Numeri irrazionali. B. Palumbo - Dipartimento di Matematica e Fisica Università Roma Tre - e.mail:

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1 Numeri irrzioli B. Plumo - Dirtimeto di Mtemtic e Fisic Uiversità Rom Tre - e.mil: lumo@mt.uirom.it ******************************* Esistez dei umeri irrzioli Numeri lgerici e trscedeti Csi fcili di dimostrzioi di irrziolità (rdici, logritmi) Irrziolità di lcui umeri "celeri": e, π Serie co fttorili l deomitore Frzioi cotiue Criteri iù vzti: lcui csi rigurdti l fuzioe ζ di Riem È e ot u semlice dimostrzioe dell'irrziolità di (si vedrà tr oco che il rocedimeto si uò dttre molti ltri csi); tuttvi, rim di resetre quest dimostrzioe isogeree dimostrre che esistoo umeri reli o rzioli: ltrimeti, l'uic coclusioe che si ottiee è che o esiste lcu umero rziole il cui qudrto è (duque semlicemete otree NON ESISTERE!) OCCORRE QUINDI CHE SI ABBIA ALMENO UN'IDEA DELLA STRUTTURA DEI NUMERI REALI. L questioe o è semlice; lcui testi er l scuol medi sueriore defiiscoo i umeri reli seguedo i sostz l costruzioe di Dedekid, cioè utilizzdo le sezioi dell'isieme Q dei umeri rzioli: u umero rele α si idetific co u sezioe (A, A ) del cmo dei umeri rzioli (si ossoo che cosiderre due "clssi cotigue" di umeri rzioli, cioè due isiemi A, A Q tli che si i x < y se x A e y A e tli che vlg l rorietà dell'vvicimeto idefiito, che se uò essere A A Q). Aretemete è u defiizioe ituitiv, m sollev lcui rolemi teorici. Ad esemio, è stz fcile defiire l somm di due umeri reli, m già il rodotto sollev lcui rolemi; cor iù comlict è l defiizioe di otez d esoete rele. Suoedo di ver suerto queste difficoltà, si uò costruire u sezioe di Q che defiisce u umero ositivo il cui qudrto è : ciò dimostr che esiste i R il umero ; iù i geerle, esiste er ogi x rele ositivo e er ogi turle u umero rele ositivo y (uico!) tle che y x: tle umero si idic co x.

2 Osservzioe. Esistoo ltre defiizioi dell'isieme dei umeri reli. Ad esemio, i lcui testi di lger er l scuol sueriore si referisce rtire dll rresetzioe decimle dei umeri (erciò u umero rziole è defiito come u umero che h u rresetzioe decimle fiit o eriodic, diversmete u umero è irrziole); ivece, i molti testi di Alisi livello uiversitrio, si rocede er vi ssiomtic, cioè rededo come uto di rtez le rorietà essezili di R (ssiomi di cmo, ssiomi dell'ordie, ssiom di comletezz). Come si dimostr l'irrziolità dell rdice di? Sesso elle dimostrzioi di irrziolità, si rocede er ssurdo. Suoimo che esisto due umeri iteri ositivi e (rivi di fttori comui) tli che. D ciò segue, erciò. Or, è imossiile soddisfre quest ugugliz co umeri turli. Iftti, si cosideri il umero : se cotiee il fttore elevto d u certo esoete, l scomosizioe i fttori rimi di coterrà co esoete rddoito; erciò l rimo memro il fttore re co esoete ri. Lo stesso vle er, essedo ch'esso u qudrto erfetto. M siccome l secodo memro re che u ltro fttore, l scomosizioe di cotiee il fttore co u esoete disri. Questo o è ossiile, er cui si h l'ssurdo. Osservzioe (molto imortte!). Per otteere l'ssurdo, si è dt er scott u rorietà di estrem imortz i ritmetic, cioè il teorem dell fttorizzzioe uic: ogi umero turle mggiore di si scrive i modo uico come rodotto di oteze di umeri rimi. Co lo stesso rocedimeto si dimostr l'irrziolità di ltri rdicli. Ad esemio, 9 è irrziole, erché se si oe 9 (, turli co M.C.D. ), si trov ; l scomosizioe di cotiee il fttore co esoete ullo oure multilo di (0,,, 9,...); lo stesso vle er, quidi il secodo memro cotiee il fttore elevto d u esoete k (cioè,, 8,...) ssurdo! IN GENERALE: se m ed N, e se m o è u otez -esim erfett (otez -esim di u umero turle), llor l rdice -esim di m è irrziole (se m o è u itero o uò essere eche rziole). U rocedimeto simile fuzio er i logritmi. Ad esemio, log 0 è u umero irrziole. (Alogmete quto osservto rim sull rdice -esim, occorre rim ver defiito l otez di u se ositiv d esoete rele, ed occorre ver dimostrto l'esistez del logritmo di u umero ositivo x i u qulsisi se ositiv e divers d ). Si rgioi cor er ssurdo: si log 0,, N. Si h llor 0, d cui 0. Quest ugugliz è ssurd, i quto 0 : erciò l rimo memro re elevto d u certo esoete ositivo, metre l secodo memro o c'è. Più i geerle, se M ed N soo due umeri turli mggiori di, sotto qule iotesi log M N è rziole? Se log M N (, N), llor M N, d cui M N.

3 Se M cotiee u fttore rimo che o re ell scomosizioe di N, o vicevers, l'ugugliz suddett è imossiile log M N è irrziole. I ltre role, codizioe ecessri ffiché il logritmo i se M N di u umero turle N N si rziole, è che M ed N cotego gli stessi fttori rimi. Quest erò o è u codizioe sufficiete! Ad esemio, log 9, m log 0 80 è irrziole, oostte 0 e 80 cotego gli stessi fttori rimi. Il motivo è il seguete: ffiché si log M N rziole, o solo se ed rgometo devoo vere gli stessi fttori rimi, m ci deve essere roorziolità tr gli esoeti. Ad esemio: 0 8, 88 0 log 0 88 (gli esoeti ell scomosizioe di N soo quelli dell scomosizioe di M moltilicti er ). U'iteresste osservzioe di crttere storico. Già l scuol itgoric er cooscez dell'irrziolità delle rdici di lcui umeri iteri (sree meglio dire "l'icommesurilità di lcue coie di segmeti", d esemio il lto e l digole di u qudrto). Tuttvi, semr che rim di Euclide l'irrziolità di umeri quli l rdice di, di, ecc. fosse dimostrt co rocedimeti diversi secod del umero, quidi sez l'uso del teorem dell fttorizzzioe uic. U'ulteriore osservzioe didttic. L'irrziolità dell rdice qudrt di rreset l'rgometo "rivilegito" er giustificre l'itroduzioe di ltri umeri oltre quelli rzioli; occorre erò evitre di dre l fls imressioe che i umeri irrzioli servo soltto er scrivere le rdici! I reltà, è fcile vedere che i umeri che si ossoo otteere trmite rdicli (co rdicdi iteri) rreseto u "iccol miorz" di tutti i umeri irrzioli. NUMERI ALGEBRICI E NUMERI TRASCENDENTI U umero rele si dice lgerico se è rdice di u'equzioe oliomile coefficieti iteri. Tutti i umeri rzioli soo lgerici: iftti m è rdice dell'equzioe x m 0. Ioltre, lcui umeri irrzioli soo lgerici, d esemio (rdice dell'equzioe x 0). Vi soo erò umeri lgerici o esrimiili trmite rdicli (d esemio, esiste u uico x tle che x x : esso è u umero lgerico o esrimiile trmite oerzioi rzioli e rdicli). N I geerle, ogi umero del tio x0 (co,, c, N iteri, 0 ed N o c qudrto erfetto) è lgerico, i quto si scrive fcilmete u'equzioe di grdo che mmette l rdice x 0. M che x 0 è lgerico. Iftti, l'equzioe vete rdici e è 0 x x, cioè x 8x 0. Se oi si moltilic il rimo memro di quest equzioe er x 8x, si trov x 08x 9 0 (quest equzioe h quttro rdici reli, tr cui x 0 ). Altro esemio: u'equzioe di grdo miimo vete tr le sue rdici è x 8 0x x 90x 0.

4 Se u umero rele o è lgerico, si dice trscedete. Strmete, è fcile dimostrre l'esistez di umeri trscedeti (zi, essi soo MOLTI di iù dei umeri lgerici), m è molto difficile dimostrre che u dto umero (d esemio u delle "costti otevoli" dell'alisi) è trscedete (l trscedez di π imlic l'irrisoluilità di rolemi come l qudrtur del cerchio e l rettificzioe dell circoferez co rig e comsso). Dimostrimo che esistoo umeri trscedeti. Defiimo grdo di u umero lgerico α il grdo miimo di u'equzioe coefficieti iteri che mmette α come rdice. I rzioli soo lgerici di grdo ; i rdicli qudrtici soo di grdo, l somm di due rdicli qudrtici ivece è di grdo. I umeri rzioli costituiscoo u isieme umerile; le equzioi di secodo grdo coefficieti iteri costituiscoo u isieme umerile (rodotto crtesio di isiemi umerili), erciò gli lgerici di grdo costituiscoo u isieme umerile; llo stesso modo, le equzioi coefficieti iteri di terzo grdo costituiscoo u isieme umerile, er cui i umeri lgerici di grdo costituiscoo u isieme umerile; ecc. ecc. I coclusioe, l'isieme dei umeri lgerici è dto dll'uioe umerile di isiemi umerili, quidi è u isieme umerile. MA I NUMERI REALI HANNO LA POTENZA DEL CONTINUO, erciò o solo esistoo umeri reli o lgerici, m essi costituiscoo u isieme vete l otez del cotiuo (i ltre role, essi soo "molti di iù"!). IRRAZIONALITÀ DI e, π ED ALTRI NUMERI AD ESSI COLLEGATI Seee i diverse dimostrzioi di irrziolità si utilizzio teciche di Alisi Mtemtic (o semre "vzte"), sesso i testi di Alisi igoro l'rgometo (solo lcui riorto l dimostrzioe di irrziolità del umero e). Il uto di rtez è l formul di Tylor, che cosete di scrivere u fuzioe (derivile volte co cotiuità i u itoro di ) come somm del oliomio di Tylor di ordie P (x) ( k ) ( k ) e di u resto (errore); P (x) soddisf l codizioe P ( ) f ( ) er ogi k 0,,...,. f ( ) f ( x) P ( x) R ( x) f ( ) f ( )( x ) ( x )! ( ) ( ) f ( ) f ( c) ( x ) ( x ),! ( )! er u c comreso tr ed x. Quest formul è utile er dre delle rossimzioi umeriche di fuzioi ltrimeti o clcolili (fuzio ee sorttutto er x "vicio" d. Si f(x) e x, 0 ed x ; essedo f (k) (x) e x k, si h e e f () e,!!! ( )! k 0 k! ( )! c c

