Integrali definiti (nel senso di Riemann)

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1 Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri. M in generle? L questione è uno dei problemi ll bse dell nscit del clcolo integrle. L trtteremo per figure che sino trpezoidi di un funzione su un intervllo. Supponimo che f :domf R si un funzione limitt su un intervllo limitto [, b]. Definizione. Si chim trpezoide di f su [, b] l insieme T f,,b := (x, y) R 2 : x [, b], 0 y f (x) oppure f (x) y 0, ossi l prte di pino contenut nell strisci verticle x b e delimitt dlle curve y =0e y = f (x). Ci proponimo di definire l re di T f,,b nel cso di f (x) 0 su [, b] (lmeno per or) e lo fremo trmite pprossimzioni con ree di figure elementri (rettngoli). Visulizzeremo quindi il discorso per f 0, m il procedimento può essere ttuto nche se f cmbi segno su [, b] (vedremo poi l interpretzione geometric di tle cso).

2 1 Considerimo un qulsisi suddivisione dell intervllo [, b]: : = x 0 <x 1 <... < x n1 <x n = b. Si trtt di un fmigli di n +1punti di [, b] (non necessrimente equispziti), con x 0 = e x n = b. Trmite, l intervllo [, b] viene suddiviso in n sottointervlli [x 0,x 1 ], [x 1,x 2 ],..., [x n1,x n ], su ciscuno dei quli f è limitt e quindi dott di inf e sup finiti: m i := inf f (x) ed M i := sup f (x) (i =1, 2,..., n). x[x i1,x i ] x[x i1,x i ] Chirmente risult m i M i per ogni i. 2 Chimimo somm integrle inferiore e somm integrle superiore di f reltive ll suddivisione inumeri s := S := n m i (x i x i1 ) i=1 n M i (x i x i1 ) i=1 L dierenz x i = x i x i1 è l lunghezz del sottointervllo [x i1,x i ] dto d, quindi s ed S sono somme di ree di rettngoli con bsi x i ed ltezze m i o M i. Chirmente risult s S,inquntom i M i per ogni i.

3 3 Inumeris ed S dipendono dll prticolre suddivisione considert (inftti, cmbindo, cmbino i vlori x i, m i, M i che definiscono le somme integrli). È fcile verificre che: ggiungendo punti d un suddivisione (ossi, come si dice, rnndol) le somme inferiori non diminuiscono e quelle superiori non umentno. 4 Di conseguenz, se 1 e 2 sono suddivisioni diverse, llor il rnmento comune 1 e 2,cioèl suddivisione 1 2 ottenut unendo tutti i punti di 1 e 2,ètleche s 1 s 1 2 S 1 2 S 2 (dove s 1 2 S 1 2 perché somme reltive ll stess suddivisione). Dunque risult s 1 S 2, 1, 2, il che dimostr che: ogni somm inferiore è di ogni somm superiore, qund nche tli somme sino reltive suddivisioni diverse.

4 5 Dunque ogni somm superiore è un mggiornte dell insieme delle somme inferiori e ogni somm inferiore è un minornte dell insieme delle somme superiori, d cui segue 1 sup s inf S (dove vri nell insieme di tutte le possibili suddivisioni di [, b]). I numeri reli b f (x) dx := sup s e b f (x) dx := inf S si chimno integrle inferiore di f su [, b] ed integrle superiore di f su [, b] e dipendono solo più dll funzione f e dll intervllo [, b] su cui l si consider. 1 Il rgionmento preciso è il seguente: poiché ogni somm superiore S è un mggiornte dell insieme delle somme inferiori, di cui sup s è il minimo dei mggiornti, risult sup s S. Ciò vle per ogni somm superiore S equindisup s è un minornte dell insieme delle somme superiori. Poiché inf S è il mssimo dei mggiornti di tle insieme, si ottiene sup s inf S. Osservimo che integrleinferioreesuperiore sono le migliori pprossimzioni per difetto e per eccesso di ciò che si vorrebbe definire, cioè l re di T f,,b per f 0. M in generle si h solo b f (x) dx b f (x) dx e può eettivmente ccdere che l disuguglinz si strett (vedremo un esempio). In tl cso, nessun vlore rele compreso tr integrle inferiore e superiore può essere preso più rgionevolmente degli ltri come definizione di re di T f,,b.

5 6 Definizione. Dicimo che f è integrbile su [, b] (nel senso di Riemnn) se b f (x) dx = b f (x) dx. In tl cso, il vlore comune degli integrli inferiore e superiore è chimto integrle definito di f su [, b] (nel senso di Riemnn) ed è denotto con il simbolo b f (x) dx. 7 Definizione. Se f è integrbile su [, b] ed f (x) 0 su [, b], si definisce re (T f,,b ):= b f (x) dx. Se f non è integrbile su [, b], dicimo che T f,,b non è dotto di re. Esempio (intergrle di funzioni costnti). Si f (x) =k per ogni x [, b]. Per qulsisi suddivisione di [, b] risult m i = M i = k per ogni i equindi s = S = k n (x i x i1 )=k(x n x 0 )=k(b) ( indipendente d ). i=1 Allor b b kdx= b kdx= k (b ) kdx= k (b ) epertntorisult csi prticolri: b 0 dx =0, b 1 dx = b. Si noti l ccordo con il significto di re se k 0.

