Matrici. (Tabelle di elementi disposti su m righe e n colonne) Di particolare interesse le matrici quadrate (m=n): Es. (m=n=3):

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1 Mtrici (Tbelle di elementi disposti su m righe e n colonne) Di prticolre interesse le mtrici qudrte (m=n): Es. (m=n=3): V =

2 Mtrici Un vettore n componenti (coordinte), cioè pprtenente llo spzio R n, si può rppresentre come un mtrice n righe e un colonn (dett nche vettore colonn) Es.: il vettore u = (3; -2; 1) come: u = 3 2 1

3 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? Ad es.: un mtrice qudrt 3x3 (di terz ordine) pplict un vettore u di R 3, lo trsform in un vettore v ncor di R 3. u Opertore mtricile A A u = v v

4 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? A u = v z y x = z y x

5 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? x y z = x y z Medinte il prodotto mtricile righe x colonne: Il primo elemento, x 2, del vettore trsformto si ottiene moltiplicndo l prim rig dell mtrice per il vettore colonn (x 1, y 1, z 1 ), come somm dei prodotti degli elementi omologhi: x 2 = 11 x y z 1

6 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? x y z = x y z Il secondo elemento, y 2, del vettore trsformto si ottiene moltiplicndo l second rig dell mtrice per il vettore colonn (x 1, y 1, z 1 ): y 2 = 21 x y z 1

7 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? x y z = x y z Il terzo elemento, z 2, del vettore trsformto si ottiene moltiplicndo l terz rig dell mtrice per il vettore colonn (x 1, y 1, z 1 ): z 2 = 31 x y z 1

8 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? Es.1: = (-2) ( 2 = -1; = 21

9 Mtrici come opertori Come si pplic un mtrice un vettore? Es.2: = (-2) ( (-4) = 10; (-4) = (-3) ( (-4) = 17

10 Equzioni vettorili e sistemi lineri A x = c x x x = c c c Quest equzione equzione vettorile (l incognit è il vettore x, cioè le sue componenti x 1, x 2, x 3 ) equivle porre in form mtemtic il problem: Dt l mtrice A e il vettore c, qul è il vettore x tle che pplicndo A d x si otteng c?

11 Equzioni vettorili e sistemi lineri A x = c x x x = c c c Applicndo il prodotto righe per colonne si ottiene: x x x 3 = c x x x x x 3 = c 2 33 x 3 = c 3

12 Equzioni vettorili e sistemi lineri x x x 3 = c x x x x x 3 = c 2 33 x 3 = c 3 L equzione vettorile Ax = c è quindi equivlente un sistem di equzioni lineri (= di primo grdo ), o semplicemente sistem linere nelle incognite x 1, x 2, x 3 (in questo cso il sistem è qudrto 3x3)

13 Equzioni vettorili e sistemi lineri Un sistem linere può vere: ) Un unic soluzione (tern ordint di vlori x 1 *, x 2 *, x 3 *, vle dire un vettore x*= (x 1 *; x 2 *; x 3 *) b) Infinite soluzioni c) Nessun soluzione

14 Equzioni vettorili e sistemi lineri Mtrici e determinnti Per mtrice del sistem (A) si intende l mtrice formt di coefficienti delle incognite. Nel cso esemplificto, A è:

15 Equzioni vettorili e sistemi lineri Il determinnte di un mtrice qudrt - det(a) - è un numero (vedi regole per il clcolo di un determinnte). Lvori sui determinnti pprvero già nell second metà del sec XVIII d oper di: E. Bézout ( ), 1783), A.T. Vndermonde ( ), 1796), e proseguirono nel secolo successivo soprttutto d oper di: Pierre-Simon Lplce ( ) 1827) Joseph-Louis Lgrnge ( ) 1827)

16 Determinnte di un mtrice qudrt Il determinnte di un mtrice qudrt A si scrive det(a) o nche D A, oppure con due brre verticli i lti dell tbell-mtrice Det(A)= Esso è un numero rele (positivo, negtivo o nullo)

17 Regole per il clcolo di un determinnte Esiste un teorem dl qule discende un metodo generle per il clcolo dei determinnti di mtrici qudrte di qulsisi ordine. Ci limitimo qui dre regole prtiche per clcolre i determinnti fino l 3 ordine. 1) Il determinnte di un mtrice qudrt di 1 ordine (un solo elemento 11 ) coincide con l elemento l stesso. 2) Il determinnte di un mtrice qudrt di 2 ordine A = è ugule : Det(A) = [digonle principle ( ) meno digonle secondri ( ) ] Es.: A = Det(A) = (-3)*2 5*2 = -16

18 Regole per il clcolo di un determinnte 3) Il determinnte di un mtrice qudrt di 3 ordine A = si può clcolre con l regol di Srrus.

