INTEGRALI IMPROPRI. C.d.L in Fisica Lecce, a.a. 2014/ Le definizioni... pag Criteri di integrabilità... pag Esercizi... pag.

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1 INTEGRALI IMPROPRI (Cosimo De Mitri). Le definizioni... pg.. Criteri di integrbilità... pg. 6. Esercizi... pg. C.d.L in Fisic Lecce,.. 4/5

2 INTEGRALI IMPROPRI (C. De Mitri). Le definizioni I concetti di integrbilità e di integrle sono stti trttti con riferimento funzioni limitte su intervlli limitti. Ci proponimo or di eliminre l condizione di limittezz si sull funzione integrnd si sull intervllo di integrzione. Gli integrli che si ottengono in questo modo vengono detti impropri o generlizzti. Arriveremo trttre il cso generle (Defin/ne.4) solo dopo ver nlizzto tre csi prticolri, in ciscuno dei quli vremo che fre con un funzione integrnd locl/te limitt nell intervllo di integrzione. Definizione.. Dti,b IR con < b, si f C ([,b[), f illimitt negli intorni di b. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [,b[ se lim f()d IR. h b Nel cso che il limite esist (dunque nche qundo esso è o + ), si pone b f()d = lim f()d, e questo numero h b è detto integrle improprio (o generlizzto) di f in [, b[. Spesso ci si esprime dicendo che f h in [,b[ integrle improprio convergente, divergente o indeterminto, second che il limite suddetto si finito, infinito, oppure non esist. L defin/ne può essere intermente riscritt, con ovvie modifiche, fcendo riferimento l cso in cui i punti e b bbino i ruoli scmbiti, quello cioè in cui si bbi che fre con un funzione f C (],b]) illimitt negli intorni di ; in questo cso si definisce b b f()d = lim f()d, sempre condizione che questo limite esist. h + h Allo scopo di evitre inutili ripetizioni, nel prosieguo dell presente trttzione si frà riferimento preferibilmente l cso contemplto nell Defin/ne.. Osservzione.. Se l funzione f h segno costnte in [,b[ (o lmeno in un intorno sinistro di b), llor l funzione F : h [,b[ f()d è monoton in [,b[ (oppure, rispett/te, in un intorno sinistro di b), e pertnto il limite citto nell Defin/ne. esiste senz ltro. Se in prticolre risult f() (oppure f() ) [,b[, llor b f()d = sup h [,b[ f()d (oppure, rispett/te, b f()d = inf h [,b[ f()d).

3 Esempio.. Considerimo, per ogni α IR +, l funzione f α () =, ],]. α Si vede che f α C (],]) e, h ],[, si clcol che { h α h f α()d = α se α, d cui segue che logh { se α = lim h + h f α()d = α se α < + se α. Pertnto f α è impropr/te integrbile in ],] se e solo se { α se α < + se α. Chirmente l esempio si può generlizzre, con risultti α <, e risult, α IR +, f α()d = nloghi, l cso dell funzione f α () = ( ) α, ],b]. Esempio.. Considerimo l π tgd. Posto f() = tg, si vede che f C ([, π [) e, h ], π [, si clcol che tgd =... = logcosh +. h π Si conclude che f non è impropr/te integrbile in [, π [, e, più precismente, che f h in [, π [ integrle improprio divergente, nel senso che π tgd = +. Definizione.. Si f C ([,+ [), con IR. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [,+ [ se lim f()d IR. h + Nel cso che il limite esist (dunque nche qundo esso è o + ), si pone + f()d = lim h + f()d, e questo numero è detto integrle improprio (o generlizzto) di f in [,+ [. Spesso si us dire che f h in [,+ [ integrle improprio convergente, divergente o indeterminto, second che il limite suddetto si finito, infinito, oppure non esist. L defin/ne può essere intermente riscritt, con ovvie modifiche, fcendo riferimento l cso in cui si bbi che fre con un funzione f C (],b]); in questo cso si definisce b b f()d = lim f()d, sempre condizione che questo limite esist. h h Allo scopo di evitre inutili ripetizioni, nel prosieguo dell presente trttzione si frà riferimento preferibilmente l cso contemplto nell Defin/ne.. Osservzione.. Se l funzione f h segno costnte in [,+ [ (o lmeno in un intorno di + ), llor l funzione F : h [,+ [ f()d è monoton in [,+ [ (oppure, rispett/te, in un intorno di + ), e pertnto il limite citto nell Defin/ne. esiste senz ltro. Se in prticolre risult f() (oppure f() ) [,+ [, llor + f()d = sup h f()d (oppure, rispett/te, + f()d = inf h f()d).

