riferimento (assi coordinati) monodimensionale (retta orientata, x), bidimensionale (piano, xy) tridimensionale (spazio tridim.

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2 I vettori rppresentti come segmenti orientti (rppresentzione geometric) si intendono con l origine coincidente con l origine del sistem di riferimento (ssi coordinti) eccetto nei csi in cui si prli di vettori pplicti (fisic) per i quli si specific l colloczione del punto origine (punto di ppliczione) Possono pprtenere uno spzio: monodimensionle (rett orientt, ), bidimensionle (pino, y) tridimensionle (spzio tridim., yz), N-dimensionle (,,, N )

3 Segmenti orientti equipollenti: hnno stessi modulo (lunghezz), direzione, verso B D A C F E Rppresentno geometricmente lo stesso VETTORE nello spzio

4 Vettori dello spzio bidimensionle (R ) Dto un sistem di riferimento sul pino di due ssi crtesini ortogonli 3 y P (3; ) Ad ogni segmento orientto si può ssocire un coppi ordint di numeri reli (;y), dt dlle coordinte dell estremo del segmento orientto

5 Vettori dello spzio bidimensionle (R ) v = (3;) u =(-;-3) 3 P (3; ) v u - - i 3 Ogni vettore nel pino si può quindi rppresentre come -3 coppi ordint di numeri reli u (-; -3) (rppresentzione lgebric o nlitic)

6 Vettori dello spzio bidimensionle (R ) w = (;3) r =(;-3) 3 w (; 3) i = (;) w i r r (; -3)

7 Vettori dello spzio tridimensionle ( (R 3 ) I vettori z v = (3;4;4) Ogni vettore nello spzio tridimensionle si può rppresentre come tern ordint di numeri reli (rppresentzione lgebric/nlitic) 3 k V i = (;;) j = (;:) k = (;:) i - j 3 y

8 Modulo di un vettore Dto il vettore v,, il suo modulo v è l lunghezz,, in vlore ssoluto, del segmento orientto che rppresent il vettore (fino tre dimensioni - spzio R 3 ) Se un vettore è dto medinte le sue coordinte: v = (; y; z) v = + y + z

9 Modulo di un vettore L precedente relzione per il modulo di un vettore dello spzio R 3 (vettore tre coordinte): z V y v = (; y; z) v = + y + deriv dl Teorem di Pitgor generlizzto nello spzio. z Si generlizz ulteriormente per gli spzi strtti R n più di tre dimensioni, portndo ll già citt relzione generle: v = ( ; ; 3 ; ; ) v = n i n i

10 Vettori dello spzio tridimensionle ( (R 3 ) z I vettori di modulo unitrio (lunghezz = ) si dicono versori 3 k i = (;;) j = (;:) k = (;:) i j 3 I versori lungo i tre ssi coordinti i=(;;), j= (;;), k= (;;) Sono i versori principli y

11 Somm e differenz di vettori In rppresentzione geometric l somm di due vettori degli spzi R e R 3 è dt dll regol del prllelogrmm : u u + v v

12 Somm e differenz di vettori In rppresentzione lgebric l somm (o l differenz) di due vettori (di coordinte dte) è un terzo vettore che h come coordinte l somm (o l differenz) delle coordinte corrispondenti. Es,: dti: u = (; -3; ); v = (; ; 5) u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-; -3; -3)

13 Vettori dello spzio n-dimensionle (R n ) Oltre le tre dimensioni non è possibile nessun rppresentzione geometric dei vettori, m solo l rppresentzione lgebric ( o nlitic): Un vettore è rppresentto d un successione ordint di n numeri (n-pl ordint) v = ( ; ; 3 ;.; n ) Per un vettore dello spzio R n (vettore n coordinte), il suo modulo è dto d: v = n i i

14 Dti due vettori: u = ( ; ; 3 ) v = (y ; y ; y 3 ) Il modulo dell differenz tr i due vettori u e v (in R o R 3 u u - v è dto d: u u - v = Distnz tr due punti ( z ) + ( y y) + ( z ) dove il terzo ddendo (z -z ) è nullo nel cso che i vettori sino di R (vettori del pino, y). y u P u - v v y P

