ovvero quella verticale. Da ricordare che quando si scrive F=ma per F si intende la risultante delle forze agenti sul corpo considerato.

Transcript

1 DINAMICA EX Con un sliscendi formto d due crrucole si vuole sollevre un mss M =50kg. Spendo che il crico di rottur dell fune è T 0 =670N clcolre: ) il vlore mssimo dell mss M e le ccelerzioni; b) il vlore di M ffinché l mss M slg velocità costnte e il corrispondente vlore di T. EX All sommità di un doppio pino inclinto è fisst un crrucol su cui scorre senz ttrito un fune in estensibile senz mss. Alle estremità dell fune solo ttccti corpi di mss m =m e m =m. Se β=30 clcolre: ) l ngolo α ffinché il sistem si muov con un ccelerzione pri =g/9; b) le tensioni dell fune se m=kg. EX 3 Un pendolo conico è costituito d un punto mterile di mss m=6g legto un fune lung l=5cm fiss d un estremo. Il pendolo descrive un circonferenz orizzontle con velocità ngolre ω 0 =7rd/s. Clcolre: ) il vlore dell tensione dell fune; b) il rggio dell circonferenz; c) l mssim pertur per un crico di rottur T 0 =7,6*0-3 N e l velocità ngolre mssim. EX 4 Un pllin di mss m=kg in quiete su un pino scbro viene colpit d un mrtello con impulso in modulo pri I =4Nsec. L pllin si ferm dopo un trtto s=8m. Spendo che il coefficiente d ttrito sttico è µ=5/8 clcolre: ) l impulso; b) l direzione rispetto ll orizzontle con cui rriv il mrtello.

2 EX 5 Un sferett di mss m=0g ruot con velocità ngolre ω=3.4rd/s su un pino orizzontle. L sfer è tenut sull triettori circolre d un moll di lunghezz riposo l=cm e costnte elstic k=5n/m. Determinre il rggio dell circonferenz. EX 6 I tre blocchi A, B e C sono collegti d funi inestensibili e di mss trscurbile come in figur. I blocchi A e C si trovno su due pini inclinto di un ngolo di 30, A su un pino liscio mentre C su un pino scbro. B si trov su un pino orizzontle liscio. Spendo che M C =95kg, M B =50kg, T AB =.5T BC, clcolre: ) l ccelerzione del sistem; b) le tensioni delle funi. EX 7 Un mcchin di Atwood è relizzt collegndo le msse, e 3 come in figur (m =kg, m =kg). L crrucol è idele. Nell condizione inizile le msse e slgono mentre l mss 3 scende con velocità costnte. Ad un certo punto l mss si stcc. Clcolre l ccelerzione delle restnti msse. EX 8 Un boccol di mss M=.kg scivol su un sse verticle in presenz di ttrito, descritto dl coefficiente µ=0.0. L forz premente F può essere regolt gendo sull vite lterle. Determinre il vlore di F ffinché l boccol scivoli con ccelerzione pri /3 di g.

3 EX 9 Un corpo di mss m=.9kg scivol su un pino orizzontle in presenz di ttrito. Sino µ s =0.3 e µ d =0.5 i coefficienti d ttrito sttico e dinmico rispettivmente. Se il corpo è inizilmente fermo, si determini l forz minim F che permette di metterlo in movimento. Supponendo che l forz F continui spingere il corpo, determinre l velocità v che cquisisce dopo un tempo t=.4s EX 0 Due blocchi di mss m =kg e m =5kg legti tr loro d un fune idele vengono lsciti cdere lungo un pino inclinto di 30. Il coefficiente di ttrito fr m e il pino è µ = 3 e l tensione dell fune è T=6N. Determinre: ) l ccelerzione del sistem; b) il coefficiente d ttrito fr m e il pino; c) il blocco trinto. EX Un oggetto puntiforme di mss m=0.5kg lncito con velocità v 0 =6m/s in direzione rdile dl bordo di un giostr di rggio R=4m verso il centro di ess si ferm in un tempo t=s. Clcolre il coefficiente d ttrito. Se si pone in rotzione l giostr inizilmente ferm con velocità ngolre di rd/s, l oggetto nel sistem di riferimento dell giostr rest nell posizione rggiunt. Clcolre il modulo dell rezione vincolre esercitt dll giostr sull mss m. SOLUZIONI EX In figur sono mostrte tutte le forze in gioco genti si sulle due msse che sulle due crrucole. Per prim cos bisogn scrivere l equzione dell dinmic per i due corpi seprtmente e poi proiettrl lungo l unic direzione che interess in questo cso

