cascu valore da ua meda decsoale o da ua 54

55 meda secodo l Chs, che assumerebbe, questo caso, valore puramete dcatvo-formale. Acqustao, vece, peezza d sgfcato, questo cotesto, le mede d poszoe e gl dc d dverstà. Gl dc d dverstà, qual dc d varabltà, s fodao sulla eterogeetà de valor d ua sere, pertato s possoo otteere come meda potezata d orde m d tutte le possbl dffereze coppa de valor osservat: R m, j j m / m dove R D, soo tutte le possbl dffereze. Ad esempo, se 3, la matrce delle dffereze è: d d d 3 d d d 3 d 3 d 3 d 33 Poché la dffereza fra cascu valore e sé stesso rsulta ulla: d 0 (dffereze sulla dagoale prcpale della matrce), s possoo cosderare solo le dffereze fra valor dvers, che soo (-)D, : m j j ( ) m / m Le due espresso R m e m, dfferscoo solo per l deomatore e soo defte, rspettvamete, dffereze mede potezate d orde m co e seza rpetzoe. Gl dc d dverstà pù mpegat, pratca, soo le dffereze semplc mede, co e seza rpetzoe, che s ottegoo per m. 55

56 Poché la matrce delle dffereze è ua matrce smmetrca, l espressoe a umeratore, j j j j può essere sosttuta dall espressoe che cosete d dmezzare calcol. j, < j I poche parole, basta calcolare ( ) dffereze, azché (-). Quado l valore s rpete volte e l valore j s rpete j volte, le sgole dffereze - j adrao moltplcate per l fattore j, che rappreseta l umero delle volte che s verfcao tal dffereze: R, j j j, j,,., e se o s cosderao le dffereze rpetute: j j ( ) j, j,,., j. Se è grade s rcorre alla formula d De Fett-Pacello (cfr.par ). 4. Idc d varabltà relatva Gl dc d varabltà, così come valor med, vst fora, soo espress ella stessa utà d msura de valor, ossa soo dc d varabltà assoluta. Tuttava, se voglamo cofrotare due o pù sere d valor, espress utà d msura dverse o avet dverso orde medo d gradezza, ovvero avet u dverso tervallo d varazoe, è ecessaro cosderare gl dc d varabltà relatva. Gl dc d varabltà relatva soo umer pur, ossa umer seza alcua utà d msura, e s dstguoo : 56

57 - coeffcet d dspersoe; - coeffcet d varazoe; - coeffcet d dverstà. 4.. Coeffcet d dspersoe S ottegoo rapportado gl dc d dspersoe assoluta alla propra meda decsoale: σ p. p 4..3 Coeffcet d varazoe S ottegoo rapportado gl dc d varazoe assoluta sempre e soltato alla meda artmetca: V m. Le utà d msura soo elmate dal rapporto. Tal dc possoo essere espress ache term percetual; tal caso, basta moltplcarl per 00. I coeffcet d dspersoe e d varazoe varao tra 0 e u valore massmo, che dpede dalla partcolare forma della dstrbuzoe statstca. Quest dc presetao coveet se la meda cu soo rapportat tede a Coeffcet d dverstà Gl dc d dverstà ha pù seso rapportarl ad ua quattà smle, che msura lo stesso aspetto de dat, ella stessa utà d msura, ma ua stuazoe dversa. Per fare questo, occorre defre l cocetto d massma varabltà teorca, che fa rfermeto alle dstrbuzo massmat della varabltà, cu s potzza che la massa delle osservazo sa cocetrata u uco valore, metre gl altr valor assumoo valore zero. 57

58 S dmostra che l massmo valore teorco della dffereza semplce meda è (dove è la meda artmetca), per cu u dce d varabltà relatva s può otteere, questo caso, dal rapporto: ma. Cosderamo, ad esempo, la seguete dstrbuzoe massmate: e calcolamo : 3 4 L ( ) ( ) ( ) L j < j. 4.3 Esemp sugl dc d varabltà assoluta Le msure d tedeza cetrale da sole o soo suffcet a caratterzzare ua dstrbuzoe. S cosder, ad esempo, la dstrbuzoe del peso d due grupp d persoe: peso A B totale

59 Le due dstrbuzo, pur avedo stessa meda, medaa e moda, presetao ua more (dstrbuzoe A) o ua maggore (dstrbuzoe B) cocetrazoe de valor toro a tal mede: Dstrbuzoe A Dstrbuzoe B e o 60 Alle msure d tedeza cetrale vao, pertato, affacat gl dc d varabltà, che dcao apputo quato valor osservat soo pù o meo dspers rspetto alla meda cosderata Esemp sugl dc d varazoe Nella seguete tabella soo rportat valor delle precptazo mm rlevat ua stazoe meteorologca d Roma el perodo : a 608, , , , ,6 7 8,6 TOTALE 570,7 59

60 Calcolamo gl dc d varazoe V e V ; occorre effettuare tutt possbl scart dalla meda: - - ( -) 608,6-07, 07, 493, ,8,8 4835,4 76,4-89,4 89,4 799,36 760,9-54,9 54,9 304,0 887,6 7,8 7,8 555,4 904,6 88,8 88,8 7885,44 8,6 3,8 3, ,84 570,7 946, ,7 7 85,843 mm V 946,7 7 35,49 mm V ( ) ,043 mm S ot che V < V, quato V altro o è che ua meda artmetca d scart, metre V e è ua meda quadratca e, rcordado la relazoe che lega le mede potezate d orde m (cfr.par. 3.), la meda artmetca rsulta ferore alla meda quadratca. Il quadrato d V è la varaza: σ V 5665,4 mm. Voledo evtare d calcolare tutt gl scart, s può calcolare σ co la formula rdotta; occorroo, tal caso, solo le due coloe: 60

61 608, , , ,8 887, ,8 904,6 8830, 8, , σ ( 85,843) 5665, 4. 7 Cosderamo adesso la dstrbuzoe relatva de reddt famlar Itala el 983 ( mlo d ): totale 000 Calcolamo V e V : 6

62 c c c c c ( c -) ( c -) ,36 8,36 38,48 33, , ,36 5,36 64,676 3, , ,36 3,36 688,7 75,97 909, ,36,36 943,84 6, , ,36 9,36 905,8 85, , ,36 7,36 644,004 5, , ,36 5,36 47,4 7, , ,36 3,36 45,936 0, , ,36,36 8,576, , ,764 0,764 4,0 0, ,038 3,5 69 6,5 3,64 3,64 5,6 0, ,05 7, ,5 7,64 7,64 704,608 5, ,73 3, ,64,64 63, 50, ,85 37, ,5 7,64 7,64 776,88 98, ,06 4,5 7 47,5,64,64 60,8 495, ,5 47, ,64 7,64 38, , , ,764 54, ,56 999, , , ,8 c ,36 mlo d V 9865, c 9,8658 mlo d V ( c ) 8983, ,7544 mlo d. Voledo utlzzare la formula rdotta per l calcolo d V : 6

63 c c c c ,5 69 6,5 55,5 3805,5 7, ,5 756, ,5 3, ,5 58,5 37, ,5 406,5 638,5 4,5 7 47,5 806, ,75 47, ,5 3587, ,5 V c ,5 000 ( 0,36) 3, 7544 mlo d. S ot, ache questo caso, che V < V Esemp sugl dc d dspersoe Rpredamo l esempo relatvo a valor d tesoe msurat u puto precso d u crcuto (cfr.par.3.3). S tratta d msure rpetute della stessa gradezza, duque gl dc d varabltà assoluta pù doe soo tal caso gl dc d dspersoe. Se suppoamo che dat provegao da ua dstrbuzoe ormale (p), l dce d dspersoe pù approprato è lo scarto quadratco medo σ : 63

64 σ c c c - ( c - ) ( c - ) c c 5,3 5,3-0,089 0, , ,38 6,38 5,8 0,35-0,039 0, ,0044 6,89 5,378 5,3 5 5,63-0,089 0, , ,40 3,00 5,8 3 66,658-0,039 0, ,0057 6,9 34,786 5,33 5 8,33-0,0089 0, , , ,564 5, ,575-0,0039 0, , , ,4 5,43 3,35 0,00 0, , ,445 58,797 5,48 0 0,950 0,006 0, , ,497 59,935 5,53 8 9,745 0,0 0,0003 0,0078 6, ,869 5,58 6,890 0,06 0, , ,600 39,98 5,63 4 0,650 0,0 0, , ,65 06,606 5,68 0,335 0,06 0, , ,703 53,406 totale 50 77,0 0, ,7 77, 50 c 5,44 ( c ) 0, ,009 Se avessmo cosderato la medaa 0, azché la meda artmetca, avremmo otteuto u valore pù alto per σ, essedo la meda decsoale che mmzza la fuzoe d perdta quado p. Co la formula rdotta: c 3965,7 σ ( 5,44) 0, Suppoamo adesso che dat provegao da ua dstrbuzoe d Laplace (p); l dce d dspersoe pù approprato è lo scostameto semplce medo dalla medaa σ : 64

65 c N c - 0 c - 0 c - 0 5,3-0,08 0,08 0,08 5,8 3-0,03 0,03 0,0464 5, ,08 0,08 0,090 5,8 3-0,03 0,03 0,76 5, ,008 0,008 0,050 5, ,003 0,003 0,083 5, ,008 0,008 0,0396 5, ,0068 0,0068 0,360 5, ,08 0,08 0,4 5, ,068 0,068 0,06 5, ,08 0,08 0,087 5, ,068 0,068 0,0536 totale 50 0,800,3558 Calcolata la medaa 0 5,407 co l metodo dell terpolazoe (cfr.par. 3.), s ha : c 0,3558 σ 0, Se avessmo cosderato la meda artmetca azché la medaa 0, avremmo otteuto u valore pù alto per σ, essedo 0 la meda decsoale che mmzza la fuzoe d perdta quado p Esemp sugl dc d dverstà Suppoamo d aver rlevato l umero d fgl d 5 famgle: Calcolamo la dffereza semplce meda co rpetzoe R e seza rpetzoe. Tutte le possbl dffereze d j - j soo R D, 5 5: 65

66 d d d 3 d 4 d 5 d d d 3 d 4 d 5 d 3 d 3 d 33 d 34 d 35 d 4 d 4 d 43 d 44 d 45 d 5 d 5 d 53 d 54 d 55 metre le dffereze seza rpetzoe soo D, (-)5 40. Essedo la matrce delle dffereze smmetrca, basta calcolare solo le dffereze per cu <j, ossa tutte le dffereze al d sopra della dagoale prcpale: Qud è: R ( ) j < j 5 e se o s cosderao le dffereze rpetute: j < j ( ) 8 0, Cosderamo adesso la seguete dstrbuzoe d frequeza; dobbamo teer coto che cascua dffereza s rpete j volte:, - j - j j - j j totale

67 Duque è: R j j < j 576 0,88 e se o s cosderao le dffereze rpetute: j j < j ( ) ,036. Se l totale delle osservazo è molto grade, per evtare d calcolare tutte le dffereze, s può rcorrere alla formula d De Fett-Pacello: N -N N (-N ) + - N (-N )( + - ) totale ( N )( ) N + ( ) ,036. Se le soo progressoe artmetca d ragoe h, l umeratore s rduce ulterormete: h N ( N ) ( ). 4.4 Esemp sugl dc d varabltà relatva L dce d varabltà relatva pù utlzzato è l coeffcete d varazoe : CV σ 00. Vedamo due esemp cu è ecessara la sua applcazoe. 67

68 Esempo Le dstrbuzo de pes e delle stature d u gruppo d studet hao presetato meda e scarto quadratco medo come dal seguete prospetto; verfcare se rsulta maggore la varabltà della dstrbuzoe de pes o delle stature. Peso (kg) Statura (cm) 59,4 73, σ 7,5 8, S tratta d cofrotare la varabltà d due dstrbuzo espresse co dversa utà d msura, per cu o ha seso cofrotare due scart quadratc med, che soo espress l uo kg e l altro cm. Calcolamo pertato due coeffcet d varazoe, che soo umer pur o admesoal: σ 7,5 PESO CV 00 00,6% 59,4 σ 8, STATURA CV ,7% 73, Dal cofroto de due coeffcet d varazoe rsulta maggore la varabltà della dstrbuzoe de pes. Esempo I ua regoe s hao 9 dustre che hao stallato u dspostvo atquate d tpo A ed altre 9 che hao stallato u dspostvo at-quate d tpo B. D seguto vegoo rportate le quattà ( gramm al muto) d pulvscolo elmate goralmete dalle dustre co dspostv A e B: 68

69 Idustre A B A B totale A A 64,67 gr/m B B 34, gr/m. 9 S tratta d due dstrbuzo che, pur essedo espresse ella stessa utà d msura, presetao u orde medo d gradezza dverso duque, per cofrotare la varabltà, calcolamo coeffcet d varazoe, da cu rsulta pù varable la dstrbuzoe B: A 3934 σ ( 64,67) A A 3, 64 gr/m 9 B 840 σ ( 34,) B B, 0 gr/m 9 CV CV A B σ A A σ B B 3, % 64,67, %. 34, 4.5 Propretà della varaza Sa X ua varable statstca co meda X e varaza σ X. Sa ua trasformazoe leare d X: α+βx; dmostramo che: σ β σ X 69

70 dmostrazoe X β α + (cfr.par.3.4) ( ) ( ) ( ) X X X y σ β β β β α β α σ + Se β, α+x ed è: σ X σ Ovvero, la varaza è varate per traslazoe. Se α0, βx ed è acora: σ X β σ. Cosderamo adesso ua varable statstca X co meda X e varaza σ X e ua varable statstca co meda e varaza σ. Sa ZX+. Dmostramo che: σ Z σ X +σ +σ X dmostrazoe Z X + (cfr.par. 3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + + y y z X X Z Z σ ( ) ( ) ( )( ) + + y y X X σ X +σ +σ X L espressoe ( )( ) y X X σ vee defta covaraza (cfr.par. 7.6); se X ed soo dpedet dstrbuzoe (cfr.par. 7.), allora 0 X σ e σ Z σ X +σ. 70

71 4.6 Idc d eterogeetà Gl dc d varabltà f qu presetat possoo essere utlzzat solo per varabl quattatve. Co l terme eterogeetà s dca, geere, la dverstà fra le modaltà d u carattere qualtatvo. Se tutte le utà statstche rlevate presetao la stessa modaltà del carattere, s dce che l eterogeetà è ulla o che la cocetrazoe è massma: f f k totale Se tutte le utà statstche soo rpartte uformemete fra le k modaltà del carattere, allora l eterogeetà è massma: f f /k /k /k /k /k /k 3 /k /k /k k /k /k /k totale /k Per valutare l eterogeetà d ua dstrbuzoe, G ha proposto l seguete dce: G. I caso d eterogeetà ulla è G f 0. k k f I caso d eterogeetà massma è k G f k / k. k 7

72 U dce d eterogeetà relatvo è duque dato da: G G'. ( k ) / k Suppoamo d avere rlevato su u gruppo d soggett, separatamete per due sess, l ttolo d studo. S vuole cofrotare l eterogeetà delle due dstrbuzo: Femme asch f f f f Lc. meda 0,7 0,03 Lc. elem. 3 0,7 0,03 aturtà 7 0,58 0,34 Lc. meda 6 0,33 0, Laurea 3 0,5 0,06 aturtà 8 0,44 0,0 totale,0 0,43 Laurea 0,06 0,00 totale 8,0 0,34 G ' F G F ( k ) / k ( 3 ) 0,57 0,85 / 3 G G ( k ) / k ( 4 ) 0,66 0,88 / 4 '. I etramb cas G rsulta pù vco ad che a 0, duque c è eterogeetà. Ioltre, rsulta pù eterogeea la dstrbuzoe de masch. 7

73 5 Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe d frequeza emprca Osservata ua dstrbuzoe d frequeza emprca, uo degl obettv pù mportat dell aals statstca de dat è quello d dvduare ua opportua legge o fuzoe aaltca, che resca effcacemete a descrvere l carattere rlevato. Tale fuzoe, se preseta determate propretà, prede l ome d dstrbuzoe teorca. Le caratterstche d ua dstrbuzoe teorca possoo essere estese al feomeo oggetto d studo, l cu comportameto o è oto, al fe d redere pù agevole l approcco matematco. Le dstrbuzo teorche soo rappresetate da modell probablstc, che descrvoo l adameto d partcolar varabl, dette varabl casual. 5. Ce d calcolo delle probablta S defsce eveto casuale o aleatoro l rsultato d u espermeto, defto aleatoro perché o s può prevedere. Defzoe classca d probabltà Secodo l approcco classco, la probabltà d u eveto A è l rapporto tra l umero de cas favorevol al verfcars d A e l umero de cas possbl, purché quest ultm sao equprobabl. esemp: a) Nell espermeto laco d ua moeta, s calcol la probabltà dell eveto T esce testa. Cas favorevol: T Cas possbl: T, C (esce croce) T e C hao la stessa probabltà d uscre se la moeta o è truccata: P(T) P(C)/. 73

74 b) Nell espermeto laco d u dado, s calcol la probabltà dell eveto E esce umero par. Cas favorevol:, 4, 6 Cas possbl:,, 3, 4, 5, 6. P(E)3/6. Defzoe frequetsta d probabltà Secodo l approcco frequetsta, la probabltà d u eveto è l lmte ( ) della frequeza relatva de success. Defzoe soggettvsta d probabltà Secodo l approcco soggettvsta, la probabltà è l rsultato d ua valutazoe soggettva da parte d u dvduo. Per es., l deatore d u gocattolo può assegare alla probabltà che l gocattolo abba successo sul mercato u valore dverso rspetto al resposable marketg della socetà che vede l gocattolo stesso. L assegazoe d ua probabltà soggettva ad u eveto tee coto: - dell espereza passata dell dvduo; - della sua opoe persoale; - dell aals del partcolare cotesto d rfermeto. L approcco soggettvsta è partcolarmete utle quado la probabltà d u eveto o può essere determata emprcamete. Esste ua corrspodeza buvoca tra evet ed sem, per cu fra gl evet è possble effettuare tutte le operazo lecte fra gl sem, per esempo l e l ; l uoe corrspode all o dsgutvo, metre l tersezoe corrspode all e coguzoe. Defzoe assomatca d probabltà La probabltà s può defre va assomatca el seguete modo: La probabltà d u eveto E è quel umero reale p tale che: 74

75 ) pp(e) 0; ) P(Ω); 3) P(E E )P(E )+P(E ) se E E, coè se E ed E soo compatbl (teorema delle probablta total per evet compatbl) Esempo d evet compatbl Nell espermeto laco d u dado gl evet: E esce umero par; E esce umero dspar soo compatbl, perché l verfcars dell uo esclude l verfcars dell altro, ossa E ed E o possoo verfcars etramb cotemporaeamete. La probabltà, duque, è u umero reale che vara tra 0 e ; assocamo l valore 0 ad u eveto che o ha essua probabltà d verfcars (eveto mpossble: Φ) e l valore ad u eveto che s verfcherà scuramete (eveto certo: Ω). Ω è lo spazo de rsultat (elemetar), ovvero è l seme d tutt possbl rsultat compatbl coess ad u espermeto. S cosder, ad esempo, l laco d due dad. Lo spazo de rsultat è: (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,6) (6,6) Come s è vsto, l seme vuoto Calcolo delle probabltà vee defto eveto mpossble. Dmostramo che: P( )0. 75

76 Dmostrazoe: P(Ω)P(Ω )P(Ω)+P( ), duque P( )0. Se E E, allora P(E E )P(E )+P(E )-P(E E ). Se E E, allora P(E E ) P( )0, da cu segue l 3 assoma. Vedamo adesso come s modfca l calcolo d ua probabltà quado s dspoe d u formazoe a pror sugl evet covolt. S defsce probabltà codzoata la probabltà che s verfch u eveto E sapedo che l eveto E s è gà verfcato: P(E E ) P(E E ) / P(E ) Aalogamete P(E E ) P(E E ) / P(E ), da cu segue la legge delle probabltà composte: P(E E ) P(E E ) P(E E ) P(E ) P(E E ) P(E ). Quado l verfcars d u eveto o flueza la probabltà che se e verfch u altro, s dce che due evet soo dpedet: P(E E ) P(E ), da cu segue l Teorema delle probablta composte per evet dpedet: Due evet soo dpedet se e solo se P(E E ) P(E ) P(E ). Esempo: S abba u ura co 0 palle, d cu 7 bache (B) e 3 ere (N). S cosdero gl evet: E esce palla baca alla estrazoe; E esce palla baca alla estrazoe. S vuole calcolare la probabltà che esca palla B alla ed alla estrazoe, ovvero P(E E ). S ha: 76

77 P(E )7/0 P(E E ) P(E )7/0 P(E E ) 6/9 se l estrazoe è effettuata co rcollocameto (R), se l estrazoe è effettuata seza rcollocameto. Allora, P(E E ) P(E ) P(E ) (7/0) (7/0) solo se l estrazoe è effettuata co R; tal caso, due evet soo dpedet. Se l estrazoe è effettuata seza R, P(E E ) P(E ) P(E E ) (7/0) (6/9). Se, vece, l estrazoe è effettuata seza R ed è E esce palla era alla estrazoe, allora P(E E ) P(E ) P(E E ) (3/0) (7/9). VARIABILE CASUALE Cosderamo l espermeto laco d ua moeta volte ; rsultat possbl soo: CC, CT, TC, TT. S può defre la fuzoe. d volte che s preseta T ; tale fuzoe assume valore 0,, e vee defta varable casuale (v.c.). A sgol valor 0,, s possoo assocare le probabltà /4, /4, /4: p 0 /4 /4 /4 totale La v.c. cosderata è ua v.c. dscreta, che assume u umero fto d valor, ma esstoo ache v.c. dscrete che assumoo u ftà umerable d valor e v.c. cotue. VARIABILE CASUALE DISCRETA Ua v.c. dscreta è ua fuzoe che può assumere u umero fto o u ftà umerable d valor, a qual soo assocate probabltà ote, la cu somma è uguale a. 77

78 La dstrbuzoe d probabltà assocata alla v.c. dscreta è duque ua fuzoe p(), che gode delle seguet propretà: - p() 0; - Σ p(). VARIABILE CASUALE CONTINUA Ua v.c. cotua è ua fuzoe che può assumere ft valor all tero d u tervallo, lmtato o llmtato. La dstrbuzoe d probabltà assocata alla v.c. cotua prede l ome d fuzoe d destà d probabltà e gode delle seguet propretà: - f() 0; - R f()d. OENTO TEORICO DI ORDINE r E ORIGINE m Per ua v.c. dscreta l mometo teorco d orde r e orge m è defto dalla seguete espressoe: µ m, r r ( m) p() metre per ua v.c. cotua, è defto dall espressoe: + ( m ) r m, r f ( ) µ d. E X µ 0,. U partcolare mometo è l valore atteso ( ) OENTO TEORICO CENTRATO DI ORDINE r S ottee quado l orge m è uguale al valore atteso E ( X ): r [ E( X )] p( ) µ r per ua v.c. dscreta + [ E( X ) ] r r f ( ) µ d per ua v.c. cotua U partcolare mometo cetrato è la varaza ( X ) µ Var. 78

79 SIETRIA Ua v.c. dscreta X,,, ha dstrbuzoe d probabltà smmetrca quado: p( )p( ) p( )p( - ) p( 3 )p( - ) e così va. Ua v.c. cotua X ha fuzoe d destà smmetrca quado, comuque preso h>0, f( 0 +h)f( 0 -h), essedo 0 l asse d smmetra. Spesso 0 0, puto cu corrspode l massmo d f(). La smmetra è ua propretà molto mportate per ua dstrbuzoe. Per avere ua msura dell asmmetra d ua dstrbuzoe, s può utlzzare l dce β, dato dal rapporto: µ β σ 3 3 Se la dstrbuzoe è smmetrca, momet d grado dspar, come µ 3, soo ull, d cosegueza, per ua dstrbuzoe smmetrca è β 0. CURTOSI U altra caratterstca mportate della forma d ua dstrbuzoe è la curtos, d cu s parlerà pù avat (cfr.par. 5.4). La curtos può essere msurata dal rapporto: µ µ 4 β. 4 µ σ 4 5. La dstrbuzoe bomale Suppoamo d avere u ura co N palle, d cu B bache ed N-B B d u altro colore. 79

80 La probabltà d estrarre ua palla B è : P(B)B/Np. La probabltà d estrarre ua palla d altro colore è: P B N B B ( B ) q p N N. N Espermet d questo tpo, cu possbl rsultat soo costtut da due evet, u successo (esce palla B) e u successo (esce palla B ), co probabltà, rspettvamete, p e q-p, vao sotto l ome d ESPERIENTI BERNOULLIANI. Suppoamo d effettuare estrazo co R e d essere teressat all eveto esce palla B alla ed alla estrazoe. Poché le prove soo dpedet, la probabltà d tale eveto, per l teorema delle probabltà composte per evet dpedet, è: pp qq... q 3 Se voglamo calcolare la probabltà d estrarre palla baca alla, alla,.., alla -ma estrazoe, tale probabltà sarà allora: pp... pqq... q 33 Se o samo teressat all orde, ossa se voglamo calcolare la probabltà che, su estrazo, esca geercamete volte palla B, dovremmo teer coto d tutte le possbl sequeze: pp... pqq... q 33 qq... q pp... p 33 ppqq... q p... p 3 80

81 Tutte le possbl sequeze soo, duque, per l teorema delle probabltà total per evet compatbl, la probabltà cercata è: ( ) ( ) q p p X P dove!( )!!. ( ) p è ua fuzoe d dstrbuzoe d probabltà chamata BINOIALE. Essa cosete d calcolare la probabltà d otteere success prove. La v.c. cu è assocata prede l ome d v.c. bomale; la v.c. bomale è dscreta e può assumere u umero fto d valor: 0,,,,. La fuzoe bomale è ua fuzoe d dstrbuzoe d probabltà, fatt: -, poché è l prodotto d umer postv (,, p e q soo maggor o al pù ugual a 0); ( ) 0 q p p - ( ) ( ) ( ) + + p p q p p 0. La dstrbuzoe bomale è così chamata perché rappreseta l geerco elemeto dello svluppo del bomo d Newto: ( ) q p q p q p q p q p q p La dstrbuzoe bomale è caratterzzata da due parametr: e p. S dmostra che momet teorc della dstrbuzoe bomale soo: ( ) p p X E 0, 0 ) ( µ 8

82 µ Var( X ) 0 0 [ E( X )] p( ) pq 3 [ E( X )] p( ) pq( q p) µ 3. D cosegueza è: µ β σ 3 3 ( q p) ( pq) 3 / pq ( q p) ( pq) / Se pq/, sarà (q-p)0, duque β 0 : la dstrbuzoe bomale è smmetrca. Cò s verfca ache quado, poché tal caso la bomale tede alla dstrbuzoe d Gauss (cfr.par. 5.4). 5.3 La dstrbuzoe d Posso Se e co la stessa veloctà p 0, coè se modo che pλ rest costate, la dstrbuzoe bomale tede ad ua dstrbuzoe lmte che va sotto l ome d dstrbuzoe d Posso : P λ λ e 0,,,! ( X ) p( ) esempo S abba u ura co N palle, d cu B bache. Effettuate estrazo co R, la dstrbuzoe bomale cosete d calcolare la probabltà che escao palle B su. Se, però, la percetuale d palle B è molto bassa (p 0), è ecessaro aumetare l. delle estrazo ( ) affché, meda, s possa osservare sempre lo stesso. d palle B, affché coè pλ rest costate. La dstrbuzoe d POISSON, poché p 0, vee defta ache dstrbuzoe degl EVENTI RARI (esemp:. d mort,. guast, ecc ). 8

83 La v.c. d Posso è ua v.c. dscreta, che assume u ftà umerable d valor; fatt, poché, 0,,, 3, La dstrbuzoe d Posso è caratterzzata da u solo parametro: λ. Essa è ua fuzoe d probabltà: ) p() 0, perché quozete d quattà postve: 0, λp>0, e >0; 0 ( ) ) p, poché: 0 λ e λ e λ! 0 λ! e λ e λ. S dmostra che momet teorc della Posso soo: µ 0, E( X ) µ Var( X ) 0 0 p 0 ( ) 3 [ E( X )] p( ) p [ E( X )] p( ) µ p. 3 p Duque E(X)Var(X) λ. L uguaglaza tra E(X) e Var(X) è ua peculartà della Posso, metre per la bomale E(X)>Var(X). Ioltre, essedo: µ p β >0, σ 3 3 ( p) 3 / ( p) / la dstrbuzoe d Posso è sempre asmmetrca postvamete. 5.4 La dstrbuzoe ormale o d Gauss Quado, ma p assume qualsas valore compreso tra 0 e, la dstrbuzoe bomale tede ad u altra dstrbuzoe lmte. S tratta, però, questa volta d u modello teorco cotuo, che prede l ome d dstrbuzoe ormale : 83

84 ( ) ( µ ) σ f e, co - < µ <+ e > 0 σ π σ. Questa fuzoe, ota ache come dstrbuzoe d Gauss, è defta su u tervallo llmtato: - <<+, è smmetrca d forma campaulare e astotca rspetto all asse X. Preseta u puto d massmo corrspodeza d µ, e due put d flesso corrspodeza d (µ-σ) e (µ+σ): f() µσ µ µ+σ La curva sopra descrtta vee cosderata la legge d dstrbuzoe per eccelleza degl error accdetal. I realtà, gl error accdetal, pur avedo ua dstrbuzoe d probabltà smmetrca, o sempre seguoo la legge d Gauss (cfr.par. 3.3 e 4..). La legge d Gauss è ua fuzoe d destà d probabltà. S dmostra, fatt, che soo verfcate le due codzo: - f() f ( ) d. S dmostra, oltre, che due parametr che caratterzzao la dstrbuzoe, µ e σ, soo propro l valore atteso e la varaza. Ifatt, momet teorc della f() soo dat dalle seguet espresso: + µ f ( ) d µ 0, 84