5 co 0 < c <. Utilizzdo l mggiorzioe e <, si vede che l'errore c R () e è comreso ( )! tr e. Perciò si uò scrivere < e < ( )! ( )! ( )!. k! ( )! k 0 Si er ssurdo e, co, N; sceglimo u umero turle mggiore di e mggiore di, e er tle cosiderimo l formul e scritt. Moltilicdo er! si h!!! <! e <, ( )! cioè k! ( )! k 0! 0 < <! e < k! k 0 dove si è teuto coto che del ftto che il rimo memro è ositivo. Or, è u divisore di!, erciò! e è u itero. Ioltre, ciscu ddedo dell sommtori è! u itero, visto che k ssume tutti i vlori tr 0 ed. Ne segue che! e k! è u umero itero. k 0 M, essedo >, tle differez è comres tr 0 e /, il che è imossiile. Esiste u dimostrzioe ltertiv, che si rest d iteressti geerlizzzioi. Dll doi disugugliz 0 < e < si ricv e (iftti, è l k 0 k! ( )! k 0 k! k 0 k! ridott -esim dell serie, e d'ltr rte lim 0 ). ( )! Suoimo llor e (, N); reso u, cosiderimo l differez tr e e l ridott -esim dett sor: e e k! 0!!,.!! k 0 Questo umero è ositivo, visto che i u serie termii ositivi le somme rzili do semre rossimzioi er difetto dell somm. Moltilichimo or er! e idichimo co α il umero così otteuto: α! e. 0!!!! Il umero α è itero, i quto! è multilo di, e tutti i termii!/0!,!/!,...,!/! soo iteri. Cosiderdo erò l "serie resto", si ottiee 0 < α! e! 0!!!! ( )! ( )! ( )! ( )( ) ( )( )( )

6 Essedo ( )( ) > ( ), il termie si mggior co ; i modo ( )( ) ( ) simile, si mggior co, ecc. ( )( )( ) ( ) Perciò, α si mggior co l somm dell serie geometric, che vle ( ) ( ) ssurdo! U ossiile geerlizzzioe è l seguete: fissto u turle, si cosideri l serie, e si idichi co e l su somm: d esemio, e k0 ( k! ) è ugule (0!) (!) (!) (e coicide co e). Dimostrimo che e è irrziole er ogi N. L tecic è l stess del cso. Si e (, N), si, e si defiisc α come il rodotto di (!) e dell differez tr e e l ridott -esim : ( k! k 0 ) α (!) e. (0!) (!) (!) (!) Alogmete quto detto sor, questo umero è itero ositivo. Cosiderdo or l serie resto, si ottiee: (!) (( )!) < 0 α (!) e (0!) (!) (!) (!) (!) (!) (( )!) (( )!) ( ) (( )( )) (( )( )( )) < Assurdo! ( ) ( ) ( ) ( ) < I queste dimostrzioi si è otteuto u ssurdo mostrdo che u cert esressioe dovree essere u umero turle m che u umero comreso tr 0 e. L stess ide si uò licre d ltri csi; iù esttmete, er dimostrre l'irrziolità di u umero si suoe er ssurdo che esso si rziole, e si costruisce u oortuo itegrle: se si riesce fr vedere che questo itegrle è u itero ositivo, m si uò che redere iccolo icere, si ottiee u ssurdo. Per le dimostrzioi che seguoo, è ecessrio cosiderre certi oliomi che ho rticolri crtteristiche utili i questi csi. x ( x) Fissto N, si defiisc ( x).! Le rorietà "otevoli" del oliomio soo le segueti: 8

7 l vrire di x i (0, ) risult 0 < ( x) < ;! tutte le derivte di ssumoo vlori iteri er x 0 e er x. L rim rorietà è ovvi (i reltà è 0 < ( x) ). Per dimostrre l secod rorietà, si! c osservi che ( x) m x m (i umeri c m soo iteri). D'ltr rte, (x) si uò scrivere come il! m oliomio di Tylor di se stesso (di ordie, co 0); si h cioè (0) m ( x) x. m! Cofrotdo le due esressioi di, si trov (0) '(0)... ( ) (0) 0, metre er m ( ) c (0) si h m m! m!, d cui ( m) m! m! (0) c! m. Essedo itero, cocludimo che le derivte () (x),! () (x),..., () (x) ssumoo vlori iteri i x 0, ed che er x (er l simmetri di ). m 0 ( m) Ad esemio, er è 8 x x x x x ( x). Le derivte successive soo: x x x x x ( x) ; x 0x x x ( x) x ; ( x) x 0x 0x x x ; () ( x) 0x 90x 0x 0x ; () ( x) 0 80x 0x 80x ; () ( x) 80 80x 80x ; () ( x) 80 80x ; (8) ( x) 80; (9) (0) ( x) ( x) 0. Risult (0) () 0, e lo stesso vle er ', '', '''; ioltre si h () (0), () (), () (0) 0, () () 0, () (0) 80, () () 80, () (0) 80, () () 80, (8) (0) 80, (8) () 80. Dimostrimo or che e r è irrziole er ogi esoete rziole r 0. Osservimo che è sufficiete cosiderre il cso del umero e h er h turle. Iftti, se e h è h h r h / k k h irrziole, lo è che e / e, e lo è che e e e. Si llor h u umero turle, e si er ssurdo e h (, N). Fissimo u turle, defiimo er tle il oliomio (x) e cosiderimo l fuzioe F(x) h (x) h '(x)... h ( ) (x) () (x). L F ssume vlori iteri i x 0 e i x. Or clcolimo l derivt di e hx F(x): D(e hx F(x)) e hx (hf(x) F'(x)) e hx {h(h (x) h '(x)... h ( ) (x) () (x)) h '(x) h ''(x)... h () (x) () (x)} e h(x) {h (x) () (x)}, che si riduce d h e h(x) (x), essedo () (x) 0. Allor: 0 hx h e ( x) dx e hx h [ F( x) ] e F() F(0) F() F(0) N 0.