4 ovvero quell verticle. D ricordre che qundo si scrive F=m per F si intende l risultnte delle forze genti sul corpo considerto. " F tot F tot = m " P + T = m = m P + T = m " P + T = m P + T = m Come si vede è un sistem di equzioni in cui le incognite sono 4: T, T, e. Servono quindi ltre due condizioni. L prim condizione viene d considerzioni sull crrucol che tiene il corpo. Siccome l crrucol è idele e in quiete, l somm delle tensioni che giscono su di lei devono bilncirsi per cui: T + T + T = 0 T + T T = 0 T = T T = T & T = T L second condizione viene d considerzioni sugli spzi percorsi dlle due msse: lo spzio percorso dll fune che tiene l mss è doppio rispetto llo spzio percorso dll fune che tiene l mss nello stesso intervllo temporle. Per cui supponendo nulle tutte le condizioni inizili e ricordndoci che si trtt di un moto uniformemente ccelerto: s = s t = t = = = Or il sistem divent perfettmente risolvibile: P + T = m m g + T 0 = m P + T = m m g + T 0 = m mx = T m g * 9.8 = m *50 m mx = T 0 g = * =67.5kg =.8m /s =.8m /s = 3.6m /s Se l mss m sle velocità costnte, signific che le ccelerzioni sono entrmbe nulle. Il sistem divent quindi: P + T = 0 m g + T = 0 P + T = 0 m g + T = 0 T = m g = 50*9.8 = 490N m = T g = m g g = m =00kg

5 EX In figur sono mostrte le forze pplicte entrmbi i corpi. Scrivimo l equzione per l dinmic seprtmente per i due corpi supponendo che tutto il sistem si sposti verso destr. Per entrmbi i corpi proietto l equzione dell dinmic su due direzioni dte un dl pino inclinto e l second dll perpendicolre l pino. Scelgo come verso positivo per l sse x quello verso destr per entrmbi. ) R + T + P = m ) R + T + P = m x) T + P senα = m y) P cosα + R = 0 x)t P senβ = m y) P cosβ + R = 0 Per un fune idele T=T. Sommndo l equzione x e l x ricvo senα: x) T + P senα = m & + ' x)t P senβ = m P senα P senβ = (m + m ) m gsenα m gsenβ = (m + m ) mgsenα mgsenβ = (m + m) senα = (m + m) + mgsenβ 9g* 3m + mg = mg mg = 3 + = 4 3 > 0 Il risultto impossibile dice che il verso dell ccelerzione ipotizzto è sbglito, quindi i corpi si muovono nell ltr direzione (verso sinistr). Le equzioni questo punto diventno: x) T + P senα = m & + ' x)t P senβ = m P senα P senβ = (m + m ) m gsenα m gsenβ = (m + m ) mgsenα mgsenβ = (m + m) senα = (m + m) + mgsenβ 9 g * 3m + mg = = mg mg L tensione dell fune dll equzione x divent: T = mgsenα + m = mg 3 + m 9 g = 3 + & (**9.8 = 7.63N 9' 3+ = 3 α 4.8

6 EX 3 In figur sono mostrte tutte le forze genti sul corpo che costituisce il pendolo. Si deve scrivere l equzione dell dinmic F tot = m in questo cso, notndo che le forze in gioco sono solo il peso e l tensione dell fune, mentre l ccelerzione è quell di un moto circolre vincolto d un fune e quindi è un ccelerzione centripet che può essere scritt in funzione del rggio R dell circonferenz. F tot = m T + P = m c = mω R Si proiett or l equzione lungo l direzione x e y notndo che il moto vviene solo lungo l direzione x, quindi: x)tsenα + 0 = mω R y)t cosα mg = 0 D considerzioni geometriche si not che senα = R. Sostituendo quest espressione l nell equzione lungo l x ricvo l tensione dell fune: Tsenα + 0 = mω R T R l = mω R T = mω l = 6*0 3 * 7 *0.5 = 75.5 *0 3 N Per clcolre il rggio dell circonferenz elevo l qudrto le due equzioni lungo le due direzioni e le sommo: x)tsenα + 0 = mω R & T sen α = m ω 4 R & + ' y)t cosα mg = 0 ' T cos α = m g T (sen α + cos α) = m ω 4 R + m g T = m ω 4 R + m g R = T m g m ω 4 = 0.5m L ngolo di pertur mssimo si ottiene sfruttndo l equzione sull y in cui l posto di T utilizzo il crico di rottur. Un volt trovto l ngolo mssimo, ricordndo il legme tr rggio dell circonferenz e ngolo di pertur, sostituendolo nell equzione sull x ricvo nche l velocità ngolre mssim:

7 x)t 0 senα mx = mω mx R mx y)t 0 cosα mx = mg cosα mx = mg = 6 *0 3 * 9.8 = 0.5 α = 60 3 T 0 7.6*0 x)t 0 R mx l = mω mx R mx ω mx = T 0 ml = 7.6*0 3 = 8.85rd /s 6 *0 3 * 0.5 EX 4 L impulso è un vettore e lo possimo scrivere come: I =I x i ˆ +I yˆ j Per il teorem dell impulso: I = Δq. Non essendoci moto lungo l direzione verticle il teorem si può riscrivere come: I x = Δq x = mv finle mv inizile Or supponendo che il corpo si stto messo in moto dll impulso, possimo scrivere l equzione dell dinmic prim in form vettorile e poi proiettt lungo le due direzioni verticle e orizzontle in modo d ricvre l ccelerzione cui è sottoposto l oggetto: F tot = m R + P + F ttr = m x) F = m ttr y)r = P = mg & y)r P = 0 & x) µ s R = m µ s mg = m = µ s g Il corpo è quindi soggetto un decelerzione che lo f fermre dopo 8m. Dlle equzioni del moto uniformemente ccelerto per spzio e velocità posso ricvre il tempo dell rresto e l velocità inizile con cui si è messo in moto il corpo. s = v 0 t t & v = v 0 t Sostituendo le quntità note si ottiene: * 8 = v 0 t µ sgt, + 0 = v 0 µ s gt t = v ' 8 = v 0 * v 0, 0 µ & ) s g µ g * v ' 0 s & ) µ s g( -, µ s g( 8 = v 0 µ s g v 0 v 0 µ s g 8 = µ s g v = 6µ 0 sg = 9.9m /s

8 L v0 che bbimo ottenuto sopr che è l velocità inizile con cui il corpo cominci muoversi sul pino coincide con l velocità finle nel teorem dell impulso mentre l velocità inizile è null perché nel considerre l impulso bisogn notre che l su zione si esurisce prim che il corpo cominci muoversi. Quindi: I x = Δq x = mv finle mv inizile = m(v 0 0) = 9.9N s Siccome l impulso è un vettore, conoscendo il modulo e un componente posso ricvre l ltr: I y = I I x = = 9.9N s I = I xˆ i + I y ˆ j = 9.9ˆ i ˆ j L direzione d cui proviene l impulso si ottiene clcolndo: tgα = I y = 9.9 = α = 45 I x 9.9 EX 5 Scrivimo l equzione dell dinmic per l sferett F tot = m e vedimo che l unic forz in gioco è l forz di richimo elstic dirett verso il centro dell circonferenz e che l ccelerzione è un ccelerzione centripet dt dll formul per il moto circolre. Quindi: F el = mω R, dove R è il rggio dell circonferenz diretto verso il centro. Proietto l equzione lungo l unic direzione che interess che è quell rdile notndo che il rggio dell circonferenz è dto dll lunghezz riposo dell moll più l llungmento che segue dl moto: F el = mω R kδl = mω (l + Δl) Δl = mω l k mω R = l + Δl = l + mω l k mω = lk mω l + mω l lk = k mω k mω = 0.*5 5 0.* 3.4 = 0.3m