85 + ( ) µ µ f ( d σ ) + ( µ ) µ 3 f ( ) d ( µ ) 4 4 f ) 3 4 µ ( d σ µ 3 e µ 4 cosetoo d calcolare, rspettvamete, l dce d asmmetra β e l dce d curtos β. Per ua dstrbuzoe ormale rsulta µ 3 0 β σ σ 4 µ 4 3σ β σ σ La dstrbuzoe ormale vee defta "mesocurtca". Altre curve smmetrche, pù apputte o pù appattte rspetto alla ormale, vegoo defte, rspettvamete leptocurtche (β >3) e platcurtche (β <3). La dstrbuzoe d Laplace è ua dstrbuzoe leptocurtca (β 6), metre la dstrbuzoe uforme è platcurtca (β,8). Per ua varable casuale cotua o possamo calcolare probabltà putual, o meglo, la probabltà che ua v.c. cotua X assuma esattamete u valore è zero: P(X)0. Possamo, però, calcolare la probabltà che ua v.c. cotua assuma valor u determato tervallo, sa esso lmtato o llmtato. Calcolare ua probabltà d questo tpo equvale a calcolare u area, ad esempo: + + P( < X < + ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d P(X < + )-P( X < ). Per cu, se +, allora P( < X < + ) f ( ) d 0. 85

86 L tegrale f ( t) dt ( tµ ) σ e σ π P(X < )F(), oto come fuzoe d rpartzoe d X, o è rsolvble forma chusa, ma tramte procedmet d Aals umerca. Calcolare questo tegrale per og curva ormale sarebbe stato mpesable, poché valor che µ e σ possoo assumere soo ft: curve ormal co dversa meda e stessa varaza f() curve ormal co stessa meda e dversa varaza f()

87 curve ormal co dversa meda e dversa varaza f() E duque rsultato coveete cosderare la trasformata Z d X: µ Z X. σ Z è ua partcolare v.c. ormale, chamata v.c. ormale stadardzzata, la cu destà è: f ( z) e π z, che ha la peculartà d avere µ0 e σ : f(z) σ z 87

88 Soo stat calcolat, allora, gl tegral del tpo: z z f ( t) dt π t e dt P(Z < z)f(z). Tal tegral soo stat tabulat appost protuar, chamat protuar delle probabltà tegral della curva ormale stadardzzata. Calcolare l tegrale z f t) dt ( P(Z < z)f(z) 0 z equvale a calcolare l tegrale L tegrale f ( t) dt P(X < )F(). Covee qud esegure la trasformazoe z µ σ e trasformare gl tervall - + z -z +. Calcolare sul protuaro le probabltà P(Z<z ) e P(Z<z + ), duque la probabltà P(z <Z<z + )P(Z<z + )-P(Z<z ), equvale a calcolare la probabltà P( <X< + ). 88

89 Partcolare teresse assumoo le probabltà de valor compres tervall smmetrc toro alla meda, d ampezza par ad u multplo dello scarto quadratco medo: P(µ-σ<X<µ+σ)P(-<Z<+)0,686868,3% P(µ-σ<X<µ+σ)P(-<Z<+)0, ,4% P(µ-3σ<X<µ+3σ)P(-3<Z<+3)0, ,7%. Altrettato mportat rsultao le seguet probabltà: P(µ-,96σ<X<µ+,96σ)P(-,96<Z<+,96)0,95 P(µ-,58σ<X<µ+,58σ)P(-,58<Z<+,58)0,99 P(µ-3,9σ<X<µ+3,9σ)P(-3,9<Z<+3,9)0,999. A scopo esemplfcatvo, servedoc del protuaro delle probabltà tegral d ua ormale stadardzzata, provamo a calcolare l ultma: P(µ-3,9σ<X<µ+3,9σ)P(-3,9<Z<+3,9)P(Z<3,9)-P(Z<-3,9)F(3,9)- F(-3,9) F(3,9)-[-F(3,9)] F(3,9) - 0,9995-0, Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe emprca Osservata ua dstrbuzoe d frequeza emprca, vedamo adesso qual soo crter che c portao ad adattare u determato modello teorco puttosto che u altro. I lea d massma, la ostra scelta o potrà che rcadere su tre modell aalzzat: quello bomale, quello d Posso e quello d Gauss. Cosderamo l seguete esempo. U collettvo d 80 studet è stato sottoposto ad u test atttudale per l ammssoe ad u corso d matematca. Vee rportata 89

90 la dstrbuzoe d frequeze del umero d error commess su u totale d 0 domade:. d error commess frequeze assolute osservate Totale 80 La varable statstca osservata. d error commess è ua varable quattatva dscreta, per cu la ostra prefereza verte su ua delle due v.c. dscrete studate: la v.c. bomale o la v.c. d Posso. Fra la v.c. bomale e la v.c. d Posso sceglamo la v.c. bomale, poché la meda emprca rsulta maggore della varaza emprca e poché la varable X o sembra descrvere u eveto raro: 90

91 . d error commess frequeze assolute osservate totale N 4,84 57 σ ( 4,84) 3, 56. N 80 Scelto l modello bomale, dobbamo stmare parametr e p. Utlzzamo a tal fe l metodo de momet, che cosste ell uguaglare momet emprc e momet teorc: p σ pq Dal sstema, sosttuedo ella secoda equazoe ad p, s rcava che: σ qˆ 3,56 4,84 0,74 ) da cu pˆ q 0, 6. Ioltre, dalla prma equazoe è: 4,84 ˆ 9. p ˆ 0,6 Possamo adesso calcolare le probabltà teorche, al varare d : 9

92 p ˆ 9 ˆ 9 ( ) pˆ qˆ ( 0,6) ( 0,74) p. oltplchamo, qud, le probabltà teorche per l totale delle osservazo, modo tale da otteere le frequeze teorche *, che devoo essere poste a cofroto co le frequeze emprche ; pù le frequeze teorche s avvcerao alle frequeze emprche, mglore sarà l adattameto del ostro modello scelto a dat osservat. Pearso ha proposto u dce d botà d adattameto, che s basa propro sulla dffereza fra frequeze emprche e frequeze teorche : X k * ( ) * Ovvamete, quato pù l valore d X s avvca a 0, tato mglore sarà l adattameto: probabltà teorche p frequeze assolute teorche * Np * - ( - * ) ( - * ) / * 0,0033 0,6 0,7379 0,5445,077 0,09,7498 0,50 0,066 0,0358 0,069 5,533 0,4669 0,80 0,0394 0,377,064 -,064 4,0660 0,369 0,935 5,486 -,486,980 0,40 0,040 6,395 5,6805 3,685,9773 0,67 3,3790 -,3790,907 0,4 0,09 8,799 -,799,997 0,348 0,0575 4,6009 0,399 0,593 0,0346 0,047,9758-0,9758 0,95 0,489 0,0087 0,694 0,3058 0,0935 0,347 5,7769 9

93 Stablamo ua regola emprca, per cu se X rsulta ferore a (k-), dove k è l umero de valor assut dalla varable X, allora possamo rteere buoo l adattameto. Il valore d X el ostro caso rsulta: k * ( ) X 5,7769, * duque possamo rteere che l modello bomale s adatta bee alla dstrbuzoe emprca osservata. Cosderamo adesso u altro esempo. I ua gara d tro co l arco è stata osservata la seguete dstrbuzoe d frequeze del umero de cetr colpt da 00 arcer partecpat:. d cetr colpt frequeze assolute osservate total 00 Osservamo ache questo caso ua varable statstca dscreta, ma questa volta la ostra scelta verte sul modello d Posso, per seguet motv: 93

94 - la varable osservata descrve u eveto raro, quato colpre l cetro d u bersaglo o è semplce, come s evce ache dalla basse frequeze assocate a valor pù alt della varable; - la varable osservata assume u ftà umerable d valor; - la meda e la varaza emprche soo molto vce tra loro:. d frequeze cetr assolute colpt osservate total N , σ ( 4,86) 4, N 00 Scelto, qud, l modello d Posso, e stmamo l parametro λ utlzzado la meda e la varaza emprca: ˆ λ σ 4,9. Possamo, duque, calcolare le probabltà teorche e l dce X : 94

95 p ( ) p λ e! ( 4,9) ˆ ˆ λ 4, 9 e! frequeze Probabltà assolute * teorche teorche - ( - * ) ( - * ) * / p * Np 0,0074,4893,507 6,3035 4,35 0,0365 7,977-0,977 0,0886 0,0 0,0894 7,879-0,879 0,773 0,043 0,460 9,08 -,08,4467 0,0495 0,789 35,7734,66,5046 0,04 0,753 35,0579 -,0579 4,350 0,08 0,43 8,6306 0,3694 0,364 0,0048 0,00 0,044 -,044 4,675 0,079 0,064,754,746,9743 0,43 0,0334 6,6833,367,7338 0,594 0,083 5,6690-0,6690 0,4476 0,0789 5,937 9 dove P(X 0)- p( ) -0,9770, Poché, questo caso, è k * ( ) X 5,937, * s può rteere che l modello d Posso s adatta bee a dat osservat. Suppoamo adesso d aver osservato ua varable quattatva cotua: 95

96 frequeze class assolute - + osservate < >5 totale 00 L uco modello teorco che possamo provare ad adattare, fra quell vst, è l modello d Gauss, occorre percò stmare parametr µ e σ. A tal fe, possamo calcolare la meda e lo scarto quadratco medo sulla dstrbuzoe emprca: frequeze valor class assolute cetral - + osservate c c c c <5 8,5 0 6, , ,5 56, ,5 87,5 56,5 3593, , ,5 987, , ,5 9,5 >5 7,5 30,5 756,5 838,75 totale ˆ µ N 65 6,

97 ˆ σ N ˆ µ ( 6,5) 6, 89. Sappamo che P( <X< + )P(z <Z<z + )P(Z<z + )-P(Z<z )F(z + )-F(z ). Occorre, duque, stadardzzare valor: z + ˆ + + µ ˆ σ 6,5 6,89 e calcolare, servedos del protuaro delle probabltà tegral d ua curva ormale stadardzzata, la fuzoe d rpartzoe F(z + ) al varare d z + : valor stadardzzat z + fuzoe d rpartzoe F(z + ) Probabltà Teorche F(z + )-F(z ) frequeze assolute teorche * - * ( - * ) ( - * ) / * -,6 0,058 0,058 5,8,7 7,3984,40-0,89 0,860 0,33 3,3-3,3,046 0,89-0,7 0,4337 0,477 4,77 -,77 3,75 0,63 0,56 0,78 0,78 7,8,9 4,7859 0,7,8 0,9005 0,887 8,87-0,87 0,75 0,0398 0,0995 9,95,05,049 0,,6795 Calcolate le probabltà teorche F(z + )-F(z ), le moltplchamo per l totale delle osservazo N00, per otteere le frequeze assolute teorche *. L dce X è: k * ( ) X,68, * che rsulta more d (k-), dove, questo caso, k6 è l umero delle class. Poché rsulta X <5,s può rteere che la dstrbuzoe d Gauss descrve bee la dstrbuzoe osservata. 97

98 6 Idc d forma 6. I momet emprc S defsce mometo emprco d orge m e grado r la somma delle poteze r- me degl scart de sgol valor da m dvsa per l totale delle osservazo: µ m, r ( m) r Nel caso s abba ua dstrbuzoe d frequeza, gl scart vao poderat per le rspettve frequeze: k r ( m) k r µ m, r ( m) f. Se l orge m è uguale alla meda artmetca, momet vegoo deft momet cetrat e s dcao semplcemete co µ r : ( ) r µ r per ua sere d valor k ( ) r k r µ r ( ) f per ua dstrbuzoe d frequeze. La meda artmetca e la varaza σ soo partcolar momet: µ 0, σ µ 6. Asmmetra e curtos Ua dstrbuzoe d frequeza emprca s defsce smmetrca se la prma frequeza assoluta è uguale all ultma, la secoda alla peultma, la terza alla terzultma e così va: k 98

99 k- 3 k- dove k è l umero delle modaltà o de valor della varable osservata. Ua dstrbuzoe s defsce asmmetrca postvamete se v è ua maggore cocetrazoe delle frequeze corrspodeza d modaltà basse della varable, vceversa, se le frequeze s addesao maggormete corrspodeza d modaltà alte della varable, la dstrbuzoe s dce asmmetrca egatvamete. Per ua dstrbuzoe smmetrca s verfca che la moda è uguale alla medaa e uguale alla meda artmetca: o e, ma o è vero l cotraro. Se ua dstrbuzoe preseta u asmmetra postva, allora o < e <, se vece preseta u asmmetra egatva, allora o > e > (codzoe ecessara, ma o suffcete). D seguto vegoo rportat alcu dc, orde d mportaza crescete, che, teedo coto d quato affermato, dao dcazo sulla smmetra o meo d ua dstrbuzoe: a (Q 3 -Q )-(Q -Q ) A Q 3 a Q o δ σ ( ) 3 Q (Pearso) σ µ µ 3 β (Fsher) 3 µ σ 3 3 / I suddett dc valgoo 0 caso d smmetra, soo postv caso d asmmetra postva e egatv caso d asmmetra egatva, ma o è detto l cotraro. 99

100 Gl dc A, δ e β soo admesoal, quato hao umeratore e deomatore espress ella stessa utà d msura. 6.3 Il boplot Il boplot è u grafco che dà dcazo sulla smmetra o asmmetra d ua dstrbuzoe, quato è costtuto da ua scatola, cu estrem soo l I ed l III quartle (Q, Q 3 ). La scatola è sezoata dalla medaa (Q ) ed ha de baff corrspodeza, geere, de valor mmo e massmo: BOXPLOT Q IN Q AX Q3 50 Il boplot dà dcazo ache sulla varabltà d ua sere; fatt sa l tervallo d varazoe o rageax-in, sa la dffereza terquartle Q 3 -Q, possoo essere cosderat dc d varabltà, seppure grossola, quato l prmo o tee coto delle utà cetral, l secodo de valor estrem. 6.4 Esemp Cosderamo la dstrbuzoe d frequeza della varable umero d compoet per famgla, rlevata su u collettvo d 50 famgle: 00

101 totale 50 Calcolamo tre quartl, qud gl dc a ed A : f F 5 0,033 0, ,307 0, ,33 0, ,87 0, ,00 0, ,067 0, ,047 0, ,00 0, ,007,000 totale 50 Q, Q e 3, Q 3 4, a (Q 3 -Q )-(Q -Q )0, A Q 3 a Q 0 Gl dc a ed A assumoo etramb valore 0, ma la dstrbuzoe o è smmetrca; puttosto, sembra esserc u asmmetra postva, come s evce ache dalla rappresetazoe grafca: 0

102 d famgle d compoet per famgla Calcolamo, adesso, l dce d Pearso: f f f 0,033 0,033 0,033 0,307 0,63 4,7 3 0,33 0,700 9,00 4 0,87 0,747 6, ,00 0,500 5, ,067 0,400 36, ,047 0,37 49,87 8 0,00 0,60 64,80 9 0,007 0, ,540 totale,000 3,540 5,353 o 9 f 3,54 σ 9 f 5,353 ( 3,54),68 δ σ o 0,9 Il valore d δ 0, 9 dca asmmetra postva, come pure l dce d Fsher, dce acora pù formatvo: 0