8 8 Essedo erò 0 < ( x) <, si h l doi disugugliz! hx h h 0 < h e ( x) dx < h e,!! 0 d cui l'ssurdo, erché stz grde h lim! 0 ). h! divet iccolo icere (essedo Coseguez immedit di questo teorem: log r è irrziole er ogi r rziole ( rte log 0). I modo simile si dimostr che che π è irrziole (iù esttmete, dimostrimo che π è irrziole). Posto er ssurdo π (, N), fissimo u turle, quidi defiimo l fuzioe G(x) {π (x) π "(x) π () (x)... ( ) () (x)}. Essedo oi π, π,..., π, si h G(x) (x) "(x) () (x)... ( ) () (x). Per quto detto sor, G(0) e G() soo iteri. Si H ( x) G ( x)seπx πg( x) cosπx ; llor: H ( x) G ( x)seπx πg ( x)cosπx πg ( x)cosπx πg( x) seπx G ( x)seπx π G( x)seπx G ( x) π G( x) seπ. Clcoldo eslicitmete G ( x) π G( x), trovimo: ( ) x G"(x) π G(x) {π "(x) π () (x) π () (x)... ( ) () (x)} π {π (x) π "(x) π () (x)... ( ) () (x)} {π "(x) π () (x) π () (x)... ( ) () (x) π (x) π "(x) π () (x)... ( ) π () (x)}, che si riduce π ( x), i quto i termii itermedi si semlifico, ed ioltre () (x) 0. Essedo oi π /, l derivt di H(x) è π ( x) seπx. Perciò: G ( x)se x π π ( x)seπxdx G( x)cosπx G(0) G(), π 0 0

9 che er quto detto rim è u itero. M risult 9 0 ( x)seπx, d cui! π π 0 < π ( x)seπxdx < ASSURDO! Iftti, er stz grde è!! <. 0 Not: l'irrziolità di e e di π fu dimostrt d Lmert el ; l dimostrzioe dell'irrziolità di e r vist sor è st su quell di Hermite. Nel liro di I. Nive (vedi iliogrfi) si trov u dimostrzioe (st su idee essezilmete simili, m iù comlict ei dettgli) del ftto che cos r è irrziole er ogi r rziole diverso d 0; d ciò si deduce immeditmete che π è irrziole, erché cos π. Lo stesso utore erò suito doo riort l dimostrzioe vist sor, decismete iù semlice, dell'irrziolità di π (trovt d Legedre el 9). Dll'irrziolità di cos r si ricv che l'irrziolità di se r e di tg r er ogi r rziole o ullo, e di coseguez l'irrziolità dei vlori ssuti dlle fuzioi goiometriche rcse, rccos, rctg er rgometi rzioli (esclusi i csi i cui esse soo ulle). Torimo or ll serie che esrime il umero e, er vedere u geerlizzzioe i u ltro seso. Se è u umero turle mggiore di fissto (se), ossimo rresetre ogi umero turle i modo uico i se. Ad esemio, il umero scritto i se come 0 vle ell ostr se decimle 0 0. Vicevers, er covertire u umero dll'ordiri se 0 d u'ltr se si uò rocedere er divisioi successive: 0 Leggedo l'ultimo quoziete e i resti (i ordie iverso), si trov 0, rresetzioe i se del umero decimle. Ogi N si m k scrive i mier uic ell form c k. I k umeri c k (iteri comresi tr 0 e ) soo le cifre dell rresetzioe di N i se (ell sommtori soo scritte i ordie iverso risetto quello solito). Se u umero α o è itero, si h u'log rresetzioe i u qulsisi se >, i geerle costituit di u sequez ifiit di cifre (d essere rigorosi, questo "lliemeto di cifre" v i reltà iterretto come u serie): α (i se ) c c...c c 0,... k c, k k k k k dove le cifre c k soo umeri iteri comresi tr 0 e (se > 0 occorre itrodurre dei simoli, oltre le clssiche cifre d 0 9, er rresetre i ossiili vlori di c k comresi tr 0 e ). Comuque si fissi l sequez delle cifre, l serie suddett è covergete, erché si mggior co u serie geometric di rgioe. M, dto il umero rele α, come ossimo trovre l sequez delle cifre i se?

10 0 Cosiderimo il cso 0 < α < (erciò [α] 0). Si d esemio 0,80 ), e si. α (che i se 0 dà 88 Moltilichimo α er, e el risultto serimo l rte iter d quell decimle; l rte iter dà l rim cifr doo l virgol. Quidi iterimo il rocedimeto utilizzdo ogi volt l rte decimle trovt l ssggio recedete: 8 ; ; 8 ; 9 ;. Si è otteut così l rresetzioe fiit 0,0 (iftti, 0 ). 88 Il rocedimeto uò o vere termie; d esemio, co ; 0 0 ; ; ; 9. α si trov: Aimo ritrovto, er cui il ciclo ricomici; si h erciò il umero eriodico 0, 0 (cioè, l somm dell serie 0 0 è 8 9 ). 0 L rorietà di u umero rele α di essere rziole o irrziole è "itrisec"; ivece, il ftto che u umero rziole i rresetzioe fiit o eriodic diede dll se: /88 h rresetzioe fiit i se, ifiit eriodic i se 0; vicevers, / si scrive come 0,0 i se, m come 0,8 i se 0. I se, u umero rziole h rresetzioe fiit solo se i fttori rimi del deomitore soo che divisori di (d esemio, i se 0 i umeri co deomitore, 0, 80, 00 soo umeri decimli fiiti).

