a ij Indice di riga Indice di colonna Def. Matrice Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n)

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1 MTRICI: definizioni Considerimo delle tbelle di numeri, in cui ci si imbtte spesso in molti problemi di mtemtic o di scienze pplicte. Tle tbelle hnno un doppio ordinmento, per righe e per colonne, utilizzeremo i seguenti simboli: Α m m n n mn ij ij ij i,,m j,,n ij R Indice di rig Indice di colonn Def. Mtrice Tbell costituit d m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o m,n Def. Vettore Rig Tbell costituit d righe ed n colonne. Si dice di tipo x n o,n Def. Vettore Colonn Tbell costituit d m righe ed colonne. Si dice di tipo m x o m, Def. Mtrice Qudrt Tbell costituit d un numero di righe ugule l numero di colonne. Se tle numero è n l mtrice è dett di qudrt di ordine n.

2 MTRICI: definizioni Def. Digonle principle Gli elementi di un mtrice qudrt che hnno uguli il numero di rig e di colonn costituiscono l digonle principle dell mtrice. Digonle Principle Α n n n n nn Digonle Secondri Def. Uguglinz di Mtrici Due mtrici e B sono uguli se hnno lo stesso numero di righe e di colonne e se sono uguli gli elementi di ugule posto. Α B ij b ij i,., m j,., n

3 MTRICI: definizioni Def. Mtrice Trspost L mtrice trspost dell mtrice è l mtrice che si ottiene scmbindo le righe con le colonne di. Verrà indict con t. Α T Α Def. Mtrice Simmetric Dt un mtrice qudrt l mtrice è dett simmetric qundo risult: T. T Α Α T ij ji Α Α B T B

4 MTRICI: definizioni Def. Mtrice Emisimmetric Dt un mtrice qudrt l mtrice è dett emisimmetric qundo risult: - T. Α Α T Α T Α ij ji Def. Mtrici Simili Due mtrici e B sono dette simili se hnno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. Α ij B b ij i,., m j,., n

5 5 MTRICI: definizioni 5 Def. Mtrice Tringolre Dt un mtrice qudrt l mtrice è dett tringolre qundo sono nulli tutti gli elementi sotto l digonle principle mtrice tringolre lt o sopr l digonle principle mtrice tringolre bss. Α Def. Mtrici Digonle Un mtrice è dett digonle se sono nulli tutti gli elementi fuori dll digonle principle. Α mtrice tringolre lt mtrice tringolre bss Α Mtrice digonle

6 Operzioni: Mtrice Somm Def. Mtrice Somm Dte due mtrici simili e B chimimo somm di e B l mtrice C così definit: Α C B Α B Proprietà dell Somm c b ij ij ij B C 5 ssocitiv Commuttiv Elemento Neutro Elemento Simmetrico B C Α B C Α Α B B : Α, : Α Gruppo belino Def. Mtrice Zero Mtrice è l mtrice con tutti gli elementi uguli. con i j ij ij, Def. Mtrice Oppost L mtrice - oppost dell mtrice simmetric rispetto ll somm è l mtrice con tutti gli elementi opposti gli elementi di. ij con ij 6

7 Operzioni: Prodotto di un mtrice per uno sclre Def. Dt l mtrice e lo sclre k, l mtrice Ckk è così definit: Α k C k Α k c ij k ij k C 6 Proprietà del prodotto Mtrice per Sclre Α k h Α k h k Α B k kb k hα kh 8 Not L insieme delle mtrici di tipo m x n costituisce, con le due operzioni ppen definite di somm e prodotto per uno sclre, uno Spzio Vettorile. 7

8 8 Operzioni Es. Un mtrice può essere scritt come somm di un mtrice simmetric e di un mtrice emisimmetric Α T S T E E S / / S 5/ 5/ E T Α

9 9 Operzioni: Moltipliczione di due mtrici righe per colonne Def. Mtrici Conformbili Si considerino due mtrici e B tli che si di tipo m x n e B si di tipo n x p cioè numero di colonne di si ugule l numero di righe di B. Le mtrici e B, sifftte, sono dette CONFORMBILI. Def. Prodotto righe per colonne Dte due mtrici di tipo m x n e B di tipo n x p, conformbili, si chim prodotto dell mtrice per l mtrice B, l mtrice C che srà di tipo m x p così definit:. n k kj ik ij b c B Α C p j m i,.,,., Es

10 Operzioni: Moltipliczione di due mtrici Es Not : Il prodotto non è commuttivo B B Not : Mtrici diverse dll mtrice possono dre l mtrice come prodotto. Mtrici sifftte sono dette DIVISORI DELLO ZERO.