9 EX 6 In figur sono riportte le forze genti su ogni corpo. Quello che v ftto è scrivere per ogni corpo l equzione dell dinmic e scomporti lungo le due direzioni del sistem di riferimento. Per i pini inclinti le due direzioni sono un prllel l pino stesso e un perpendicolre esso. Per il pino orizzontle il sistem preso è il consueto con direzioni orizzontle e verticle. Quindi si h: A) T AB + R A + P A = M A B) T AB + T BC + R B + P B = M B C) T BC + R C + P C + F ttr = M C Suppongo che tutto il sistem si sposti verso sinistr. Proiettndo le equzioni si h: Ax)T AB M A gsenα = M A Ay)R A M A gcosα = 0 Bx) T AB + T BC = M B By)R B M B g = 0 Cx) T BC M C gsenα + F ttr = M C Cy)R C M C gcosα = 0 Per trovre l ccelerzione del sistem bst considerre le equzioni Ax e Bx con l condizione ggiuntiv dt sulle tensioni delle funi: Ax)T AB M A gsenα = M A Bx) T AB + T BC = M B T AB = 3 T BC Quindi T AB M A gsenα = M A & T AB + 3 T = M T M gsenα = M AB A A AB B ' & ' T AB = 3M B 3M B M A gsenα = M A = M gsenα A 95 * 9.8* sen30 = =.9m /s M A 3M B 95 3*50

10 T AB = 3M B = 3* 50*.9 = 85N T BC = 3 T AB =90N EX 7 In figur sono riportte le forze che giscono su ogni mss. L mss m3 che è l unic mncnte si ricv dll prim informzione: in quest configurzione m e m slgono mentre m3 scende con velocità costnti. Si devono scrivere le equzioni dell dinmic per tutte e 3 le msse notndo che se le velocità sono costnti le ccelerzioni sono nulle. Quindi: ) P + T + T = M = 0 ) P + T = M = 0 3) P 3 + T 3 = M 3 = 0 Le proietto sull unic direzione che mi interess cioè quell verticle: ) M g + T T = 0 )T = M g ) M g + T = 0 ) M g + T M g = 0 T = M g + M g & 3) M 3 g + T 3 = 0 & 3)T 3 = M 3 g L crrucol è idele quindi: T = T 3 M g + M g = M 3 g M 3 = M + M = 3kg Lo stesso procedimento v ripetuto nel cso in cui si stcchi l mss m e suppongo l direzione del moto degli oggetti non cmbi. In questo cso le ccelerzioni non nulle srnno dirette verso l ltro per m e verso il bsso per m3. Quindi:

11 " ) P + T = m 3) P 3 + T " M g + T = M " T = M + M g 3 = m 3 M 3 g + T 3 = M 3 M 3 g + M + M g = M 3 = g(m 3 M ) M + M 3 =.96m /s EX 8 In figur è disegnt schemticmente l boccol e le forze che giscono su di ess. Si deve scrivere l equzione dell dinmic e proiettrl lungo le due direzioni del sistem di riferimento scelto notndo che il moto vviene solo lungo l sse verticle e per come bbimo preso il sistem di riferimento l ccelerzione è verso il bsso. F tot = F + R + F ttr + P = m x) F + R = 0 & y) mg + F ttr = m F = m + mg =.(9.8 *9.8) 3 =43.7N µ d 0. x)r = F & y) mg + µ d R = m mg + µ d F = m EX 9 In figur sono evidenzite le forze genti sul corpo. Si deve scrivere l equzione dell dinmic e proiettrl sui due ssi verticle e orizzontle. Prim che il corpo si muov si trtt di un cso di sttic per cui l ccelerzione del corpo è null e d quest condizione simo in grdo di ricvre il vlore di F. F tot = F + R + F ttr + P = 0 x)f F = 0 ttr & y) mg + R = 0 y)r = mg & x)f = F ttr = µ s R = µ s mg = 0.3*.9*9.8 = 5.6N

