MATEMATICA MATEMATICA FINANZIARIA

Transcript

1 MATEMATICA e MATEMATICA FINANZIARIA Corso di lure in Economi Aziendle Fscicolo n. Alger linere delle mtrici Operzioni con le mtrici. Determinnte di un mtrice qudrt Mtrice invers Rngo di un mtrice Sistemi lineri Prof.ss Crl Fiori Prof. Crlo Alerto Mgni Università di Moden e Reggio Emili

2 MATRICI Un mtrice A di tipo m x n è un tell di m n elementi disposti in m righe ed n colonne e rcchiusi tr due prentesi tonde ( o qudre): m m n n mn Gli elementi di un generic mtrice si indicno medinte un letter con due indici il primo dei quli indic l rig e il secondo l colonn cui l elemento pprtiene. mtrice soprscritt è formt dlle m righe ( n ) ( ) dlle n colonne M m n ( ), m M m m mn,, elemento ij prende il nome di elemento di posto i,j dell mtrice e si trov ll incrocio dell rig i-esim con l colonn j-esim M n n mn m m n n mn rig colonn

3 mtrice il cui elemento di posto i,j è ij, volte è indict revemente con il. simolo ( ) ij Un mtrice x n è dett vettore rig. H l form ( ) A n Un mtrice m x è dett vettore colonn. H l form B M m Mtrice trspost A T di un mtrice A è l mtrice che si ottiene d A scmindo le righe con le colonne. m T m A n n mn Esempi. Se m n l mtrice si dice qudrt, di ordine n. Un mtrice qudrt si dice simmetric se Esempio. 9 Un mtrice qudrt si dice tringolre superiore se per > Esempio. 9

4 Un mtrice qudrt si dice tringolre inferiore se per < Esempio. Un mtrice si dice digonle se per Esempio. mtrice digonle tle che,,,, ", si chim mtrice identità # ) Se A ( ij ) e ( ij ) Operzioni con le mtrici B sono due mtrici m x n, si definisce somm di A e B e si indic con C A + B, l mtrice m x n il cui elemento cij di posto i,j è dto d c ij ij + ij Esempio. $ % + $ % $ % ) Se A ( ij ) e ( ij ) B sono due mtrici m x n, si definisce differenz di A e B e si indic con C A - B, l mtrice m x n il cui elemento cij di posto i,j è dto d c ij ij - ij. Esempio. $ %- $ % $ %

5 ) Se ( ) ij A è un mtrice m x n e & R, si definisce prodotto di λ per A, e si indic con λ A, l mtrice m x n il cui elemento di posto i,j è ij λ Esempio. 7 $ % $ 7 7 % ) Dte le mtrici A di tipo x n e B di tipo m x, si definisce prodotto del vettore rig A per il vettore colonn B, il numero ( ). n n n n M Esempio. ( ). 9 7) ( ) Dte le mtrici A di tipo m x r e B di tipo r x n, mr m m r r A, r n r r n n B si definisce prodotto righe per colonne di A per B, l mtrice C tle che l elemento di posto è ottenuto moltiplicndo l -esim rig di A con l -esim colonn di B. ( ) rj ir j i rj j ir i ij c + + M Esempio. Considerte le mtrici

6 si h A, B, A B 7, B A Si noti che il prodotto righe per colonne non gode dell proprietà commuttiv, ossi nche qundo esistono si A B che B A in generle risult A B B A. Vlgono le seguenti proprietà: Proprietà ssocitiv + + Proprietà commuttiv & + & + & & R Proprietà distriutiv & + - & + - &, - R Proprietà distriutiv + + Proprietà ssocitiv Proprietà distriutiv & & & R Proprietà ssocitiv Proprietà distriutiv + + Trspost di un somm Trspost di un prodotto fr mtrici & & & R Trspost di un mtrice per uno sclre Trspost di un trspost Esempio. Dte le mtrici. /,. / si h +. / $ % $ % + Esercizio. Clcolre il prodotto (righe per colonne) delle mtrici