11 Operzioni: Moltipliczione di due mtrici Not : Non vle l legge dell Cncellzione del Prodotto: BC non implic BC non si può semplificre l C B C B 6 5 B 6 5 C Rissumendo: Non vle in generle l proprietà commuttiv B può essere con o B Se BC può essere B C nche se è Se BC può essere B C nche se è

12 Operzioni: Moltipliczione di due mtrici Proprietà: Il prodotto di mtrici è ssocitivo: B C B C Proprietà: Il prodotto di mtrici è distributivo rispetto ll somm si destr che sinistr: B C C B C D EF D E D F Purchè e B sino conformbili con C; D si conformbile con E ed F. Es. Dte le mtrici x,b,c si verifichi che: t t t B B B C C BC B C B C Α B C 6 t t t B B B C B C 6 B C C BC 5

13 Operzioni: Determinnte di un mtrice qudrt Il determinnte di un mtrice qudrt è uno sclre ssocito ll mtrice. Dremo solo le regole per il clcolo e non i dettgli di definizione. Determinnte di un mtrice qudrt di ordine è l elemento stesso. Determinnte di un mtrice qudrt di ordine. c b d det d-bc Considerimo or un mtrice qudrt di ordine n. Α n n n n nn Def. Minore Complementre Si chim minore complementre dell elemento ij dell mtrice, e si indic con M ij il determinnte dell mtrice ottenut cncellndo l rig i-esim e l colonn j-esim dll mtrice.

14 Operzioni: Determinnte di un mtrice qudrt M det M det - Def. Complemento lgebrico Si chim complemento lgebrico dell elemento ij dell mtrice, il numero: ij i j M ij Not M - i j se i j é pri - i j se i j é dispri M i j -

15 Operzioni: Determinnte di un mtrice qudrt Determinnte di un mtrice qudrt di ordine n> Il determinnte di un mtrice qudrt si può ottenere dll somm dei prodotti degli elementi di un qulunque line rig o colonn per i loro complementi lgebrici Prim regol di Lplce. In formule: fissndo l rig k k n bbimo: det. Oppure fissndo l colonn k k n bbimo: Es. k k Clcolimo i complementi lgebrici dell prim rig: k k det. det k k k k kn nk kn nk Es. Se si moltiplicno i complementi lgebrici di un line per gli elementi di un line prllel si ottiene sempre zero Second regol di Lplce 5

16 6 Operzioni: Determinnte di un mtrice qudrt Es. Clcolimo i complementi lgebrici dell second colonn: 5 det Es. Regol di Srrus solo per mtrici x

17 7 Operzioni: Determinnte di un mtrice qudrt 5 5 Es. det 5 det - det Sviluppndo il determinnte sempre sull prim colonn bbimo: 5 det 5 det 5 5 det det 5 det 5 det det det det

18 8 Proprietà Determinnte Proprietà. Se h un colonn od un rig di zeri det Si un mtrice n x n : Proprietà. Scmbindo due righe o due colonne il determinnte cmbi di segno Proprietà. Se h due righe o due colonne uguli det 6 5 det B det B 6 det B 6 det B det

19 Si un mtrice n x n : Proprietà Determinnte Proprietà. Il determinnte è un funzione linere di ciscun rig o colonn : Esemplificndo sull prim colonn: b n n b b n n b det det det n bn n nn n n nn bn n n n nn dditività det 6 B det B C det C 5 9

20 Si un mtrice n x n : Proprietà Determinnte Proprietà. Il determinnte è un funzione linere di ciscun rig o colonn : Esemplificndo sull prim colonn: k k det k n n n n nn k det n n n n nn omogeneità det 6 B det B

21 Proprietà Determinnte. Proprietà 5. Se d un rig colonn si ggiunge un qulunque combinzione linere delle ltre righe colonne il determinnte non cmbi B ll prim colonn è stt ggiunt l combinzione linere dt d: *second colonn-terz colonn 6 det B

22 Proprietà Determinnte. 5 Proprietà 6. Se e solo se le righe colonne di sono combinzione linere delle ltre righecolonne ** llor det L terz rig è così ottenut: *prim rig*second rig det ** ltr formulzione : «Se e solo se le righe colonne di sono vettori linermente dipendenti ** llor det» Due vettori V e V sono linermente dipendenti se esistono due sclri α e α non entrmbi nulli tli che: α V α V. n vettori V V n sono linermente dipendenti se esistono n sclri α. α n non

