SUL PROBLEMA DEL CERCHIO DI GAUSS

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1 SUL PROBLEMA DEL CERCHIO DI GAUSS A Bris e Prof Fio Bred Astrct Lo scopo di questo rticolo è l ricerc del uero di soluzioi itere delle disequzioi del tipo x 2 + y 2, oto coe il prole del cerchio di Guss, e ltre tipo x 2 + y 2 + z 2 Il prole verrà lizzto si dl puto di vist lgerico che geoetrico per rrivre risolvere u geeric 1 x x x 2, co N 0 e N per poi plire lo studio disequzioi siili Itroduzioe Alizzereo le disequzioi cocetrdoci pri sul prole i u diesioe, poi i due rrivdo o d otteere coclusioi per 1 x x x 2, co N 0 e N i d diesioi Idichereo co: N 1 () = il uero dei puti coordite itere che risolvoo le disequzioi i u diesioe (rppresetili sull rett rele), co N 2 () = il uero dei puti coordite itere che risolvoo le disequzioi i due diesioi (rppresetili sul pio crtesio), co N 3 () = il uero dei puti coordite itere che risolvoo le disequzioi i tre diesioi (rppresetili sullo spzio) o d rrivre N d () = il uero dei puti coordite itere che risolvoo le disequzioi i d diesioi U iteresste vrite sro le disequzioi del tipo 1 x x x U diesioe x 2 co N L pri disequzioe che voglio risolvere è x 2 Algericete è u disequzioe di secodo grdo che h per soluzioi x Geoetricete questi ueri soo rppresetili ell rett rele co u segeto che h puto edio sull'origie e coe estrei i puti ( ; 0) e ( ; 0) Voledo deterire il uero dei puti iteri del segeto, cotio l'origie degli ssi (1 puto) e poi, osservdo l prte positiv dell'sse x, u uero di puti copresi tr 0 e, cioè l prte iter di ; osservdo l prte egtiv dell'sse x il procedieto è logo e il uero dei puti è ugule Quidi l forul è: N 1 () = Esepio: x 2 15 N 1 (15) = = 1 + 2(3) = 7 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 7 1

2 x 2 co, R Il procedieto è logo l precedete e l forul è: N 1 (, ) = Esepio: 3x N 1 (14, 3) = = 1 + 2(2) = 5 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 5 x co, N Algericete è u disequzioe co u vlore ssoluto che h per soluzioi x Geoetricete questi ueri soo rppresetili ell rett rele co u segeto che h puto edio sull'origie e coe estrei i puti ( ) ( ) ; 0 e ; 0 Voledo deterire il uero dei puti iteri del segeto, cotio l'origie degli ssi (1 puto) e poi, osservdo l prte positiv dell'sse x, u uero di puti copresi tr 0 e, cioè ; osservdo l prte egtiv dell'sse x il procedieto è logo Quidi l forul è: N 1 (, ) = Esepio: 5 x 23 N 1 (23, 5) = = 1 + 2(4) = 9 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 9 x co, N e pri Algericete è u disequzioe di grdo che h per soluzioi x Geoetricete questi ueri soo rppresetili ) ( ell rett ) rele co u segeto che h puto edio sull'origie e coe estrei i puti ( ; 0 e ; 0 Voledo deterire il uero dei puti iteri del segeto, cotio l'origie degli ssi (1 puto) e poi, osservdo l prte positiv dell'sse x, u uero di puti copresi tr 0 e, cioè l prte iter di ; osservdo l prte egtiv dell'sse x il procedieto è logo Quidi l forul è: N 1 (,, ) = Esepio: 3x N 1 (200, 3, 6) = = 1 + 2(2) = 5 3 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 5 2