7 7 A e B. Soluzione: ( ) 7 c + ; ( ) c + ; ( ) c +, ( ) c +, ( ) c +, ( ) c + ; 7 B A. Esercizio. Clcolre il prodotto delle mtrici: A e B Soluzione. ( ) ( ) ( ) ( ) Esercizio. Clcolre il prodotto delle mtrici: A e B Soluzione.. Esercizio. Clcolre il prodotto delle mtrici:

8 Soluzione. A e B - A B. 7 Esercizi d svolgere Esercizio. Trovre l mtrice X tle che A+XB dove,. Esercizio. Eseguire i seguenti prodotti righe per colonne ) ; ) 8. Esercizio. Dte le mtrici e B verificre che. Esercizio. Dte le mtrici e verificre che + +. Risposte Esercizio : X Esercizio : ) 7 ; ) 8 Esercizio : 8 9 Esercizio : + 7 ;

9 Per evidenzire come le mtrici sino un importnte strumento per trdurre in modelli mtemtici prolemi dell vit quotidin, portimo lcune semplici ppliczioni. Appliczione (spes complessiv) Acquistte uno stock di CD, DVD, custodie per CD, custodie per DVD. Il prezzo unitrio dei CD è. euro, quello dei DVD è. euro, quello delle custodie è. euro e. euro rispettivmente. Rppresentre l mtrice dei prezzi e l mtrice delle quntità e clcolre, medinte il prodotto rig per colonn, l spes complessiv. mtrice dei prezzi : mtrice delle quntità..... / spes complessiv è..... /. 9

10 Appliczione (economi) Profitto ferio (euro) mtrice A Nord Centro Sud TV CD 9 8 TV plsm Vrizioni profitto d ferio mrzo : Profitto mrzo (euro)- mtrice B Nord Centro Sud TV CD TV plsm Qul è il profitto di ferio suddiviso per re? $ % 9 8 $ % $ 9:;< 78 >?@;: 78 AB< 78 % Qul è il profitto complessivo di ferio? 9:;< $ 78 >?@;: 78 AB< 78 % 7 Qul è il profitto di ferio suddiviso per prodotto? Qul è il profitto complessivo di ferio? 9 8 $ % $ 7 97 % CD plsm $ 7 97 % 7 Qul è l vrizione complessiv del profitto tr ferio e mrzo? $ % NOTA - Per trovre le risposte si sono uste opportunmente le operzioni fr mtrici e il vettore unitrio. In generle, possimo ffermre qunto segue: Si. / il vettore unitrio. Si A un mtrice. Il prodotto è un vettore rig che h come componenti le somme degli elementi delle colonne di A. Il prodotto è un vettore colonn che h come componenti le somme degli elementi delle righe di A. Il prodotto h, come risultto, l somm di tutti gli elementi di un mtrice.

11 Determinnte di un mtrice qudrt Il determinnte di un mtrice qudrt A n n n n nn è un numero. Si indic con det A oppure con l notzione fr linee verticli: n n n det A. nn. Determinnte di un mtrice x Dt l mtrice si definisce determinnte di il numero NOP. Determinnte di un mtrice x Dt l mtrice A si definisce determinnte di A il numero NOP QQ RR QR RQ Esempio 8-8,

12 Determinnte di un mtrice x Dt l mtrice A () per clcolre il determinnte presentimo due metodi. metodo: Regol di Srrus Il determinnte si clcol utilizzndo lo schem dell figur sotto riportt. line continu st significre il prodotto dei tre termini, mentre l line trtteggit signific il prodotto dei tre termini cmito di segno. ATTENZIONE che quest regol vle solo per le mtrici di ordine n. NOP QQ RR SS + QR RS SQ + QS RQ SR QS RR SQ + QQ RS SR + QR RQ SS metodo: Regol generle Indichimo con Q l mtrice ottenut d eliminndo l rig -esim e l colonn j- esim. Il determinnte di è definito d det A det A det A + det A Esempio Considert l mtrice si h A, ()

13 A, A. det A + ( ) ( ) +. Si con i,j indici compresi fr e, si definisce minore complementre di il numero det, complemento lgerico di il numero W X Y det. definizione di det A dt nel metodo si può llor esprimere dicendo che il determinnte di A è l somm dei prodotti degli elementi dell prim rig di A per i rispettivi complementi lgerici. Questo procedimento si generlizz: fisst un qulunque rig o un qulunque colonn (non necessrimente l prim rig come ftto sopr), il NOP si ottiene sommndo i prodotti dei suoi elementi per i rispettivi complementi lgerici. Esempio. Sviluppndo rispetto ll second rig il determinnte dell mtrice () si h det A ( det A ) + ( det A ) + ( det ) A +. Nel cso dell mtrice A dt in () si h det A ( ) + +.

14 Determinnte di un mtrice n x n Qunto visto nell Regol generle ( metodo) illustrt per il cso n, si può generlizzre d un qulunque mtrice qudrt A di ordine n con n. A n n n n nn () Se i,j sono due indici compresi fr ed n, con Aij indichimo l mtrice (n) x (n) ottenut d A eliminndo l rig i-esim e l colonn j-esim. Si definisce minore complementre dell elemento Z [\ il numero ]^_ `[\, complemento lgerico dell elemento Z [\ il numero [X\ ]^_ `[\. TEOREMA DI APACE. Il determinnte di un mtrice qudrt A di ordine n è ugule ll somm dei prodotti degli elementi di un rig (o di un colonn) per i rispettivi complementi lgerici. Si noti che questo teorem riconduce l nozione di determinnte di un mtrice n x n quell di determinnte di n mtrici (n ) x (n ). Clcolre il determinnte pplicndo questo teorem è d uso dire clcolo con il metodo di plce. Se per esempio clcolimo con il metodo di plce il determinnte di () sviluppndo secondo l prim rig risult: det A () + det A + () + det A + + () +n n det An n j + j ( ) j det Aj dove Aj indic l mtrice (n ) x (n ) ottenut d A eliminndo l prim rig e l colonn j-esim.

15 Il determinnte di un mtrice qudrt A si può pertnto esprimere con un delle seguenti due formule second che il clcolo veng ftto prtire d un rig o d un colonn. Considerndo l i-esim rig ( Q, R,,? ) dell mtrice A : n j i+ j ( ) ij det Aij det A, Considerndo l j-esim colonn ( Q, R,,? ) dell mtrice A si h : n i j+ i ( ) ij det Aij det A, Esercizio Clcolre con il metodo di plce il determinnte dell seguente mtrice Soluzione. Sviluppndo secondo l prim rig si h c c c c + c c NOTA Il determinnte di un mtrice digonle A mn è det A nn

16 Proprietà dei determinnti. det A det A T.. Dte due mtrici A e B qudrte di ordine n, si h det A B det A det B.. Se l mtrice A si ottiene d A scmindo tr loro due righe o due colonne, llor det A det A.. Se l mtrice A si ottiene d A moltiplicndo tutti gli elementi di un rig (o di un colonn) per un costnte λ R, llor det A λ det A.. Se due righe (o due colonne) dell mtrice A sono uguli, llor è det A. Più in generle, se gli elementi di un rig (rispettivmente colonn) sono proporzionli quelli di un ltr rig (rispettivmente colonn), llor il determinnte è nullo.. somm dei prodotti degli elementi di un rig (o colonn) per i complementi lgerici degli elementi nloghi di un ltr rig (o colonn) è ugule zero. 7. Se si somm d un rig (o colonn) un ltr rig (o colonn) moltiplict per un numero, il determinnte non cmi.

17 Mtrice Invers Per ogni " N esiste l mtrice qudrt di ordine n I dett mtrice identità perché # # qulunque si l mtrice di ordine n. Si A un mtrice qudrt di ordine n. Diremo che A è invertiile se esiste un mtrice gq di ordine n tle che A gq gq A I mtrice gq si chim mtrice invers di A. Si può verificre che, se esiste, l invers di un mtrice è unic. Esempio. mtrice invers di risult AB BA A è l mtrice B perché e dunque B A -. TEOREMA. Condizione necessri e sufficiente ffinché un mtrice qudrt mmett l invers è che il suo determinnte si diverso d zero. In simoli: esiste `g ij ` k TEOREMA. Se A (ij) è un mtrice di ordine n invertiile, gli elementi ij dell mtrice invers `g sono dti d i+ j dove ( ) ji ij ( ) i+ j det A det A ji, det A è il complemento lgerico di ji. 7

