OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

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1 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE A] SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Sempliicre u rzioe lgeric sigiic dividere umertore e deomitore per uo stesso ttore diverso d zero. Procedur per sempliicre (ridurre i miimi termii) l rzioe lgeric B A. Descrivimo, ttrverso u esempio, l procedur 6 9 Esempio Ridurre i miimi termii l rzioe 8 I psso scompoimo i ttori - il umertore 6 +9 = ( ) e somm di qudrti irriduciile - il deomitore 8 = ( 9) ( + 9) = ( ) ( + ) ( + 9) dierez di qudrti II psso ricostruimo l rzioe l umertore e l deomitore 9 dove soo evideti i ttori comui III psso determiimo C.E. 9 0 d cui e si ull mi essedo u somm di umeri positivi, quidi o Poimo C.E. ; il terzo ttore o C.E. - e + IV psso co queste codizioi l uico ttore ugule l umertore e l deomitore è ( ) ed è diverso d zero, quidi sempliichimo 9 9 9

2 B] MOLTIPLICAZIONE DEFINIZIONE il prodotto di due rzioi è u rzioe vete per umertore il prodotto dei umertori e per deomitore il prodotto dei deomitori. Lo schem di clcolo può essere illustrto el modo seguete m p q m p q Procedur per determire il prodotto delle rzioi lgeriche Descrivimo, ttrverso u esempio, l procedur Esempio Determire il prodotto delle rzioi lgeriche e A C B D I psso scompoimo i ttori tutti i deomitori (servirà per l determizioe delle C.E.) e tutti i umertori (servirà per le evetuli sempliiczioi) e II psso determiimo C.E. o Poimo le C.E. ricorddo che tutti i ttori dei deomitori devoo essere diversi d zero C.E. 0 e 0 e 0 e 0 d cui C.E. e e 0 e / III psso determiimo l rzioe prodotto, eettudo le evetuli sempliiczioi

3 C] POTENZA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Nell isieme delle rzioi lgeriche è deiit l operzioe elevmeto potez. DEFINIZIONE l potez di espoete, turle diverso d zero, dell rzioe lgeric B A co B 0 (C.E.) è l rzioe vete per umertore l potez del umertore e per deomitore A l potez del deomitore B A B Esempio Clcolre essedo. Izi tutto, prim di clcolre l potez, idichimo le C.E. per l rzioe ssegt. co C.E. ( ) ( + ) 0 d cui duque si h co le codizioi poste. C.E. e - CASI PARTICOLARI DELL ESPONENTE. Se = 0 sppimo che qulsisi umero diverso d zero elevto zero è ugule ; lo stesso si può dire se l se è u rzioe lgeric, purché ess o si ull. A 0 B co A 0 e B 0 Esempio Quli codizioi deve rispettre l vriile iché si i? 0 Per rispodere ll domd doimo idividure le C.E. e i vlori dell vriile che redo l rzioe divers d zero. Scompoimo i ttori si il umertore che il deomitore dell rzioe Determiimo C.E. o Poimo le C.E. + 0 e 0 d cui C.E. - e 0 Poimo l codizioe iché l rzioe o si ull, ricorddo che questo si veriic se il suo umertore è diverso d zero; idichimo co C 0 quest codizioe duque C 0-0 d cui C 0 / 0 Aggiorimo le C.E. C.E. - e 0 e / Rispost l vriile deve soddisre le codizioi sopr idividute.

4 . Se è itero egtivo sppimo che l potez co se divers d zero è ugule ll potez co espoete opposto dell iverso dell se; lo stesso può dirsi se l se è u rzioe lgeric 0 B e 0 A co A B B A Esempio Determiimo 6 co. Scompoimo i ttori si il umertore che il deomitore dell rzioe 6 Determiimo C.E. o Poimo le C.E. 0 e + 0 d cui essedo l ltro ttore diverso d zero per quluque vlore dell vriile i quto somm di umeri positivi Determiimo l rzioe ivers di ; Per potere re l iverso doimo porre le codizioi perché o si ull e questo si veriic se il suo umertore è diverso d zero, quidi si deve vere C 0 = ( +)(+ ) 0 d cui C 0 = - e -. Aggiorimo le codizioi Co queste codizioe l operzioe richiest h come risultto Osservzioi Co le dovute codizioi, ell isieme delle rzioi lgeriche vlgoo le proprietà delle poteze viste ell isieme dei rzioli. Co le dovute codizioi, se è possiile, si possoo ridurre le rzioi i miimi termii prim di procedere ello svolgimeto di u clcolo proposto. C.E. 0 C.E. 0 e - e -

5 D] DIVISIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE Nell isieme delle rzioi lgeriche è deiit l operzioe di divisioe co l codizioe che l rzioe divisore si divers d zero. DEFINIZIONE il quoziete di due rzioi F e co divers d zero è l rzioe che si ottiee moltiplicdo l prim (F) co l iverso dell secod ( - ). Lo schem di clcolo può essere illustrto el modo seguete, come del resto imo visto tr le rzioi umeriche m p q = m q p m q p Procedur per determire il quoziete delle rzioi lgeriche Descrivimo, ttrverso u esempio, l procedur A C B D Esempio Determire il quoziete delle rzioi lgeriche ; I psso scompoimo i ttori tutti i umertori e tutti i deomitori ; II psso determiimo C.E. o Poimo le C.E. 0 e 0 d cui C.E. 0 e 0 III psso determiimo l rzioe ivers di ; Per poter re l iverso doimo porre le codizioi perché o si ull. Questo si veriic se il suo umertore è diverso d zero, quidi si deve vere C 0 = ( ) 0 d cui C 0 = 0 e. IV psso ggiorimo le codizioi C.E. 0 e 0 e V psso cmimo l divisioe i moltipliczioe e determiimo il risultto co le evetuli sempliiczioi