3 Due diesioi x 2 + y 2 co N L pri disequzioe che voglio risolvere è x 2 + y 2 Algericete doio trovre tutte le coppie itere di ueri l cui so dei qudrti si iore di Geoetricete, queste coppie, soo i puti iteri ll circoferez cetrt ell'origie e di rggio Voledo deterire il uero, dividio i puti coordite itere del cerchio: l'origie, i puti sugli ssi esclus l'origie e i puti restti Per quto rigurd i puti sugli ssi, si cosideri iizilete l seirett positiv dell'sse x: su di ess c'è u uero di puti pri ll prte iter del rggio ( ); l situzioe è log per l seirett egtiv dell'sse x e per le seirette positiv e egtiv dell'sse y Pertto il uero totle dei puti sugli ssi è quttro volte quello dei puti giceti solete sull seirett positiv dell'sse x, cioè 4 Per quto rigurd i restti puti cosiderio iizilete il 1 o qudrte: si oti che i puti che ho sciss = 1 giccioo sul segeto AB Esso h lughezz pri ll'ordit corrispodete x = 1 dell curv x 2 + y 2 Esplicitdol, y = 2 x 2 Il uero dei puti co sciss = 1 è pertto ugule 2 1 Allo stesso odo i puti co sciss = 2 soo 2 2 2, ecc Nel 1 o qudrte il uero dei puti è l so di tutti questi segeti: 4 ( ) k 2 L situzioe è log che per gli ltri tre qudrti L so totle dei puti o pprteeti gli ssi quidi è: ( ) k 2 3

4 Cocludedo il uero totle dei puti coordite itere che verico l disequzioe è: N 2 () = ( ) k 2 U ltro odo per cotre i puti o pprteeti gli ssi è quello di cosiderre il segeto AB coe cteto del trigolo rettgolo ABO co AO = 1 e ipoteus OB = Applicdo il teore di Pitgor ricvio che AB = 2 1 = 1 Clcolt quidi l lughezz di AB, si procede llo stesso odo per il segeto corrispodete ll'sciss = 2, ecc Si soo poi tutti i segeti e si procede loglete ll diostrzioe precedete Esepio: x 2 + y 2 15 N 2 (15) = ( ) 15 k 2 = 1 + 4(3) + 4( ) = 45 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 45 4

5 Co u liguggio qulsisi è possiile crere u ciclo che forisc i vlore di N 2 () dto u certo, per esepio i visul sic: x 2 + y 2 co,, N Algericete doio trovre tutte le coppie itere di ueri l cui so dei qudrti oltiplicti per i coecieti e si iore di Geoetricete, queste coppie, soo i puti iteri ll'ellisse cetrt ell'origie e co seisse orizzotle ugule e seisse verticle ugule Alogete l procedieto usto per il cerchio, voledo deterire il uero, dividio i puti coordite itere dell'ellisse: l'origie, i puti sugli ssi esclus l'origie e i puti restti Per quto rigurd i puti sugli ssi, si cosideri iizilete l seirett ( positiv ) dell'sse x: su di ess c'è u uero di puti pri ll prte iter del seisse orizzotle ; l situzioe è log per l seirett egtiv dell'sse x Per l seirett positiv dell'sse y il uero dei puti è pri ll 5

6 prte iter del seisse verticle Pertto il uero totle dei puti sugli ssi è 2 ( ) ; l situzioe è log per l seirett egtiv dell'sse y + 2 Per quto rigurd i restti puti cosiderio iizilete il 1 o qudrte: si oti che i puti che ho sciss = 1 giccioo sul segeto AB Esso h lughezz pri ll'ordit corrispodete x x = 1 dell curv x 2 + y 2 2 Esplicitdol, y = Il uero dei puti co sciss = 1 è 2 2 pertto ugule Allo stesso odo i puti co sciss = 2 soo, ecc Nel 1 o qudrte il uero dei puti è l so di tutti questi segeti: ( ) k 2 L situzioe è log che per gli ltri tre qudrti L so totle dei puti o pprteeti gli ssi quidi è: 4 ( ) k 2 6

7 Cocludedo il uero totle dei puti coordite itere che verico l disequzioe è: N 2 (,, ) = ( ) k 2 Esepio: 3x 2 + 5y 2 29 N 2 (29, 3, 5) = ( ) 29 3k 2 = 1 + 2(3) + 2(2) + 4(2 + 1) = 23 5 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 23 x + y co R + Algericete doio trovre tutte le coppie itere di ueri le cui soe dei vlori ssoluti si iore di Si risolve dividedo il prole i quttro csi che coducoo quttro rette: i vlori iteri risolvoo l disequzioe Geoetricete, queste quttro rette idividuo el pio crtesio u qudrto cetrto ell'origie, co i lti disposti 45 o e 45 o rispetto gli ssi I quttro vertici del qudrto soo (; 0), (0; ), ( ; 0) e (0; ) Alogete gli ltri procedieti precedeti, voledo deterire il uero, dividio i puti coordite itere dell'ellisse: l'origie, i puti sugli ssi esclus l'origie e i puti restti Per quto rigurd i puti sugli ssi, si cosideri iizilete l seirett positiv dell'sse x: su di ess c'è u uero di puti pri ll prte iter di ; l situzioe è log per l seirett egtiv dell'sse x e per le seirette positiv e egtiv dell'sse y Pertto il uero totle dei puti sugli ssi è quttro volte quello dei puti sull seirett positiv dell'sse x: 4 Per quto rigurd i restti puti cosiderio iizilete il 1 o qudrte: si oti che i puti che ho sciss = 1 giccioo sul segeto AB Esso h lughezz pri ll'ordit corrispodete x = 1 dell curv x + y Esplicitdol, y = x Il uero dei puti co sciss = 1 è pertto ugule 1 Allo stesso odo i puti co sciss = 2 soo 2, ecc Nel 1 o qudrte il uero dei puti è l so di tutti questi segeti: ( k) L situzioe è log che per gli ltri tre qudrti L so totle dei puti o pprteeti gli ssi quidi è: 4 ( k) Cocludedo il uero totle dei puti coordite itere che verico l disequzioe è: N 2 () = ( k) = ( k) k=0 7

8 U ltro odo per cotre i puti è vedere che ( k) = + ( 1) + ( 2) + + ( ) k=0 Applicdo l forul dell so dei prii ueri turli si ottiee che il uero dei puti iteri iteri è: ( + 1) Esepio: x + y 18 5 ( ) 18 N 2 = ( ) = 25 5 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 25 x + y co,, N Algericete doio trovre tutte le coppie itere di ueri le cui soe dei vlori ssoluti si iore di Si risolve dividedo il prole i quttro csi che coducoo quttro rette: i vlori iteri risolvoo l disequzioe Geoetricete, queste quttro rette ( idividuo el pio crtesio ) ( u roo cetrto ell'origie; I quttro vertici del roo soo ; 0, 0; ), ( ) ( ; 0, 0; ) 8

9 Alogete gli ltri procedieti precedeti, voledo deterire il uero, dividio i puti coordite itere dell'ellisse: l'origie, i puti sugli ssi esclus l'origie e i puti restti Per quto rigurd i puti sugli ssi, si cosideri iizilete l seirett positiv dell'sse x: su di ess c'è u uero di puti pri ll prte iter di ; l situzioe è log per l seirett egtiv dell'sse x Sull seirett positiv dell'sse y c'è u uero di puti pri, coe ell seirett egtiv dell'sse y Pertto il uero totle dei puti sugli ssi è : Per quto rigurd i restti puti cosiderio iizilete il 1 o qudrte: si oti che i puti 9

10 che ho sciss = 1 giccioo sul segeto AB Esso h lughezz pri ll'ordit corrispodete x x = 1 dell curv x + y Esplicitdol, y = Il uero dei puti co sciss = 1 è 1 2 pertto ugule Allo stesso odo i puti co sciss = 2 soo, ecc Nel 1 o qudrte il uero dei puti è l so di tutti questi segeti: ( k ) L situzioe è log che per gli ltri tre qudrti L so totle dei puti o pprteeti gli ssi quidi è: ( ) k 4 Cocludedo il uero totle dei puti coordite itere che verico l disequzioe è: N 2 (,, ) = ( k ) Esepio: 2 x + 3 y ( ) 2 4 k N 2 (4, 2, 3) = = 1 + 2(2) + 2(1) + 4(0) = Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 11 10