18 Sino A e B mtrici qudrte di ordine n con det A. Poiché esiste A -, per risolvere le equzioni mtricili A X B e Y A B st moltiplicre, rispettivmente, sinistr e destr per A - : X A - B e Y B A - NOTA - Poiché det det, indicto con l mtrice che h come elementi i complementi lgerici degli elementi di, per clcolre l mtrice invers di si può procedere in questo modo ` trspost `l complementi lgerici ` `g premoltiplic per / det Esempio. $ %, det $ % $ % gq $ % $ %, inftti gq $ % $ % $ % 8

19 NOTA Nel cso di un mtrice A di ordine, per determinre gq si può procedere in questo modo: si scmino gli elementi sull digonle principle, si cmi segno gli elementi sull digonle secondri, si divide ogni elemento per det A. Esempio. 7, NOP gq Q gqs 7 p gr QS q QS Q QS S QS r Esercizi sui Determinnti e sull Mtrice Invers. Clcolre il determinnte dell seguente mtrice: A. Soluzione. presenz di tre elementi nulli nell qurt rig dell mtrice suggerisce lo sviluppo secondo tle rig: det A ( ) +. Sviluppndo or secondo l terz rig, si ottiene: det A ( ) ( ).. Clcolre il determinnte dell seguente mtrice: 9 A. 7

20 Soluzione. Sviluppndo il determinnte secondo l prim colonn si ottiene: 7 A det. Sviluppndo ncor secondo l prim colonn entrmi i determinnti di ordine, ottenimo: ( ) 7 A det.. Clcolre il determinnte dell seguente mtrice: A. Soluzione. Sviluppimo il determinnte secondo l quint colonn che present i primi quttro elementi nulli; si ottiene: A det. Sviluppndo ncor secondo l prim colonn dell mtrice, ottenimo: A det +.. Clcolre il determinnte dell seguente mtrice:

21 A. Soluzione. Applichimo l regol di Srrus: ( ) ( ) + ( ) ( ) det A +.. Determinre l mtrice invers di A. Soluzione. Clcolimo prim il det A. Sviluppimo secondo l prim colonn: det A. Essendo det A, A è invertiile. I complementi lgerici degli elementi di A sono: + + ( ) det A + ; ( ) det A + + ( ) det A + + ; ( ) det A + + ( ) det A + + ; ( ) det A + + ( ) det A + + ; ( ) det A + ( ) det A +. ; ; ; ;

22 Ricordndo che gli elementi ij dell mtrice invers gq sono dti i+ j det A ji d ij ( ) ottenimo: det A A -.. Determinre l mtrice invers di A. Soluzione. Clcolimo prim il det A. Sviluppimo secondo l prim colonn: Essendo det A, A è invertiile. det A. I complementi lgerici degli elementi di A sono: + + ( ) det A + ; ( ) det A ; + ( ) det A + + ; ( ) det A ; + ( ) det A + ; ( + ) det A + + ( ) det A + 8 ; ( ) det A ; ; + ( ) det A +.

23 mtrice invers gq è: 8 8 A Determinre l mtrice invers dell mtrice: A con R. Soluzione. mtrice A è invertiile sempre perché det A per ogni R e risult: - A. Esercizi d svolgere Esercizio. Clcolre il determinnte delle seguenti mtrici s + + u, v + v R, + s w R + v + + w u. Esercizio. Applicndo l regol di Srrus, clcolre i seguenti determinnti: 9 9 det ; det. 9

24 Esercizio. Clcolre, se esistono, le inverse delle seguenti mtrici:, s v x u, +. Esercizio. Trovre l mtrice X in modo che risulti y 7. Esercizio. Determinre per quli vlori di z R risultno invertiili le seguenti mtrici: z + z, z z z + + z z. + z Risposte. NOP ; NOP v ; NOP + w R.. NOP ; NOP 7.. gq. gq O PO }O~ v, x, gq x v. +gq.. y.. è " O~Pw O }O~ z O z. è " O~Pw O }O~ z q± Qq. ƒ