4 Esempio.. Considerimo, per ogni α IR +, l funzione f α () = α, [,+ [. Si riconosce che f α C ([,+ [) e, h >, si clcol che f α()d = cui segue che lim h + { h α se α α logh se α =, d { f α()d = α se α > + se α. Si conclude che f α è impropr/te integrbile in [,+ [ se e solo se α >, e risult, α IR +, { + f α ()d = α se α > + se α. Esempio.4. Considerimo l + Posto f() = d., si vede che f C ([,+ [) e, h >, si clcol che h f()d =... = ( h h +rctg h ) h + π. Si conclude che f è impropr/te integrbile in [,+ [ e che + f()d = π. Osservzione.. Sino f,g C ([,b[), essendo IR e b IR con b >. A proposito dell somm f + g, è fcile riconoscere che: -)sef eg sonoimpropr/teintegrbiliin[,b[,llornche f+g èimpropr/teintegrbile in [,b[; -) sussiste sempre l uguglinz b (f()+g())d = b f()d+ b g()d, sotto l condizione che gli integrli o membro esistno e non sino due infiniti opposti. Nel cso dell integrle dell Esempio.4, questo non potev essere clcolto come differenz degli integrli + d e + d, dto che, come fcilmente si verific, questi risultno entrmbi divergenti positivmente. -) Fin qui bbimo trttto csi in cui l improprietà rigurd uno solo dei due estremi di integrzione. Nell defin/ne che segue è considerto il cso in cui l condizione di improprietà sussiste in entrmbi gli estremi. Allo scopo di condensre più csi in un unic formulzione, fremo riferimento d un intervllo], b[ che potrà essere limitto oppure illimitto infer/te e/o super/te. Si verific con fcilità che, dt f C (],b[) e presi c,c ],b[, gli integrli impropri c f()d e c f()d hnno lo stesso crttere ; e ciò vle nche per l coppi degli integrli impropri b c f()d e b c f()d. Inoltre si riconosce che, nel cso che i suddetti integrli impropri esistno, si h c f()d + b c f()d = c f()d + b c f()d, sempre che non si si in presenz dell form indetermint. Tutto ciò f sì che l definizione seguente si ben post.