11 x + y h co,, N e, h pri Algericete doio trovre tutte le coppie itere di ueri che verico l disequzioe Geoetricete, queste coppie, soo i puti iteri d u geeric curv chius del pio cetrt ell'origie e co seisse orizzotle ugule e seisse verticle ugule h Alogete i procedieti precedeti dividio i puti coordite itere iteri: l'origie, i puti sugli ssi esclus l'origie e i puti restti Per quto rigurd i puti sugli ssi, si cosideri iizilete l rett positiv ( dell'sse ) x: su di ess c'è u uero di puti pri due volte l prte iter del seisse orizzotle Per l seirett ( ) h positiv dell'sse y il uero dei puti è pri due volte l prte iter del seisse verticle h Pertto il uero totle dei puti sugli ssi è Puti iteri 5x 8 + 9y Per quto rigurd i restti puti cosiderio iizilete il 1 o qudrte: si oti che i puti che ho sciss = 1 giccioo sul segeto che h lughezz pri ll'ordit corrispodete dell curv x [ Esplicitdol, y = h Il uero dei puti co sciss = 1 è pertto ugule ] h 2 Allo stesso odo i puti co sciss = 2 soo è l so di tutti questi segeti:, ecc Nel 1 o qudrte il uero dei puti ( ) h k L situzioe è log che per gli ltri tre qudrti L so totle dei puti o pprteeti 11

12 gli ssi quidi è: 4 ( ) h k Cocludedo il uero totle dei puti coordite itere che verico l disequzioe è: h N 2 (,,,, h) = ( ) h k Esepio: 5x 8 + 9y N 2 (947, 5, 9, 8, 4) = ( ) k 8 = 1+2(1)+2(3)+4(1+1+1) = 21 9 Pertto il uero di soluzioi itere che risolvoo l disequzioe è 21 (vedi gur sopr) 1 Tre diesioi x 2 + y 2 + z 2 co N L pri disequzioe che voglio risolvere è x 2 + y 2 + z 2 Algericete doio trovre tutte le tere di ueri iteri l cui so dei qudrti si iore di 12

