MAPPE DI MATEMATICA PER IL BIENNIO

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1 MPPE DI MTEMTIC PER IL BIEIO PRIM LICEO Gli insiemi numerici (pagina Le operazioni (pagina I criteri di divisibilità (pagina Le frazioni e le loro operazioni (pagina Percentuali e proporzioni (pagina 6 I monomi e le loro operazioni (pagina 7 I polinomi (pagina 8 Le operazioni con i polinomi (pagina 9 Scomposizione dei polinomi (pagina Le equazioni (pagina MCD e mcm (pagina Le frazioni algebriche (pagina Le equazioni fratte (pagina Le equazioni letterali (pagina I sistemi lineari (pagina 6 SECOD LICEO I numeri irrazionali (pagina 7 Le funzioni irrazionali (pagina 8 Operazioni con i radicali (pagina 9 I segmenti nel piano cartesiano (pagina Le rette nel piano cartesiano (pagina La parabola nel piano cartesiano (pagina Le equazioni e le disequazioni di secondo grado (pagina La statistica univariata (pagina La probabilità (pagina

2 GLI ISIEMI UMERICI I numeri pos essere RELI IMMGIRI Presentano l unità immaginaria i (es i UMERI TURLI 6 7 umeri interi senza segno (incluso Insieme discreto UMERI ITERI RELTIVI Z umeri interi con il segno Insieme discreto UMERI RZIOLI SSOLUTI Q 7 umeri con le frazioni senza segno UMERI RZIOLI RELTIVI Q umeri con le frazioni con segno UMERI IRRZIOLI umeri con infinite cifre dopo la virgola, tutte diverse ,6...,788...,96... e, RELI ITERI RELTIVI TURLI IRRZIOLI RZIOLI RELTIVI RZIOLI SSOLUTI, MILIRDI MILIOI MIL centinaia decine unità decimi centesimi millesimi

3 LE QUTTRO OPERZIOI DDIZIOE SOTTRZIOE MOLTIPLICZIOE DIVISIOE da come risultato da come risultato da come risultato da come risultato SOMM DIFFEREZ PRODOTTO QUOTO (no resto QUOZIETE (resto DDEDI SOMM MIUEDO DIFFEREZ FTTORI PRODOTTO 8 : SOTTREDO DIVIDEDO QUOTO DIVISORE RESTO 9 : DIVIDEDO DIVISORE QUOZIETE RESTO umero neutro: zero umero neutro: zero umero neutro: uno umero neutro: uno + :. - ( Le seguenti PROPRIET ha ELEVMETO POTEZ è 8 : impossibile : indeterminata Una moltiplicazione ripetuta dello stesso numero : K K K K K K B B : B : B

4 PRIMO DIVISIBILE PER DIVISIBILE PER DIVISIBILE PER DIVISIBILE PER DIVISIBILE PER 9 DIVISIBILE PER U UMERO E Se è divisibile solo per e per se stesso Se l ultima cifra è pari Se la somma delle sue cifre è multiplo di Se le ultime due cifre divisibili per Se l ultima cifra è oppure Se la somma delle sue cifre è divisibile per 9 Se l ultima cifra è UMERI PRI UMERI DISPRI UMERI PRIMI I UMERI FIO