15 Distnz tr due punti Dti due vettori: u = ( ; ; 3 ); v = (y ; y ; y 3 ) se considerimo i loro estremi P e P (le cui coordinte sono quelle indicte), il modulo dell differenz dei due vettori (vedi rppresentzione geometric di n 3 -) corrisponde ll distnz (numero ssoluto!) tr i punti estremi P e P. Nell esempio in figur bbimo: P = ( ; y ); P = ( ; y ) L loro distnz, d(p P ) è: d(p P ) = ( y ) + ( y ) y y u v P u - v P

16 Per qulsisi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (rele) c per un vettore v : u = c v PRODOTTI Prodotto di un numero per un vettore Il risultto di tle moltipliczione è un vettore (u) che h: - stess direzione di v (u prllelo v) - verso concorde o discorde quello di v, second che c si rispettivmente positivo o negtivo -modulo di u ugule modulo di c per modulo di v u = c v

17 PRODOTTI Prodotto di un numero per un vettore Es.: u = 3 v u v v u u = - v

18 Esempio: equzione rett nello spzio Per determinre l equzione di un rett nello spzio pssnte per il punto ( ) P=, y z e prllelo l vettore (direzione) v=(,b,c) si sfrutt il ftto, Che vettori prlleli sono uno il multiplo sclre dell ltro. Quindi il vettore per P e per qulsisi ltro punto generico Q= vettore direzione v: (, y, z ), PQ = t(, b, c) dove t. è un numero rele qulsisi o (, y y, z z ) = ( t, bt, ) ct ( sclre ) è un multiplo del

19 Equzioni di un rett nello spzio Utilizzndo le rispettive componenti si rriv tre equzioni o = t, y y = bt z z = ct = + t, y = y + bt z = z + ct Queste equzioni sono dete le equzioni prmetriche dell rett Se le componenti del vettore direzioni sono tutte diverse d zero, ogni equzione può essere risolt rispetto l prmetro t y y z z = = b c Queste equzioni sono dette le equzioni simmetriche dell rett

20 Emple : trovre le equzioni dell rett pssnte per il punto (, 3, -4) e prllel l vettore v=(-,, 5) Equzioni prmetriche: = t, y = 3 + t nd z = 4 + 5t Equzioni simmetriche: y 3 z + = = 5 4

21 Sistem linere (due equzioni in due incognite, Interpretzione geometric: + + = = b b rett rett R R Qundo esiste ed è unic l soluzione: qundo Le rette NON sono prllele.

22 Possibilità: = + = + R rett b R rett b / / Determinnte / / = =

23 PRODOTTO sclre (o interno) di due vettori In rppresentzione geometric: u v = u v cos θ Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell ngolo tr i vettori ovvero: modulo di un vettore per l proiezione dell ltro sull direzione del primo v u θ

24 PRODOTTI Prodotto sclre o interno di due vettori Esempio : v = = ; u = =.; θ = 3 cos θ = 3/ u v = u v cos θ =. 3/ 3.8 v 3 u

25 PRODOTTI Prodotto sclre o interno di due vettori Esempio : v = = ; u = =.; θ = cos θ = -/- u v = u v cos θ =. (-/) = -. v u

26 i k = i j = j k =, i i =, j j=, k k= U = i + y j + z k In rppresentzione lgebric: Il prodotto sclre si può ottenere se sono dte le coordinte dei vettori : u = ( ; y ; z ) v = ( ; y ; z ) Il loro prodotto sclre è: u v = + y y + z z Es.: u = (3; -; 4) ; v = (; 5; -3) u v = 3 + (-) (-3) = -

27 PRODOTTI Prodotto sclre o interno di due vettori In rppresentzione lgebric: Il prodotto sclre di due vettori nello spzio n- dimensionle R n (n coordinte): u = ( ; ; 3 ; ; ) n v = (y ; y ; y 3 ; ; y n ) Il loro prodotto sclre è: u v = n i i y i Es.: u = (3; -; 4; ; 5) ; v = (; 5; -3; ; -) u v = 3 + (-) (-3) + +5 (-)= -

