Appunti sui RADICALI

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1 Imprimo d operre co i rdicli Apputi sui RADICALI sego di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo: cquisteri fmilirità co queste prole: simbolo di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo. Che cos è u rdicle?. Co il simbolo dove è u umero turle e umero rele positivo idichimo il umero rele positivo b che verific l ugugliz b.. Co il simbolo dove è u umero turle dispri e umero rele egtivo idichimo il umero rele egtivo b che verific l ugugliz b. Il rdicdo è tutto ciò che si trov detro il sego dell rdice. Che cos possimo trovre sotto il sego di rdice? Si umeri che espressioi, più o meo complicte. Teimo presete che: - se l rdice h idice pri mmette solo rdicdo 0; - se l rdice h idice dispri mmette rdicdo qulsisi. Esempi. Soo clcolbili i segueti rdicli: 9 ; ; 8 ; 6 ; No ho sigificto i cmpo rele: 9; ; 6 8; 6; Rdicli e umeri irrzioli I Mtemtic si dice irrziole u umero che o si può esprimere come rpporto di umeri iteri. I umeri irrzioli ho u rppresetzioe decimle illimitt e o periodic. Esempi di umeri irrzioli soo:,96...,6..., No soo umeri irrzioli: 6 0, 6 Poteze co espoete frziorio.

2 Qulsisi rdicle può esprimersi sotto form di potez d espoete frziorio,idicdo come bse quell del rdicdo e, per espoete, u frzioe che h l umertore l espoete del rdicdo, ed l deomitore l idice di rdice. Esempio: m m Proprietà dei rdicli Se l rdice comprede u prodotto, o u quoziete, si può spezzre i due rdici, dello stesso idice, seprdo i fttori, oppure seprdo dividedo e divisore. : Potez di u rdicle Dovedo eseguire l potez di u rdicle, occorre elevre quell potez il rdicdo, e se vi è u fttore estero, il fttore estero è elevto potez seprtmete. ) ) Rdicli simili rdice due rdicli soo simili se ho lo stesso rdicdo e lo stesso idice di Esempio di rdicli simili: b; b; b; b Scomposizioe e semplificzioe Dopo ver scomposto il rdicdo, possimo semplificre le poteze del rdicdo co l idice di rdice, m solmete se tutte le poteze del rdicdo ho il medesimo divisore i comue co quell idice. q qp q : q ) ) p Esempio: b b Trsporto detro il sego di rdice

3 Per trsportre detro il sego di rdice u fttore estero, occorre elevre il fttore estero ll potez dell idice di rdice. Il fttore estero si trov sempre siistr dell rdice, mi destr. q q ) ) Trsporto fuori del sego di rdice Operzioe ivers è trsportre u fttore itero fuori del sego di rdice. Per risolvere semplicemete quest operzioe si può spezzre l rdice i due rdici, pplicdo le proprietà delle poteze, ell rdice di siistr lscimo le poteze che soo divisibili co l idice di rdice, ell rdice di destr quelle o divisibili co l idice di rdice. L rdice di siistr deve così potersi ullre, rimedo così fttori esteri ll secod rdice. 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Operzioi co i rdicli: Addizioe e sottrzioe Possimo sommre o sottrrre rdicli simili,cioè quei rdicli che ho stesso idice e stesso rdicdo. M cos sommimo? Sommimo il coefficiete umerico dei rdicli simili Esempio: ) se il vlore umerico si ull, si ull che il rdicle Esempio: b b b 0 Moltipliczioe e divisioe Possimo moltiplicre o dividere, i modo molto semplice, rdicli che ho lo stesso idice di rdice. Si icludoo i rdicdi i u'uic rdice, e si eseguoo l moltipliczioe o l divisioe. Esempi 9 ) ) b) ) ) b) ) b) ) : ) b) ) ) b) ) b) se le rdici ho idice diverso, l moltipliczioe o l divisioe si può eseguire,

4 m occorre dpprim clcolre il miimo comue idice m.c.i.) come il miimo comue multiplo fr gli idici. E poi eseguire l operzioe el modo seguete: si divide il vlore del m.c.i. per l idice dell prim rdice ed il quoziete otteuto è l potez l qule occorre elevre il rdicdo dell prim rdice, e così si procede co le ltre rdici, llo stesso modo. Poi si procede co i clcoli: si possoo sommre evetuli espoeti di bsi uguli, ed eseguire evetuli semplificzioi. Esempio 6 ) ) ) 8 ) ) ) ) Nelle divisioi di rdicli co idice diverso si procede llo stesso modo. Esempio ) : ) ) ) : ) 8 ) 6 ) Rdice di rdice Per eseguire quest operzioe per u umero qulsisi di rdici preseti occorre trscire, elle rdici più itere, i rdicdi itermedi effettudo più operzioi del tipo portre detro descritto i precedez: Ecco come si procede : 0 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) bbimo otteuto u'uic rdice. Rdicli doppi Rdicli doppi soo quei rdicli dove il rdicdo preset l somm o l differez di u umero co u'ltr rdice. Essi soo spezzbili ell somm/differez di due rdici semplici, se e solo se b è u qudrto perfetto. Formule: b b b b b b Esempio:

5 0 0 b b Esempio b b 9 6 Se l secod rdice preset u fttore estero, esso è compreso i b, per semplificrvi le operzioi, potete prim trsportrlo detro l rdice. Ecco u esempio: b b Rziolizzzioe E il procedimeto medite il qule si trsform u frzioe coteete u o più rdici l deomitore i u frzioe equivlete o coteete rdici l deomitore. - Nel cso i cui l deomitore si presete u sol rdice si devoo moltiplicre etrmbi i termii per u rdicle vete lo stesso idice di rdice e come espoete del rdicdo il più piccolo itero che, sommto ll espoete già presete, coset di otteere u multiplo dell idice. Esempi: Qudo l deomitore bbimo u somm o u differez di due rdicli oppure di u umero e u rdicle moltiplichimo rispettivmete per l differez o per l somm. Otterremo così u prodotto otevole l deomitore, co elimizioe delle rdici. ) Esempi: )

6 6 ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )... ) 0 ) 00 ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) ) ) ) ) ) )