11 M se u umero termi co ifiite cifre? Ad esemio, i se 0 0,9 0, (st licre l regol dell frzioe geertrice); se u umero rziole o ullo h u rresetzioe fiit, e h che u eriodic, otteut riducedo di l'ultim cifr e termido co ifiiti 9 (se il umero è itero si riduce di l rte iter):,,9,0,009,9 U esemio el sistem esdecimle:, si uò che scrivere,fffffff (corrisode ). 8 Adottimo or u rocedimeto diverso. Si 0 < α < ; moltilichimo drim α er, serimo l rte iter, quidi moltilichimo il umero così trovto er, serimo l rte iter e moltilichimo er, rocededo semre llo stesso modo. Se idichimo co,,... gli iteri così trovti (che verifichero l codizioe 0 k k er ogi k ), ossimo scrivere il umero α come segue: k α.!!! k k! Possimo chimre "rresetzioe fttorile" questo rticolre modo di scrivere i umeri reli. Se α h che u rte iter A, ossimo scrivere Ad esemio, si 8 α 00 α (!)(A ;,,,,...). ; imo llor: ; ; 9 98 ; ; 0 8 ; ; ; 9 9 ; Perciò scrivimo, oure siteticmete 00!!!!!! 8! 9! 0! 8 (!)(0;,,,,,,,, ). 00 Il umero A uò essere u itero qulsisi (che egtivo); l rim "cifr" doo il uto e virgol uò essere 0 o, l secod 0,,, l terz 0,,,, ecc.

12 OGNI NUMERO RAZIONALE α AMMETTE UNA RAPPRESENTAZIONE FATTORIALE FINITA. m L sommtori k k k! termi l miimo m tle che il deomitore di α divide m!; d esemio, er il umero srà ecessrio rrivre d m, visto che! è il iù iccolo 000 fttorile divisiile er 000. Pertto, uò semrre fcile eucire u criterio di irrziolità: se l rresetzioe fttorile di α è ifiit, α è irrziole. Purtroo o è così semlice, erché c'è u rolem logo quello detto rim roosito dei umeri che termio co ifiiti 9. Si cosideri iftti il umero α (!)(0;,,,,...) (suoimo cioè che er ogi k si k k ). Allor α ; l somm - esim è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,!!!!!!! ( )!!! d cui α lim. I modo logo, si vede che se ell rresetzioe fttorile di u! umero è defiitivmete k k, il umero è rziole: d esemio, se β (!)(0;0,0,,0,,,, ) m m m, llor β. L situzioe quidi è simile quell dett m! d d m rim er i umeri decimli fiiti: u umero rziole o ullo si uò scrivere ell form α (!)(A ;,,,..., m ), m è che α (!)(A;,,,..., m, m, m, m,...) (se α è itero divet (!)(A ;,,,...)). Quidi il criterio di irrziolità er le rresetzioi fttorili è: si (!)(A ;,,,...) l rresetzioe fttorile del umero α; se NON è defiitivmete k 0, e NON è defiitivmete k k, llor α è irrziole. Si ritrov così l'irrziolità di e, i quto si uò scrivere e (!)(;,,,,...)!!!! I lcui csi ossimo che clcolre eslicitmete l somm di serie di questo tio. Ad esemio, si α (!)(0;,,,,...) ( k er k ri, k er k disri). Allor α si uò scrivere come segue: α!!!!!.!

13 k Essedo cosh x x k 0 (k)! e k x seh x, si trov α cosh (seh ) k 0 (k )! e e e. e e Altro esemio: (serie dei reciroci dei fttorili dei umeri!!!!!! rimi) dà u somm irrziole, erché rietr el criterio suddetto, co k er k rimo e k 0 er k comosto. I geerle, u codizioe sufficiete ffiché α (!)(A;,,,...) si u umero irrziole è che l successioe {,,,...} o si defiitivmete ull e si sueriormete limitt. α ; Osservzioe. A livello "rtico", l ossiilità di ricvre le costti k dell rresetzioe fttorile è suordit ll cooscez di α co tutt l recisioe ecessri (il che d'ltr rte è vero che er l scrittur di α i u qulsisi se ). Ad esemio, si cosideri il umero α ; rietedo il rgiometo già visto, si ottiee: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 80 (0 8) ( 0 8) 0 0 (0 09) ( 0 09) 0 0 (0 ) ( 0 ) (00 80) 8... Si h quidi α (!)(0;,, 0,,,,,...); m er roseguire occorre vlutre A B er A e B semre iù grdi: se d esemio si coosce solo fio ll ª cifr decimle, qudo A e B soo dell'ordie di 0 o si uò clcolre i modo ttediile l rte iter di A B. È ossiile utilizzre questo criterio er dimostrre l'irrziolità di u umero α defiito come l somm di u geeric serie (covergete) termii rzioli? Si uò rovre scrivere ciscu termie come u somm fiit di frzioi co fttorili l deomitore, er oi sommre er coloe; uò essere erò molto comlicto eseguire i riorti e sorttutto fr vedere se è defiitivmete k k oure o. Ad esemio, si cosideri l ot "serie di Megoli" k k( k ) 0 scrivedo er i rimi termii l rresetzioe fttorile, si h:!!! 0!! ;

14 0!!!!!!... Sommdo, si h:!!!!!!!!!!! Per effetture l somm, si osservi che se sull colo reltiv k! si trov u umertore k, occorre scrivere il umertore (mod k), metre il quoziete itero si riort ll colo recedete (logmete u'ddizioe eseguit mulmete). sull colo reltiv! si trov 0;!!!! (riorto) sull colo reltiv! si trov 0;!!!! 0 sull colo reltiv! si trov 0;!!!!!!!!!!!!!!!!!! Somm di questi rimi termii:.!!! Purtroo, è difficile dre u formul er il geerico termie, er cui l gestioe dei k( k ) riorti divet roiitiv imossiile cire se è defiitivmete k k oure o.