5 LE FRZIOI umero senza la virgola, diviso per seguito da tanti zeri quante le cifre decimali, DECIMLI FIITI umero senza la virgola meno la parte intera, diviso per tanti 9 quante le cifre del periodo, - 99 DECIMLI PERIODICI SEMPLICI umero senza la virgola meno la parte intera, diviso per tanti 9 quante le cifre dell antiperiodo seguiti da tanti quante le cifre del periodo 6, - 9 DECIMLI PERIODICI MISTI SEMPLIFICZIOE RZIOLIZZZIOE DDIZIOE e SOTTRZIOE 8 : : 9 6 : : Il denominatore non deve mai essere una radice Tramite il minimo comune multiplo Dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero si ottiene una FRZIOE EQUIVLETE Quando non è più possibile semplificare, la frazione è RIDOTT I MIIMI TERMII Si moltiplicano numeratore e denominatore per la radice Coppie ordinate di numeri naturali che danno origine ai UMERI RZIOLI Con i quali Si pos fare alcune OPERZIOI MOLTIPLICZIOE e DIVISIOE ella moltiplicazione è possibile semplificare ad incrocio : : : 9 8 : : 6 : : UMERTORE DEOMITORE ELEVMETO POTEZ ( 9 6 Si elevano a potenza sia il numeratore che il denominatore + -

6 PERCETULI E PROPORZIOI Uguaglianze tra rapporti 6 : : 6 : : 6 che seguono TECEDETI COSEGUETI ESTREMI MEDI lcune proprietà Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi 6 PROPRIET DEL COMPORRE ( + : ( + 6 : ( + : ( + 6 : 6 PROPRIET DELLO SCOMPORRE ( - : ( - 6 : ( - : ( - 6 : 6 PROPRIET DEL PERMUTRE Scambio dei medi o degli estremi : : : : PROPRIET DELL IVERTIRE Scambio degli antecedenti e dei conseguenti : : : : OPERZIOI CO LE PROPORZIOI TROVRE IL TERMIE ICOGITO PROBLEMI CO L PERCETULE MEDIO o ESTREMO M M E E X E E M MEDIO PROPORZIOLE E : M M : E E E M E : X X : E % di % di X X % di X X X 6

7 I MOOMI - a b c Espressioni letterali in cui compaiono solo MOLTIPLICZIOI di: Un numero (chiamato COEFFICIETE Potenze di lettere con numeri naturali per esponenti (chiamata PRTE LETTERLE il cui GRDO è Grado: 6 La somma degli esponenti di tutte le lettere pos essere MOOMI UGULI MOOMI OPPOSTI MOOMI SIMILI - a b c - a b c - a b c - a b c + a b c a b c Stesso coefficiente Stessa parte letterale Coefficienti uguali e opposti Stessa parte letterale Diverso coefficiente Stessa parte letterale OPERZIOI CO I MOOMI DDIZIOE e SOTTRZIOE MOLTIPLICZIOE DIVISIOE ELEVMETO POTEZ si può fare si può fare si può fare si può fare Solo tra monomi simili sempre se il num ha tutte le lettere del den sempre Si sommano/sottraggono solo i coefficienti La parte letterale rimane invariata a c - a c - a c a c + a c 8 a c Si moltiplicano i coefficienti Ogni lettera compare con esponente pari alla somma degli esponenti ( a c (- bc - a bc Si dividono i coefficienti Ogni lettera compare al numeratore con esponente pari alla differenza degli esponenti a bc - bc - a c Si elevano i coefficienti Ogni lettera compare con esponente pari al prodotto degli esponenti (-ac 9 a c 6 7

8 I POLIOMI Somme algebriche di monomi, chiamati TERMII DEL POLIOMIO - a +b c - a + si classificano in base a Termine noto (l esponente delle lettere è UMERO DI TERMII COEFFICIETI GRDO è BIOMIO ( - POLIOMIO ULLO Tutti i coefficienti nulli Il maggiore tra i gradi dei termini presenti TRIOMIO ( - + QUDRIOMIO ( POLIOMI UGULI Composti dagli stessi termini POLIOMI OPPOSTI Composti da termini opposti POLIOMIO OMOGEEO Tutti i termini hanno lo stesso grado POLIOMIO ORDITO I termini scritti con grado crescente o decrescente + a -b - + POLIOMIO COMPLETO Per una certa lettera ci tutte le potenze LE FUZIOI POLIOMILI Polinomi in cui compare una sola lettera si indicano con P ( P( hanno degli O è uno zero del polinomio P( - perché: P( ( - - ZERI (valori della che rendono il polinomio nulllo è uno zero del polinomio P( - perché: P( ( - 8

