1^ Lezione. Matrici e determinanti. Operazioni tra matrici. Proprietà delle matrici. Determinante. Proprietà dei determinanti.

Transcript

1 Corso di Geometri e lgebr Liere: Mtrici e Determiti 1^ Lezioe Mtrici e determiti. Operzioi tr mtrici. Proprietà delle mtrici. Determite. Proprietà dei determiti.

2 MTRICI E DETERMINNTI Si defiisce mtrice co otzioe m u isieme ordito di elemeti (umeri reli) disposti per righe (idice m) disposti per coloe (idice ). Per idicre correttmete u mtrice di m-righe ed -coloe scriveremo : { i j} m m righe coloe co i j che idico gli elemeti dell mtrice (umeri reli). llo stesso modo gli idici (ij) idico l posizioe dell elemeto rispettivmete ll i-esim rig ed ll j-esim colo. U mtrice m l oteremo per esteso come segue : m m1 m 2... m oppure i form comptt m [ i j ] ricorddo che potremo usre l pretesi qudr e llo stesso modo l tod. Ricordimo ioltre che gli idici m idico quelle che oi chimeremo le dimesioi dell mtrice. qudrte m Le mtrici si possoo clssificre i : rettgolri m U mtrice qudrt duque l si potrà rppresetre : ( i j )

3 idicdoe per esteso l su rppresetzioe : Gli elemeti costituiscoo quell che si chim digole priciple e quidi li chimeremo elemeti digoli ( o pricipli ). llo stesso modo gli elemeti formo l digole secodri. Dte due mtrici ( ) B ( b ) m i j m i j si dicoo uguli se e solo se : b i j R i j i j Dt u mtrice m ( i j ) ed u mtrice Bm ( bi j ) trspost di se : b i j i j quest ultim si dice e si idic co t e vrà come righe le coloe di e come coloe le righe di. Dt u mtrice ( ) ess viee defiit come vettore rig. llo stesso modo viee defiit come vettore colo.

4 Per MTRICE TRINGOLRE si itede quell mtrice tle che : i j i j 0 > i < j i cui tutti gli elemeti soprstti o sottostti l digole priciple soo ulli. Nel cso specifico se i j 0 co i > j l mtrice si dice trigolre lt ; se ivece i j 0 co i < j l mtrice è dett trigolre bss. Per MTRICE DIGONLE ( i j ) itederemo quell mtrice tle che : i j i j 0 0 co i i j j Per MTRICE UNITÀ (o idetic) I ( i j ) itederemo u mtrice tle che : i j i j 0 1 co i i j j I

5 Per MTRICE SIMMETRIC ( i j ) si itede quell mtrice tle che : co i j e per l qule. i j j i t Es OPERZIONI TR MTRICI Per somm e differez tr due mtrici m ( i j ) Bm ( bi j ) l mtrice Cm ( i j ± bi j ) così otteut : itederemo m m ± B m b11 b12... b b1 b 2... bm C m 11 ± b11 12 ± b ± b ± b 1 2 ± b 2... ± b m m co ovvi cosiderzioe : l somm e l differez di mtrici è possibile se e solo se le mtrici soo dell stess dimesioe ( stesso di righe stesso di coloe ).

6 Per prodotto di uo sclre ( K R ) per u mtrice m ( i j ) mtrice i cui elemeti vegoo tutti moltiplicti per K. si itede quell k ( ki j ) m m k11 k12... k1 k k... k km1 km2... km Es. k k Se k 1 il prodotto di k per u mtrice m ( i j ) ci dà u mtrice m ( i j ) dett oppost di m ( i j ) cioè tle che + ( ) 0 (mtr. Null). Prodotto di mtrici Dte due mtrici m ( i j ) B p ( bi j ) B u mtrice Cm p ( ci j ) di B. oi itederemo come prodotto delle due mtrici che vrà lo stesso di righe e lo stesso di coloe Il prodotto deomito righe coloe srà possibile se e solo se il di coloe di è ugule l di righe di B. vremo quidi : B C ( c i j ) m p m p co c 1b1 + 2b b i j i j i j i j

7 che si può sitetizzre trmite il simbolo di sommtori : c b i j ir rj r Es. Dte le mtrici B clcolre il prodotto : Si vrà che B C c c c c c c co : c 11 ( 2) ( 1) + ( 0) ( + 2) + ( 2) ( + 1) 0 c 12 ( 2 ) ( + 1) + ( 0) ( 2) + ( 2) ( 1) 0 c ( 2) ( 0) + ( 0) ( 3) + ( 2) ( + 1) c ( 2) ( + 1) + ( + 1) ( 2) + ( + 3) ( 1) c ( + 2 ) ( 1) + ( + 1) ( + 2) + ( + 3) ( + 1) + 3 c ( + 2 ) ( 0) + ( + 1) ( 3) + ( + 3) ( + 1) quidi srà : C PROPRIET DELLE MTRICI Nell isieme delle mtrici M soo vlide le segueti proprietà: 1) (+B)+C +(B+C) ( prop. ssocitiv ) 2) ( esistez elemeto eutro ) 3) + (-) (-)+ O ( esistez elemeto opposto ) 4) +B B+ ( proprietà commuttiv ) 5) 1 ( opertore uità ) 6) h ( k ) ( hk) ( propr. ssocitiv mist )

8 7) ( h + k) h + k ( prop. distribut. rispetto ll somm di sclri ) 8) h (+B) h + h B ( prop. distribut. rispetto ll somm di mtrici ) quluque sio le mtrici B C e gli sclri h k. DETERMINNTE di u mtrice Per determite di u mtrice itederemo quel vlore umerico (e quidi u umero rele) espresso d u isieme di operzioi poliomili dettte d tutti gli elemeti dell mtrice. Nel cso più specifico esmiimo i determiti di lcui ordii di mtrici. Determite di u mtrice di ordie 1. [ ] det quidi il determite di u mtrice del 1 ordie è dto direttmete dl vlore espresso dll uico suo elemeto. Determite di u mtrice di ordie det