6 Clssi di funzioni integrbili Non tutte le funzioni limitte sono integrbili. Esempio (funzione di Dirichlet). Si f :[0, 1] R definit d f (x) = 1 se x Q 0 se x R \ Q. In conseguenz dell densità di Q ed R \ Q in R, per qulsisi suddivisione di [0, 1] risult m i =0e M i =1per ogni i (ogni sottointervllo [x i1,x i ] contiene punti in cui f vle 0 e punti in cui f vle 1). Allor si h s = n 0 (x i x i1 )=0 e S = i=1 n 1 (x i x i1 )=x n x 0 =1, i=1 d cui segue b f (x) dx =0 e b f (x) dx =1. Stbilire se un funzione è integrbile su un intervllo trmite l definizione non è gevole. È quindi utile il seguente risultto di integrbilità. Teorem. Sono integrbili su [, b] tutte le funzioni 1) limitte su [, b] econtinuesu[, b] privto eventulmente di un numero finito di punti; 2) monotone su [, b]; 3) continue su [, b] ( limitte per Weierstrss, cso prticolre di 1)). limitt su [1, 1] e discontinu in 1 e 0 2 (non monoton) monoton su [0, 1] (con infinite discontinuità)

7 Proprietà dell integrle di Riemnn Indicheremo con R ([, b]) l insieme delle funzioni integrbili su [, b], cioè R ([, b]) := {f :domf R : f è integrbile su [, b]}. L definizione di b se f R ([, b]), sipone f (x) dx con <bsi estende medinte le seguenti convenzioni: b b f (x) dx := f (x) dx e c c f (x) dx := 0 per ogni c [, b]. Le seguenti proprietà hnno un visulizzzione immedit in termini di re per funzioni 0, m vlgono per funzioni di segno qulsisi. 1 Se c (, b), llorf R ([, b]) seesolosef R ([, c]) e f R ([c, b]). Conseguenz: se f R ([, b]), llorf è integrbile su ogni sottointervllo di [, b] e (viste le convenzioni) il numero rele t f (x) dx h significto per ogni t, s [, b]. s 2 (dditività rispetto l dominio) Se f è integrbile su un intervllo I, llor, b, c I, b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx. L formul si estende fcilmente d un numero finito qulsisi di punti c 1,..., c n I.

8 3 Se f = g in tutti i punti di [, b] trnne eventulmente un numero finito, llor f R ([, b]) se e solo se g R ([, b]); in tl cso b f (x) dx = b g (x) dx. Dunque è possibile modificre rbitrrimente un funzione in un numero finito di punti senz lterrne integrbilità e integrle. 4 Se f,g R ([, b]), llorf + g, f g R ([, b]) per ogni, R erisult b b b [f (x)+g(x)] dx = f (x) dx + g (x) dx (linerità dell integrle definito). 5 (disuguglinz tringolre integrle) Se f R ([, b]), llor f R ([, b]) erisult b b f (x) dx f (x) dx. Osservimo che, mentre l integrbilità di f implic quell di f, può ccdere che f si integrbile senz che lo si f. Ad esempio f :[0, 1] R definit d f (x) = 1 se x Q 1 se x R \ Q non è integrbile su [0, 1] (v. rgionmento sull funzione di Dirichlet), mentre f è l funzione costntemente ugule d 1 (integrbile).

9 6 (positività) Se f R ([, b]) ed f 0, llor Se f C ([, b]) ed f 0,llor b b f (x) dx 0. f (x) dx =0 f è identicmente null su [, b]. 7 (monotoni rispetto ll integrndo) Se f,g R ([, b]), llorf g su [, b] implic b f (x) dx b g (x) dx. 8 (monotoni rispetto l dominio) Se f R ([, b]) ed f 0, llor [,b ] [, b] implic b f (x) dx b f (x) dx. Significto geometrico dell integrle e ree Per f R ([, b]) con f 0 su [, b], bbimo definito re (T f,,b ):= b f (x) dx. Considerimo or il cso generle di f R ([, b]) con segno qulsisi. Poiché l re (in senso intuitivo) di un figur pin non cmbi simmetrizzndol rispetto d un rett, si definisce re (T f,,b ):= b f (x) dx. In prticolre: se f 0 su [, b], llor re (T f,,b )= b f (x) dx

10 Qul è llor il significto geometrico di b f (x) dx se f cmbi segno? Ad esempio, per l funzione in figur si h: b f (x) dx = = c c f (x) dx + f (x) dx b c b c f (x) dx =re(t + ) re (T ). f (x) dx In generle: se f R ([, b]) h segno costnte sugli intervlli di un suddivisione di [, b], llor b f (x) dx è l cosiddett re con segno di T f,,b, cioèldierenz tr le ree delle prti di T f,,b che stnno sopr l sse x elereedelleprtichestnnosotto. Infine, indicndo con T f,g,,b l prte di pino contenut nell strisci x b e delimitt di grfici di due funzioni f,g R ([, b]), si definisce re (T f,g,,b ):= b f (x) g (x) dx. In figur, risult: re (T f,g,,b )= = c [f (x) g (x)] dx + b c [g (x) f (x)] dx.