25 Rngo (o crtteristic) di un mtrice nozione di determinnte di un mtrice è definit solo per le mtrice qudrte, ossi se A è un mtrice di tipo m x n con m n, non esiste il determinnte di A. Dt un qulunque mtrice (qudrt o rettngolre) A m m n n mn d ess si possono estrrre delle sottomtrici qudrte i cui determinnti si dicono minori dell mtrice A. Il numero di righe (o colonne) dell sottomtrice qudrt estrtt si chim ordine del minore. DEFINIZIONE. Si chim rngo (o crtteristic ) dell mtrice A l ordine mssimo dei minori non nulli che si possono estrrre d A. In ltre prole, l intero positivo k min {m, n} è l crtteristic di A se : ) dll mtrice A si può estrrre lmeno un minore non nullo di ordine k ; ) tutti i minori di ordine mggiore di k, che si possono estrrre d A, sono nulli. Esempio. mtrice 9 può vere l mssimo rngo perché tle è l ordine mssimo delle mtrici qudrte in ess contenute. Si verific che i quttro minori di ordine estriili dll mtrice sono tutti nulli e perciò il rngo srà minore di. Poiché tr i minori di ordine ve ne è lmeno uno non nullo, d esempio si h che il rngo dell mtrice è.

26 Esercizio. Determinre il rngo dell mtrice A. Soluzione. Si osservi che i quttro minori di ordine che si possono estrrre d quest mtrice,,,, sono tutti nulli, ossi hnno tutti determinnte ugule zero. Poiché risult d esempio:, rimne provto che esiste lmeno un minore di ordine con determinnte diverso d zero e perciò il rngo dell mtrice considert è : r(a). Esercizio. Determinre il rngo dell mtrice 7 A. Soluzione. Poiché det A e per esempio, segue che il rngo dell mtrice considert è : r(a).

27 Per determinre il rngo di un mtrice, si possono ridurre i clcoli se si utilizz il seguente teorem: TEOREMA DI KRONEKER. Se l mtrice A, qudrt o rettngolre, possiede un minore D non nullo di ordine r, e sono nulli tutti i minori d ordine r + di A ottenuti orlndo D con un rig e un colonn qulsisi di A, llor il rngo di A è ugule r. In prtic, si procede nel seguente modo. Supponimo di ver trovto un minore D, d ordine r, non nullo. Clcolimo i minori d ordine (r + ) ottenuti orlndo il minore D : se tutti questi minori sono nulli, il rngo dell mtrice è r ; se lmeno uno di essi è non nullo, isogn ripetere il procedimento considerndo quest ultimo minore. Esercizi svolti. Determinre il rngo dell mtrice: A : Soluzione. Applichimo il procedimento di Kronecker. Considerimo l sottomtrice, ess è tle che, d cui r(a) min,. { } Considerimo or le sottomtrici di ordine ottenute orlndo l sottomtrice considert: M e N. Poiché det M, si conclude che r(a).. Determinre il rngo dell mtrice: 7

28 8 9 B. Soluzione. Applichimo il procedimento di Kronecker. Considerimo l sottomtrice, ess è tle che, d cui min(,) r(a). Considert l sottomtrice di ordine M, risult det M ; si conclude pertnto che r(b).. Trovre il rngo dell mtrice 7 A Soluzione. mtrice contiene il minore non nullo di ordine M. Orlndo il minore M si ottiene il minore di ordine N. Poiché i due minori del qurto ordine ottenuti orlndo N sono nulli:

29 7 ;, 7 il rngo dell mtrice A è ugule.. Trovre il rngo dell mtrice A Soluzione. mtrice contiene il minore non nullo di ordine : M. Poiché tutti i nove minori di ordine ottenuti orlndo M sono nulli: 7 ; 7 ; ; 7 ; 8 ; 7 ; 7 ; 8 ; si conclude che il rngo dell mtrice A è. 9