23 Proprietà Determinnte. 6 Proprietà 7. Se è un mtrice tringolre o digonle llor Proprietà 8 nn det det det n k k B 9 C 9 det det det C B k B 8 6 det B

24 Proprietà Determinnte. 7 Proprietà 9 teorem di Binet. det det det B B 7 7 det 6 det 7 7 det

25 5 Proprietà Determinnte 8 Es. Utilizzo precedenti proprietà per il clcolo del determinnte det Sottrggo ll prim rig il doppio dell second, sostituisco ll prim rig il risultto 6 5 det 5 5 det 6 det Sommo ll prim colonn il triplo dell second, sostituisco ll prim colonn il risultto det det

26 Proprietà Determinnte 9 Ricpitolndo : Determinnte e operzioni lgebriche: B det det B det det det n k k det B det det B 6

27 Minori e Rngo di un mtrice. Def. Minore Si chim minore di ordine p di un mtrice il determinnte di un qulsisi sottomtrice qudrt di ordine p estrtt d. Not L estrzione vviene sopprimendo un determinto numero di righe ed un determinto numero di colonne dll mtrice originri. Es.,, 7, 7 Minori di ordine, Minori di ordine Minori di ordine Def. Rngo o Crtteristic Si chim rngo o crtteristic di un mtrice il mssimo ordine dei minori non nulli Es. Nell esempio precedente, l mtrice può vere l mssimo rngo. Due sottomtrici di ordine hnno determinnte nullo nlizzimo le ltre due:. 7 Tutti i minori di ordine tre sono nulli llor il rngo è minore od ugule due. Poiché esiste lmeno un minore di ordine due diverso d zero il rngo è 7

28 Mtrice Identità Considerimo l insieme di tutte le mtrici qudrte di ordine n. Def. Mtrice Identità Si chim mtrice identità o mtrice identic rispetto l prodotto di mtrice un mtrice I n tle che: I I n n Not Tle mtrice deve essere di ordine n e costituisce l elemento neutro rispetto ll moltipliczione di mtrici. Ess è unic per l insieme delle mtrici qudrte di ordine n: è l mtrice digonle con tutti gli elementi dell digonle ugule gli ltri sono zero!. In simboli: I i,j,,n n ij Simbolo di KROENECKER: ij se se i i j j 8

29 Mtrice Identità Teo In ij i, j,,n È mtrice identità di ordine n I I n n Dim Si B In llor: b n ij ik kj ij k B Note Simbolo di KROENECKER: ij se se i i j j 9

30 Mtrice Identità Per un mtrice qudrt di ordine, determinre l mtrice identità signific, in generle, risolvere il seguente sistem di equzioni lineri: Posto: c b d X X x x x x bbimo: I x x cx cx bx bx dx dx b c d x x x x

31 Mtrice Invers Per un mtrice qudrt di ordine, determinre l invers signific, in generle, risolvere il seguente sistem di equzioni lineri: Posto: bbimo: c b d X X I x x x x I I x bx x bx cx dx cx dx d x d bc b x d bc c x d bc x d bc - d b det c

32 Mtrice Invers Def. Mtrice Invers Si chim mtrice invers dell mtrice l mtrice - che moltiplict destr o sinistr per d come risultto l mtrice identità I : I n Teorem Condizione necessri e sufficiente ffinché esist l mtrice - invers dell mtrice è che det. Def. Mtrice Singolre Un mtrice si dice SINGOLRE se det. Teorem L mtrice - invers dell mtrice non singolre si trov fcendo: L trspost dell mtrice dei complementi lgebrici di divis per il determinnte di. In prtic Prtendo d, mtrice non singolre: Si ottiene l mtrice dei complementi lgebrici Si trspone tle mtrice ottenendo l mtrice ggiunt di Si divide per il determinnte di

33 Mtrice Invers Es. det * Mtrice complementi lgebrici * T Trsposizione mtrice ggiunt divido per det / / det * t Verific: / / I

34 Mtrice Invers Es. det det * Mtrice complementi lgebrici Trsposizione divido per det Verific: Sviluppo il determinnte sull second colonn * t / / / det * t / / / I

35 Conclusioni Considerto l insieme di tutte le mtrici qudrte di ordine n, il sottoinsieme dell mtrici NON SINGOLRI indicto con GLn costituisce un gruppo rispetto ll moltipliczione. Tle gruppo è non commuttivo non belino: sono soddisftte le seguenti proprietà: Intern: ssocitiv: Elemento neutro: Elemento simmetrico: Α B GL n, Α, B GL n Α B C B C I GL n : Α I I n Α, Α : Α Α Α Α n n I n 5

