. La n a indica il valore assoluto della radice.

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1 RADICALI Defiizioe: U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico. Esempio:, 0, π Per clcolre il vlore pprossimto di u espressioe coteete rdici coviee mipolre l espressioe per ridurre l mssimo il umero di rdici; questo puto si sostituisce il vlore pprossimto delle rdici rimste, quidi si clcol il vlore pprossimto dell iter espressioe. Le rdici qudrte di u umero soo tutti i umeri che, elevti l qudrto, do come risultto il umero. Esempio: Le rdici qudrte del umero 9 soo + e -. Si vrà, quidi, che Co il simbolo 9 si idic l rdice positiv,. l è defiit per 0; 0 ( ) L rdice cubic di u umero. Si vrà quidi ( ), R R è quel umero che, elevto ll terz, d. Le rdici -esime di u umero { 0} N è detto idice dell rdice, è detto rdicdo R soo quei umeri che, elevti d, do. Se è pri, l rdice -esim di è defiit solo per 0; l rdice -esim di h due vlori reli: + e. L idic il vlore ssoluto dell rdice. Se è dispri, l rdice -esim di è defiit per ogi pprteete d R ( R ). L h u solo vlore. L rdice -esim è che dett rdicle -esimo.

2 LE POTENZE AD ESPONENTE RAZIONALE Cosidero : so che ( ). Voglio esprimere come potez di, cioè Elevo tutto l qudrto: x. Eguglio gli espoeti: Quidi posso cocludere che ( ) x ( ) x x x, R, 0 I geerle m e Si dice potez d espoete rziole di u umero R, co 0, m co m Z, Z, 0 m m ( ) m,

3 PROPRIETA INVARIANTIVA DEI RADICALI Moltiplicdo o dividedo per uo stesso umero turle diverso d zero l idice di u rdicle e l espoete del suo rdicdo si ottiee u rdicle equivlete quello di prtez. m p mp, co 0,, m, p N { 0} L proprietà ivritiv viee ust: per ridurre due rdicli llo stesso idice, qudo si moltiplico ed m per uo stesso umero per semplificre u rdicle, qudo si dividoo ed m per uo stesso umero. RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE Esempio: Riducimo llo stesso idice i rdicli e 8. Come idice comue possimo scegliere il m.c.m. tr gli idici dei rdicli dti (,8) 6 m. c. m.. Utilizzdo l proprietà ivritiv: L riduzioe di rdicli llo stesso idice è utile per effetture lcue moltipliczioi e divisioi tr rdicli e per cofrotre rdicli co idici diversi. Esempio: Cofrotimo i rdicli e. Riducimo i due rdicli llo stesso idice; come idice comue sceglimo il (,) m. c. m.. 6 Dto che 6 > possimo cocludere che >. SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI I geerle si può cercre di semplificre u rdicle scompoedo i fttori primi il rdicdo e dividedo, se possibile, si l idice dell rdice, si l espoete del rdicdo per u fttore comue. Esempio: Semplifichimo 9 6. Scompoimo i fttori primi il rdicdo: Dividimo l idice dell rdice 9 e l espoete del rdicdo 6 per u divisore comue, d esempio il. C. D. ( 9,6) M : 9 6 9: 6:

4 OPERAZIONI FRA RADICALI PRODOTTO E QUOZIENTE TRA RADICALI AVENTI LO STESSO INDICE Il prodotto di rdicli veti lo stesso idice è u rdicle che h come idice lo stesso idice e come rdicdo il prodotto dei rdicdi. b b Esempio: Il quoziete di rdicli veti lo stesso idice è u rdicle che h come idice lo stesso idice e come rdicdo il quoziete dei rdicdi. 8 8 Esempio: b b PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI CON INDICI DIVERSI Per moltiplicre o dividere rdicli veti idici diversi bisog prim ridurli llo stesso idice (pplicdo l proprietà ivritiv) e poi procedere come el prgrfo precedete. POTENZA DI RADICALI L potez di u rdicle è u rdicle che h come rdicdo l potez del rdicdo e come idice l idice di prtez. Esempio: ( ) m m ( ) TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE Cosidero il rdicle. Fttorizzo il rdicdo Scompogo il rdicle otteuto el prodotto tr due rdicli

5 Semplifico il primo rdicle Rissumedo sego di rdice. I geerle vle l ugugliz ho trsportto il fttore fuori dl x k y k x y, co, k N { 0}, x 0, y 0 TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI RADICE E il procedimeto iverso quello del prgrfo precedete. Esempio: I geerle vle l seguete regol co x ed y quluque, se è dispri; x 0, y 0 se è pri Esempi: 8 x y x y, 8 ADDIZIONI E SOTTRAZIONI FRA RADICALI Due o più rdicli si dicoo simili qudo ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. Ad esempio i rdicli soo simili perché ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. E possibile sommre o sottrrre rdicli simili, utilizzdo l proprietà distributiv. Esempio: + ( + ) 6 Esempio: + Appretemete i due rdicli o soo simili + Estredo il fttore dll secod rdice divet possibile eseguire l somm

6 L somm tr rdicli è simile quell tr moomi, che può essere eseguit solo se i moomi ddedi soo simili tr loro. RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI Rziolizzre u espressioe sigific trsformrl i u equivlete che o coteg rdicli deomitore. Il cso più semplice di espressioe d rziolizzre è quello i cui deomitore compre solo u rdice qudrt. Per rziolizzre il deomitore si devoo moltiplicre umertore e deomitore per l rdice presete deomitore. Esempi: