Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Via Possidonea Reggio Calabria Anno Scolastico 2008/2009 Classe III Sezione G

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1 Liceo Scientifico Sttle Leonrdo d Vinci Vi Possidone Reggio Clbri Anno Scolstico 008/009 Clsse III Sezione G Dirigente scolstico: Preside Prof. ss Vincenzin Mzzuc Professore coordintore del progetto: Prof. Frncesco Zumbo Progetto: Mtemtic, Fisic e Multimedilità Tem: Moto rettilineo uniformemente ccelerto Lo studente: Domenico De Lorenzo 1

2 Definimo moto rettilineo uniformemente ccelerto, il moto di un punto P su un triettori rettiline con ccelerzione costnte, in cui dunque l velocità vri istnte per istnte. Per meglio comprendere le leggi che regolno questo tipo di moto è essenzile prtire dlle definizioni di velocità medi e ccelerzione definimo velocità medi quell velocità che ritenut costnte ci permette di percorrere spzi sempre uguli in tempi sempre uguli e secondo il SI (Sistem Internzionle) srà misurt in m/s: v m = v 1 v definimo invece ccelerzione l rpidità di vrizione dell velocità in funzione del tempo trscorso e nel SI viene misurt in m/s : v = t = v v 1 t, e l seguente ne è l rppresentzione grfic nel cso in cui ess si costnte:

3 D ciò si può rrivre l legme tr l velocità inizile e quell finle nel moto rettilineo uniformemente ccelerto, semplicemente spostndo prim il tempo t=v v 1, e poi l velocità inizile t v 1 =v dl secondo l primo membro dell definizione di ccelerzione, ottenendo: v =v 1 t dunque si evincerà che prità di velocità inizile, se l'ccelerzione è mggiore di 0 v v 1 (moto ccelerto), se l'ccelerzione è minore di 0 v v 1 (moto decelerto o ritrdto), secondo un rpporto di proporzionlità dirett nel cso in cui l'ccelerzione fosse ugule 0, il moto diventerebbe rettilineo uniforme inoltre, benché con ccelerzione divers d zero l velocità vrii istnte per istnte, tli vrizioni sono direttmente proporzionli ll vrizione del tempo. Il grfico rppresent l'ccelerzione, intes come ndmento dell velocità in funzione del tempo, in un moto in cui ess è ritenut costnte. 3

4 Di fondmentle importnz è l formulzione dell legge orri del moto rettilineo uniforme, che mette in correlzione lo spzio ed il tempo. Per comodità chimeremo rispettivmente v f e v 0 l velocità finle, cioè nell'istnte di tempo t 1, e inizile, nell'istnte t 0, e s e s 0 lo spzio percorso fino ll'istnte t 1 e quello ipotizzto come spzio percorso ll'inizio del moto. L legge orri permetterà di trovre lo spzio percorso, conoscendo i vlori di v 1, t e, ovvero: s=v 0 t 1 t. Nel cso in cui si ipotizzsse l velocità inizile pri 0, s= 1 t. Ovvimente non vi è un solo modo per rrivre ll formulzione di quest legge si potrebbero per esempio eguglire le formule dell velocità, ovvero l rpidità di vrizione dello spzio in relzione l tempo v= s s 0 t t 0, e dell velocità medi, già evidenzit precedentemente: s s 0 t t 0 = v v 1 dovendo però trovre l formul dello spzio, inizimo d isolre l s l primo membro in prticolre moltiplichimo entrmbi i membri per t-t 0 : 4

5 s s 0 = v v 0 t t 0, e infine spostimo nche lo spzio inizile, se esso venisse ipotizzto diverso d zero, l secondo membro: s=s 0 v v 0 t t 0. A questo punto sostituimo v l formul v=v 0 t, ricvt dll definizione di ccelerzione s=s 0 v t v 0 0 t t 0. Inoltre possimo ipotizzre t 0 =0, ed eseguire il restnte prodotto, dopo ver sommto i due termini v 0 : s=s 0 v t 0 t dunque: s=s 0 v 0 t 1 t. Possimo ipotizzre lo spzio inizile ugule zero s=v 0 t 1 t, o l velocità inizile null s=s 0 1 t. Gli stessi risultti possono essere rggiunti semplicemente con l sostituzione dell formul v=v 0 t ll'interno dell definizione di velocità medi, senz doverl 5

6 confrontre con l rpidità di vrizione dello spzio in funzione del tempo: v m = v v 0, v m = v 0 t v 0 sommimo i termini simili: v m = v 0 t e semplifichimo dove possibile: v m =v 0 t desso moltiplichimo entrmbi i membri per il tempo, così d vere v m t=v 0 t 1 t essendo il prodotto v t=s : s=v 0 t 1 t, dove lo spzio inizile è ipotizzto pri zero. Dll legge orri del moto rettilineo uniformemente ccelerto si può ricvre quell del moto rettilineo uniforme, in cui l'ccelerzione è pri 0, cosicché il termine 1 t si nnullerà di conseguenz e lo spzio percorso srà ugule l prodotto del tempo per l velocità inizile s=v 0 t, dto che l velocità è costnte in modulo, e dunque v 0 =v: s=vt. 6

7 Tuttvi, per l soluzione di lcuni problemi, risult utile trovre lcune formule più specifiche rigurdnti il tempo, lo spzio, l velocità e l'ccelerzione. Se considerimo v 0 =0 e s 0 =0, l legge orri srà s= 1 t d quest formul provimo d isolre il tempo: t =s t = s t=± s poiché però non h senso prlre di tempo negtivo: t= s sostituimo l formul dell'ccelerzione = v f v i t : t= s v f v i t elevimo l qudrto mbi i membri: t= st v f v i dividimo infine tutto per t, così d vere t = st v f v i t= s v f v i, per poter trovre il tempo trscorso durnte il moto senz conoscerne l'ccelerzione. 7

8 Inoltre bbimo l possibilità di trovre lo spzio, lterntivmente ll legge orri, senz conoscere il tempo trscorso dll'inizio del moto, prtendo proprio dll'equzione s=v 0 t 1 t e sostituendo t= v f v 0 s=v 0 v f v 0 1 v f v 0 sviluppimo il qudrto: s=v 0 v f v 0 1 v f v 0 v f v 0 e svolgimo i prodotti v 0 v f v 0 e 1 v f v 0 v f v 0 eseguimo il minimo comune multiplo: s= v f v 0 v 0 v f v 0 v f v 0 s= v f v 0 v 0 v f v 0 v f v 0 sommimo: s= v f v 0. In quest'ultim formul notimo che possimo trovre lo spzio percorso nche senz conoscerne il tempo, benché, così come nell legge orri, sino necessri i vlori di velocità finle e inizile e dell'ccelerzione. Prtendo dll'ultimo pssggio si può fcilmente ricvre l formul dell velocità: v f = v 0 s 8

9 estrimo l rdice di entrmbi i membri: v f =± s v 0 questo punto possimo osservre che non h senso prlre di velocità negtiv meno che il corpo non percorr l stess triettori in senso opposto. Infine se riprtimo dll formul s= v f v 0, isolimo l primo membr l'ccelerzione, con il risultto = v f v 0 s nche in questo cso non ci è necessrio conoscere il tempo trscorso. Un prticolre cso di moto rettilineo uniformemente ccelerto è rppresentto dll cdut dei grvi, ovvero corpi che d un' ltezz h cdono terr per effetto dell forz di grvità. In questo cso l terr ttir con forz costnte il grve verso il bsso, cosicché nche l'ccelerzione srà costnte, se trscurimo le forze d'ttrito quest ccelerzione viene chimt ccelerzione di grvità, è indict con g e vri second del luogo in cui il corpo si trov. 9

10 Poiché l'ccelerzione è costnte e l triettori di cdut del grve è rettiline, vrrnno le stesse formule del moto rettilineo uniformemente ccelerto, nche se si deve fre un differenzizione nel cso in cui il corpo veng lscito cdere verso il bsso o veng lncito verso l'lto, seguendo comunque un triettori rettiline. Nel primo cso ccelerzione e velocità hnno lo stesso segno e sono direttmente proporzionli, cosicché un corpo che cde con velocità inizile pri 0, rriv l suolo con un velocità finle sicurmente mggiore di quell vut ll'inizio del moto nel secondo cso ccelerzione e velocità hnno verso opposto, essendo non direttmente, bensì inversmente proporzionli, cosicché il corpo rggiunge l mssim ltezz con velocità pri 0. Adtto infine le formule significtive precedentemente elencte ll cdut dei grvi: 1. legge orri: h= 1 g t. tempo trscorso: t= h g 3. spzio percorso indipendente dl tempo: h= v f v 0 g 4. velocità finle: v f =± gh v 0 5. ccelerzione: g = v f v 0 h. 10