9 DDIZIOE e SOTTRZIOE DDIZIOE ( - + (a a - -6 SOTTRZIOE ( - - (a a + +6 OPERZIOI CO I POLIOMI MOLTIPLICZIOE DIVISIOE TR U MOOMIO E U POLIOMIO (- ( SEMPLIFICZIOE Se al denominatore c è un monomio ab -b -b ab -b + -b -b -a + b TR DUE POLIOMI (- + ( RUFFII ( :( - Se il denominatore ha forma (±a CO I PRODOTTI OTEVOLI +_ +_ ( a b a ab b +_ +_ a b ( a b ( a ab a b ( a b ( a b ( a b a a b ab b b LGORITMO +_ Vale sempre ( :( + Soluzione: + + Resto: 7 TEOREM DEL RESTO: il resto si trova sostituendo il divisore nella : ( +6( -( Soluzione: +6 Resto: -9-9

10 SCOMPOSIZIOE I FTTORI Serve per Scrivere un polinomio come prodotto di FTTORI PRIMI che pos essere Costanti Polinomi di primo grado Polinomi di grado superiore non riducibili si esegue provando a (-( + FRE U RCCOGLIMETO TOTLE (se ci elementi in comune a tutti i termini: a +a -a a( ( ( + 7 FRE U RCCOGLIMETO PRZILE (se ci un numero pari di elementi: a +b -az -bz (a+b -z(a+b (a+b(-z b - -7ab +a 7b(-a -(-a (-a(7b- UTILIZZRE RUFFII E IL TEOREM DELL LGEBR (solo per funzioni di e grado: a +b +c (- (- - MODE//, b b ac a a +b +c +d (- (- (- - MODE// UTILIZZRE I PRODOTTI OTEVOLI: a a a +_ b ab b ( a b a +_ b a b a b ab b ( a b +_ ( a b( a b ( a +_ b( a c +_ ab b abbcac( abc

11 EQUZIOI + -6 MEMBRO MEMBRO UGUGLIZE tra due ESPRESSIOI LETTERLI verificate se pos essere DETERMITE IDETERMITE IMPOSSIBILI D + è verificata per perché + O è verificata per perché + Un UMERO/LETTER sostituito all incognita la rende VER si risolvono Trovano il valore della che rende vera l equazione tramite PRIMO PRICIPIO DI EQUIVLEZ SECODO PRICIPIO DI EQUIVLEZ ggiungendo o sottraendo ai membri una stessa quantità, il risultato non cambia Moltiplicando o dividendo i membri per una stessa quantità, il risultato non cambia REGOL DEL TRSPORTO + - REGOL DEL CMBIO DI SEGO REGOL DI CCELLZIOE LEGGE DI MOOTOI + ( + ( + ( +: (: LEGGE DI MOOTOI LEGGE DI ULLMETO DEL PRODOTTO Per risolvere un equazione formata da più fattori, bisogna annullare tutti i fattori B C B C (+(-(

12 MCD mcm è è Il più grande tra i divisori comuni Il più piccolo tra i multipli comuni si cerca tra si cerca tra UMERI MOOMI POLIOMI 7 9 9a -6a a a UMERI MOOMI POLIOMI 7 9 9a -6a a a umero: prodotto dei fattori COMUI, presi una sola volta, con il più PICCOLO esponente Lettere: prodotto di tutte le lettere COMUI, prese una sola volta con il più PICCOLO esponente umero: prodotto dei fattori COMUI e O COMUI, presi una sola volta, con il più GRDE esponente Lettere: prodotto di tutte le lettere COMUI e O COMUI, prese una sola volta con il più GRDE esponente MCD (9a ; -6a a mcm (9a ; -6a 8a

13 LE FRZIOI LGEBRICHE Coppie ordinate di polinomi, cui il secondo non deve essere nullo UMERTORE DEOMITORE a - + hanno delle Denominatore CODIZIOI DI ESISTEZ! Si pos eseguire alcune Operazioni SEMPLIFICZIOE DDIZIOE e SOTTRZIOE MOLTIPLICZIOE DIVISIOE ELEVMETO POTEZ SOLO SE I TERMII SOO MLTIPLICTI!!!! (a- b(a- Dividendo numeratore e denominatore per lo stesso polinomio si ottiene una FRZIOE EQUIVLETE Quando non è più possibile semplificare, la frazione è RIDOTT I MIIMI TERMII b SCOMPORRE SEMPLIFICRE FRE LE CODIZIOI DI ESISTEZ FRE IL MIIMO COMUE MULTIPLO SVOLGERE LE OPERZIOI SCOMPORRE SEMPLIFIC ( ( ella moltiplicazione è possibile semplificare ad incrocio a a+ a+ 8b a b a- b : Il divisore deve essere «ribaltato» a- ab a- b : ab a- a Si elevano a potenza sia il numeratore che il denominatore b ( a- (b (a- b ( a- - a- ( b 9b a -a+ ( ( ( ( (

14 EQUZIOI ITERE DISEQUZIOI ITERE UGUGLIZE tra due ESPRESSIOI LETTERLI Si risolvono tramite pos essere DETERMITE IDETERMITE IMPOSSIBILI D DISUGUGLIZE tra due ESPRESSIOI LETTERLI Si risolvono tramite pos essere DETERMITE SEMPRE VERE IMPOSSIBILI PRIMO PRICIPIO DI EQUIVLEZ SECODO PRICIPIO DI EQUIVLEZ PRIMO PRICIPIO DI EQUIVLEZ SECODO PRICIPIO DI EQUIVLEZ ggiungendo o sottraendo ai membri una stessa quantità, il risultato non cambia LEGGE DI ULLMETO DEL PRODOTTO Per risolvere un equazione formata da più fattori, bisogna annullare tutti i fattori Moltiplicando o dividendo i membri per una stessa quantità, il risultato non cambia B C B C ggiungendo o sottraendo ai membri una stessa quantità, il risultato non cambia Moltiplicando o dividendo i membri per una stessa quantità, il risultato non cambia M Se si cambia il segno si cambia il verso! (+(-( LE EQUZIOI ITERE LETTERLI STUDIO DEL SEGO (+(-( Per risolverle Isolare la DEOMITORE quindi Fare la DISCUSSIOE delle CODIZIOI DI ESISTEZ Se D soluzione reale Se D indeterminata impossibile equazioni che contengono lettere, chiamate PRMETRI a + (a +

15 + - Denominatore umeratore LE EQUZIOI FRZIORIE equazioni con l incognita al denominatore Ridurre ad una sola frazione Fare le CODIZIOI DI ESISTEZ Trovare la soluzione ULLDO IL UMERTORE Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza SCOMPORRE SEMPLIFICRE FRE IL MIIMO COMUE MULTIPLO SVOLGERE LE OPERZIOI SCOMPORRE SEMPLIFICRE LE DISEQUZIOI FRZIORIE disequazioni con l incognita al denominatore + - > Ridurre ad una sola frazione Studiare il SEGO del denominatore e del numeratore umeratore Denominatore > Mettere sulla linea dei numeri i risultati trovati D > Fare il PRODOTTO DEI SEGI e scegliere l intervallo in base al verso D > - + -