19 Regole per il clcolo di un determinnte Regol di Srrus (solo per mtrici di 3 ordine) Si ggiungno destr le prime due colonne: Si possono così considerre tre digonli principli ( ) e tre digonli secondrie ( )

20 Regole per il clcolo di un determinnte Regol di Srrus (solo per mtrici di 3 ordine) Si ggiungno destr le prime due colonne: Si clcolno i prodotti degli elementi di ogni digonle principle e si sommno. Si DP il risultto: DP = ( )

21 Regole per il clcolo di un determinnte Regol di Srrus (solo per mtrici di 3 ordine) Si ggiungno destr le prime due colonne: Si clcolno or i prodotti degli elementi di ogni digonle secondri e si sommno. Si DS il risultto: DS = ( )

22 Regole per il clcolo di un determinnte Regol di Srrus (solo per mtrici di 3 ordine) Si ggiungno destr le prime due colonne: Il determinnte dell mtrice dt risult: Det(A) = DP - DS

23 Equzioni vettorili e sistemi lineri Johnn Crl Friedrich Guss ( ) 1855) Augustin Louis Cuchy ( ) 1857) Crl Gustv Jcobi ( ) 1851)

24 Equzioni vettorili e sistemi lineri Eugène Rouché (Frnci, ) Alfredo CAPELLI (Milno, ) Tr i loro numerosi lvori, il Teorem che prende il loro nome, sulle soluzioni dei sistemi lgebrici lineri (qui non riportto)

25 Equzioni vettorili e sistemi lineri Per i sistemi qudrti vle il TEOREMA DI CRAMER: Ip.: det (A) 0 Gbriel Crmer ( ) Th.: Il sistem mmette un ed un sol soluzione (un vettore, cioè un successione ordint di numeri)

26 Equzioni vettorili e sistemi lineri Il teorem di Crmer recit: Condizione necessri e sufficiente ffinché un sistem qudrto mmett un unic unic soluzione è che il determinnte del sistem si diverso d zero Se invece il determinnte è ugule zero il sistem mmette infinite soluzioni oppure nessun (sistem incomptibile) In questo cso si ricorre l Teorem di Rouché- Cppelli (teorem generle, vlido per qulunque sistem linere, qui non trttto).

27 Equzioni vettorili e sistemi lineri Se il sistem qudrto è omogeneo (tutti i termini noti c 1, c 2, c 3 nulli): [Si ricord che ogni sistem omogeneo mmette sempre lmeno l soluzione bnle o null (0; 0; 0)] 1.- Se il sistem omogeneo è di Crmer (det(a) 0) llor esso mmette solo l soluzione bnle. 2.- Se il sistem omogeneo non è di Crmer (det(a)=0), llor il sistem mmette infinite soluzioni (quell bnle e ltre infinite non bnli)

28 Equzione omotetic o gli utovlori Jen D Alembert ( ) 1783) Augustin Louis Cuchy ( ) 1857) Jcques Chrles Frnçois Sturm ( ) 1855) Crl Gustv Jcobi ( ) 1851)

29 Equzione omotetic o gli utovlori Appilcndo un mtrice qudrt di ordine n tutti i vettori dello spezio R n, ogni vettore verrà,, in generle, trsformto in un ltro vettore dello stesso spzio. Ad es., un mtrice 3x3 trsform ogni vettore dello spzio R 3 (euclideo tridimensionle) in un ltro, generlemnte di diverso modulo e/o direzione e/o verso. Questione: quli vettori (x),( in seguito ll ppliczione ppliczione dell mtrice A conservno l direzione? (e quindi mutno eventulmente solo di modulo e/o verso?)

30 Equzione omotetic o gli utovlori Se un vettore x dopo l trsformzione x Ax h l stess direzione che vev prim dell trsformzione, cioè Ax x, signific che Ax e x hnno coordinte proporzionli, cioè che possimo scrivere: Ax = λx (1) Dove λ è il coefficiente di proporzionlità. L questione post è quindi rppresentt dll equzione vettorile (1). Il vettore x è l incognit

31 Equzione omotetic o gli utovlori Tle equzione si dice equzione omotetic o Equzione gli utovlori Le sue soluzioni non nulle, cioè i vettori non nulli che in seguito ll ppliczione dell mtrice qudrt A conservno l direzione, si chimno utovettori di A Sotto quli condizioni esistono gli utovettori di un mtrice qudrt e come si clcolno?