5 Definizione.. Si f C (],b[), con < b + ; se IR, f si illimitt negli intorni di, ed nlog condizione vlg nche per l estremo b. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in ],b[ se, preso un qulunque c ],b[, si h che f è impropr/te integrbile si in ],c] si in [c,b[. f()d, e questo numero è detto integrle improprio (o generlizzto) di f in ],b[. Nel cso che esistno entrmbi gli integrli impropri, c f()d e b f()d, e non sino due infiniti oppo- c sti, si pone b f()d = c f()d+ b c Esempio.5. Considerimo l + e d. Posto f() = e, si vede che f C (],+ [). Si clcol: ε f()d=...=(e ε e ) ( e ), ε + cosicché risult f()d = ( e ); ed ncor: f()d =... = (e e h ) h + e, cosicché risult + f()d = e. Concludimo che f è integrbile in ],+ [ e che + f()d = ( e )+e =. Osservzione.4. Nel cso dell funzione f dell Defin/ne., un ltro modo per stbilire l integrbilità e clcolre l integrle è quello di fre ricorso l l k h i m lim k b h f()d k oppure l lim k b lim h f()d, dove però i limiti interni devono essere finiti. h Così, per l integrle dell Esempio.5, si può procedere nel seguente modo: h ε f()d =... = (e ε e h ) ( e h ). ε + h + Aggiungimo che in questo cso, come del resto in tutti quelli in cui l funzione h segno costnte, è possibile limitrsi d introdurre un solo prmetro, dl qule si frnno dipendere entrmbi gli estremi di integrzione. In effetti, sempre con riferimento l medesimo integrle, si clcol: f()d =... = (e h e h ). h + h Esempio.6. Considerimo l + + d. Posto f() = +, si vede che f C (],+ [). Si h: h f()d = h + d =... = (rctg rctg h ) h (rctg + π ), cosicché risult f()d = (rctg + π ); ed ncor: f()d = + d =... = h (log h+ log 4 ) h + log4, cosicché risult + f()d = log4. In definitiv, f è integrbile in ],+ [ e + f()d = (rctg + π )+ log4. 4

6 Esempio.. Considerimo l IR e d. Posto f() = e, si vede che f C (IR)). Si clcol: h f()d =... = (h )eh cosicché risult f()d = ; ed ncor: f()d =... = (h )eh + cosicché risult + f()d = +. Concludimo che f non è integrbile in IR e che f()d = +. IR h, h + +, -) Nell defin/ne che segue viene infine trttto il cso generle, in cui l improprietà rigurd un numero finito di punti, lcuni dei quli dunque possono essere nche interni ll intervllo di integrzione. Definizione.4. Sino I un intervllo di IR, S un suo sottoinsieme finito, f un funzione di C (I \S), illimitt negli intorni di ciscun punto di S. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in I se lo è in ciscuno dei sottointervlli nei quli I rest diviso di punti di S. Nel cso che esistno tutti gli integrli estesi i suddetti sottointervlli e l loro somm non è indetermint, quest è indict con f()d, oppure con I b f()d, dove e b sono gli estremi di I, ed è chimt integrle improprio (o generlizzto) di f in I. Esempio.8. Considerimo l e e log d. Posto f() = log, si vede che f C ([e,[ ],e]). Si clcol: f()d =... = e ( log h ) cosicché f()d = e ; ed ncor: e h f()d =... = ( log h) h +, cosicché e f()d =. Concludimo che f è integrbile in [e,e] e che e f()d = e + =., h Avvertimo espressmente che l presenz di punti di improprietà interni ll intervllo di integrzione, qulor non fosse rilevt, srebbe cus di errori grossolni. Ad esempio: d = [ ] =! 5