30 Mtrici dipendenti d un prmetro A volte è importnte determinre il rngo di un mtrice, discutendo il prolem in relzione i prmetri reli che vi figurno. Trttimo l rgomento presentndo qulche esempio. Esercizio. Clcolre, per ogni vlore del prmetro z R, il rngo delle seguenti mtrici z z, z z R, + z z z z Soluzione. ) det A k R +, quindi det A per ogni k R e pertnto ra per ogni k R. ) det B k R + k kk + quindi det B per k e K. Se z O z h NOP O }O~P"P ~. Se z }} ~O z h NOP O NOP " O }O~P"P ~. ) det C k R + k R per ogni k R quindi rc <. O z h ~+. O z h ~+. Esercizio. Clcolre, per ogni vlore del prmetro t, il rngo dell mtrice: t A. t t + Soluzione. Trovimo i vlori di t per i quli si nnull il determinnte di A, ossi risolvimo l equzione: t t. t + Sviluppndo il determinnte si ottiene l equzione t + t che mmette le soluzioni t e t. Doimo quindi distinguere i seguenti csi:

31 Cso. Cso. Per t, t, il determinnte dell mtrice A è diverso d zero e perciò A h rngo : r(a). Per t, si h,, perciò il rngo dell mtrice A è : r(a). Cso. Per t, si h 8 8,, perciò il rngo dell mtrice A è : r(a). Esercizio. Determinre, per ogni vlore del prmetro t, il rngo dell mtrice: P P P. P P P Soluzione. Trovimo i vlori di t per i quli si nnull il determinnte dell mtrice A, cioè risolvimo l equzione t (t ) (t ) che mmette le soluzioni t e t. Doimo quindi distinguere i seguenti csi: Cso. Cso. Per t, t, il determinnte dell mtrice A è diverso d zero e perciò A h rngo : r(a). Per t, si h,, perciò il rngo dell mtrice A è, cioè r(a).

32 Cso. Per t, si h, e tutti i minori di ordine uguli zero perché l mtrice A h due colonne tutte di zeri, pertnto il rngo dell mtrice A è : r(a). Esercizi d svolgere Esercizio. Determinre il rngo delle seguenti mtrici. ; 8 ; + 8. Esercizio. Studire il rngo delle seguenti mtrici in funzione di k. z z z 8 z,. Risposte.. ~ ; ~ ; ~+.. ~ per z ± ; ~ per z ±. ~ per ogni z R.

33 SISTEMI INEARI Sistemi lineri di m equzioni in n incognite Un sistem linere di m equzioni in n incognite è dell form x + x + + nxn x + x + + nxn mx + mx + + mnxn m Il sistem soprscritto è costituito d m equzioni nelle n incognite v Q, v R,, v?. Il sistem si dice linere perché nelle equzioni ogni termine incognito figur l primo grdo. I numeri reli QQ, QR,, che compiono nel sistem, vengono indicti revemente con e prendono il nome di coefficienti del sistem; i numeri reli w Q, w R,, w prendono il nome di termini noti. Se i termini noti sono tutti nulli, il sistem linere si dice omogeneo. Il sistem è crtterizzto dll mtrice A dei coefficienti, dett nche mtrice del sistem, dl vettore dei termini noti e dl vettore delle incognite. A m m n n mn, B M m, X x x M x n. Il sistem si può rppresentre. in form mtricile esplicit : QQ QR RQ RR v Q. / + v R. Q. in form mtricile comptt : R / + + v?. A X B Q? w Q R? w /. R /? w dove A X è il prodotto righe per colonne dell mtrice A per il vettore y. Si osservi che si trtt del prodotto di un mtrice m x n per un mtrice n x (mtrice colonn) che dà per risultto un mtrice m x. Esistono delle condizioni sui coefficienti e sui termini noti ffinché il sistem mmett delle soluzioni, ossi ffinché esistno dei vlori

34 reli v Q, v R,, v? per i quli tutte le equzioni del sistem risultino contempornemente soddisftte; in tl cso l n-pl v Q, v R,, v? è dett un soluzione del sistem. Cso m n con ij` k. x + x + + nxn x + x + + nxn nx + nx + + nnxn n () Sino rispettivmente A, B, X l mtrice dei coefficienti, dei termini noti, delle incognite: n n A, n n n n B M n, X x x M x n. Se det A il sistem h un ed un sol soluzione. Per trovre l soluzione del sistem illustrimo due metodi generli (cso mn, det A ). Primo metodo : Metodo mtrice invers. Risolvere il sistem signific risolvere l equzione AX B : y gq y gq gq y gq #y gq y gq