32 Equzione omotetic o gli utovlori L equzione (1), con semplici trsformzioni, si può scrivere nell form equivlente: (A λi) x = 0 (2) Al secondo membro compre il vettore nullo. Al primo membro compre l mtrice (A λi) pplict l vettore incognito x (dove I è l mtrice identità: elementi digonli uguli 1 e tutti gli ltri uguli zero). Ess si chim mtrice secolre

33 Equzione omotetic o gli utovlori L equzione (2) è equivlente un sistem omogeneo di equzioni lineri. Nell esempio esempio di mtrice 3x3 che oper sui vettori dello spzio euclideo tridimensionle): ( 11 -λ)x x x 3 = o x 1 + ( x λ)x x 2 + ( x 3 = o λ)x 33 3 = o

34 Equzione omotetic o gli utovlori Ogni sistem omogeneo mmette sempre l soluzione null (o bnle), cioè il vettore (0; 0; 0). Se il sistem (qudrto) è di Crmer, cioè Det (A λi) 0, mmetterà solo l soluzione null (che, per definizione non è un utovettore). Ciò dipende di vlori del prmetro λ Affinchè il sistem, vle dire l equzione l (2), mmett soluzioni non nulle, cioè utovettori, è necessrio e sufficiente che: Det (A λi) = 0

35 Equzione omotetic o gli utovlori Det (A λi) = 0 Quest equzione (dett equzione crtteristic) è un equzione lgebric inter di grdo n (ugule ll ordine dell mtrice). Vi srnno quindi lmeno un vlore (in generle complesso) di λ e l mssimo n, n che rendono nullo il determinnte secolre. Per tli vlori di λ (soluzioni dell equzione equzione crtteristic), detti utovlori dell mtrice A, e solo per essi,, il sistem mmetterà soluzioni non bnli, cioè utovettori.

36 Equzione omotetic o gli utovlori Come clcolre gli Autovettori? 1.- Si risolve l equzione l crtteristic (3) 2.- Si sostituisce λ di volt in volt un utovlore: per ogni utovlore di λ otteremo un sistem qudrto omogeneo non di Crmer. 3.- Si trovno le soluzioni non nulle di tle sistem: l (o le) n-pl di vlori trovt (-e) rppresent le coordinte dell utovettore corrispondente ll utovlore sostituito. Se x 1 è un utovettore (d es. corrispondente ll utovlore λ 1), è tle nche ogni ltro vettore d esso proporzionle, cx 1, poiché il sistem è omogeneo.

37 Equzione omotetic o gli utovlori Esempio: Si dt l mtrice qudrt 2x2 2 0 (2-λ) 0 L mtrice secolre è: (A-λI) = 1 (-1-λ) A = 1-1 L equzione omotetic è: (A- λi) x = 0

38 Equzione omotetic o gli utovlori Tle equzione omotetic è equivlente l sistem: (2-λ)x 1 + 0x 2 = 0 x 1 + (-1-λ( )x 2 = 0 Si h l equzione l secolre: Det (A λi)) = (2-λ)(-1-λ)=0 Le cui soluzioni sono: λ 1 = 2 (primo utovlore); λ 2 = -1 (secondo utovlore);

39 Equzione omotetic o gli utovlori Sostituendo il primo utovlore (2) λ nel sistem si h: 0 x x 2 = 0 x 1-3x 2 = 0 1 u Le cui soluzioni sono: x 1 = 3x 2 (3) Ciò signific che se ssegnimo un incognit (d es. x 2 ) un vlore rbitrrio, l ltr l ssume il vlore dto dll (3); per x 2 =1, x 1 =3. Quindi, d es. il vettore u = (3;1) è un utovettore corrispondente ll utovlore utovlore 2. Sono quindi utovettori nche tutti i vettori c(3;1), con c numero rbitrrio diverso d zero (cioè tutti i vettori sull stess rett del vettore u = (3;1) 3

40 efo1 Equzione omotetic o gli utovlori Sostituendo il secondo utovlore (-1) λ nel sistem si h: 3 x x 2 = 0 x x 2 = 0 1 v Le cui soluzioni sono: x 1 = 0; x 2 = x 2 (3) Ciò signific che x 2 può ssumere qulsisi vlore rbitrrio, Quindi, d es. il vettore v = (0;1) è un utovettore corrispondente ll utovlore utovlore -1. Sono quindi utovettori nche tutti i vettori C(0;1), con c numero rbitrrio diverso d zero. 3

41 Dipositiv 115 efo1 Admin; 09/01/2012

42 Equzione omotetic o gli utovlori L equzione gli utovlori è di grnde importnz per impostre e risolvere problemtiche in vri cmpi di diverse discipline, d es.: - Anlisi mtemtic (metodi di risoluzione di sistemi lineri di equzioni differenzili) - Elettrotecnic (circuiti elettrici) - Quntomeccnic (orbitli tomici e molecolri) - Sttistic (nlisi fttorile, delle componenti principli, ecc.)