9 il determite di u mtrice del 2 ordie è dto dll differez dei prodotti degli elemeti che costituiscoo rispettivmete l digole priciple ( 1122 ) e l digole secodri ( 21 ). 12 Determite di u mtrice di ordie 3. Ci si può vvlere di due metodi di clcolo. 1) METODO DI SRRUS ( vlido esclusivmete per mtrici co 3 ) 2) METODO GENERLE ( secodo lo sviluppo di u lie dell mtrice ) Clcolimo quidi il det 3 medite il metodo di Srrus. det ( ) ( ) det Tle metodo cosiste quidi el riportre prllelmete ll 3^ colo le prime due ed eseguire l somm delle tre digoli pricipli lle quli viee sottrtt l somm delle tre digoli secodrie. Es. Clcolre il determite :

10 Det ( ) ( 3 8) Il METODO GENERLE ( Lplce - secodo lo sviluppo di u su lie ) per il clcolo di u determite è u metodo di vlidità geerle ossi per mtrici di quluque ordie. Esso si fod sull scelt rbitrri di u lie ( di solito è coveiete quell co il mggior umerodi zeri ) che viee sviluppt elemeto per elemeto cosiderdo il cmbio di sego oppure o secod dell posizioe dispri o pri dell elemeto cosiderto. Lo sviluppo si bs sull somm dei prodotti di ciscu elemeto dell lie per il corrispodete complemeto lgebrico ossi u sottomtrice ( dett che miore ) che si ottiee dll soppressioe dell i-esim rig e j-esim colo cui pprtiee l elemeto stesso. Visulizzdo tle metodo vremo: ( scegliedo per es. l prim rig ) det complemeto lgebrico Il sego di ogi elemeto è stbilito dll posizioe ( 1) i+ j.

11 Clcolre il determite di 4 : det det 4 + 1( ) + 2( ) + 3( ) 2( ) det 4 ( ) 18 Notimo che se riuscimo d otteere il mggior di zeri i u lie dell mtrice iizile il clcolo del determite è sicurmete più semplice. L zzermeto di elemeti di u lie i u mtrice si ottiee trmite quelle che vegoo defiite come operzioi elemetri di liee. Tli operzioi vegoo defiite d: ) somm e differez di liee (rig o colo) b) moltipliczioe di uo sclre ( R k 0) c) scmbio di liee. k per u lie

12 ) Per somm o differez di due liee itederemo cor u lie che vrà come elemeti l somm o l differez dei rispettivi elemeti. b) Per moltipliczioe di uo sclre k per u lie itederemo cor u lie che vrà come elemeti il prodotto di k per ogi elemeto dell lie. Fccimo quidi vedere trmite quest serie di operzioi come il clcolo del determite dell esempio precedete si più semplice e più veloce. Clcolre il determite: Dl mometo che l scelt dell lie è rbitrri oi possimo predere u rig o u colo qulsisi. Per esempio cosiderimo l 3^ rig (vi è già u elemeto ullo uo zero) Per ullre d esempio il primo elemeto (+3) possimo moltiplicre per (-3) l prim rig e quidi i sostituzioe dell 3^ rig l somm dell stess co l 1^ ^ ri 3 1^ ri 3 ^ ri 3^ ri+ 1^ ri

13 I questo modo si può otre come vedo ullto il primo elemeto dell terz rig o bbimo vuto u effettivo vtggio i quto ci ritrovimo co u solo zero su u lie come ll iizio. Quidi importte srà lvorre d esempio sempre co l 3^ rig m i modo tle che si ottego ltri zeri oltre quello iizile ^ 3 4^ 4^ 1^ + 4^ 1^ ( + 2) 3^ ( + 3) col col col col col col col e di qui clcoldo il reltivo determite co il metodo geerle scegliedo evidetemete come lie rbitrri l 3^ rig vremo che: det e di qui ricorddo che ei vri pssggi bbimo complessivmete moltiplicto per ( 3) ( + 2) ( + 3) 18 e che quidi per l ssolut equivlez divideremo per 18 otteimo ifie ( ) ( 18 ) 18 come dovev essere.

14 PROPRIET DEI DETERMINNTI ) l mtrice trspost di u dt h lo stesso determite dell dt. b) se u mtrice h u lie tutt ull il suo determite è ullo. c) scmbido due liee prllele (rig co rig colo co colo) di u mtrice il suo determite cmbi solo di sego. d) se i u mtrice due liee prllele soo uguli (stessi elemeti) il suo det. è ullo. e) se i u mtrice due liee prllele soo proporzioli il suo determite è zero. f) se i u mtrice si sposto prllelmete se stesse di -posti due liee il determite rime ivrito o cmbi di sego secod che si pri o dispri. g) se i u mtrice gli elemeti di u su lie vegoo moltiplicti per uo sclre k che il determite rime moltiplicto per k. Miore complemetre e complemeto lgebrico di u mtrice Dt u mtrice chimeremo miore complemetre di u suo elemeto h k il determite di ordie -1 che si ottiee sopprimedo dll mtrice dt l rig h-esim e l colo k-esim. Es miore complemetre di 11 Chimeremo ltresì complemeto lgebrico dell elemeto h k il determite di ordie -1 come sopr idicto co il rispettivo sego.

15 Es. ( 1) complemeto lgebrico di 11 Possimo duque rissumere dicedo che il determite di u mtrice è dto dll somm dei prodotti degli elemeti di u lie per i corrispodeti complemeti lgebrici.