16 SISTEMI DI EQUZIOI servono per ϵ R DETERMIT IMPOSSIBILE IDETERMIT può avere soluzione Trovare quanto valgono le COORDITE e del punto di ITERSEZIOE tra due curve se si tratta di RETTE si risolvono con hanno espressione FORM IMPLICIT a + b +c E ϵ R FORM ESPLICIT m + q METODO GRFICO METODI LITICI X Y - B - m + q METODO DI SOSTITUZIOE Isolare un incognita e sostituirla nell altra equazione 8 ( 8 8 B m q D D METODO DEL COFROTO Isolare le due e uguagliare le espressioni METODO DI RIDUZIOE Far comparire coefficienti uguali e opposti e sommare // - 8 6

17 I UMERI IRRZIOLI -,7...,...,66... umeri DECIMLI ILLIMITTI O PERIODICI Spesso scritti come RDICLE X RDICLI COSTTI e, 6,788,96,78888 X RDICDO IDICE DELL RDICE RDICLE (tutta la radice o il suo risultato, se è calcolabile RDICLE DI IDICE PRI RDICLE DI IDICE DISPRI La radice n-esima (con n pari di un numero reale a è il numero reale b che, elevato a n, dà a La radice n-esima (con n dispari di un numero reale a è il numero reale b che, elevato a n, dà a (- - Le radici di indice pari ESISTOO SOLO SE il radicando è maggiore di zero Le radici di indice pari ESISTOO SEMPRE 9 CODIZIOI DI ESISTEZ: RDICDO

18 LE FUZIOI IRRZIOLI risultato 9 argomento argomento 6 6 risultato IPUT OUTPUT argomento -8-8 risultato IPUT OUTPUT - L RGOMETO deve sempre essere POSITIVO o ULLO Il RISULTTO è sempre POSITIVO o ULLO L RGOMETO può essere POSITIVO, EGTIVO o ULLO Il RISULTTO ha sempre lo STESSO SEGO dell argomento -6 impossibile CODIZIOI DI ESISTEZ: RDICDO 8

19 SEMPLIFICZIOE Tramite la PROPRIET IVRITIV Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero l indice della radice e l esponente del radicando, il risultato non cambia (si ottiene un RDICLE EQUIVLETE o TRSFORMRE I POTEZE e SEMPLIFICRE o RITRSFORMRE I RDICE OPERZIOI CO I RDICLI DDIZIOE e SOTTRZIOE MOLTIPLICZIOE e DIVISIOE si può fare si può fare Solo tra radicali UGULI Solo tra radicali con STESSO IDICE + O. O O + ELEVMETO POTEZ o TRSFORMRE I POTEZE o ELEVRE POTEZ ( o RITRSFORMRE I RDICE. 6 9

20 I SEGMETI EL PIO CRTESIO porzioni di rette comprese tra due punti LUGHEZZ PUTO MEDIO SEGMETO TRIGOLO BRICETRO RE ( ( B B B D B M B M C B G C B G ( ( ( ( C C B C B C B DB M B C G SCISSE ORDITE P(P,P P P

21 LE RETTE EL PIO CRTESIO + Hanno due tipi di equazione FORM IMPLICIT: a +b +c FORM ESPLICIT: m + q ITERCETT LL ORGIE - VERTICLE c COEFFICIETE GOLRE ORIZZOTLE k Ci tre tipi di rette OBLIQU m +q m D D Pos essere D q D PRLLELE PERPEDICOLRI ICIDETI COICIDETI + - m mb q qb - + m - q qb mb + I(; 7 - m mb q qb + + m mb q qb PROBLEMI CO LE RETTE ITERSEZIOE TR RETTE BISETTRICI DI U GOLO SSE DI U SEGMETO EQUZIOE DELL RETT DISTZ PUTO-RETT DTI P (P, P ED m P m ( - P + - Una soluzione: rette incidenti d ap + bp +c a + b +c a + b ± a + b Sono le due rette di equazione a + b +c (- a + b E la retta di equazione +(- (-B +(-B DTI (, E B(B, B P P B P B P essuna soluzione: rette parallele Infinite soluzioni: rette coincidenti a +b + c P (P, P a +b + c a +b + c (, B (B, B