103 - ( -) 3 ( -) 3 f -,540-6,387-0,546 -,540-3,65 -,0-0,540-0,57-0,037 0,460 0,097 0,08,460 3, 0,3,460 4,887 0,99 3,460 4,4,933 4,460 88,77,774 5,460 6,77,085 4,4 µ 3 µ 3 4,4 β 0,93. 3 / 3 3 µ σ (,68) Essedo la dstrbuzoe asmmetrca postvamete, s verfca che o < e <. Cosderamo adesso la dstrbuzoe delle altezze cm rlevate su u gruppo d 00 studet: - + c f c f ,5 0,0 3, ,5 0,04 6, ,5 0,08 3, ,5 0,4 3, ,5 0,4 4, ,5 0,3 40, ,5 0,5 7, ,5 0,07 3, ,5 0,0 3, ,5 0,0,98 totale 00 74,35 e calcolamo l dce d curtos proposto da Pearso. La curtos descrve l modo cu s dstrbuscoo le frequeze de valor: 03

104 µ µ β µ σ c - ( c -) ( c -) f ( c -) 4 ( c -) 4 f -,85 477,4 9,55 793,4 4558,64-6,85 83,9,36 806,99 34,48 -,85 40,4,3 978,48 577,48-6,85 46,9 6,57 0,7 308,4 -,85 3,4 0,8,7,8 3,5 9,9,8 98,46,64 8,5 66,4 9,96 44,95 66,79 3,5 7,9,0 990,9 093,5 8,5 39,4 6, ,8 70,38 3,5 535,9 5,36 87,93 87,3 75,83 749,76 0 f 74,35 cm c 0 σ c ( ) f 75, 83 µ cm 0 4 ( ) f 749, 76 µ cm 4 4 c µ 4 749,76 β 3,04. µ ( 75,83) Il valore d β, molto vco a 3, dca che la dstrbuzoe è mesocurtca (cfr.par. 5.4). Ioltre, la dstrbuzoe è smmetrca, come s evce ache dalla rappresetazoe grafca, per cu può essere be descrtta dal modello d Gauss: 04

105 altezze cm rlevate su u gruppo d 00 studet

106 7 L'terdpedeza fra due varabl 7. Tabelle doppe d frequeza Fora abbamo supposto d aver rlevato ua sola varable su u collettvo d utà statstche. Suppoamo, adesso, d aver rlevato su N soggett/oggett due varabl A e B; dspoamo, duque, o pù d ua sgola sere d osservazo, ma d ua sere doppa. Il prmo processo d stes per ua varable doppa cosste ella costruzoe d ua dstrbuzoe d frequeza coguta; tale dstrbuzoe prede l ome d tabella a doppa etrata. Ua tabella a doppa etrata s preseta ella seguete forma: A/B b b b j b c totale a j c. a j c. a j c. a r r r... rj rc r. totale...j.c N dove - a rappreseta la geerca modaltà d A, co,,, r; - b j rappreseta la geerca modaltà d B, co j,,, c; - le j soo le cosddette frequeze cogute, che stao ad dcare quate volte s presetao cogutamete le modaltà a e b j. Ioltre:. soo total d rga:. j j ;.j soo total d coloa:.j j ; 06

107 N è l totale geerale, coè l totale delle osservazo: N j j. j.j. Cascua rga della tabella rappreseta la dstrbuzoe d B codzoata alla modaltà a d A, metre cascua coloa rappreseta la dstrbuzoe d A codzoata alla modaltà b j d B. I partcolare, l ultma rga e l ultma coloa rappresetao, rspettvamete, la dstrbuzoe margale d B e la dstrbuzoe margale d A. Da ua tabella a doppa etrata, duque possamo rcavare r+c+ dstrbuzo d frequeza semplc. Se A e B soo due varabl qualtatve, la tabella a doppa etrata prede l ome d tavola d cotgeza, se vece etrambe le varabl soo quattatve la tabella a doppa etrata prede l ome d tavola d correlazoe. Se, le varabl soo ua qualtatva e l altra quattatva, la tavola vee defta msta. Su ua tabella doppa d frequeza possoo essere calcolate: - le frequeze relatve rspetto al totale; - le frequeze relatve rspetto a total d rga; - le frequeze relatve rspetto a total d coloa. Le tabelle che seguoo mostrao tre cas suddett: Frequeze relatve rspetto al totale A/B b b b j b c totale a /N /N j /N c /N. /N a /N /N j /N c /N. /N a /N /N j /N c /N. /N a r r /N r /N... rj /N rc /N r. /N totale. /N. /N.j /N.c /N N/N 07

108 Frequeze relatve rspetto a total d rga (cascua rga rappreseta la dstrbuzoe relatva codzoata d B rspetto alla modaltà a d A) A/B b b b j b c totale a /. /. j /. c /.. /. a /. /. j /. c /.. /. a /. /. j /. c /.. /. a r r / r. r / r.... rj / r. rc / r. r. / r. totale. /N. /N.j /N.c /N N/N Frequeze relatve rspetto a total d coloa (cascua coloa rappreseta la dstrbuzoe relatva codzoata d A rspetto alla modaltà b j d B) A/B b b b j b c totale a /. /. j /.j c /.c. /N a /. /. j /.j c /.c. /N a /. /. j /.j c /.c. /N a r r /. r /.... rj /.j rc /.c r. /N totale. /.. /..j /.j.c /.c N/N La seguete tabella rporta la dstrbuzoe d u collettvo d 9 studet secodo l sesso e l atttude per determate dscple: SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE F TOTALE Determamo le tre tabelle che cotegoo rspettvamete: - le frequeze relatve rspetto al totale; 08

109 - le frequeze relatve rspetto a total d rga; - le frequeze relatve rspetto a total d coloa SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 0,6 0,8 0,0 0,54 F 0,0 0, 0,3 0,46 TOTALE 0,6 0,3 0,43,00 SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 0,9 0,34 0,37,00 F 0, 0,7 0,5,00 TOTALE 0,6 0,3 0,43,00 SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 0,6 0,60 0,46 0,54 F 0,39 0,40 0,54 0,46 TOTALE,00,00,00,00 7. Idpedeza dstrbuzoe Spesso è teressate sapere se tra due caratter A e B esste ua relazoe d dpedeza. Suppoamo d aver osservato la seguete tabella: A/B b b b 3 TOTALE a a a TOTALE Calcolamo le frequeze relatve rspetto a total d rga: A/B b b b 3 TOTALE a 0, 0,5 0,4 a 0, 0,5 0,4 a 3 0, 0,5 0,4 TOTALE 0, 0,5 0,4 09

110 Notamo che le rghe soo tutte ugual; ovvero, le dstrbuzo relatve codzoate d B rspetto ad A soo ugual fra loro. Cò vuol dre che B è dpedete da A, poché la sua dstrbuzoe o vara al varare delle modaltà d A. Calcolamo adesso le frequeze relatve rspetto a total d coloa: A/B b b b 3 TOTALE a 0, 0, 0, 0, a 0,4 0,4 0,4 0,4 a 3 0,5 0,5 0,5 0,5 TOTALE Notamo, quest altro caso, che le coloe soo tutte ugual; ovvero le dstrbuzo relatve codzoate d A rspetto a B soo ugual fra loro. Cò vuol dre che A è dpedete da B, poché la sua dstrbuzoe o vara al varare delle modaltà d B. Cocludamo, duque, che se B è dpedete da A, è ache A dpedete da B e vceversa. Formalzzamo quato detto: se. j (, j) N j. è ache vero che. j (, j) N j. Allora, l geerco valore della frequeza coguta, ell potes d dpedeza, può essere dcato co:.. j ˆ j (, j) N e prede l ome d frequeza teorca d dpedeza. 0

111 Le dffereze fra le frequeze osservate e le frequeze teorche d dpedeza soo defte cotgeze : c j j ˆ j Ovvamete, caso d dpedeza le cotgeze sarao tutte ulle. E facle dmostrare che Σ c j Σ j c j Σ,j c j 0. Dmostramo che Σ c j 0: Σ c j Σ ( j.. ˆ j )Σ j Σ ˆ j.j - Σ N j. j. j.j - Σ..j - N. 0. N N Aalogamete, s dmostra che Σ j c j 0 e che Σ,j c j 0. La maggor parte degl dc propost letteratura per lo studo dell assocazoe s basao propro sulle cotgeze. I partcolare, l dce proposto da Pearso è dato dalla seguete espressoe: X, j c j ˆ j ˆ j N N j, j j, j.. j. Tale dce assume valore zero caso d dpedeza, ma cresce deftamete all aumetare delle osservazo. Successvamete, per elmare l flueza d N, Pearso propose l seguete dce: X Φ. N Nel tetatvo d ormalzzare l dce, el tetatvo coè d lmtare suo valor el rage [0,], acora Pearso propose l cosddetto coeffcete d cotgeza : X Ρ X + N / Φ Φ + /, ma Ρ o ragguge ma l valore, eache caso d perfetta dpedeza fra due caratter. U dce che assume valor ell tervallo [0, ] è stato proposto da Cramer:

112 / C Φ m[ ( ), ( ) ] r c. Tale dce assume valore zero caso d dpedeza e valore caso d dpedeza perfetta. Calcolamo gl dc X, Φ e C sulla dstrbuzoe del collettvo d 9 studet secodo l sesso e l atttude: SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE F TOTALE Frequeze teorche ˆ j SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 30,97 36,4 5,6 9,00 F 6,03 30,59 43,38 00,00 TOTALE 57,00 67,00 95,00 9,00 Cotgeze c j j ˆ j SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 4,03 3,59-7,6 0,00 F -4,03-3,59 7,6 0,00 TOTALE 0,00 0,00 0,00 0,00 Cotgeze al quadrato c j SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche 6,,9 58,08 F 6,,9 58,08

113 Cotgeze al quadrato / Frequeze teorche c j / ˆj SESSO/ ATTITUDINE Dscple artstche Dscple umastche Dscple scetfche TOTALE 0,5 0,35,3,00 F 0,6 0,4,34,38 TOTALE,5 0,78,46 4,39 X 4,39 Φ 0,0 C0,4. Dal valore d quest ultmo dce, molto pù vco a 0 che ad, s evce che due caratter o soo assocat, ovvero o sembra che l atttude verso determate dscple possa dpedere dal sesso. 7.3 Dpedeza perfetta La stuazoe d dpedeza o è uvocamete caratterzzata; può essere ulaterale, se r c, o blaterale, se rc. I seguet tre esemp mostrao, rspettvamete, come: a) l carattere B dpede perfettamete da A, ma l carattere A o dpede da B (r > c): ad og modaltà d A corrspode sempre ua sola modaltà d B, ma o è vero l cotraro ( og rga c è solo ua frequeza coguta o ulla); b) l carattere A dpede perfettamete da B (r < c). Ifatt, ad og modaltà d B corrspode sempre ua sola modaltà d A, ma o è vero l cotraro ( og coloa c è solo ua frequeza coguta o ulla); c) due caratter A e B soo perfettamete assocat (r c): og rga e og coloa c è solo ua frequeza coguta o ulla. 3

114 Il carattere B dpede perfettamete da A A/B b b b 3 TOTALE a a a a TOTALE Il carattere A dpede perfettamete da B A/B b b b 3 b 4 TOTALE a a a TOTALE I due caratter soo perfettamete assocat A/B b b b 3 TOTALE a a a TOTALE I quest ultmo caso le frequeze potrebbero dspors sulla dagoale prcpale, dcado ua perfetta assocazoe postva o sulla dagoale secodara, dcado ua perfetta assocazoe egatva o perfetta dssocazoe. Gl dc X e C assumoo elle tre stuazo suddette a), b) e c) l loro massmo valore ma, poché possoo assumere solo valor postv, o dstguoo l assocazoe dalla dssocazoe. 7.4 Idc d assocazoe per tabelle S cosder ua tabella dcotomca, ossa ua tabella cu etrambe le varabl possoo assumere solo due modaltà: 4

115 A/B b b totale a. a. totale.. N La partcolartà d ua tabella sta el fatto che, fssat total margal, la coosceza d ua sola frequeza coguta j è suffcete per determare le altre tre. U'aals sull'assocazoe può essere codotta duque basados su ua sola frequeza. I partcolare, cofrotado la frequeza osservata co la corrspodete frequeza teorca ).., s può affermare che:. se ), A e B soo dpedet;. se > ), tra A e B c'è assocazoe postva; 3. se < ), tra A e B c'è assocazoe egatva. Soo stat propost dvers coeffcet per msurare l'assocazoe fra varabl dcotomche; l pù mportate è l'dce V d Pearso: V. ( + )( + )( + )( + ) L'dce V vara el rage [-,+]; partcolare, assume valore:. 0 caso d dpedeza;. caso d perfetta assocazoe ( 0); 3. - caso d perfetta dssocazoe ( 0). Suppoamo d aver osservato la seguete tabella: Calcolamo l'dce V: SESSO/ ESAE DI N S Totale ATEATICA F Totale

116 V ,08 Il valore d V, molto pù vco a 0 che a -, dca che o c'è alcua relazoe fra l sesso degl studet tervstat e l fatto che abbao sosteuto o meo l'esame d matematca. 7.5 Idc d cograduazoe Se dat rportat ua tabella d cotgeza soo relatv a varabl msurate su scala omale, gl dc che quatfcao la dpedeza tra le due varabl vegoo deft, come s è vsto, msure o dc d assocazoe. Se le due varabl soo msurabl su scala ordale, gl dc prepost predoo l ome d dc d cograduazoe. Tal dc cosetoo o solo d msurare l testà d u'evetuale assocazoe, ma ache d dvduare l verso, ovvero cosetoo d stablre se tra due caratter ordat c'è cocordaza (assocazoe postva) o dscordaza (assocazoe egatva). S ha cocordaza quado a modaltà basse della prma varable corrspodoo modaltà basse della secoda varable e a modaltà alte corrspodoo modaltà alte. S ha dscordaza quado a modaltà basse corrspodoo modaltà alte e vceversa a modaltà alte corrspodoo modaltà basse Cocordaza tra graduatore Prma d esamare gl dc che msurao l testà della relazoe esstete fra due varabl ordabl espresse sotto forma d tabella a doppa etrata, aalzzamo due dc utlzzat per msurare la cocordaza tra due semplc graduatore, relatve allo stesso seme d utà statstche. La forma pù comue d graduatora è quella che s foda sull potes che le modaltà sao tutte dfferet ed equdstat, qud rappresetabl co umer atural da ad. 6