28 PRODOTTI Prodotto sclre o interno di due vettori Attrverso il prodotto sclre possimo dre l: Condizione di perpendicolrità tr due vettori : Due vettori (sino u e v) non nulli sono perpendicolri (o ortogonli) se e solo se Il loro prodotto sclre è nullo (u v=) Es.: u = (3; -; -); v = (; 5; ) u v = 3 + (-) 5 + (-) () = ; i due vettori sono perpendicolri

29 Equzione di un Pino nello Spce Si ssegnto un punto P nel pino ed un vettore n normle l pino stesso. Un qulsisi punto Q nel pino deve essere tle che sono ortogonli Quindi il loro prodotto sclre deve essere nullo. n P Q n PQ e ( ) ( ) ( ) ),, ( ),, ( = + + = = z z c y y b z z y y c b PQ n

30 Esempio: Assegnto il vettore n=(3,, -) normle l pino contente il punto P=(, 3, -), scriver l equzione del pino. Soluzione: Form Stndrd ( ) ( ) ( ) = + + z z c y y b ( ) ( ) ( ) 3 3 = + + z y Semplificndo si rriv nche ll form generle, 3 o = + = + z y z y

31 Componenti vettore V=(v,v ), nujove componenti (dopo rotzione) V=(v,v ), si h: v v cos( θ ) sin( θ ) + v v sin( θ ) cos( θ ) = = v' v' (Definizione prodotto Mtrice vettore) [,] T [,] T cosθ -sinθ sinθ cosθ rotzione [-sinθ, cosθ] T θ [cosθ, sinθ] T

32 PRODOTTO VETTORIALE: Solo in R 3 Esso è un vettore e si indic con l scrittur: u Λ v Come si clcol: Modulo: u Λ v = u v sen θ (re del prllelogrmmo di lti u e v) Direzione: perpendicolre l Verso: : come in figur pino di u e v u Λ v v θ u v Λ u

33 L regol dell mno destr Prim formulzione Si dispone il pollice lungo il primo vettore Si dispone l indice lungo il secondo vettore Il verso del medio individu il verso del prodotto vettorile Second formulzione Si chiude pugno l mno destr mntenendo sollevto il pollice Le dit chiuse pugno devono indicre il verso in cui il primo vettore deve ruotre per sovrpporsi l secondo in modo che l ngolo θ di rotzione si minore di π Il verso del pollice individu il verso del prodotto vettorile b b b b Ne segue che il prodotto vettorile non è commuttivo, m nticommuttivo: u Λ v = - v Λ u

34 PRODOTTI Prodotto vettorile tr i versori principli i j k (vettori di modulo unitrio lungo, y, z) k i Λ j = k j Λ i = -k j Λ k = i k Λ j = -i k Λ i = j i Λ k = -j i j i k j Procedendo nel verso delle frecce, un vertice per il successivo dà per prodotto il terzo vertice, mentre nel verso contrrio lle frecce ottenimo l opposto del terzo vertice

35 PRODOTTI Prodotto vettorile Due vettori non nulli sono prlleli se e solo se Il loro prodotto vettorile è nullo. θ = θ = π Inftti due vettori prlleli ( (stess direzione) ) formno un ngolo θ di (verso concorde) o di π (verso discorde): In entrmbe i csi sen θ = ; quindi il prodotto esterno è nullo in conseguenz del suo modulo nullo ( u Λ v = u v sen θ )

36 PRODOTTI Prodotto vettorile in rppresentzione nlitic Il prodotto esterno di due vettori di dte coordinte: V = ( ; y ; z ) ; U = ( ; y ; z ) si clcol esprimendoli come combinzione linere dei versori principli i, j, k e pplicndo l proprietà distributiv (rmmentndo i prodotti esterni tr i versori): V Λ U = ( i + y j + z k) Λ ( i + y j + z k) ) = (y z y z ) i + (z z ) j + ( y - y ) k Es.: V = (; -; 4) ; U = (; ; -3) V Λ U = [(-)*(-3)[ *4] i + [4* (-3)*] j + [*-*(-)] k = = 3 i + j j + k