12 Qundo il corpo inizi muoversi l equzione dell dinmic divent: F tot = F + R + F ttr + P = m = F µ d mg m = *.9*9.8.9 x)f F = m ttr y)r = mg & y) mg + R = 0 & x)f F ttr = F µ d R = F µ d mg = m =.48m /s Avendo trovto l ccelerzione, uso l formul del moto uniformemente ccelerto per trovre l velocità rggiunt dopo un tempo t=.4s v = v 0 + * t = *.4 = 3.5m /s EX 0 In figur sono mostrte le forze genti su ciscuno dei due corpi supponendo che il blocco si quello trinto. Bisogn scrivere l equzione dell dinmic seprtmente per i due corpi e ndrl proiettre sulle due direzioni del sistem di riferimento scelto, in questo cso l sse x positivo verso l lto lungo il pino inclinto e l sse y perpendicolre l pino stesso. Si ricordi che essendo l fune idele T=T. Quindi si ottiene: " ) P + R + T + F ttr, = m ) P + R + T + F ttr, = m " x) m gsenα + T + F ttr, = m " y)r = m gcosα y)r m gcosα = 0 y)r = m gcosα x) m gsenα T + F ttr, = m x) m gsenα + T + µ R = m gsenα + T + µ m gcosα = m y)r m gcosα = 0 x) m gsenα T + µ R = m gsenα T + µ m gcosα = m x) = m gsenα + T + µ m gcosα *9.8 * sen * * 9.8 *cos30 = = 0.5m /s m Abbimo ottenuto un ccelerzione negtiv, che vorrebbe dire che il sistem si muove verso destr, cos impossibile. Quindi l ssunzione per cui si il blocco che trin e quello trinto è sbglit: è trinto e trin. Rifcendo i clcoli invertendo i segni delle tensioni e nelle equzioni si ottiene:

13 " ) P + R + T + F ttr, = m ) P + R + T + F ttr, = m " x) m gsenα T + F ttr, = m " y)r = m gcosα y)r m gcosα = 0 y)r = m gcosα x) m gsenα + T + F ttr, = m x) m gsenα T + µ R = m gsenα T + µ m gcosα = m y)r m gcosα = 0 x) m gsenα + T + µ R = m gsenα + T + µ m gcosα = m x) = m gsenα + T + µ m gcosα * 9.8 * sen * * 9.8 * cos30 = = 0.5m /s m x)µ = m + m gsenα T m gcosα = 5 * * 9.8 * sen * 9.8 * cos30 = 0.38 EX Si deve scrivere l equzione dell dinmic per l oggetto lncito e proiettrl lungo i due ssi di un sistem di riferimento xy con x orizzontle e y verticle. Le forze in gioco genti sull mss sono l su forz peso, l rezione vincolre e l forz di ttrito: F tot = m P + R + F ttr = m x) F = m ttr y)r = P = mg = µg & y) P + R = 0 & x) µr = µmg = m Il corpo si muove quindi di moto uniformemente decelerto. Usndo le equzioni del moto ricvo il coefficiente di ttrito richiesto: v = v 0 + t 0 = 6 µg* µ = * = 0.6 Se pongo l giostr in rotzione, conviene usre un sistem di riferimento solidle l punto mterile: l direzione rdile (x) rimne quell lungo il rggio dell giostr, l direzione verticle (y) perpendicolre ll direzione x. Visto dl sistem di riferimento di un osservtore terr, il sistem di riferimento scelto si muove sull circonferenz descritt dl moto del punto mterile sull giostr. D notre quindi che non c è moto lungo l direzione verticle mentre si trtt di un moto circolre lungo l direzione orizzontle. L ccelerzione in direzione x è quindi dt dll ccelerzione centripet. Le forze in gioco sull mss sono l forz peso e l rezione vincolre. Non metto lcun direzione not priori sull rezione vincolre. In questo modo ottengo le due componenti dell rezione vincolre lungo le due direzioni del sistem di riferimento scelto e per vere il modulo le sommo in qudrtur come per qulsisi ltro vettore. L equzione dell dinmic divent quindi:

14 F tot = m P + R " = m & " x)r = m = mω x c r '& y) mg + R y = 0 Non c è moto in direzione y quindi ugugli l second equzione zero, mentre sull sse x l ccelerzione come detto è quell centripet. r è il rggio dell circonferenz percors dll oggetto, quindi l posizione rispetto l centro dell giostr rggiunt dll mss nel punto precedente del problem, clcolbile come differenz fr il rggio R dell giostr e lo spzio percorso nel tempo t=s. Usndo le equzioni del moto uniformemente ccelerto: s = s 0 + v 0 t + t = s 0 + v 0 t µgt = 0 + 6* *0.6*9.8*= 3m r = R s = 4 3 =m Sostituendo questo risultto nelle equzioni dell dinmic ottengo le componenti orizzontle (rdile) e verticle dell rezione vincolre. Combinndole vettorilmente si h il risultto cercto: " x)r x = m c = mω r " x)r = 0.5* x *= N y) mg + R y = 0 y)r y = 0.5* 9.8 = 4.9N R = R x î + R y ĵ = î ĵ R = = 5.3N