7 . Criteri di integrbilità In questo prgrfo fremo riferimento preferibilmente funzioni di C ([,b[), con < < b +, illimitte negli intorni di b se b IR; m ovvimente i risultti potrnno essere estesi tutte le ltre situzioni che dnno luogo d integrli impropri. Lo scopo è quello di presentre dei criteri con i quli si possibile stbilire l integrbilità in senso improprio in [,b[ di un dt funzione f senz pssre ttrverso il clcolo dell f()d. Definizione.. Si f come nell premess. Si dice che f è sommbile in [, b[, oppure ssolut/te integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [,b[ se l funzione f è impropr/te integrbile in [, b[. E evidente che non c è differenz tr integrbilità in senso improprio e ssolut integrbilità in senso improprio se f h segno costnte intorno b. Proposizione.. Dt f come nell premess, llor: ) f sommbile in [,b[ f + ed f impropr/te integr/li in [,b[; b) f sommbilein[,b[ = f impropr/teintegr/lein[,b[e b f()d b f() d. Dim.(). Risult, h ],b[, f() d = f+ ()d+ f ()d; ne segue che l integrle primo membro h limite finito per h b se e solo se ciscuno dei due integrli secondo membro h limite finito per h b. Dim.(b). Risult, h ],b[, f()d = f+ ()d f ()d; ne segue, cus dell ipotesi e tenendo conto di qunto già provto, che l integrle primo membro h limite finito perché ciscuno dei due integrli secondo membro h limite finito per h b. L second prte dell tesi segue dll disuguglinz f()d f() d, vlid h ],b[, pssndo l limite per h b Si vedrà che esistono funzioni impropr/te integrbili in [, b[ che non sono ssolut/te integrbili insenso improprio in[,b[; è chiro che queste funzioni ssumono in ogni intorno di b vlori si positivi si negtivi, e per esse si h b f+ ()d = b f ()d = +. Proposizione. (criterio del confronto). Si f come nell premess. Se esistono [,b[ e g C ([,b[) tli che, [,b[, f() g(), llor, se g è impropr/te integrbile (in [,b[), nche f è impropr/te integrbile (in [,b[). Dim. Intnto le Osserv/ni. e. grntiscono che il lim h b f()d esiste. Risult, h ],b[, f()d = f()d + f()d f()d + g()d; ne segue che, se è finito il lim h b g()d, llor è finito nche il lim h b f()d 6

8 Esempio.. L funzione f() = e è impropr/te integrbile in [,+ [. Inftti l funzione g definit d g() = è impropr/te integrbile in [,+ [, e risult ivi e. Esempio.. L funzione f() = sen è ssolut/te integrbile in senso improprio, e quindi nche integrbile in senso improprio, in ], + [. Risult inftti f() ],], ed è noto che l funzione g () = è impropr/te integrbile in ],]; ed ncor, si h che f() [,+ [, ed è noto che l funzione g () = è impropr/te integrbile in [,+ ]. 4sencos +sen Esempio.. L funzione g() = non è impropr/te integrbile né nell intervllo ], ] né nell intervllo [, + [. sen Risult inftti g() = = +sen > si in ],] si in [,+ [, cosicché, in ciscuno di questi intervlli, se fosse impropr/te integrbile l funzione ssegnt, lo srebbe nche l funzione f() =. + Esempio.4. Gli integrli sen d e + cos d, detti integrli di Fresnel, sono convergenti (). Per dimostrre che esiste finito il lim h + sen d, osservimo che, h >, risult sen d = sen d + sen d = sen d h h dcos = sen d+ cosh (cos h ) cos d, cosicché il problem divent quello di dimostrre che è impropr/te integrbile in [, + [ l funzione cos ; e diftti quest funzione è nche ssolut/te integrbile in [,+ [, dto che risult ivi cos. In modo nlogo si procede per il secondo integrle. Osservzione. (e un criterio di divergenz). A proposito degli integrli impropri su intervlli del tipo [, + [, l esempio precedente dimostr che, dispetto delle evidenti nlogie fr il comportmento di questi integrli ed il comportmento delle serie numeriche, può ccdere che un f C ([,+ [) bbi in [,+ [ integrle improprio convergente pur senz essere infinitesim per +. D ltrprte, se l + f()d convergeed esisteil lim f(), questo nonpuò che essere +. In ltri termini, dt f C ([,+ [), se lim f() = l con l IR ed l, llor + l + f()d non converge, e precismente risult + f()d = l(+ ); inftti, nel cso d esempio l >, esistono ed M IR + tli che f() M [,+ [. () Si può nche dimostrre che i due integrli non sono ssolutmente convergenti.