37 PRODOTTO misto Implic tre vettori (d. es. u, v, w) e si indic con l scrittur: (u Λv) w ed è un numero (sclre) : il prodotto vettorile di u e v è su volt moltiplicto sclrmente per w. Geometricmente h il significto del Volume del prllelepipedo che h i tre vettori come spigoli

38 Esempio: Dti tre punti (,, -), (4,,3) e (, -, 5) in un pino, trovre l equzione del pino nell form generle. Soluzione: Per scrivere l equzione del pino dobbimo trovre un direzione normle l pino stesso. Prim trovo due vettori complnri e poi, utilizzndo il prodotto vettorile, possimo identificre un vettore normle. Due vettori: d (,, -) (4,, 3): (4-, -, 3+ ) = (3,-,4)=U d (,, -) (, -, 5): (-, --, 5+) = (,-3,6)=V Prodotto vettore: U V = i 4 j 7 k = 4 j 7 k Equzione del pino: ( ) 4( y ) 7( z + ) = 4y 7z + = o y + z 3 =

39 PRODOTTI Prodotto misto Il prodotto misto dà un criterio di Complnrità di tre vettori: Tre vettori non nulli sono complnri se e solo se il loro prodotto misto è nullo.

40 IMPORTANTE Combinzione linere di vettori Dti due o più vettori u, u, u n, se si moltiplic ciscuno di essi per un numero rbitrrio (diverso d zero) e poi si sommno i vettori così ottenuti, si ottiene un combinzione linere dei vettori dti.

41 Quindi se: w = c u + c u + + c n u n (dove c, c,, c n sono numeri reli) dicimo che il vettore w è un combinzione linere dei vettori u, u, u n. Es.: u = (, 3, -5); v = (,, 4) w = u + v = (4, 6, -) + (,, 4) = (5, 6, -6) w è un combinzione linere dei vettori u e v.

42 n vettori (due o più) (u( ; u ; ; u n ) si dicono linermente dipendenti se ciscuno di essi si può esprimere come combinzione linere degli ltri n- vettori. Ciò equivle dire che l combinzione linere degli n vettori è null (ugule l vettore nullo) per vlori dei coefficienti c i non tutti nulli.

43 Se ciscuno degli n vettori (u( ; u ; ; u n ) non si può esprimere come combinzione linere degli ltri, vle dire che l combinzione linere degli n vettori è null (ugule l vettore nullo) solo per vlori dei coefficienti c i tutti nulli, llor gli n vettori si dicono linermente indipendenti Esempi:.- Due vettori prlleli sono lin. dipendenti.- Due vettori non prlleli sono lin. indipendenti. 3.- Tre vettori complnri sono lin. dipendenti 4.- Tre vettori non complnri sono lin. indipendenti

44 BASE Un insieme di vettori costituisce un sistem di bse (un bse) per lo spzio R n se è: -Un Un insieme di vettori linermente indipendenti - ogni vettore può essere espresso come combinzione linere degli n vettori

45 Equzioni vettorili e sistemi lineri = b = b = b 3 L equzione vettorile A = b è quindi equivlente un sistem di equzioni lineri (= di primo grdo ), o semplicemente sistem linere nelle incognite,, 3 (in questo cso il sistem è qudrto 33)

46 Equzioni vettorili e sistemi lineri D qunto visto pre che un sistem linere può vere: ) Un unic soluzione (tern ordint di vlori *, *, 3 *, vle dire un vettore *= ( *; *; 3 *) b) Infinite soluzioni c) Nessun soluzione

47 Un sistem linere A =b può essere visto come l ricerc di un combinzione linere delle colonne di A (vettori) con cui ottenere Il vettore b (termine noto). I coefficienti dell combinzione linere Sono i vlori delle (incognite),,, n