117 Cosderamo l seguete esempo. Suppoamo d aver rlevato due caratter Attvtà sportva e Autocotrollo su u seme d 0 soggett e suppoamo che tal caratter sao stat msurat secodo scale d lvello ordale: Idvduo Attvtà sportva Autocotrollo Fracesco 0 6 Paolo 7 9 Govaa 6 5 Stefao 8 Carlo 8 6 Pero 8 0 arco 6 7 Cecla 5 4 Fraco 5 3 ara S vuol verfcare se fra le due varabl esste ua relazoe. Per msurare la cocordaza tra le due graduatore utlzzamo l coeffcete Rho proposto da Spearma: ρ d ( ) 6 dove d j-k, cu j e k soo ragh delle due graduatore poste a cofroto, ed è l umero delle osservazo. Il rago dca la poszoe che l grado o puteggo occupa ella sere ordata seso crescete o decrescete. I corrspodeza d putegg ugual (ted), s attrbusce u rago dato dalla meda de ragh: 7

118 Idvduo Attvtà sportva Rago Autocotrollo Rago d d Fracesco Paolo 7 9 Govaa Stefao Carlo 8 5, ,5,5 Pero 8 5, ,5 0,5 arco Cecla 5 8, ,5 0,5 Fraco 5 8, ,5 0,5 ara totale 4 d 6 4 ( ) 0( 00 ) 6 84 ρ 0, Il coeffcete ρ vara el rage [-,+] e assume, partcolare: - valore + caso d perfetta cocordaza (jk); - valore caso d massma dscordaza; - valore 0 caso d dpedeza. Nell esempo suddetto l valore ρ0,9 esprme ua cocordaza quas perfetta fra le due varabl, per cu s può cocludere che l attvtà sportva faclta l autocotrollo. Il coeffcete ρ è stato rcavato da Spearma come coeffcete d correlazoe (cfr.par. 7.6) tra ragh, come s può faclmete dmostrare. U altro dce utlzzato per msurare l grado d corrspodeza fra due graduatore è l tau d Kedall: s τ. ( ) Per calcolare l τ s dspoe la prma graduatora orde aturale e s cosdera la uova dsposzoe della secoda graduatora. 8

119 S suppoga, ad esempo, d aver rlevato l orde d arrvo d 5 atlet due dverse gare: Idvduo Prma gara Secoda gara Fracesco 3 5 Paolo Govaa 5 3 Stefao Carlo 4 4 Ordamo la prma graduatora; la uova dsposzoe è: Idvduo Prma gara Secoda gara Paolo Stefao Fracesco 3 5 Carlo 4 4 Govaa 5 3 S cosder la secoda graduatora e s cofrot cascu puteggo co successv; s asseg valore - ogqualvolta tale puteggo rsulta superore al puteggo co cu è cofrotato, vceversa s asseg valore +. La somma d tal valor darà s: Idvduo Totale Paolo Stefao Fracesco Carlo - - s + τ s ( ) 5 4 0,. Come ρ, ache l coeffcete τ può assumere valor compres tra (massma dscordaza) e + (massma cocordaza) ed è ua msura smmetrca rspetto allo 0. Il rsultato otteuto, duque, o sembra cofermare ua cocordaza fra putegg rportat elle due gare. 9

120 I due coeffcet ρ e τ rsultao ugual solo el caso cu le graduatore cosderate soo perfettamete cocordat o dscordat, vceversa ρ tede ad assumere valor pù alt d τ, poché tede ad amplfcare gl scart Cograduazoe per tabelle doppe d frequeza S cosder adesso ua tabella d cotgeza, cu la varable d rga A e la varable d coloa B soo msurate su scala ordale, etrambe seso crescete o decrescete. Defamo la cocordaza e la dscordaza modo pù dettaglato. Due osservazo che, all tero della tabella, occupao le poszo (, j) e (', j') soo: - cocordat se (<') e (j<j') o se (>') e (j>j'); - dscordat se (<') e (j>j') o se (>') e (j<j'); - ted se hao la stessa classfcazoe rspetto alla varable A e/o B. Cosderamo, ad esempo, la seguete tabella d cotgeza, cu: A: codzoe meteorologca; B: lvello d traffco automoblstco A/B basso medo alto pogga varable sereo 84 6 Le osservazo elle celle d poszoe (,) e (,) soo cocordat. I geerale, le osservazo ella cella (,) soo cocordat co tutte le osservazo che s trovao a sud-est della tabella, che hao lvell maggor per etrambe le varabl. Tale regola può essere estesa a cascua osservazoe cascua cella, per cu l umero delle coppe cocordat sarà N c 4339: 0

121 dalla cella umero d coppe Totale pogga basso 7( ) 48 pogga medo 6(9+) 040 varable basso 9(6+) 073 varable medo N c 4339 Le osservazo elle celle d poszoe (,) e (,) soo dscordat. I geerale, cascua osservazoe sarà dscordate co le osservazo che s trovao a sudovest ella tabella, per cu l umero delle coppe dscordat sarà N d 7395: dalla cella umero d coppe totale pogga medo 6(9+84) 938 pogga alto 55( ) 3035 varable medo varable alto 9(84+6) 390 N d 7395 Il umero d coppe ted rspetto alla varable A è T a 96: dalla rga umero coppe totale pogga 7(6+55) varable 9(98+9) sereo 84(6+) T a 96 Il umero d coppe ted rspetto alla varable B è T b 58: dalla coloa umero coppe totale basso 7(9+84) medo 6(98+6) alto 55(9+)+9 59 T b 58 Fra gl dc d cograduazoe propost letteratura per tabelle a doppa etrata, aalzzamo l Γ d Goodma e Kruskal e l τ d Kedall, che ell esempo suddetto assumoo seguet valor: Γ N N c c N + N d d 0,73

122 N c N d τ 0,53. ( N + N + T )( N + N + T ) c d a c d b Etramb gl dc varao tra e +, assumedo valor postv caso d cocordaza e valor egatv caso d dscordaza. I partcolare, per tabelle quadrate, l dce τ assume valor estrem solo caso d perfetta cocordaza (dscordaza), ossa quado tutte le frequeze cogute s dspogoo sulla dagoale prcpale (secodara). L dce Γ, vece, assume valore quado N c 0 e valore + quado N d 0. L dce τ pertato può rteers mglore dell dce Γ. I caso d dpedeza tal dc soo ugual a 0, ma o è vero l cotraro. Ifatt, sa Γ che τ valgoo 0 se N c N d. Nell esempo cosderato Γ e τ, pur assumedo valor dvers, mostrao ua dscordaza fra due caratter, ossa al peggorare delle codzo clmatche, ad esempo caso d pogga, l traffco automoblstco tede ad aumetare. 7.6 Iterdpedeza fra varabl quattatve Suppoamo d aver rlevato su utà statstche due varabl quattatve X ed. Per msurare l terdpedeza leare fra due varabl quattatve c servamo della covaraza, data dalla meda del prodotto degl scart delle due varabl dalla propra meda: σ X ( )( y ) X La covaraza assume valor postv se v è ua prevaleza d scart cocord; tal caso le due varabl soo terdpedet learmete modo dretto, duque al crescere (decrescere) d ua d esse, l altra cresce (decresce). La covaraza assume valor egatv se v è ua prevaleza d scart dscord; tal caso, le

123 varabl soo terdpedet learmete modo verso e al crescere d ua l altra decresce e vceversa. I partcolare, secodo la dsuguaglaza d Cauchy-Schwartz, s può defre u rage all tero del quale la covaraza può varare: X X X σ σ σ σ σ + Dvdedo cascu membro della dsuguaglaza per Xσ σ, s ottee l coeffcete d correlazoe leare d Bravas-Pearso: + ρ, che assume valor estrem, e +, caso d perfetta relazoe leare fra le due varabl. L dce ρ è u umero admesoale, poché umeratore e deomatore soo espress ella stessa utà d msura: X X σ σ σ ρ, metre la covaraza è espressa el prodotto delle utà d msura delle due varabl. Così come per la varaza, esste ua formula rdotta ache per la covaraza. Ifatt è: ( )( ) ( ) + y y y X X X X σ + y y X X. X X X X X y + 3

124 Tale formula cosete d calcolare la covaraza, evtado d calcolare tutt gl scart d X e d dalle rspettve mede. Quado o s dspoe d ua sere doppa d osservazo, ma d ua tabella doppa d frequeza, per calcolare la covaraza bsoga teer coto delle frequeze cogute: σ X r c ( X )( y j ) j N j E coveete, ache questo caso, calcolare la covaraza co la formula rdotta: σ X X X, dove, però, le mede artmetche soo mede artmetche poderate: X r c j y, N j j X r. N, c j y N j. j. Se le due varabl X ed soo dpedet dstrbuzoe, la covaraza, è ulla. Ifatt, se X ed soo dpedet dstrbuzoe (cfr.par. 7.) è j.. j, qud è lecto scrvere: N σ X r c r c ( X )( y j ).. j ( ) ( ). y j X j N j N N. j 0 quato, per la prma propretà della meda artmetca, la somma degl scart d cascua varable dalla propra meda è ulla: r ( X ). ( y j ). j 0 c. j Ovvamete, tal caso, è ullo ache l coeffcete d correlazoe, pertato due varabl dpedet soo ache o correlate, ma o è vero l cotraro. 4

125 7.6. Esemp d calcolo della covaraza e d ρ Nella seguete tabella, soo rportat Tass d attvtà lavoratva (X) della popolazoe e l Prodotto tero lordo per abtate (), mlo d lre, d otto rego talae el 979: REGIONI TAL( ) PIL(y ) Pemote 63 6,0 Lombarda 6 6,3 Lgura 55 6, Toscaa 60 5,3 Emla 64 5,9 Lazo 53 4,6 Pugla 55 3,3 Scla 50 3, TOTALE 46 40,8 S vuol verfcare se le due varabl X ed soo correlate. Calcolamo, aztutto la covaraza: - X y - ( - X )(y - ) ( - X ) (y - ) 5,4 0,9 4,9 9, 0,8 3,4, 4,,6,4 -,6, -,9 6,8,,4 0, 0,5 5,8 0,0 6,4 0,8 5, 4,0 0,6-4,6-0,5,3, 0,3 -,6 -,8 4,7 6,8 3, -7,6 -,9 4,4 57,8 3,6 33, 79,9, 8 y 46 40,8 X 57,6 5, σ qud le due varaze: X 8 ( )( y ) X , 4, 8 σ X 8 ( ) 8 X 79,9 8,485 8 ( y ), σ,

126 Il coeffcete d correlazoe è: σ X 4, ρ 0,736. σ σ,485,405 X Voledo utlzzare le formule rdotte, sa per l calcolo della covaraza che delle due varaze, o soo ecessar gl scart; basta determare le seguet tre coloe: y y 378, ,0 384, ,7 34, ,4 38, , 377, ,8 43,8.809, 8, ,9 60, , 384, , 3 X 8 y 8 384, 8 98 σ X X X 98 57,6 *5, 4, σ X 8 8 X ( 57,6), 485 σ 8 8 y 9,3 8 ( 5, ), 405 S pervee, duque, allo stesso rsultato, a meo d approssmazo: σ X 4, ρ 0,736. σ σ,485,405 X Tale valore sta ad dcare ua correlazoe postva fra le due varabl, ovvero all aumetare del PIL, aumeta ache l TAL e vceversa. Suppoamo, adesso d aver osservato la seguete tabella a doppa etrata: 6

127 X/ 9,5 6 9 totale , , , totale Calcolamo l coeffcete d correlazoe: y j.j y j.j ,5 063,3 046,5 4765, , , ,3 366, , ,5 50,4 7. j. j X 5, 4 N 4 y N 88, j y j j , , ,5 X 4 4 j N y j j 9349,5 93,7 7 σ X X X 93,7 50,4 5,4 3,5 σ X 4 7. X 85353,3 7 ( 50,4) 37, 4 σ 4 j y 7. j 46967,3 7 ( 5,4) 7, 4 σ X 3,5 ρ 0,8. σ σ 37,4 7,4 X 7

128 8 Idpedeza meda 8. ede e varaze codzoate e margal Cosderamo la dstrbuzoe de dpedet d u ete d rcerca per poszoe professoale e umero d ore d lavoro effettuate u mese: A/B a rcercatore b b b b TOTALE a rcercatore a 3 drgete d rcerca TOTALE Cosderamo le dstrbuzo codzoate d B rspetto ad A e calcolamo le mede artmetche e le varaze sulle dstrbuzo codzoate: eda artmetca e varaza codzoata d B rspetto alla modaltà a d A cb j j c b j j c b j cb j j TOTALE σ 4 b c j j j 8650 B A a [ c b j B A a ] 0,6 j j c b j j B A a B A a. j. 43 ( 0,6) 359, 8

129 eda artmetca e varaza codzoata d B rspetto alla modaltà a d A cb j j c b j j c b j cb j j TOTALE σ 4 b c j j j 3740 B A a. 8 4 [ c b j B A a ] 07,78 j j c b j j B A a B A a. j. 8 ( 07,78) 439, 5 eda artmetca e varaza codzoata d B rspetto alla modaltà a 3 d A cb j 3j c b j 3j c b j cb j 3j TOTALE σ 4 b c j 3 j j 680 B A a [ b ] 0 4 c j B A a 3 3 j j c b j j B A a 3 B A a 3 3. j 3. 8 ( 0) 300 9

130 Calcolamo, adesso, meda artmetca e varaza sulla dstrbuzoe margale d B: eda artmetca e varaza della dstrbuzoe margale d B cb j. j c b j. j c b j cb j. j TOTALE N B 4 c j b N j. j ,9 σ B 4 [ c b j B ]. j 4 j N j c b j N. j B ( 03,9) 386, 4 8. Rapporto d correlazoe La varable B è dpedete meda dalla varable A se cascua meda codzoata è uguale alla meda calcolata sulla dstrbuzoe margale d B, qud se tutte le mede codzoate soo ugual fra loro. L dpedeza meda o è, qud, smmetrca come l dpedeza dstrbuzoe; è ovvo che, ell esempo suddetto, o è possble calcolare la dpedeza meda d A da B, essedo A ua varable qualtatva. 30

131 L evetuale dpedeza meda d B da A s può msurare attraverso l rapporto d correlazoe, dato dal rapporto tra la varaza delle mede codzoate e la varaza d B: σ η B A σ B A B Calcolamo la varaza delle mede codzoate e la meda delle varaze codzoate:. B A a B A a. B A a B A a. 43 0, , , ,4 8 07, , , ,89 8 0,00.680, , , , ,03 eda delle mede codzoate B A a. 03, 9 N 69 B Varaza delle mede codzoate σ [ ] 3 3 B A a B. B A a. B B A N N ,03 69 ( 03,9), 9. σ B A a σ B A a , 5.44, ,5 7.9, 8 300,00.400, ,97 3