15 π Alog difficoltà er l serie ; k (k )(k!!!! 99!!! 8! 9!! 8! 9! 9! 9 0! 0!!!!! 0 ) 8 L somm rzile è ; urtroo, che i questo!!!! 8! 0!!!! cso o si riesce dre u formul geerle, erciò o si uò escludere che er ogi k > k* si i k k ; ciò erché l serie coverge letmete. Ivece, er l serie, si trov k k!( k )!!!!!!!!!!!!!!8!!!!! 8! 9! 0! 0!!! 9! Qui è s!!!! 8! 9! 0!!! 9! ; visto il rido "sostmeto destr" delle rresetzioi fttorili, otree essere meo difficile dimostrre che o si uò vere defiitivmete k k.

16 APPROSSIMABILITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI Puti reticolri: soo i uti del io crtesio veti coordite itere. L'isieme dei umeri reli ositivi si uò mettere i corrisodez iuivoc co l'isieme delle semirette usceti d O e giceti itermete l rimo qudrte. y αx Dto il umero rele ositivo α, st iftti trccire l semirett s di equzioe y αx. Or, soo ossiili due csi: h α è RAZIONALE, dicimo α (h, k rimi tr loro); llor, s ss er gli ifiiti uti k reticolri (k ; h), (k ; h), (k ; h), ecc. α è IRRAZIONALE; i questo cso, s o ss er lcu uto reticolre. M si uò osservre u'ltr fodmetle differez di comortmeto tr i due csi. Si d esemio α ; erciò il rimo uto reticolre su s è ( ; ). Comuque si red u'sciss iter ositiv <, s itersec l rett di equzioe x i u uto di ordit α o iter. Quidi d ogi,,..., si uò ssocire u umero itero ositivo m tle che m < α < m. Vlutimo iù i dettglio le differeze el cso cosiderto:

17 er, l semirett s itersec l rett x i u uto di ordit comres tr 0 e ; si h quidi 0 < α <. L'errore miore si h clcoldo l differez co, e tle errore vle (i modulo) ; 8 er, si h < α < ; l'errore miore è er, si h < α < ; l'errore miore è er, si h < α < ; l'errore miore è 0 er, si h < α < ; l'errore miore è er, si h < α < ; l'errore miore è 8 ; 0 ; ; ;. A questo uto il ciclo si riete. Iftti, se si rede il rettgolo vete vertici oosti (0 ; 0) e ( ; ) e lo si trsl di uità di misur destr e di i lto, esso si sovroe l rettgolo di vertici oosti ( ; ) e ( ; 8), el qule l semirett s costituisce cor l digole (lo stesso vle turlmete er ulteriori trslzioi): ( ; ) ( ; 8) ( ; ) I coclusioe, se α è rziole, l'isieme dei ossiili vlori ositivi m α mmette u miimo (el ostro cso tle miimo è ). L'uico vlore ossiile l disotto di questo è 0. Per α irrziole l situzioe è comletmete divers. L semirett s o tocc essu uto reticolre, erò SI AVVICINA INDEFINITAMENTE ll'isieme di tli uti. Ad esemio, si cosideri l semirett s di coefficiete golre α 0, 8. Seee s o icotri lcu uto reticolre, tuttvi ess ss "molto vicio" d lcui di essi, d esemio ( ; ), (8 ; ), ( ; 8) e ( ; ).

18 8 ( ; ) (8 ; ) ( ; 8) ( ; ) Si cosiderio or le differeze tr m ed α er tli coie di umeri: ( ; ) α 0, 090 ; (8 ; ) 8α 8 9 0, 08 ; 9 ( ; 8) 8 α 8 0, 08; ( ; ) α 0, 08. I questo cso l differez m α o uò essere ull, m si uò redere iccol icere: o esiste cioè u miimo (é u estremo iferiore ositivo) er m α : ddo vti icotrimo ltri umeri rzioli er i quli m α è semre iù iccolo; otteimo così er il umero α rossimzioi rzioli semre migliori: 0, err. 0,080; 0, err. 0,0090; 8 8 0,8 err. 0,009; 0, 90 err. 0,000,... Se u umero rziole m / dà u uo rossimzioe di α, o è detto che si otteg u risultto migliore co u qulsisi deomitore ' >. Si osservio d esemio le segueti rossimzioi rzioli di π:,8 errore 0,009;,099 0 errore 0,000089;,990 errore 0, Questo erò o imlic che co deomitore,,... si io rossimzioi rzioli iù ccurte.

19 9 Per otteere u'rossimzioe migliore occorre rrivre l deomitore 0; si h llor 099,9090 errore 0, Queste osservzioi sull'rossimilità di u umero irrziole foriscoo u imortte criterio di irrziolità. CRITERIO DI IRRAZIONALITÀ. Si α u umero rele ositivo. Suoimo che esisto due successioi {u k } e {v k } di umeri turli che verifico l seguete rorietà: er ogi ε > 0 fissto esiste u k tle che 0 < u k α v k < ε. Allor α è irrziole. I ltertiv, si uò suorre che si α rele, e che le successioi {u k } e {v k } sio costituite di umeri iteri; i tl cso è idifferete scrivere u k α v k l osto di u k α v k. ATTENZIONE! L ricile difficoltà ell'liczioe di questo criterio cosiste el trovre eslicitmete le due successioi suddette. Tordo lle rossimzioi rzioli viste rim, ci si uò chiedere: come si f trovre cocretmete queste rossimzioi? Si ossoo d esemio utilizzre le frzioi cotiue. U'esressioe del tio FRAZIONI CONTINUE 0 N viee dett frzioe cotiu fiit. Si uso di solito le otzioi iù comode e [ 0 ;,,..., N ]. 0 N Nel seguito cosidereremo solo le cosiddette frzioi cotiue "semlici", co umertori e co termii 0 Z e,,... N. Per clcolre il vlore di u frzioe cotiu si uò comicire dll'ultim frzioe e oi rocedere ritroso:

20 Si uò otteere il risultto i modo diverso, costruedo u sequez fiit di "covergeti", cioè di frzioi itermedie che rogressivmete si vvicio l risultto file. Questi covergeti coicidoo co i vlori delle frzioi cotiue [ 0 ], [ 0 ; ], [ 0 ;, ],... Se è l'-esimo covergete, le due successioi di iteri { q } e {q } soo defiite dlle segueti formule: er q 0 q q q q er. Ad esemio, er l frzioe cotiu [ ;,,, ] imo 0,,,,. Allor: 0 ; ; ; ; 9 q 0 ; q ; q ; q ; q 00, er cui si ho i covergeti:,, 8, 90 Vlgoo er i covergeti di u frzioe cotiu le segueti rorietà: I covergeti soo frzioi già ridotte i miimi termii (cioè, e q o ossoo vere fttori comui); i covergeti di ordie ri costituiscoo u successioe strettmete crescete, che rossim er difetto del umero x; logmete, i covergeti di ordie ri costituiscoo u successioe strettmete decrescete, che rossim er eccesso x (l'ultimo covergete coicide co x); resi due covergeti cosecutivi e, vle l relzioe q q q q ( ) ; l differez tr x e u suo covergete è i modulo miore di q (d esemio, q 9 < ) Come si scrive l frzioe cotiu reltiv d u umero rziole r ssegto? Si scrive r come frzioe (ridott i miimi termii), quidi si ser l rte iter 0, er cui è r 0 α, dove 0 < α < ; si clcol, che risult u umero mggiore di ; α si defiisce, d cui α, dove 0 < α α α < ;

21 si iter il rocedimeto, fio trovre u umero itero N, cioè u cso i cui α N 0; l frzioe cotiu llor è [ 0 ;,,..., N ] (siccome erò N, si uò idifferetemete scrivere [ 0 ;,,..., N, ]. Ad esemio, er l frzioe /, si h successivmete ; 9 ; ; ;, er cui [ ; 9,,, ], oure [ ; 9,,,, ] (l rresetzioe è uic se si oe l codizioe che il termie file o vlg ). MA È MOLTO PIÙ INTERESSANTE APPLICARE QUESTA TEORIA AI NUMERI IRRAZIONALI! Si iftti α u umero irrziole. Possimo rietere lo stesso rocedimeto già visto, e quidi determire successivmete 0,,,... ( ) ; ( ) ; [;,,,...] Se α è irrziole, l frzioe cotiu è semre ifiit (m è difficile i geerle trovre eslicitmete i termii, erché si h u rolem logo quello visto rim er l rresetzioe fttorile: doo lcui ssggi si osserv che er clcolre l rte iter del reciroco occorre cooscere α co tutt l recisioe ecessri). Vedimo d esemio cos succede er il umero π: π (π ); π (,0) ; π π π 0π (,999) ; π π π π (,00) ; 0π 0π 0π 0π 099 ( 9,9) 9. π π Si h quidi l frzioe cotiu [;,,, 9,...]; m er roseguire è ecessrio π clcolre l rte iter di : oiché umertore e deomitore soo molto 0π 099 iccoli, occorre cooscere molte cifre estte di π er otteere u risultto ttediile.

22 Dt u frzioe cotiu (ifiit) [ 0 ;,,... ], costruimo le successioi dei covergeti co le regole dette sor, cioè: er q0 q q q q er. Ad esemio, el cso dell frzioe cotiu reltiv π imo 0,,,, 9. Allor: 0 ; q 0 ; ; q ; ; q 0; ; q 0 ; 9 099; q 9 0 0;......, 099 d cui l successioe dei covergeti,,,,, Si trovo così le rossimzioi "migliori" viste rim, cioè i uti reticolri iù vicii ll semirett di coefficiete golre α. Ogi frzioe cotiu è covergete, e se defiimo il suo vlore x come lim osservimo che i covergeti do ltertivmete rossimzioi di x q er difetto e er eccesso. Ioltre, er ogi covergete vle l disugugliz x < ; erciò q q d esemio l frzioe 099 differisce d π meo di 9, I lcui csi è fcile determire i modo estto l frzioe cotiu er u irrziole α; d esemio: ( ) 0 ; ; ( ) ( ). A questo uto imo ritrovto lo stesso "resto" del rimo ssggio, erciò l sequez {, } si riete idefiitmete. Aimo quidi l frzioe cotiu eriodic ;,,,,,,... [,. [ ] ] L sequez dei termii uò che essere eriodic solo d u certo idice i vti. Ad esemio:

23 ( 0,899) (,8) (,09) (,9) (,09) (,09) 0 0; ; ; ; ; (stesso resto dell ª rig); A questo uto il ciclo {,, } si riete, er cui si h er il umero α l frzioe cotiu [ 0 ;,,,, ] TEOREMA. I umeri reli che ho rresetzioe i frzioe cotiu eriodic (ifiit) soo tutti e soli i umeri dell form c (,, c rzioli, 0, c o qudrto erfetto). Vicevers, come si trov eslicitmete il vlore di u frzioe cotiu eriodic? Vedimo u cso i cui si 0 0 e il eriodo comici già dl termie, d esemio x [0 ;,,,,...]. x Per l eriodicità, si uò scrivere x, d cui l'equzioe x( x) x, x x cioè x x 0. L'uic rdice ositiv di quest equzioe è x. Vedimo ivece u cso i cui l successioe è eriodic solo d u certo uto i vti, d esemio x [ ;,,, ] ; osto y [0;,, ], si h (effettudo clcoli simili quelli visti y 8 8 y sor) y, d cui y. Essedo oi x, si trov y y y y x. 8 8