9 Esempio.5. L funzione f() = sen in [,+ [. è impropr/te integrbile m non sommbile Per provre che esiste finito il lim f()d, osservimo che, integrndo per prti h + con d cos fttore differenzile, si ricv che, h ],+ [, cosh f()d =... = cos cos h d, cosicchè il problem divent quello di dimostrre che è impropr/te integrbile in [,+ [ l funzione cos. E diftti quest funzione in [, + [ è nche ssolut/te integrbile, dto che risult ivi cos. Per provre che l nostr f non è ssolut/te integrbile in [, + [, osservimo preliminrmente che, k IN, π+kπ kπ (k+)π. Ne segue che, n IN, nπ π n k+ sen d sen π+kπ π+kπ d nπ π kπ sen d = sen d = n π π+kπ π+kπ kπ k= send = sen d. D qui discende l tesi, pssndo l limite per n + e tenendo conto del k= ftto che l serie rmonic diverge. Proposizione. (criterio del confronto sintotico). Sino f e g come nell premess, entrmbe positive intorno b. Se f() g() per b, llor gli integrli impropri b f()d e b g()d o convergono entrmbi o divergono entrmbi. Dim. Dl ftto che lim g() = discende che f() g() intorno b, e dunque g() f() g() intorno b; d qui segue l tesi grzie l criterio del confronto b f() Esempio.6. L funzione f() = è impropr/te integrbile in ],+ [. 4 Si osserv inftti che, per +, f() = ( ), e, per / +, f() ; d ciò segue, per il criterio del confronto sintotico, che f è 4/ impropr/te integrbile si in ],] si in [,+ [. Se, per l funzione f in [,b[, ssumimo come termine di prgone le funzioni (b ) λ nel cso b IR e nel cso b = +, similmentecome èsttonel precedente esempio, λ dl criterio del confronto ricvimo rispett/te i due criteri che seguono. Proposizione.4 (criterio dell ordine di infinito). Si f C ([,b[), con b IR. ) Se λ < tle che f si infinit d ordine minore di λ o ugule λ per b, llor f è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, b[. b) Se f è infinit d ordine mggiore di o ugule d per b, llor f non è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, b[. Dim. Considerimo soltnto, mo d esempio, il cso che f si un infinito d ordine minore di un λ < per b. Dunque risult lim f() =, d cui segue b (b )λ che f() per intorno b, ed è noto che l b (b ) λ 8 (b ) λ d converge

10 Esempio.. Considerimo, l vrire di α IR, l / α log d. Posto f() = α log, si riconosce che f C (], ]). Se α, risult lim +f() =, cosicché f è integrbile secondo Riemnn in [, ]. Se < α <, l integrle converge perché f è infinit d ordine minore di α per +. Se α =, il criterio precedente è inpplicbile, essendo f infinit per + d ordine minore di e mggiore di ogni λ ],[; si clcol / ε log d = [log log ]/ ε = loglog log logε, cosicché l integrle ssegnto diverge negtivmente. ε + Se α >, l integrle diverge perché f è infinit d ordine mggiore di per +. Proposizione.5 (criterio dell ordine di infinitesimo). Si f C ([,+ [). ) Se λ > tle che f si infinitesim d ordine mggiore di λ o ugule λ per +, llor f è ssolut/te integrbile in senso improprio in [,+ [. b) Se f è infinitesim d ordine minore di o ugule d per +, llor f non è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, + [. Dim. Considerimo soltnto, mo d esempio, il cso che f si un infinitesimo d ordine mggiore di un λ > per +. Dunque risult lim λ f() =, d cui segue + che f() per intorno +, ed è noto che l + d converge λ λ Esempio.8. Considerimo, l vrire di α IR, l + log d. α Posto f() = log, si riconosce che f C ([,+ [). α Se α, risult lim f() = +, e l integrle + ssegnto diverge (si ved l Osserv/ne.). Se < α, l integrle diverge perché f è infinitesim d ordine minore di per +. Se α >, l integrle converge perché f è, per +, infinitesim d ordine mggiore di, che è mggiore di. α+ Esempio.9. Discutimo l integrbilità di f() = Si osserv nzitutto che f C (],[ ],+ [). Si clcol lim +f() =, e quindi f è integrbile in senso ordinrio nell intorno destro del punto. log Per si h f() = (+)( )+log / (infinito d ordine ); ne segue che f è ssol/te integrbile in senso improprio nell intorno del punto. log Infine si vede che per + f() (infinitesimo d ordine mggiore di ); ne segue che f è integrbile in senso improprio nell intorno di +. Si conclude che l funzione ssegnt è ssol/te integrbile in senso improprio nell intervllo ], + [. log +log su ],+ [. 9