132 eda delle varaze codzoate 3 σ B A a. σ B A N 575, ,3 S dmostra che sommado la varaza delle mede codzoate e la meda delle varaze codzoate, s ottee la varaza d B. Ifatt è: σ +,9+373,3 386,4 B A σ σ B A B Duque, l rapporto d correlazoe vara tra 0 ed, assumedo valore 0 caso d perfetta dpedeza meda e valore caso d perfetta dpedeza meda. Nell esempo, l rapporto d correlazoe è molto pù vco a zero che ad, per cu B s può rteere dpedete meda da A. σ A,9 η B B A 0,03. σ 386,4 B Naturalmete, l dpedeza dstrbuzoe mplca l dpedeza meda, ma o vceversa. Ifatt, v è dpedeza dstrbuzoe se tutte le dstrbuzo codzoate relatve soo ugual fra loro; a maggor ragoe, duque, sarao ugual le mede calcolate su d esse. Cò s può ache dmostrare aaltcamete. Cosderamo la geerca meda codzoata d B dato A, quado A assume la modaltà a : B A a c j b j. j Se v è dpedeza dstrbuzoe, s verfca che. j N j. duque 3

133 c j B A a b j N. j ma quest ultma altro o è che la meda d B. Allora, se tale uguaglaza vale per og, cò vuol dre che tutte le mede codzoate sarao ugual alla meda d B e qud sarao ugual fra loro. 8.3 Puto medo e puto medao Qualora fosse possble calcolare la meda artmetca su etrambe le varabl A e B, tal mede costturebbero le coordate del PUNTO EDIO ( A, B ) della dstrbuzoe d frequeza doppa, metre le medae calcolate sulle dstrbuzo margal d A e d B costturebbero le coordate del PUNTO EDIANO ( ea, eb ). Nell esempo cosderato, o è possble calcolare l puto medo, poché le varabl esame o soo etrambe quattatve. E possble però calcolare la medaa ache sulla dstrbuzoe margale d A, essedo questa ua varable qualtatva ordable: A. N. Rcercatore rcercatore 8 6 Drgete Poché N69 è dspar, la medaa sarà quella modaltà che occuperà la poszoe (N+)/35, ossa rcercatore. I effett, tal caso, o sarebbe stato ecessaro eache calcolare le frequeze cumulate N, essedo l valore 35 gà compreso ella prma frequeza assoluta. 33

134 8.4 Frequeze cumulate per ua tabella doppa E possble defre le frequeze cumulate ache su ua tabella doppa d frequeza. Le frequeze assolute cumulate rappresetao l umero d utà statstche che hao modaltà d A e modaltà d B j: N j hk j h k Suppoamo, ad esempo, d aver osservato la seguete tabella d frequeze cogute, dove A e B soo almeo ordabl: A\B b b b 3 totale a a a totale La tabella delle frequeze assolute cumulate è: A\B b b b 3 a a a dove, ad esempo, è: N N Per determare la tabella delle frequeze relatve cumulate, basta dvdere cascua frequeza assoluta cumulata per l totale delle osservazo: F j j h k f hk N N j. 34

135 9 La regressoe Nell aals de feome ecoomc, socal, atural, spesso, è teressate studare le relazo, d dpedeza o d terdpedeza, che s possoo vere a creare tra due o pù varabl, rlevate sugl stess soggett o oggett. Quado fra due varabl, o fra ua e pù varabl, è possble dvduare ua relazoe udrezoale, s suole parlare d dpedeza. Soffermamoc sull aals della dpedeza fra varabl quattatve. La dpedeza statstca o è ua dpedeza d tpo logco, coè d tpo causaeffetto. S pes, ad esempo, alla relazoe esstete tra reddt d ua coppa d coug, dovuta probablmete al fatto che due coug appartegoo geere alla stessa classe socale. Dstguamo due tpologe d varabl: - le varabl dpedet o esplcatve, che s suppoe assumao valor determat; - le varabl dpedet o d rsposta, affette da error accdetal. La scelta dell ua o dell altra varable come dpedete o come dpedete o è arbtrara, ma è legata alla atura del feomeo; s pes, ad esempo, alla relazoe reddto-cosum, cu soo cosum a dpedere dal reddto e o vceversa. Se o è possble stablre quale varable possa essere cosderata come logcamete atecedete e quale come coseguete, c s può teressare alla msura dell terdpedeza (coeffcete d correlazoe leare d Bravas- Pearso). S pes al tpo d relazoe esstete fra statura e peso, cu le due varabl s fluezao recprocamete. 35

136 9. La regressoe leare semplce Suppoamo d aver rlevato due sole varabl, ua dpedete X e l altra dpedete ; dspoamo duque d coppe d osservazo (, y ): 3... y y y y 3... y C chedamo: qual è la vera relazoe fuzoale esstete fra le due varabl X e? Essa potrebbe essere determata co esattezza: f(), se la varable dpedete o fosse affetta da error accdetal. I realtà, coè, o o rlevamo, per og soggetto/oggetto, la vera gradezza, ma rlevamo u dato y affetto da errore: y +ε. S pes, ad esempo, alla relazoe reddto-cosum, per cu è rrealstco pesare che percettor dello stesso reddto abbao la stessa spesa per cosum. Gl error ε tegoo coto d tutt que fattor che fluscoo su cosum e che soo dvers dal reddto (altre redte, propesoe alla spesa, ecc ). Se, rappresetate su u sstema d ass cartesa le coppe d put (,y ), è possble potzzare che la relazoe teorca che lega le due varabl X e sa d tpo leare: f()α+β, l problema è quello d dvduare, fra le fte rette che s ottegoo al varare d α e β, quella pù probable, coè quella che presumblmete ha geerato la ostra sere d dat. 36

137 Assumedo che gl error abbao dstrbuzoe ormale, co meda 0 e varaza costate σ : ε ~N(0, σ ), l mglor metodo per stmare parametr α e β è l metodo de mm quadrat. Il metodo de mm quadrat cosste el mmzzare la somma de quadrat degl scart tra valor osservat y e valor teorc : ( ) ( ) y y R β α mmo. Calcolamo duque le dervate parzal d R rspetto ad α e β e uguaglamole a zero; s ottee u sstema d due equazo due cogte, detto sstema d equazo ormal: ( 0 y R β α α ) () ( ) 0 y R β α β () Dalla equazoe () s ha: 0 y β α y ˆ β α y -β cu β s rcava dalla (). Dalla equazoe () s ha: 0 y β α e sosttuedo ad α l espressoe trovata: y y 0 β β 37

138 + y y 0 β β ˆ X X X X q X X y y σ σ β Le stme d α e β soo duque: X β α ˆ ˆ ˆ X X σ σ β dove: αˆ rappreseta l tercetta co l asse delle ordate; βˆ rappreseta l coeffcete agolare della retta, duque la sua clazoe, pertato - < <+. Il sego d dpede ovvamete dal sego della covaraza. esprme d quato vara, meda, al varare d u utà d X; se 0, è dpedete da X. βˆ βˆ βˆ βˆ Le stme d α e β s possoo determare co maggore facltà cosderado gl scart X luogo d. Cò equvale a cosderare ua traslazoe dell orge el puto d coordate (, 0), e qud ua traslazoe dell asse, d cu bsoga teer coto quado s stma α. La fuzoe d perdta è tal caso: ( ) ( y y R β α ) mmo e l sstema d equazo ormal dvee: ( 0 y R β α α ) () 38

139 ( ) 0 y R β α β () Dalla equazoe () s ha: 0 y β α y ˆα y cu bsoga sottrarre β, se s vuol torare al veccho sstema d rfermeto. Dalla equazoe () s ha: 0 y β α 0 y β y ˆβ, dove y y. Ifatt: ( )( ) ( ) ( ) ( X X X X y y y ) ). SCOPOSIZIONE DELLA DEVIANZA TOTALE La devaza d (DEVT) s può scomporre ella somma d due compoet, la devaza resdua (DEVE) e la devaza d regressoe (DEVR): ( ) ( ) ( ˆ ˆ + y y. Ifatt è: ( ) ( ) + ˆ ˆ y y ( ) ( ) ( )( ) y y + + ˆ ˆ ˆ ˆ, dove, se cosderamo gl scart X luogo d, s ha: ( )( ) ( )( ) + y y β α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 39

140 ( y ˆ )( + ˆ β ) ˆ β ( y ˆ ) 0 essedo ( ˆ ) 0 y l equazoe () del sstema ormale. Ua msura della botà d adattameto della retta d regressoe a dat è data dal coeffcete d determazoe R DEVR DEVT DEVE DEVT, 0 R, che assume valore 0 se DEVR0 e valore se DEVE0. DEVR0 se la retta d regressoe cocde co la retta passate per ; tal caso, o c è dpedeza d da X, essedo tale retta parallela all asse X. DEVE0 se tutt dat osservat gaccoo sulla retta d regressoe, ovvero la retta passa esattamete per put e l adattameto può rteers ottmo. DEVR σ X Dmostramo che. σ X Se cosderamo luogo d, s ha: X DEVR ( yˆ ) ( ˆ α + ˆ β ) ( + ˆ β ) ˆ σ X β σ 4 X σ X σ σ X X R è duque par al quadrato del coeffcete d correlazoe leare. Ifatt: DEVR DEVT DEVR X R ρ. σ σ Xσ σ Faccamo u esempo. Nella seguete tabella soo rportate le "quattà d precptazo " ( mm) e le "temperature mede X" ( grad cetgrad) regstrate 0 stazo meteorologche: 40

141 y Il valore del coeffcete d correlazoe leare dca ua forte terdpedeza leare fra le due varabl d tpo verso: y y y X 4, X 0 0 y 97 9,7 0 σ X X X 76 4

142 σ X 0 0 X 34 0 ( 4,9), σ 0 y ( 73) 850, 49 ρ σ X 0,95. σ σ X La relazoe leare fra le due varabl s evce ache dallo scatterplot d su X: 00 quattà d precptazo temperature Determamo la retta d regressoe d su X: ˆ σ β σ 76,09 X X 4,56 ˆ α ˆ β ,56 4,9 89,9 X yˆ ˆ α + ˆ β 89,9 4, 56. All aumetare della temperatura d, duque, le quattà d precptazo dmuscoo meda d crca 5 mm. La retta s adatta bee a dat osservat essedo R molto vco ad : R ρ (-0,95) 0,9. 4

143 Voledo stmare le quattà d precptazo corrspodeza d u valore d X o osservato, ad esempo 0, s può utlzzare la retta d regressoe: yˆ ˆ α + ˆ β 89,94, ,33. Nell esempo cosderato ha seso calcolare ache la retta d regressoe d X su. I tal caso, le stme de due parametr sarao: σ ˆ' β σ X 0,06 ˆ α ' ˆ' β 4,9 + 0, ,4 X e la retta d X su sarà: ˆ ˆ' α + ˆ' β y 9,4 0, 06y. Le due rette d regressoe s cotrao sempre el puto d coordate ( X, ). Ifatt, la retta yˆ ˆ α + ˆ β passa per l puto (X, ): - βˆ + βˆ.. Aalogamete s dmostra che la retta ˆ ˆ' α + ˆ β ' y passa per lo stesso puto. Se ρ±, le due rette soo cocdet, se ρ0 le due rette soo perpedcolar e qud le due varabl soo dpedet learmete; o è detto però che fra X e o c sa ua dpedeza d altro tpo, ad esempo parabolca. 9. La regressoe o leare No sempre le coppe (, y ) de dat rlevat s dspogoo toro ad ua retta, per esempo: 43

144 No sempre, duque, possamo potzzare che la relazoe teorca che lega le due varabl X e sa d tpo leare. Nel caso esame, possamo pesare che la relazoe vera fra le due varabl sa d tpo parabolco: f()a+b+c. Per determare parametr a, b e c rcorramo al metodo de mm quadrat : ( y ) ( y a b c ) R mmo. Se, per semplctà d calcolo, s cosderao gl scart dalla meda artmetca, la fuzoe da mmzzare sarà: ( ) y a b c R. Dervado parzalmete rspetto a parametr e uguaglado a zero le dervate otteute, s ha: R a R b R c ( y a b c )( ) 0 ( y a b c )( ) 0 ( y a b c )( ) 0 44

145 S rsolve duque l sstema, ad esempo medate l metodo d sosttuzoe o d Cramer: y a + b + c 3 y a + b + c 3 y a + b + c 4 Per ua delle propretà della meda artmetca (cfr. par. 3.4) è 0. Ioltre, se valor costtuscoo ua progressoe artmetca, gl scart dalla meda co espoete dspar soo tutt ull. Suppoamo d aver osservato seguet valor: y Se o cosderamo gl scart dalla meda, occorre determare la seguete tabella : y y e rsolvere l sstema: 4 4a + 6b + 4c 3 6a + 4b + 36c 8 4a + 36b + 98c Utlzzado l metodo d Cramer s ha: 45

146 a b c a ˆ a ˆ b b 0, 5 c ˆ c 0, Se, vece, cosderamo gl scart dalla meda, occorre determare la seguete tabella: y y 4 -,5,5,5 5,065-0,5 0,5 0,065 0,5 0,065 0,5,5 5,75 5, ,5 0,5 e rsolvere l sstema: 4 4a + 5c 0 5b 9,5 5a + 0,5c 9.3 La regressoe multpla Suppoamo d aver rlevato, su cascua utà statstca, k varabl dpedet X, X,, X k, ad esempo altezza, peso, crcofereza torace, ecc S parla, questo caso, d regressoe multpla. Quado rlevamo k+ varabl su soggett/oggett, o dspoamo pù d ua sere doppa d valor (, y ), ma d u vettore d osservazo per la varable dpedete, l età ad esempo, e d ua matrce k d osservazo, relatve alle varabl dpedet: 46

147 y y.. y.. y j.. k k..... k L elemeto geerco j rappreseta l valore della j-ma varable dpedete rlevata sull -mo soggetto/oggetto. Se potzzamo che la relazoe teorca che lega la varable alle altre sa d tpo leare f(,,, k )a 0 +a +a + +a k k, otteamo l modello d regressoe leare multpla, che da u puto d vsta grafco è rappresetato da u perpao ello spazo a (k+) dmeso. Quado k, f(, )a 0 +a +a rappreseta u pao ello spazo trdmesoale. Tra gl ft pa che s ottegoo al varare de parametr a 0, a, a, l obettvo è dvduare quello da cu, co maggore probabltà, hao avuto orge dat osservat. ETODO DEI INII QUADRATI ( ) ( ) 0 a a a y y R mmo. Dervado R rspetto ad a 0, a, a e uguaglado a zero le dervate parzal, s dovrà rsolvere l seguete sstema: a a a y a a a y a a a y

148 Cosderado gl scart dalla meda artmetca, sarà: ( y ) ( y a a a ) R 0 mmo. Dervado R rspetto ad a 0, a, a, uguaglado a zero le dervate parzal e cosderado che j y j y per j,, s rcava a 0 y e s pervee al sstema: y y a a + a + a dove term ot rappresetao le codevaze fra la varable dpedete e le varabl dpedet, metre coeffcet de parametr cogt costtuscoo la matrce d devaze e codevaze delle X j (j, ). Come esempo suppoamo d aver rlevato la seguete matrce de dat: y, , Per stmare parametr del modello è coveete costrure la seguete tabella: y y , ,5 36 0, ,5 0 7,5 9 Se o s cosderao scart dalla meda, occorre rsolvere l sstema: 48

149 9 4a0 + 0a + 6a 538 0a0 + 0a + 9a 45,5 6a0 + 9a + 7,5a Rcorredo al metodo d Cramer s ha: a ,5 9 7,5 a 6 45,5 7, a , ,5 da cu: 8 0 ˆ0 a 60 a,7 ˆ a 56 a, 5 a ˆ a,