6 E] SOMMA ALGEBRICA DI FRAZIONI ALGEBRICHE Nell isieme delle rzioi lgeriche è deiit l operzioe di somm lgeric il cui schem di clcolo può essere illustrto el modo seguete m p q mq q p q + _ mq p q A C Procedur per determire l somm lgeric delle rzioi lgeriche B D I due ddedi soo rzioi co lo stesso deomitore y y Esempio Si vuole determire l seguete somm lgeric S y y I psso poimo le C.E. + y 0 d cui Come imo operto i Q, l somm è l rzioe vete come deomitore lo stesso deomitore e per umertore l somm dei umertori y y C.E. -y y y y S otteut togliedo le pretesi e sommdo i y y y y moomi simili l umertore. Osservzioe questo cso ci si può sempre ricodurre, pur di trsormre le rzioi llo stesso deomitore. Si potree scegliere u quluque deomitore comue, d esempio il prodotto di tutti i deomitori, m, come imo operto i Q, sceglimo il m.c.m dei deomitori delle rzioi ddedi. Procedur per trsormre le rzioi llo stesso deomitore si clcol il miimo comue multiplo dei deomitori delle rzioi si trsorm ciscu rzioe come segue o il uovo deomitore è il m.c.m. trovto o il uovo umertore si ottiee dividedo il m.c.m. per il deomitore dell rzioe ssegt e moltiplicdo il quoziete otteuto per il umertore dell rzioe ssegt; Esempio y y Si vuole determire l seguete somm lgeric S y y I due ddedi ho moomi l deomitore; doimo trsormre le rzioi d vere lo stesso deomitore, duque I psso clcolimo il m.c.m. ( y, y ) = 6 y ; II psso poimo le C.E. 6 y 0 d cui C.E. 0 e y 0 6

7 III psso trsormimo gli ddedi llo stesso deomitore; l operzioe che doimo eseguire divet y y y S si procede or come el primo esempio; l rzioe somm h 6 y 6 y come deomitore lo stesso deomitore e come umertore l somm dei umertori y y moomi simili y y y 6y y y S i cui o è lecit 6 y 6 y 6 y lcu sempliiczioe. Esempio Eseguimo l seguete somm lgeric S Le rzioi ddedi ho poliomi l deomitore;doimo trsormre le rzioi d vere lo stesso deomitore, duque I psso clcolimo il m.c.m. dei deomitori. scompoimo i ttori ciscu deomitore. il m.c.m. è il prodotto dei ttori comui e o comui, presi u sol volt, co l espoete mggiore ; e m.c.m. II psso poimo le C.E. ( + )( ) 0 d cui C.E. 0 e e - III psso trsormimo le rzioi d vere come deomitore il m.c.m. trovto S IV psso scrivimo l rzioe risultto vete come deomitore il deomitore comue e come umertore l somm dei umertori (questi due pssi possoo essere eseguiti cotemporemete) V psso eseguimo le operzioi l umertore, riducedo i moomi simili 8 VI psso sempliichimo se possiile l rzioe otteut S = 7

8 8 CONCLUSIONE ell isieme delle rzioi lgeriche, soddistte le dovute codizioi soo possiili le operzioi rzioli somm lgeric, moltipliczioe e divisioe. ESPRESSIONI LETTERALI CON FRAZIONI ALGEBRICHE Attrverso l soluzioe guidt di lcui esercizi, remo vedere come sempliicre espressioi coteeti somme lgeriche, moltipliczioi, divisioi e poteze i cui termii soo rzioi lgeriche. E Sempliicte l seguete espressioe Alisi prelimire si ottiee dividedo l somm lgeric S per l rzioe F Scompoimo tutti i deomitori degli ddedi per potere clcolre il m.c.m.; scompoimo umertore e deomitore di F per poter eseguire l divisioe. Riscrivimo Poimo le C.E. (+)(-) 0, codizioi che redoo deiit che F, che o si ull mi vedo il umertore idipedete dll vriile. Per cui Procedimo ell soluzioe dell somm e cmimo l divisioe i moltipliczioe eseguedo i clcoli l umertore dell prim rzioe, dopo ver sempliicto il prodotto, si ottiee 7 E Sempliicte l seguete espressioe Alisi prelimire si ottiee sommdo i tre termii,, e è il quoziete di due somme, come evidezito ello schem seguete S F m.c.m.= (+)(-) C.E. - e +

9 9 C.E. - C.E. 0 e - C.E. e - e 0 Per sempliicre doimo izi tutto eseguire le somme elle pretesi; determiimo il m.c.m. e poimo le C.E. 0 d cui Per eseguire l divisioe poimo C d cui Aggiorimo le C.E. Proseguimo ell espressioe cmido l divisioe i moltipliczioe e sempliichimo 9 9 E Sempliicte l seguete espressioe E Alisi prelimire E si ottiee dll somm di due rzioi lgeriche, ; è il prodotto dell somm s co l rzioe come dllo schem sottostte Risolvimo l somm s e scompoimo il umertore di mettimo le C.E. 0 e + 0 e 0; per il ttore + o mettimo lcu codizioe perché è u somm di qudrti, quidi sempre divers d zero. Quidi sommimo i moomi simili l umertore di s, sempliichimo i ttori uguli tr s ed e otteimo scompoimo il umertore, sempliichimo i ttori uguli e otteimo E C.E. 0 E s E E