24 LA FUNZIONE ζ DI RIEMANN Per s rele > (oure er s comlesso co Re(s) > ) si defiisce l fuzioe ζ trmite l formul: ζ( s ) s. Già Eulero si er iteressto lle rorietà di quest fuzioe (u suo risultto di rticolre imortz è l formul ot come "rodotto di Eulero", cioè ζ( s), dove l serie è s estes i vlori rimi di ); l fuzioe è uiverslmete ot come "zet di Riem" erché Riem e dimostrò l'estediilità tutto il io comlesso co l'esclusioe di s e e studiò vrie rorietà (l celere "iotesi di Riem" fferm che gli zeri "o li" di ζ ho tutti rte rele /). Nel seguito cosiderimo l fuzioe ζ solo er s rele. Nel Eulero risolse il "rolem di Bsile", dimostrdo che ζ(), cioè l serie dei reciroci dei qudrti dei umeri turli, è π /. Il risultto si uò estedere: er ogi N, ζ() è u multilo rziole di π (erciò è semre irrziole): π ζ (),08 90 π ζ (),0 9 8 π ζ (8), (Si uò dre u formul geerle er ζ(), ell qule si utilizzo i umeri di Beroulli). Molto meo ivece si s sui vlori di ζ() er turle disri (è imroile che ζ() si multilo rziole di π ). No solo o ci soo formule eslicite, m fio l 98 eche er u solo vlore disri si sev se il corrisodete vlore di ζ fosse rziole o irrziole. TEOREMA DI APÉRY. ζ() è u umero irrziole. L dimostrzioe è molto comless, m essezilmete l'ide cosiste drim ell'esrimere ζ() co u serie che coverge iù ridmete, e oi el costruire u successioe di rossimzioi rzioli u k / v k i modo d licre il criterio detto rim (se u k αv k è ositivo e si uò redere miore di u quluque ε, llor α è irrziole). Successivmete (99) il mtemtico oldese F. Beukers h forito u divers dimostrzioe, che ottiee lo stesso risultto defiedo i modo meo comlicto le successioi rossimti. DIMOSTRAZIONE DI BEUKERS (liee essezili) Si C il cuo uitrio -dimesiole, cioè C [0,] [0,] [0,], e si d il miimo volte comue multilo dei umeri,,..., (vle l limitzioe d <, er sufficietemete grde).

25 LEMMA. Sio r ed s umeri iteri o egtivi. Allor: se r > s, C log xy r x y xy s dxdy è u umero rziole il cui deomitore è sottomultilo di d ; log xy r r se r s, x y dxdy ζ() ; i rticolre, er r s 0 si C xy r log xy trov dxdy ζ(). xy C Ne segue che, er u qulsisi oliomio Q(x, y) coefficieti iteri, i cui x ed y ioo log xy Q( x, y) dxdy è u comizioe liere ( coefficieti iteri) di xy l mssimo l grdo, C ζ() e di umeri rzioli i cui deomitori soo divisori di log xy A Bζ() Q( x, y) dxdy (A, B Z). xy d C d Dto turle, si defiisc P ( x) ( x ( x) ) (oostte l resez di! l! dx deomitore, P è u oliomio di grdo coefficieti iteri). Si cosideri or f ( x) P ( x) dx ; se f è derivile volte co cotiuità i [0, ], itegrdo 0 ( ) ( ) er rti volte si "scrico" le derivte sull f e si h f ( x) P ( x) dx f ( x) x ( x) dx. 0! 0 log xy Cosiderimo or P ( x) P ( y) dxdy ; er quto osservto rim, questo si uò xy C A Bζ() scrivere (A, B Z). Essedo oi log xy d dz, vedimo che xy 0 ( xy) z log xy P ( x) P ( y) P ( x) P ( y) dxdy si scrive come xy dxdydz. ( xy) z C C Co lcue trsformzioi (ed utilizzdo che quto detto rim sull'itegrzioe er rti x ( x) y ( y) w ( w) volte), questo itegrle divet su volt dxdydw. ( ( xy) w) C ( Φ( x, y, w) ) Or scrivimo l fuzioe itegrd ell form, dove ( xy) w x( x) y( y) w( w) dxdydw Φ ( x, y, w) ; si h llor Φ(x, y, w) < ( ) e () ( xy) w ζ ( xy) w C ζ < ( ) (). C d

26 Si h llor 0 A Bζ() < ζ()( ) d <, che er ogi stz grde è miore di ( ) ζ() ( ( ) ) ζ ()( ). M ( ) è circ 0,98 < / 0 < A Bζ() < ζ(). Per stz grde questo divet iccolo icere, e d ciò segue l'irrziolità di ζ(). ALCUNI PROBLEMI IRRISOLTI Come si comort ζ() er i successivi iteri disri? È stto dimostrto che esistoo ifiiti vlori irrzioli di ζ( ) (Rivol, 000); il miglior risultto oggi oto è: UNO ALMENO tr i umeri ζ(), ζ(), ζ(9), ζ() è irrziole (Zudili, 00). Si γ lim log (costte di Eulero-Mscheroi, di vlore rossimto 0,9); o si s se è irrziole (m si sosett che lo si).

27 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI G.H. Hrdy - E.M. Wright, A Itroductio to the Theory of Numers, Oxford Sciece Pulictios, V edizioe, 98. I. Nive, Irrtiol Numers, The Crus Mthemticl Moogrhs,., The Mthemticl Associtio of Americ, 9. R. Aéry, Irrtiolitè de ζ et ζ, Societè Mthémtique de Frce Asterisque (99), g. -. F. Beukers, A ote o the irrtiolity of ζ() d ζ(), Bull. Lodo Mth. Soc. (99), g. 8-. M. Du Sutoy, L'eigm dei umeri rimi, Sggi BUR, X edizioe, 009.