150 ESERCIZI COPITO ) La tabella che segue mostra la dstrbuzoe d u campoe d soggett base al reddto percepto ( mglaa d euro) e al grado d soddsfazoe el rapporto co l couge: A/B olto soddsfatto Poco soddsfatto Poco soddsfatto olto soddsfatto < > a) S rcavo le dstrbuzo codzoate della varable reddto data la varable grado d soddsfazoe ; b) S determ u dce statstco che dch l evetuale dpedeza della varable reddto dalla varable grado d soddsfazoe. ) I seguet dat costtuscoo u campoe d 0 temp (espress mut), mpegat per rsolvere aalogh problem, rfert a due dvers uffc d ua compaga telefoca: I uffco II uffco a) Costrute, per cascuo de due uffc, l dagramma scatola e baff; b) Basados sul precedete grafco, la dstrbuzoe de dat è da rteere asmmetrca? Se s, d che tpo d asmmetra s tratta? c) Calcolat opportu dc d stes, s può rteere che c sao dffereze tra due uffc? 3) Cosa msura la covaraza e fra qual valor può varare? 4) Qual soo le varabl statstche pù formatve e perché? 50

151 COPITO ) U gruppo d 76 studet è stato sottoposto ad u test atttudale per l ammssoe ad u corso d stud. Vee rportata la dstrbuzoe d frequeze del Numero d error commess su u totale d 0 domade: X frequeze a) Stablre, attraverso l uso d u dce approprato, se tale dstrbuzoe può rteers smmetrca; b) Idvduare l modello teorco pù opportuo da adattare alla dstrbuzoe osservata e verfcare l adattameto. ) I ua cttà soo stat osservat goralmete la Codzoe meteorologca e l Lvello d traffco automoblstco per u perodo d tempo d u ao. S è potuta costrure così la seguete tabella doppa: LIVELLO DI TRAFFICO ETEO basso medo alto sereo 84 6 varable pogga a) Costrure le dstrbuzo d frequeze margal della suddetta tabella; b) Stablre che tpo d meda è possble calcolare per cascua delle due dstrbuzo e determarle; c) Idvduare se sussste u evetuale assocazoe fra le due varabl. 3) Quat e qual soo parametr che caratterzzao ua dstrbuzoe d probabltà ormale e che valor assumoo per la dstrbuzoe ormale stadardzzata? 4) Qual è la dffereza che sussste fra gl dc d varazoe e gl dc d dspersoe? 5

152 COPITO 3 ) I seguet valor rappresetao le somme ( dollar) rtrate da u bacomat da parte d 5 clet d ua baca: a) Costrure la dstrbuzoe d frequeze cosderado 6 class, modo tale che l estremo ferore della prma classe sa 30 e l estremo superore dell ultma classe sa 0; b) Idvduare l tpo d dstrbuzoe da cu dat provegoo e verfcare l adattameto. ) Nella tabella che segue s rportao valor d due tp d valuta, l marco tedesco e lo ye gappoese, dal 988 al 997: ao arco tedesco e gappoese Verfcare, utlzzado u dce approprato, se fra l marco tedesco e lo ye gappoese essteva ua qualche terdpedeza. 3) Qual vatagg offre ua dstrbuzoe d frequeze rspetto a ua sere d valor? 4) Quado la dstrbuzoe bomale tede alla dstrbuzoe d Posso e quado, vece, alla dstrbuzoe ormale? 5

153 COPITO 4 ) Due gudc d u cocorso, a cu è stato domadato d ordare 8 caddat A, B, C, D, E, F, G e H secodo la loro prefereza, hao fatto le scelte rportate ella seguete tabella. Verfcare fo a che puto gudc s soo trovat d accordo elle loro scelte. Prmo gudce Secodo gudce ) La seguete tabella mostra la dstrbuzoe de pes toellate supportat al massmo da cert cav prodott da ua socetà: Peso massmo (toellate) < >. Numero d cav a) Calcolare gl dc d asmmetra e d curtos; b) adattare alla dstrbuzoe d frequeze emprche la dstrbuzoe teorca che s rtee pù opportua; c) verfcare l adattameto e commetare rsultat. 3) Qual soo motv che ducoo all uso degl dc d varabltà relatva? 4) Supposta ua relazoe d tpo leare fra due varabl, come s comportao, da u puto d vsta grafco, le due rette d regressoe relazoe al valore assuto dal coeffcete d correlazoe d Bravas-Pearso? 53

154 COPITO 5 ) La tabella che segue mostra l umero de fgl d u campoe d doe età superore a 40 a, che s presume abbao portato a terme l perodo fertle; le doe soo state classfcate base al loro lvello d struzoe: NUERO DI FIGLI GRADO DI ISTRUZIONE 0 o 3 o pù Lvello A o equvalete Iferore al lvello A a) Determare la percetuale d doe per cascu lvello d struzoe e umero d fgl; b) Verfcare se c è ua relazoe fra l lvello d struzoe e l umero de bamb at. ) Il Quozete tellettvo (QI) è dstrbuto modo ormale co u valore medo d 00 e uo scarto quadratco medo d 5. a) Tra qual due valor s troverà l 68,% del QI della popolazoe? b) Quale proporzoe della popolazoe avrà u QI al d sotto d 80? c) Quale proporzoe d popolazoe avrà u QI tra 95 e 5? 3) Quado la dstrbuzoe bomale è smmetrca? 4) I base a qual crter vegoo scelte le mede pù opportue? 54

155 COPITO 6 ) La tabella che segue mostra l umero d gor, u perodo d 50 gor, durate qual soo avveut, ua certa cttà, X cdet automoblstc. Adattare alla dstrbuzoe data la dstrbuzoe teorca che s rtee pù opportua e specfcare l motvo: Numero d cdet Numero d gor ) Il drettore del persoale d ua grossa socetà suppoe che c sa ua relazoe tra l assetesmo e l età de dpedet. S selezoa u campoe d 0 lavorator e s pervee a seguet rsultat: lavoratore Età Gor d asseza a) suppoedo l essteza d ua relazoe leare, applcare l metodo de mm quadrat per la determazoe de coeffcet a e b della retta d regressoe; b) terpretare l sgfcato de due coeffcet; c) determare quat gor d asseza può avere, meda, u lavoratore dell età d 50 a; d) calcolare la msura della botà d adattameto della retta a dat osservat. 3) Se ho ua dstrbuzoe d probabltà co asmmetra postva, come s comportao meda, medaa e moda? 4) Che caratterstche ha ua dstrbuzoe d probabltà leptocurtca? 55

156 COPITO 7 ) I u palazzo d 50 appartamet è stato rlevato l umero de va: a) Costrure la dstrbuzoe d frequeze della suddetta sere d valor; b) classfcare la varable rlevata e calcolare quelle costat d stes che, per tale varable, assumoo peezza d sgfcato. ) La seguete tabella mostra la dstrbuzoe d frequeze del umero de part, rlevato ua clca, ell arco d u perodo d 00 gor:. part frequeze a) adattare alla dstrbuzoe osservata la dstrbuzoe teorca che s rtee pù opportua e spegare le motvazo; b) verfcare, attraverso l uso d u dce approprato, la botà dell adattameto. 3) L dpedeza dstrbuzoe fra due varabl statstche mplca l dpedeza meda? Perché? Dmostrare che, per due varabl statstche dpedet dstrbuzoe, la covaraza è ulla. 4) Osservata ua dstrbuzoe d frequeza emprca asmmetrca, ha seso, geerale, calcolare u dce d curtos? 56

157 COPITO 8 ) Su d u campoe d 50 professor è stato rlevato l reddto auo mglaa d $, come rportato ella seguete tabella: a) costrure la dstrbuzoe d frequeza d tale varable, cosderado class d ampezza costate, e realzzare ua completa aals descrttva; b) verfcare se dat provegoo da ua dstrbuzoe d probabltà ormale; solo tal caso provare ad adattarla e a calcolare l'dce d botà d adattameto. ) I u collettvo d 0 studet è stato rlevato l voto rportato all esame d Statstca (X) e quello rportato all esame d Stora cotemporaea (): Studete Voto d Statstca Voto d Stora cotemporaea a) costrure la dstrbuzoe doppa d frequeze (X,), cosderado, per cascua varable, tre class d ampezza costate; b) calcolare l voto medao dell esame d Statstca; c) stablre se v è dpedeza dstrbuzoe fra le due varabl. 3) Che valor possoo assumere, rspettvamete, la varable casuale bomale e la varable casuale d Posso? 4) Idcata co σ X la covaraza fra due varabl statstche X e, dmostrare che σ X X - X 57

158 COPITO 9 ) Nella tabella che segue trovamo alcue msurazo rguardat la temperatura a rposo, grad cetgrad, e l umero de battt cardac d u gruppo d soggett masch:. d temperatura battt 35, , 8 36, , , , , , , , 78 37,3 83 a) Rappresetare grafcamete put osservat; b) stablre se esste ua relazoe fra le due varabl ed evetualmete dvduare la fuzoe che rappreset al meglo tale relazoe; c) verfcare se la suddetta fuzoe s adatta bee a dat. ) U gruppo d 50 soggett, d età compresa fra 30 e 60 a, è stato suddvso 6 categore base al ttolo d studo: età ttolo d studo età ttolo d studo età ttolo d studo età ttolo d studo età ttolo d studo a) Idcata co X l età e co l ttolo d studo, costrure la dstrbuzoe d frequeza doppa, cosderado, per la varable X, tre class d ampezza costate e par a 0, cu 30 è l estremo ferore per la prma classe e 60 l estremo superore dell ultma classe; b) cosderate le dstrbuzo codzoate del ttolo d studo rspetto all età, verfcare la smmetra, o stablre l tpo d asmmetra, attraverso l uso d u dce approprato. 3) Dmostrare che la varaza è varate per traslazoe. 4) Descrvere qual dffereze esstoo tra u grafco a coloe e u stogramma. 58

159 COPITO 0 ) La seguete tabella rporta la dstrbuzoe d 70 gova masch a 0 a secodo la statura (X) metr ed l peso () kg: X/ a) msurare la dpedeza meda della varable peso dalla varable statura ; b) msurare l terdpedeza fra le due varabl rlevate; c) commetare rsultat. ) Cosderamo, per le 0 rego talae, la raccolta dfferezata de rfut urba, ell ao 998, attraverso le seguet varabl: - X percetuale sul totale de rfut dfferezat; - Kg per abtate d rfut dfferezat. I dat soo rportat ella seguete tabella: REGIONI X REGIONI X Pemote 49. arche Valle d Aosta Lazo 4..7 Lombarda Abruzzo.6.3 Treto Alto Adge olse Veeto Campaa Frul Veeza Gula.7 58 Pugla Lgura Baslcata 3..7 Emla Romaga Calabra Toscaa Scla 4.9 Umbra Sardega 4.4 a) stablre attraverso u aals grafca, se è lecto supporre l essteza d ua relazoe leare fra le due varabl; b) determare e terpretare, evetualmete, coeffcet a e b della retta d regressoe, attraverso l metodo de mm quadrat; c) verfcare, emprcamete, se la retta s adatta bee a dat osservat. 3) Sapedo che 3/5 de sem coteut u sacco darao for ross, metre rmaet darao for gall, calcolare la probabltà d otteere esattamete 5 for ross u flare d 8 pate. 4) Qual propretà deve possedere ua fuzoe qualsas affché possa essere defta fuzoe d destà d probabltà? 59

160 COPITO ) Per cascuo de dpedet d u azeda soo stat rlevat caratter umero d famlar a carco e azatà d servzo ( a). Le formazo raccolte soo rassute ella seguete tabella: Famlar a carco Azatà [0, ) 6 5 [, 3) [3, 5) [5, 6) a) Qual è la percetuale de dpedet dell tero collettvo che hao famlar a carco e azatà d servzo maggore d 5 a? b) Qual è la percetuale de dpedet co azatà d servzo tra 3 e 5 a, tra coloro che hao u famlare a carco? c) Qual è la percetuale de dpedet che hao 4 famlar a carco tra quell che hao azatà d servzo fo a ao? d) La varable azatà d servzo s può rteere dpedete meda dalla varable. d famlar a carco? Se s, msurare tale dpedeza co u dce approprato. ) I seguet dat rguardao l umero d mes tra l scrzoe e la laurea per 4 studet d ua determata facoltà: 48, 84, 60, 5, 49, 48, 5, 53, 66, 76, 48, 50, 5, 54, 54, 58, 68, 60, 56, 7, 56, 54, 56, 5 a) Calcolare l umero medo ed l umero medao d mes mpegat per laurears. Per quale ragoe soo dvers? b) Rappresetare grafcamete la dstrbuzoe co u dagramma a scatola e baff (bo-plot). Che forma preseta la dstrbuzoe? Perché? c) L dce d asmmetra d Fsher coferma le cocluso cu s è perveut al puto b)? 3) Se X è ua varable casuale ormale d meda 0.0 e varaza 4, qual è la probabltà d osservare u valore della varable ferore od uguale alla sua meda? 4) Cosa msura l coeffcete d correlazoe d Bravas-Pearso? I quale rage vara e qual cas assume esattamete l valore mmo e l valore massmo? E u umero puro? Perché? 60

161 COPITO ) La seguete tabella rporta l età al matrmoo d 7 coppe d spos: Coppa Età sposo Età sposa a) Determare se esste cocordaza tra l età dello sposo e l età dello sposa, utlzzado sa l coeffcete d correlazoe d Bravas-Pearso, sa l dce ρ d Spearma. Commetare l rsultato de due dc; b) Rappresetare grafcamete l età dello sposo e l età della sposa, determare la mglore retta d terpolazoe e msurare la botà dell adattameto. ) Cque moete soo state lacate 000 volte e cascu laco è stato osservato l. d teste. Nella seguete tabella è dcato l. d lac durate qual soo stat otteut 0,,,3,4,5 teste: Numero d teste Numero d lac a) adattare alla dstrbuzoe osservata la dstrbuzoe teorca che s rtee pù opportua e spegare le motvazo; b) verfcare, attraverso l uso d u dce approprato, la botà dell adattameto; c) base a rsultat otteut, è possble rteere che le moete sao o truccate? 3) Su che tpo d varabl è possble calcolare le mede d poszoe? 4) Fra gl dc d asmmetra studat, qual è l pù formatvo e perché? 6