36 Proprietà: Rissunto Es. Trsposizione ed Operzioni lgebriche T Α T Α T T T Α B Α B T T kα kα T T T Α B B Α Es. Inversione ed Operzioni lgebriche Α Α T Α T Α Α B B Α Es. Non commuttività e Simmetri Α B Α B B B Α B B Α B Α B Α BΑ ΑB B Α B T Α mtrice simmetric S S E E T Α mtrice emisimmetric T Α simmetric S mtrice 6

37 Sistemi Lineri e Mtrici Sistem Linere di m equzioni in n incognite in form normle: Form mtricile: m m.... x x nxn b x x nxn b. mx mx mnxn b n n mn Mtrice dei coefficienti x x x. x n m Vettore incognite b b b. b m Vettore termini noti x b In generle non si può dre l lgoritmo di soluzione m solo indicre se ci sono o meno soluzione l sistem teorem di Rouché-Cpelli ; tuttvi se il numero delle equzioni è ugule l numero delle incognite llor l mtrice dei coefficienti è qudrt e possimo rgomentre qunto segue: 7

38 8 Sistemi Lineri e Mtrici x b Se l mtrice non è singolre llor esiste invers -. Possimo llor scrivere: b x bbimo dunque che il vettore soluzione è unico e si ottiene moltiplicndo l mtrice invers di per il vettore dei termini noti b. b x Es. x x x x x x x x x x b / / 6 / / / / / / / det b x

39 Mtrici e Trsformzioni nel Pino R Le mtrici possono essere utilizzte per rppresentre trsformzioni funzioni prticolri d R d R : f : R R tle che x, y x', y' In prticolre lcune funzione possono essere rppresentte d mtrici: per fr ciò utilizzimo gli elementi di R come vettori: x' y' c bx d y x by cx dy x' x by y' cx dy d esempio Simmetri rispetto sse x S x Simmetri rispetto sse y S y Simmetri rispetto Bisettrice I-III S xy Simmetri rispetto ll Origine S O 9

40 Mtrici e Trsformzioni nel Pino R Rotzione cos sin sin cos R R Diltzione D α,β R S O / / / / 6 R / / / / R R I / / / / R

41 Mtrici e Trsformzioni nel Pino R Es. Rotzione di un vettore in coordinte polri sin cos V sin cos sin cos cos sin sin cos RV Es. Rotzione Invers R R cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos Es. Rotzioni Composte cos sin sin cos cos sin sin cos R R R cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos

42 Mtrici e Trsformzioni nel Pino R Es. Potenze di Mtrici R R k k 6 R R R R R R

43 Mtrici: ppliczioni / Es. SUCCESSIONE ECOLOGIC: UN CSO SEMPLICE Supponimo di osservre un re di ettri di pludi, e che ess inizilmente si completmente sommers. Ogni nni, il 5% delle ree sommerse diventno sture, il % di quelle sture diventno sciutte, e tutti gli ettri sciutti rimngono tli. Dopo nni, qule porzione di terreno è sommerso, qule sturo, e qule sciutto? E dopo nni? Soluzione: costruimo innnzitutto il vettore che rppresent l composizione frzionle dei ettri di plude: Usimo come nomi delle clssi: sommerso, sturo m non sommerso, e sciutto. Se u proporzione di plude sommers o sott cqu, s proporzione di plude che non è sommers m è stur di umidità, e d proporzione di plude sciutt, l composizione del vettore v che rppresent le pludi costiere srà: Se l tempo t, il 65% dei terreni sono sommersi, il % sturi, e il 5% sciutti, llor potremmo scrivere : Dopo nni, l proporzione di plude sommers rimnente, u, è l mmontre con cui simo prtiti, u % dell re sommers meno il 5%.5 che divent sturo, cioè

44 Mtrici: ppliczioni / Perciò, dopo nni,.95, o 95% dei terreni sono sommersi. Siccome l re totle è di ettri, dopo nni 95 ettri sono sommersi. Dopo nni l proporzione di plude stur rimnente, s, è l mmontre inizile, s meno il %. che divent sciutto più il 5% dell prte sommers che divent stur, cioè Quindi dopo nni.5 o il 5% dei terreni è sturo cioè 5 ettri. Dopo nni, l proporzione di suolo sciutto, d, è l mmontre inizile, d più il % di plude stur che divent sciutt. Ricordimo che un re che divent sciutt lo rimne, non c è trsferimento di suolo sciutto verso un ltro tipo. Mtemticmente Scrivimo: Di conseguenz, dopo nni, non ci sono ncor ettri sciutti nei nostri ettri di terreno. Quindi, dopo nni, il vettore che rppresent l composizione dei ettri di plude è: Cos succede dopo nni? Conoscimo l composizione dopo nni e sppimo come l re cmbierà nei prossimi nni, quindi possimo clcolre v:

45 Mtrici: ppliczioni / Quindi dopo nni, il vettore che rppresent l composizione dei ettri di plude è Scrivimo le equzioni sviluppte in un form più generle, in funzione del tempo t misurto decine di nni: Od nche, in form normle: Formimo or un mtrice con tre righe e tre colonne: 5

46 Mtrici: ppliczioni / Schemtizzimo: Digrmm di Flusso Per esempio, l elemento nell second rig, prim colonn, indic che il 5% dell clsse dell prim colonn, ut, si sposterà nell clsse dell second rig, st, l prossimo intervllo di tempo. Mtrice di trsferimento descrive come il pesggio pssi d uno stto un ltro, le mtrici di trsferimento possono essere fcilmente rppresentte come digrmmi di flusso,. Notimo che ogni colonn h per somm colonn il totle delle percentuli di u che si spostno, colonn il totle delle percentuli di s che si spostno e colonn il totle delle percentuli di d che si spostno. Scrivimo infine l relzione sotto form di equzione mtricile: v t T v t 6

47 Mtrici: ppliczioni 5/ Es. SUCCESSIONE ECOLOGIC: UN CSO PIU COMPLESSO Supponimo di voler modellizzre il cmbimento nel tempo dell composizione di un re di pludi costiere. Dividimo di nuovo le pludi in ree sommerse, sture e sciutte. Dopo numerosi decenni di rccolt dei dti, sppimo che, ogni nni, 5% delle prti sommerse diventno sture, % delle prti sommerse diventno sciutte, % delle prti sture diventno sciutte, % delle prti sture diventno di nuovo sommerse 6% delle prti sciutte diventno di nuovo sture, e % delle prti sciutte diventno di nuovo sommerse. Questo è sintetizzto nel seguente digrmm di flusso: Trovte l mtrice che descrive i cmbimenti nell composizione di queste pludi costiere ogni nni. Soluzione: prim di tutto notte che vendo tre clssi vremo bisogno di costruire un mtrice di trsferimento tre righe e tre colonne: 7

48 Mtrici: ppliczioni 6/ Ricordimo che ij è l proporzione dell clsse j che divent o si spost ll clsse i. Indichimo le ree sommerse u come clsse, le sture s come clsse, e quelle sciutte d come clsse. Usimo quest informzione per trovre i vlori di ij : 5% delle prti sommerse j diventno sture i, cioè.5. % delle prti sommerse j diventno sciutte i, cioè.. % delle prti sture j diventno sciutte i, cioè.. % delle prti sture j diventno di nuovo sommerse i, cioè.. 6% delle prti sciutte j diventno di nuovo sture i, cioè.6. % delle prti sciutte j diventno di nuovo sommerse i, cioè.. u t s t d t u t s t d t Così l nostr mtrice divent Notimo che bbimo ncor bisogno di inserire i vlori per,, e. Ricordndo però che l somm di ogni colonn deve dre possimo determinre i vlori degli elementi lungo l digonle. Per cui : 8

49 Mtrici: ppliczioni 7/ Di conseguenz l mtrice che descrive i cmbimenti nell composizione di queste pludi costiere ogni nni è quindi In form di equzione mtricile : v t T v t T Notimo : v T v TT v T v v k T k v Evoluzione temporle degli stti Volendo tornre indietro nel tempo? v T v T v T T v v v T v v T v T T v T v k v T v k 9

50 Mtrici: ppliczioni 8/ T det T.7 T Notimo che per le stesse rgione espresse precedentemente l somm per colonne d sempre 5

51 Vettore di stto S l tempo t unità rbitrrie : Mtrici di trsferimento: sintesi / s t s t S t s t Vettore di stto S l tempo t unità rbitrrie : s t S t s t s t L metrice di trsferimento ttu un mixing linere degli stti inizili per determinre il vlore degli stti finli: T T T T T T T T T T In un equzione: S t T S t In più se: det T T ij È l percentule dello stto S j che si trsferisce nello stto S i T S t S T : S t S t ij j i t Dgli stti finli posso rislire gli stti inizili. Inoltre l somm delle percentuli deve essere normlizzt, per cui: T T T T T T T T T Oppure: i T ij j,, 5