11 Esercizio.. Studire e rppresentre grficmente l funzione definit d f() = dt +. +logt Ponimo g(t) = +logt. -) Per l determinzione del dominio, si trtt di stbilire per quli IR l integrle g(t)dt esiste ed è finito. A tle scopo osservimo che l integrnd g(t) è definit per t ],e [ ]e,+ [, che ]e,+ [ e che e g(t)dt = (in qunto, per t (e ) +, g(t) = log(et) et = e(t e ) ). Ne segue che Dom(f) =]e,+ [. Inoltre f è continu in Dom(f). -) f() =. -) lim +f() = e (e ) g(t)dt + e =, cosicché l rett = e è sintoto verticle. è stto cl- -) Considerto che + g(t)dt = + (in qunto, per t +, g(t) [ ( ) ] lim f() = lim g(t)dt + = +, dove il lim colto usndo l regol ( di De L Hôpitl; ) f() lim = lim g(t)dt = =: m; ( lim (f() m) = lim + + g(t)dt+) = +. Pertnto non esiste sintoto per +. -) Per ogni Dom(f) l funzione è derivbile in, con f () = log +log. -) Risult f () > e < < e. Ne segue che l funzione è strett/te crescente in ]e,e] e strett/te decrescente in [e,+ [. Il punto e è di mssimo reltivo proprio, nonché ssoluto. -) Per ogni Dom(f) l funzione è derivbile due volte in, con f () = (+log). -) Risult, Dom(f), f () <. Ne segue che l funzione è strett/te concv in Dom(f). -) Osservndo il grfico si riconosce che l funzione h esttmente due zeri, = e > e, che è positiv in ], [ e che è negtiv in ]e,[ e in ],+ [. logt g(t)dt ), si clcol:

12 . Esercizi. Clcolre i seguenti integrli: + log d, log d, + d, e ++ e d, 5 log d. +. Dimostrre per induzione che n IN n e d = n!.. Discutere i seguenti integrli: + sen(/ ) + log d, ( 5) 4 d, log log( ) d. 4. Clcolre i seguenti integrli: log d, log d, + log d. A quli di essi si può pplicre il criterio dell ordine di infinito o infinitesimo? 5. Discutere e clcolre i seguenti integrli: rcsen d, + log (+) d, 6. Discutere, l vrire di α IR +, l +. Discutere l d, + (+) e ( +) senh d. α α(+) + d, e clcolrlo per α =. α d per α IR, e clcolrlo per α =,,, Discutere l π (α sen α )d per α IR, e clcolrlo per α =,,,, Discutere l + α rctg d per α IR, e clcolrlo per α =.. Discutere l π sen(+α) cos+sen d per α IR, e clcolrlo per α =.. Discutere, per α IR +, l t α α t dt, e clcolre il lim + t α α t dt.. Dimostrre che + log(+) d = + e che. Posto f() = sen, si clcol: sen ) π 6 f()d = lim b) π 6 f()d = π 6 π π π 6 ε + ε log(t+) dt log per +. f()d = lim ε +[log tg tg ]π 6 ε =... = log log; sen d π 6 sen d = [logtg ]π π = log. Dire qule dei due clcoli è sbglito. 4. Clcolre lim + + t t sent dt. sen d = π sen d π sen d = 5. Studire e rppresentre grficmente le funzioni f e g definite rispett/te d f() = logt d, g() = logt dt.