35 Esempio Considerimo il sistem rppresentto d y con, v y xš, det Poiché NOP, determinimo l mtrice gq 9 / / gq /9 / /9 /9 / /9 / / / y gq /9 / /9 /9 /9 / /9 /9 Pertnto il sistem dto h come unic soluzione v Q S, x QS œ, gqƒ œ. Esercizio. Dte le mtrici 7 A e B ~ O~O Ož "O y. + Soluzione. Poiché NOP e A si h: 7 9 X A B

36 Secondo metodo : Metodo di Crmer. Senz ricorrere ll mtrice invers, un metodo generle per risolvere il sistem () è dto dl seguente teorem. TEOREMA DI CRAMER. Il sistem linere AX B con A mtrice qudrt di ordine n e det A, mmette un ed un sol soluzione dt d Ÿ ]^_ ` ]^_ `, Ÿ ]^_ ` ]^_ `,.. Ÿ ]^_ ` ]^_ ` dove `[ è l mtrice che si ottiene sostituendo l colonn i-esim di A con l colonn B dei termini noti, per i,,,n. In form mtricile comptt il teorem di Crmer è espresso d det Q y gq det det R det? Esercizio Risolvere con il metodo di Crmer il seguente sistem di equzioni lineri: x + x + x x + x x x + x + x Soluzione mtrice del sistem è : A e risult det A. Poiché det A, per il teorem di Crmer, il sistem linere mmette un ed un sol soluzione v Q, v R, v S fornit dll regol di Crmer:

37 det A 7, det A, det A. x x x det A det A det A det A det A det A Esercizio Risolvere il seguente sistem di equzioni lineri: x + y z x y + z x + y z. Soluzione. det A, Poiché det A, il sistem si può risolvere pplicndo il teorem di Crmer. Risult: det A ; det A ; det A 8 ; e pertnto l soluzione cerct è: det A det A det A 8 x ; y ; z det A det A det A 7

38 Il teorem di Rouché Cpelli Considerimo un sistem linere di tipo generle, formto d m equzioni nelle n incognite v Q, v R,, v? x + x + + nxn x + x + + nxn mx + mx + + mnxn m () mtrice A dei coefficienti è dett mtrice incomplet del sistem () : A m m n n mn Si definisce mtrice complet del sistem (), l mtrice C ottenut ggiungendo lle colonne di A l colonn dei termini noti : C m m n n mn m. Il seguente importnte teorem fornisce un criterio per stilire se il sistem () mmette oppure no soluzioni (si teng presente che m ed n non sono necessrimente uguli). TEOREMA DI ROUCHÈ-CAPPEI. Condizione necessri e sufficiente ffinchè un sistem di m equzioni lineri in n incognite i soluzioni è che le mtrici complet ed incomplet del sistem ino lo stesso rngo. Se il sistem h soluzioni, detto k il rngo delle due mtrici (complet ed incomplet), per risolvere il sistem si procede nel seguente modo: 8

39 ) Dll mtrice incomplet A si estre un sottomtrice qudrt con k r(a) e NOP. ) Si scrive un nuovo sistem formto dlle k equzioni i cui coefficienti sono le righe di. Inoltre si portno l secondo memro tutti gli eventuli n-k termini i cui coefficienti non compiono in. ) Si risolve questo sistem di k equzioni in k incognite, con determinnte non nullo, medinte l regol di Crmer; ) e soluzioni del sistem inizile sono le n-ple ottenute con l soluzione del sistem costruito nel punto ) e con gli n-k prmetri se k < n. In questo cso si dice che il sistem h?g soluzioni. Ad esempio si k, k < n, il rngo di A e di C e si D un sottomtrice di A vente rngo k, per semplicità supponimo che D si costituit dlle prime k righe e dlle prime k colonne. D k k k k kk, det D. Considerimo il sistem nelle incognite x, x,, xk x + + kxk k + xk+ nx kx + + kkxk k k k+ xk+ knx n n () Poiché det D, per il teorem di Crmer, il sistem () mmette un ed un sol soluzione nelle incognite v Q, v R,, v, in quest soluzione figurno come prmetri v XQ,, v? cui si può ttriuire qulunque vlore rele. In definitiv il sistem () mmette pertnto infinite soluzioni, ciscun delle quli si ottiene ricvndo, con l regol di Crmer, i vlori di v Q, v R,, v e fissndo ritrrimente v XQ,, v?. Esempio Considerimo il sistem x x x x, l mtrice incomplet A e l mtrice complet C sono 9