22 D b ac RDICI ; b D a b D a L PRBOL EL PIO CRTESIO Ha EQUZIOE a + b + c E caratterizzata da: a > a < Concavità positiva (verso l alto Concavità negativa (verso il basso DIRETTRICE n VERTICE V(V; V SSE n FUOCO F (F; F D b D V ; a a a V a b F b D ; a a F V

23 I POLIOMI DI SECODO GRDO Si trovano sotto forma di FUZIOI EQUZIOI DISEQUZIOI a b c a b c a b c Si disegnano nel piano cartesiano Si risolvono per trovare le radici Si risolvono per trovare degli intervalli D b b a ac D parabola > < V > parabola < < < a > V D > soluzioni distinte D soluzioni coincidenti D < essuna soluzione parabola > < < parabola < < V > a <

24 L STTISTIC UIVRIT POPOLZIOE (o UIVERSO: insieme di tutti gli individui oggetto di indagine UIT STTISTIC: ogni singolo elemento della popolazione CMPIOE STTISTICO: sottoinsieme della popolazione per il quale si osserva un certo carattere Una scienza che studia QUTITTIVMETE dei fenomeni che non pos essere studiati in altro modo perché SOO CSULI e/o riguardano un UMERO TROPPO GRDE di oggetti è considerando Una certa PROPRIET degli oggetti in esame chiamata CRTTERE CSULE: che segue le leggi del caso (es. lancio del dado DETERMITO: che segue le leggi della fisica Si esprime in certe modalità (es: il carattere OCCHI si esprime nelle modalità VERDE, ZZURRO, MRROE o in classi (es: altezza compresa tra 6 c 6 cm che può essere QULITTIVO o QUTITTIVO si studia con MODLIT (VOTO TOTLE n TBELL DELLE FREQUEZE FREQUEZ SSOLUT FREQUEZ RELTIV FREQUEZ PERCETULE FREQUEZ CUMULT,88 8,9% 7, %,7,7% 9,67 6,% % f f rel f % f rel f cum f n MEDI: dati n numeri ordinati in modo crescente, la mediana è: Il numero centrale se n è dispari 6 9 La media dei numeri centrali se n è pari 7 9 8, MOD: modalità con la frequenza maggiore MEDI RITMETIC: MEDI RMOIC: m n n f CMPO DI VRIBILIT : MX MI SCRTO: SCRTO SEMPLICE MEDIO: VRIZ: SCRTO QUDRTICO MEDIO (o DEVIZIOE STDRD: ( n s n n f ( COEFFICIETE DI VRIZIOE CV: CV MEDI GEOMETRIC: n TBELLE DI FREQUEZ IDICI DI POSIZIOE IDICI DI VRIBILIT f f

25 L PROBBILIT è SPZIO CMPIORIO (o dei RISULTTI W: insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio La parte della matematica che occupa dei FEOMEI LETORI (governati dal caso per determinare quante possibilità ha un EVETO di realizzarsi W,,,,,6 EVETO E: sottoinsieme dello spazio campionario EVETO ELEMETRE: formato da un solo elemento di W (es: esce EVETO CERTO: formato da tutti gli elementi di W (es: esce o o o o o 6 EVETO IMPOSSIBILE: formato da nessun elemento di W (es: esce 7 EVETO COTRRIO: E E p(e EVETO ELEMETRE PIU EVETI p ( E casi casi favorevoli totali ITERSEZIOE UIOE Lancio Lancio Lancio L uno E l altro Indicata con oppure con Ʌ SPZIO CMPIORIO B EVETI COMPTIBILI O l uno o l altro o entrambi Indicata con U oppure con V p ( B p ( p ( B p ( B EVETI IDIPEDETI p ( B p ( p ( B EVETI IDIPEDETI p ( B p ( p ( B B EVETI ICOMPTIBILI O l uno o l altro Indicata con U oppure con / p ( B p ( p ( B B