162 COPITO 3 ) Ua compaga d trasport ha stablto che meda propr camo coproo ua dstaza par a mgla u ao, co uo scarto quadratco medo d 000 mgla. S suppoe, oltre, che la dstaza coperta u ao da parte de camo della compaga segua approssmatvamete ua dstrbuzoe ormale. a) Scelto a caso u camo della compaga, qual è la probabltà che ell ultmo ao: - abba coperto ua dstaza compresa tra e mgla; - abba coperto ua dstaza superore a mgla; b) Quat camo su 000 c aspettamo che abbao coperto ua dstaza compresa tra e mgla ell ultmo ao? c) Quate mgla c aspettamo che vegao percorse u ao da ua percetuale d camo par al 50%? ) I u collettvo d 40 volotar s è osservata la frequeza d attvtà d volotarato per class d età, otteedo la seguete dstrbuzoe d frequeze relatve percetual: class d età (X) Frequeza d attvtà d volotarato () [4, 0] ]0, 35] ]35, 55] ]55, 60] Almeo ua volta la settmaa Ua o pù volte al mese a) Quat soo volotar co età superore a 0 a e o superore a 55? b) Quat soo volotar che prestao la loro attvtà almeo ua volta la settmaa e che hao u età superore a 55 a e o superore a 60? c) Determare l rapporto d correlazoe dell età dalla regolartà del servzo d volotarato. 3) Cosa vuol dre Statstca umero puro? Elecare gl dc cotrat durate l corso, che possoo essere deft umer pur, e descrvere qual cotest vegoo utlzzat e perché. 4) Determare la meda e la varaza d ua combazoe leare α + βx. 6

163 COPITO 4 ) La seguete dstrbuzoe descrve l umero d partcelle rlascate durate l decadmeto radoattvo del Poloo, tervall d 7 secod: a) adattare alla dstrbuzoe osservata la dstrbuzoe teorca che s rtee pù opportua e spegare le motvazo; b) verfcare, attraverso l uso d u dce approprato, la botà dell adattameto. ) Ua certa zoa geografca è servta da sette compage telefoche. Per cascua compaga è stato rlevato l costo al muto ( cetesm d euro) per telefoate terurbae ella fasca orara a tarffa pea (X) ed l umero d mut d coversazoe ( mlo) delle telefoate terurbae effettuate dagl abboat ell ultmo ao (). I dat raccolt soo rassut ella seguete tabella Compaga telefoca A B C D E F G costo al muto X m.d coversazoe a) Rcavare valor de coeffcet della retta d regressoe col metodo de mm quadrat. b) Qual è la percetuale d varaza d spegata dalla regressoe? c) Sappamo che l costo d u muto d telefoata terurbaa co la compaga H è par a 3 cetesm d euro. Sulla base del modello, qual è stato l umero d mut medo d coversazoe delle telefoate terurbae effettuate ell ultmo ao dagl abboat ad H? 3) Data la dstrbuzoe d frequeze relatve del carattere y f 0. f f sapedo che la meda artmetca è par a 0, qual soo valor d f ed f 3? 4) E stata calcolata la retta d regressoe che lega la varable y alla, rcavata col metodo de mm quadrat. Soo stat calcolat, oltre, l coeffcete d correlazoe leare tra le due varabl, par a 0.8, e la varaza de resdu, par a 9.6. Quato vale la varaza d? 63

164 COPITO 5 ) La seguete tabella rporta l peso, kg, e la statura, cm, d u gruppo d ragazze d udc a d età: Statura Peso Statura Peso Statura Peso a) Costrure ua dstrbuzoe d frequeza doppa cosderado, per cascua varable, class opportue d ampezza costate; b) verfcare, scegledo u dce approprato, se le due varabl soo terdpedet; c) cosderare la dstrbuzoe d frequeza della varable peso e provare ad adattare, se s rtee possble, la dstrbuzoe teorca pù doea. ) Co rfermeto a molt process dustralzzat s utlzza l terme work--process (WIP). Negl mpat d fabbrcazoe d lbr, l WIP rappreseta l tempo ecessaro per pegare, rure, cucre e rlegare fogl che provegoo da ua pressa. I dat che seguoo soo relatv al tempo d lavorazoe (tempo gor che tercorre tra quado lbr vegoo stampat a quado soo mpacchettat e carto) per due campo d 0 lbr estratt da due mpat d fabbrcazoe: IPIANTO A 5,6 5,9 6,5 0,9,46,6 8,45 8,58 5,4,4,6 7,9 7,5 7,96 4,4 0,5 7,58 9,9 7,54 8,9 IPIANTO B 9,54,46 6,6,6 5,75 5,4 4,9 3,3 3,7 0,04 5,75,46 9,7 3, 6,33 4,5 5,37 6,5 9,7 Per cascuo de due mpat: a) calcolare le mede e gl dc d varabltà pù approprat; b) costrure l dagramma scatola e baff; c) base alle rsposte date a put a) e b), s può rteere che c sao dffereze tra due mpat? 3) I corrspodeza d qual valor la dstrbuzoe d probabltà ormale preseta put d massmo e d flesso? 4) Come s defsce la fuzoe d rpartzoe per ua varable casuale cotua? 64

165 COPITO 6 ) Il maager d ua catea d supermercat tede stablre quale maera la vedta d cbo per amal è fluezata dallo spazo sugl scaffal destato al prodotto. La seguete tabella rporta valor dello spazo sugl scaffal ( ped) e dell ammotare delle vedte settmaal d cbo per amal ( mglaa d dollar), supermercat della medesma gradezza: Vedte settmaal,6,,4,9,4,6,3,7,8,6,9 3, Spazo sugl scaffal a) Dsegare l dagramma d dspersoe per dat della tabella; b) ell potes che tra le due varabl susssta ua relazoe leare, stmare co l metodo de mm quadrat coeffcet d regressoe b 0 e b ; c) forre u terpretazoe d b ; d) prevedere l ammotare delle vedte settmaal d cbo per amal se lo spazo destato a prodott è uguale a 8 ped; e) verfcare, attraverso u dce approprato, se la fuzoe leare s adatta bee a dat osservat. ) La seguete tabella mostra l umero d torado verfcats, ua certa area geografca, tra gl a 959 e 988: Ao Torado Ao Torado a) Costrure la dstrbuzoe d frequeze della varable umero d torado ; b) dvduare la dstrbuzoe teorca che meglo rappreseta la dstrbuzoe osservata e provare ad adattarla; c) verfcare, attraverso u dce d botà d adattameto, se l modello teorco scelto descrve bee dat osservat. 3) Se la dstrbuzoe d u certo carattere ha meda artmetca par a 5 e coeffcete d varazoe par a, quato vale la varaza? 4) Se la meda artmetca d ua dstrbuzoe d frequeza è par a zero vuol dre che: a) l umero delle utà su cu è stato rlevato u valore postvo della varable è sempre par al umero delle utà su cu è stato rlevato u valore egatvo; b) l ammotare complessvo della varable rlevato sulle utà che presetao valor postv è par all ammotare complessvo rlevato sulle utà che presetao valor egatv; c) la varabltà della dstrbuzoe è ulla. 65

166 COPITO 7 ) I u collettvo d pazet soo stat rlevat la quattà d colesterolo mllgramm per 00 mllltr d sague ed l geere. Dallo spoglo delle osservazo s è otteuta la seguete dstrbuzoe doppa d frequeze: Colesterolo ascho Femma [0, 60] 40 0 ]60, 80] 0 ]80, 00] 0 0 ]00, 40] 0 0 ]40, 300] 45 0 a) Rappresetare grafcamete la dstrbuzoe del colesterolo; b) Calcolare la meda del colesterolo per cascu geere; c) Calcolare la classe medaa del colesterolo per masch; d) Stablre quale delle due dstrbuzo è pù varable. ) S cosder la dstrbuzoe de laureat del 99 per gruppo d corso d laurea e codzoe occupazoale el 993: X\ Occupato stablmete Occupato precaramete Dsoccupato edca Ecooma Lettere a) Determare la dstrbuzoe percetuale rspetto alla codzoe occupazoale all tero de laureat edca e cofrotarla co quella de laureat Ecooma e co quella de laureat lettere; b) Determare la dstrbuzoe percetuale rspetto al tpo d laurea degl occupat stablmete e cofrotarla co quella degl occupat precaramete e co quella de dsoccupat; c) Determare la dstrbuzoe margale del collettvo rspetto alla codzoe occupazoale; d) Determare la dstrbuzoe margale del collettvo rspetto al corso d laurea; e) Trovare le tabelle teorche d perfetta dpedeza; f) Calcolare l dce X e commetare l rsultato. 3) Da quat e qual parametr soo caratterzzate, rspettvamete, le dstrbuzo bomale e d Posso? I che relazoe soo tal parametr co la meda e la varaza delle due varabl casual? 4) Qual soo lmt dell dce d assocazoe X e degl dc da esso dervat? 66

167 COPITO 8 ) E stato rlevato l umero d schede gocate al Superealotto ell ultmo mese da 00 famgle, classfcate per area geografca d resdeza: Resdeza. d schede Nord Cetro Sud a) Tra tutt resdet del Nord, qual è la frequeza relatva delle famgle che hao gocato u. d schede more o uguale a 5? b) Tra resdet al cetro, qual è la classe modale? c) Qual è la percetuale delle famgle resdet al sud che hao gocato pù d 5 schede? d) Qual è l. medo d schede gocate per famgla? ) Co rfermeto alla tabella precedete: a) Calcolare, se s rtee possble, l dce X d Pearso ed evetualmete specfcare qual dcazo forsce; b) dvduare quale varable può dpedere meda dall altra e msurare tale dpedeza co u dce opportuo; c) spegare motv per cu è possble o meo defre l coeffcete d correlazoe leare d Bravas-Pearso tra le due varabl esame. 3) Idchamo co σ X lo scarto quadratco medo della dstrbuzoe della varable X ua data popolazoe. Se valor della varable s ottegoo da quell d X tramte la trasformazoe - 3 X, qual è l valore della varaza d? 4) Se, dopo aver rlevato osservazo,,,, rcavamo che la meda è X e la varaza è σ X, allora a quato sarà par? 67

168 COPITO 9 ) Cosderamo la dstrbuzoe del umero d mpegat d u azeda rspetto all età ed al fatto che abbao otteuto o meo u avazameto d carrera ell ultmo ao: età avazameto d carrera ( a) o s [8; 50) [50; 65] 4 56 a) Qual è la frequeza relatva degl ultra-cquate che o hao otteuto u avazameto d carrera ell ultmo ao? b) Qual è la frequeza relatva d coloro che hao otteuto u avazameto d carrera ell ultmo ao, tra tutt dpedet che hao meo d 50 a? c) Qual è l età meda d coloro che hao avuto u avazameto d carrera ell ultmo ao? d) E possble stablre se due caratter rlevat (età e avazameto o meo d carrera) soo dpedet learmete? Perché? e) E possble stablre se uo de due caratter rlevat è dpedete meda dall altro? Se s, calcolare u dce che coferm l evetuale dpedeza e commetare l rsultato. ) Per 0 paes gl cremet percetual verfcats fra l 985 e l 990 relatvamete a due gradezze ecoomche soo rsultat seguet: Paes Reddto Spesa per l tursmo Australa 3,5, Caada,5 3, Fraca 3,5,8 Germaa 3,5,5 Itala 3,5 3, Gappoe 5,0 6,3 essco 4,5 0,6 Spaga 4,0 5, Gra Bretaga 3,5, U.S.A.,5,4 a) Stmare l equazoe della retta che esprme la Spesa per l tursmo fuzoe del Reddto; b) surare, medate u opportuo dce, la botà d adattameto della retta a dat; c) La varable dpedete s può rteere smmetrca? 3) Il tempo ( mut) che u treo Regoale mpega per adare da Paoverde a oterosso ha dstrbuzoe ormale d meda 30 e varaza. Sull oraro dell azeda che gestsce la ferrova è dcato u tempo d percorreza d 3 mut. Qual è la probabltà che u treo o arrv rtardo? 4) Se la covaraza tra due varabl X e è par a 0., metre Var(X) e Var( ) 0.0, a cosa sarà uguale Var(X+)? 68

169 COPITO 0 ) Dopo l aals d 80 d d ua spece d volatl, vee costruta la dstrbuzoe del umero d pccol sopravvssut: X totale 80 a) Rappresetare grafcamete la dstrbuzoe osservata; b) Provare ad adattare la dstrbuzoe teorca che s rtee pù doea; c) Verfcare, attraverso l uso d u dce approprato, se l modello teorco scelto s adatta bee a dat emprc. ) I u dage svolta su u campoe d famgle, è stata rlevata la dstrbuzoe coguta del reddto ( euro) del capofamgla () e del couge (X): X a) Calcolare la meda e la varaza della dstrbuzoe de reddt del capofamgla e del couge. Quale delle due preseta ua pù marcata varabltà? b) Verfcare se le due varabl soo terdpedet learmete. c) Calcolare la meda e la varaza d ZX+ 3) Uo studete ha programmato d sosteere gl esam A e B ua determata sessoe. I base alla sua preparazoe rtee che la probabltà d superare l esame A sa par a 0.7, la probabltà d superare l esame B sa 0.5, metre la probabltà d superarl etramb sa 0.4. Qual è la probabltà che lo studete super almeo uo de due esam? 4) Su cascuo de 63 studet che seguoo u certo corso d stud s rleva la varable Xumero degl esam superat. I rsultat otteut soo rassut ella seguete tabella, dove co F soo state dcate le frequeze relatve cumulate: X F Quat studet hao superato esattamete due esam? 69

170 COPITO ) U produttore d ple per lampade tascabl vuol cofrotare la durata d vta d due dverse tpologe d ple prodotte e propr mpat. Le rlevazo de temp d vta delle ple d tpo I e d quelle d tpo II soo rassute ella seguete dstrbuzoe d frequeze percetual cumulate: tempo d vta ( ore) (00, 300] (300, 400] (400, 500] (500, 600] (600, 700] % cumulata tpo I % cumulata tpo II a) Qual è l valore della medaa della dstrbuzoe della durata delle ple d tpo I e d quelle d tpo II? b) Il 30% delle ple ha avuto ua durata more o uguale a quale valore? c) I base alle formazo otteute da opportu dc d stes, spegare qual è el complesso l tpo d pla che rsulta pù affdable. ) Durate u sodaggo sulle abtud de clet abtual d u supermercato, su cascuo de clet tervstat è stato rlevato l carattere dstaza", msurata attraverso l tempo mut occorrete per raggugere auto l supermercato dall'abtazoe, ed l umero d volte cu l clete s è recato el supermercato per fare la spesa, elle ultme due settmae. La dstrbuzoe doppa è rassuta ella seguete tabella: dstaza. spese (0, ] (, 5] (5, 0] (0, 5] a) Rcavare la dstrbuzoe del carattere dstaza" ell'tero collettvo e rappresetarla grafcamete modo opportuo; b) surare la dpedeza meda della varable. d spese dalla varable dstaza. 3) S cosdero 0 dpedet, scelt a caso tra quell che lavorao u azeda, e s dch co X l umero delle doe. Il umero d doe preset azeda è par al 70% del totale de dpedet. a) Qual è la dstrbuzoe d probabltà della varable casuale X? b) Qual è la probabltà che 9 de dpedet, tra 0 cosderat, sao doe? c) Qual è l umero medo d dpedet doa, tra 0 cosderat? 4) Nel palazzetto dello sport è corso ua partta d pallacaestro. La meda delle altezze de cque gocator della Vrtus è d 86,6 cm, metre la varaza è par a 5,44 cm. Durate u cambo esce l gocatore alto 80 cm. Qual è la meda e la varaza delle altezze de 4 gocator che restao campo? 70