40 A, C ed hnno entrme rngo e pertnto il sistem mmette soluzioni. Dll mtrice A estrimo un sottomtrice qudrt di ordine e rngo. Si per esempio D Si consider llor il sistem x x x + x ottenuto considerndo come incognite quelle reltive i coefficienti delle colonne di D mentre le ltre incognite si portno l secondo memro e si considerno termini noti. Per ogni v S R questo sistem mmette l soluzione v Q + v S, v R + v S. Perciò il sistem dto mmette le infinite soluzioni ( + v S, + v S, v S ) ottenute l vrire di v S in R. Esempio Considerimo il sistem v Q + v R v Q v R v Q + v R 8 l mtrice incomplet A e l mtrice complet C sono, + 8 ed hnno entrme rngo e pertnto il sistem mmette soluzioni. Dll mtrice A estrimo un sottomtrice qudrt di ordine e rngo. Si per esempio Si consider llor il sistem vq + v R v Q v R ottenuto considerndo come incognite quelle reltive i coefficienti delle colonne di D mentre le ltre incognite si portno l secondo memro e si considerno termini noti. Risolvendo questo sistem (per esempio con Crmer) si ottiene l soluzione v Q, v R che è nche l unic soluzione del sistem dto perché il rngo k è ugule l numero n delle incognite.

41 Esempio Discutere e risolvere l vrire del prmetro h il sistem hv + x v + hx h Mtrice incomplet è h, mtrice complet è + h. Risult h h h NOP h R e pertnto: ) Se h ± si h NOP, rngo r(a) mentre rngo r(c) e perciò il sistem non mmette soluzioni. ) Se h ± si h NOP, rngo r(a)rngo r(c) e perciò il sistem mmette soluzioni. Applicndo, per esempio, il teorem di Crmer si trov l soluzione h h R, h h R h R š. Sistemi omogenei Un sistem linere vente tutti i termini noti nulli, ossi del tipo x + x + + nxn x + x + + nxn mx + mx + + mnxn () prende il nome di sistem omogeneo. Tle sistem h sempre soluzione perché mmette l soluzione nle (v Q, v R,, v? ) (,,, ). Diremo che (v Q, v R,, v? ) è un soluzione non nle, dett nche soluzione propri, se lmeno uno dei numeri reli v Q, v R,, v? non è nullo. Se il sistem () mmette un soluzione propri ( v Q, v R,, v? ), llor mmette nche infinite soluzioni, dell form ( v Q, v R,, v? ) qulunque si R. Bst inftti sostituire quest soluzione nel sistem () e rccogliere il fttore. D qunto detto, nel cso si m n, il sistem linere omogeneo () mmette un soluzione non nle (e quindi infinite) se e soltnto se risult det A.

42 Esercizi d svolgere Esercizio. Risolvere il sistem y essendo v, y xš, 7. Esercizio. Discutere e risolvere, l vrire del prmetro rele k, il sistem y con: z z v z z, y xš, z. z Esercizio. Risolvere i seguenti sistemi lineri: v + x + ) v + x v x + v + x ; ) v x + v v + x ; c) v + x v x + ; v x + d) v + x + v x v + x h e) v + hx v + h x v + hx ; f) hv + x h Risposte:. QœgRSª R X«ª,, per ogni R. Qq Qq. Per z unic soluzione g gq R XQ gq,,. Per z sistem impossiile..),,..) Non mmette soluzioni..c),,..d) x, x, x per ogni x R..e) Sistem impossiile per h ±. Per h unic soluzione,. Per h unic soluzione,. f) Per h ± unic soluzione Qg, R. QX QX Per h soluzioni: x, x per ogni x R. Per h sistem impossiile.