13 Geoetricete queste tere si possoo pesre coe tutti i puti iteri d u sfer cetrt ell'origie di rggio Voledo deterire il uero, possio seziore l sfer co dei pii prlleli z = i co i = 0, 1, 2, o qudo il pio o itersec più l sfer, cioè o i = Le sezioi sro dei cerchi Quidi si osserv che per clcolre i puti iteri iteri ll sfer N 3 () si f uso del precedete clcolo dei ueri iteri iteri dei cerchi N 2 () Questo rgioeto si potrà estedere poi che per le successive diesioi Cerchio or l giust relzioe che leg N 3 co N 2 Per pri cos N 3 (0) cosiste i u solo puto iftti lgericete l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 0 h per soluzioe solo l ter (0; 0; 0) e geoetricete rppreset u sfer di rggio 0 Per clcolre N 3 (1) ovvero risolvere l disequzioe x 2 +y 2 +z 2 1 doio seziore l sfer di rggio 1 co i tre pii z = 1, z = 0 e z = 1 L sezioe otteut col pio z = 0 è u cerchio di rggio 1, lgericete è l disequzioe x 2 + y 2 1 e cioè N 2 (1) che coe io visto sopr è ugule 5 Le sezioi otteute co i pii z = 1 e z = 1 soo due cerchi di rggio 0, lgericete l disequzioe x 2 + y 2 0 e cioè N 2 (0) che 1Quidi N 3 (1) = N 2 (1) + 2 N 2 (0) = = 7 Per clcolre N 3 (4), per esepio, ovvero risolvere l disequzioe x 2 +y 2 +z 2 4 doio seziore l sfer di rggio 2 co i cique pii z = 0, z = ±1 e z = ±2 L sezioe otteut col pio z = 0 è u cerchio di rggio 2, lgericete è l disequzioe x 2 + y 2 4 e cioè N 2 (4) = 13 Le sezioi otteute co i pii z = 1 e z = 1 soo due cerchi di rggio 3, lgericete l disequzioe x 2 +y 2 3 e cioè N 2 (3) = 9 Le sezioi otteute co i pii z = 2 e z = 2 soo due cerchi di rggio 0, lgericete l disequzioe x 2 + y 2 0 e cioè N 2 (0) = 1 Quidi N 3 (4) = N 2 (4) + 2 (N 2 (3) + N 2 (0)) = (9 + 1) = 33 Voledo geerlizzre quidi otteio l seguete forul per il clcolo di N 3 (): { N 3 (0) = 1 N 3 () = N 2 () + 2 i=1 N 2 ( i 2 ), > 0 2 Quttro diesioi x 2 + y 2 + z 2 + t 2 co N L pri disequzioe che voglio risolvere è x 2 + y 2 + z 2 + t 2 Algericete doio trovre tutte le qutere di ueri iteri l cui so dei qudrti si iore di Geoetricete queste qutere si possoo pesre ( o rppresetre) coe tutti i puti iteri d u sfer i 4 diesioi (u 4-sfer) cetrt ell'origie di rggio Voledo deterire il uero, possio seziore l 4-sfer co dei pii prlleli t = i co t = 0, 1, 2, o qudo il pio o itersec più l 4-sfer, cioè o i = Le sezioi sro delle sfere i 3 diesioi Quidi si osserv che per clcolre i puti iteri iteri ll 4-sfer, cioè N 4 () si f uso del precedete clcolo dei ueri iteri iteri ll sfer si diesioe 3 (3-sfer), cioè N 3 () Cerchio or l giust relzioe che leg N 4 co N 3 Pri di tutto N 4 (0) cosiste i u solo puto iftti lgericete l disequzioe x 2 +y 2 +z 2 +t 2 0 h per soluzioe solo l quter (0; 0; 0; 0) e geoetricete rppreset u 4-sfer di rggio 0 Per clcolre N 4 (1) ovvero risolvere l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 + t 2 1 doio seziore l 4-sfer di rggio 1 co i tre pii t = 1, t = 0 e t = 1 L sezioe otteut col pio t = 0 è u 3-sfer di 13

14 rggio 1, lgericete è l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 1 e cioè N 3 (1) che coe io visto sopr è ugule 7 Le sezioi otteute co i pii t = 1 e t = 1 soo due 3-sfere di rggio 0, lgericete l disequzioe x 2 + y 2 + t 2 0 e cioè N 3 (0) che 1 Quidi N 4 (1) = N 3 (1) + 2 N 3 (0) = = 9 Per clcolre N 4 (4), per esepio, ovvero risolvere l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 + t 2 4 doio seziore l 4-sfer di rggio 2 co i cique pii t = 0, t = ±1 e t = ±2 L sezioe otteut col pio t = 0 è u 3-sfer di rggio 2, lgericete è l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 4 e cioè N 3 (4) = 33 Le sezioi otteute co i pii t = 1 e t = 1 soo due 3-sfere di rggio 3, lgericete l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 3 e cioè N 3 (3) = 27 Le sezioi otteute co i pii t = 2 e t = 2 soo due 3-sfere di rggio 0, lgericete l disequzioe x 2 + y 2 + z 2 0 e cioè N 3 (0) = 1 Quidi N 3 (4) = N 2 (4) + 2 (N 2 (3) + N 2 (0)) = (9 + 1) = 33 Voledo geerlizzre quidi otteio l seguete forul per il clcolo di N 4 (): { N 4 (0) = 1 N 4 () = N 3 () + 2 i=1 N 3 ( i 2 ), > 0 Possio ie costruire u forul utilizzile per u diesioe d > 2 geeric: { Nd (0) = 1 N d () = N d 1 () + 2 ( i=1 N ) d 1 i 2, > 0 Co u liguggio di progrzioe possio costruire u tell che forisce tutti gli N d () Presetio l tell o ll diesioe 5 dei prii 20 vlori ed il reltivo codice i visul sic: 14

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