43 OPERATORI In fisic, rigurdo lcune funzioni vettorili, emergono importnti concetti mtemtici, quli Grdiente, Divergenz e Rotore considerti come opertori, che si pplicno funzioni (sclri o vettorili, in dipendenz dl tipo di opertore).

44 OPERATORI Un opertore può essere considerto come un dispositivo mtemtico, un mcchin strtt, con un ingresso e un uscit. Entr un oggetto mtemtico A ed esce un ltro oggetto B, trsformto dll opertore. A Opertore B Esempio 1: Opertore di moltipliczione per 3 n Moltiplictore x 3 3n (n può essere un numero, un vettore, un funzione, ecc.) Esempio 2: Opertore di derivzione f(x) (funzione) x f (x) (derivt)

45 OPERATORI Considerimo il seguente vettore simbolico, detto nbl : = i + j + k x y z Esso è un vettore simbolico perché le sue componenti non sono numeri o funzioni sclri, m gli opertori di derivt przile

46 OPERATORI GRADIENTE Se pplichimo l opertore nbl d un funzione sclre (prodotto di un vettore per uno sclre) tre vribili indipendenti f(x,y;z), ottenimo un vettore le cui componenti sono le derivte przili dell funzione f considert: f f f f = i + j + k = grd f x y z Tle funzione vettore si chim grdiente dell funzione sclre f(x;y;z) L opertore nbl è stto quindi pplicto un funzione sclre trsformndol in un funzione vettorile.

47 OPERATORI Esempi: GRADIENTE 1) Dt l funzione f(x;y;z) = 2xy 3 z + 3 ln(xy) z: grd f = (2y 3 z+3/x)i + (6xy 2 z+3/y)j + (2xy 3-1)k 2) Dt l funzione: f(x) = 4x 2 +2x-1: grd f = (8x+2)i 3) Dt l funzione vettorile f(x;y;z)= (2xy)i+(5)j-(xz)k grd f non esiste (non h significto, perché f non è un funzione sclre)

48 OPERATORI DIVERGENZA Considerimo il prodotto sclre tr l opertore nbl e un funzione vettorile F (x;y;z), dove F = F 1 i + F 2 j + F 3 k (F 1, F 2, F 3, le componenti dell funzione vettrile F,. sono loro volt funzioni sclri di x, y e z. Si verific fcilmente che: F 1 F 2 F 3 F= + + = div F y x Abbimo ottenuto l divergenz dell funzione vettorile F. L opertore nbl, pplicto d un funzione vettorile medinte il prodotto sclre, h restituito un funzione sclre. z

49 Esempi: OPERATORI DIVERGENZA div F = yz+3x 2 y 2 z 4 +2 Dt l funzione F= (xyz)i + (x 2 y 3 z 4 )j + 2zk: 2) Dt l funzione F= (x)i + (y)j + (z)k div F = 3 3) Dt l funzione F= xy 2 z div F non esiste (non h significto perché F non è un funzione vettorile m sclre)

50 OPERATORI ROTORE Considerimo il prodotto vettorile tr l opertore nbl e un funzione vettorile F (x;y;z), dove F = F x i + F y j + F z k (F x, F y, F z, le componenti dell funzione vettrile F,. sono loro volt funzioni sclri di x, y e z. Si verific fcilmente che: F = = = rot F Abbimo ottenuto il rotore dell funzione vettorile F. L opertore nbl, pplicto d un funzione vettorile medinte il prodotto vettorile, h restituito un funzione vettorile.

51 Esempi: OPERATORI ROTORE 1) Dt l funzione vettore F= (xyz)i + (x 2 y 3 z 4 )j + 2zk: rot F = (-4x 2 y 3 z 3 )i + (xy)j + (2xy3z4-xz)k 2) Dt l funzione vettore F = (x+y+z)i rot F = j + k 3) Dt l funzione sclre F = x+y+z: rot F non esiste (rotore provo di significto perché F non è vettorile)

52 G. Bll: Numeri innmorti