2. il modulo ed il verso della forza di attrito al contatto disco-piano [6 punti];

Transcript

1 1 Esercizio (trtto dl problem 7.5 del Mzzoldi ) Sul doppio pino inclinto ( = 0 o ) sono posizionti un disco di mss m 1 = 8 Kg e rggio R = 1 cm e un blocco di mss m = 4 Kg. I due oggetti sono collegti d un filo inestensibile; sull rmp di sinistr c è ttrito mentre l rmp di destr è lisci. Il disco scende con moto di puro rotolmento. Clcolre: 1. l ccelerzione del blocco m [6 punti];. il modulo ed il verso dell forz di ttrito l conttto disco-pino [6 punti];. se il disco prte inizilmente d fermo, dopo qunto tempo l velocità ngolre rggiunge il vlore di ω = s 1 [ punti]. m 1 m SOLUZIONE Dti Inizili: m 1 = 8 Kg m = 4 Kg = π 6 R = 0.1 m ω = s 1 Osservimo nzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistem si muove solidlmente, e l velocità e l ccelerzione trsltorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per il disco e per il corpo. Fissimo un verso convenzionle per l ccelerzione del sistem (il testo suggerisce quello di disces lungo il pino per il disco, e dunque di slit lungo il pino per il corpo, come mostrto in figur 1). Considerimo le forze che giscono su ciscun corpo. Anzitutto scomponimo l forz peso nelle componenti prllel l pino e ortogonle l pino: { Fp1, = m 1 g sin (1) F p1, = m 1 g cos

2 e { Fp, = m g sin F p, = m g cos () dove le componenti normli sono bilncite dll rezione vincolre del pino e non hnno effetto. Inoltre, gisce l tensione T del filo (dirett in mnier oppost sul corpo e sul disco), ed infine sul disco gisce nche l forz di ttrito (o che il disco rotol) che si oppone l moto. F p1, m 1 T F tt F p1, T F p, m F p, Figure 1: Le equzioni del moto sono le seguenti moto trsltorio del corpo (punto mterile); m g sin + T = m () moto trsltorio del centro di mss del disco; Il centro di mss si muove con un moto dettto dll sommtori di tutte le forze che giscono sul corpo, come pplicte l centro di mss stesso: m 1 g sin T F tt = m 1 (4) moto rottorio del disco ttorno l centro di mss; Si trtt dell equzione del moto rottorio M E = d L E (5)

3 dove M E e L E sono il momento delle forze e il momento ngolre rispetto l sistem di riferimento (perltro non inerzile) del centro di mss del disco. Qui osservimo che per come sono dirette le forze, M E e L E sono diretti lungo l sse perpendicolre l foglio (verso uscente), ttorno cui vviene l rotzione. Proiettndo l equzione vettorile lungo quest direzione bbimo M E = dl E (6) L unic forz che pplic un momento è quell di ttrito (le ltre hnno brccio nullo) M E = F tt R (7) Il momento ngolre lungo l sse ortogonle l pino del disco (un sse principle) si scrive L E = I D ω dl E = I D α (8) dove I D è il momento d inerzi del disco, e α è l ccelerzione ngolre; siccome il moto del disco è di puro rotolmento, il punto di conttto è istntnemente fermo, e dunque vle l relzione α = R (condiz. moto di puro rotolmento) (9) (NB: Siccome il punto di conttto rimne istntnemente fermo, l forz di ttrito che gisce su di esso è un forz di ttrito sttico. Ess soddisf dunque l relzione 0 F tt Ftt mx, dove Ftt mx = µ s m 1 g cos, che è il vlore mssimo consentito per F tt. Pertnto in generle F tt µ s m 1 g cos ed il vlore effettivo di F tt v determinto risolvendo il sistem di equzioni (vedi sotto).) In conclusione, dlle equzioni (6), (7), (8) e (9) ricvimo che F tt R = I D R (10) Abbimo dunque ottenuto le seguenti equzioni [(4), () e (10)]

4 4 m 1 g sin T F tt = m 1 m g sin + T = m F tt R = I D R (11) che costituisce un sistem di tre equzioni per le tre incognite, F tt e T. Risolvimo il sistem di equzioni; portimo in evidenz T nell second equzione e dividimo l terz equzione per R, e m 1 g sin T F tt = m 1 T = m + m g sin F tt = I D R Sostituendo l second e l terz equzione nell prim e ottenimo (1) m 1 g sin m m g sin I D R = m 1 g sin (m 1 m ) = (m 1 + m + I D R ) m 1 m = g sin m 1 + m + I D R Ricordndo or che il momento d inerzi di un disco vle (1) I D = 1 m 1R (14) ottenimo che = g sin m 1 m m (15) 1 + m Sostituendo i vlori numerici = 9.81 m s sin π 6 = 9.81 m 1 s = 9.81 m 8 s = = (8 4) Kg = 8 Kg + 4 Kg = 1. m s (16)

5 5 L forz di ttrito si può or vlutre dll terz delle equzioni (1), ricordndo nche l (14), ossi: Sostituendo i vlori numerici: F tt = I D R = = m 1 (17) F tt = 1. m s 8 Kg = = 4.91 N (18) Rispetto l centro di mss il disco si muove di moto rottorio uniformemente ccelerto, con ccelerzione α [vedi Eq.(9)] α = R (19) e dunque l velocità ngolre vri come ω(t) = α t = R t (0) dove si è tenuto conto del ftto che inizilmente il disco è fermo (ω 0 = 0). Pertnto il tempo t necessrio ffinché il disco rggiung l velocità ngolre ω di rotzione è o d ω = ω(t ) = R t (1) ossi t = ω R Sostituendo i vlori ottenimo () t = s 1 0.1m 1. m s = = 0.0 s ()