ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 13 giugno Soluzioni compito 1

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1 ANALISI MATEMATICA II Spienz Università di Rom - Lure in Ingegneri Informtic Esme del 3 giugno Soluzioni compito E Dt l funzione periodic di periodo π e definit nell intervllo [ 3π 2, 5π 2 ) come f(x) = (x ) 2 (cos x) 3, i) dire (motivndo) se l su serie di Fourier converge totlmente in R e dire qunto vle l su somm S(x) per ogni punto x R. ii) Clcolre S( 4 3 π) e S( 5 2 π). Soluzione: (i) Sono verificte le ipotesi del teorem di convergenz totle: l funzione è continu in R con derivt continu in R, quindi è in prticolre regolre trtti e continu in R. Bst controllre che gli estremi dell intervllo i limiti destro e sinistro coincidno. L somm S(x) vle esttmente f(x), come segue dl teorem di convergenz puntule. (ii) ( ) 4 S 3 π = f ( ) 4π = f 3 ( ) ( ) 5π 5 2 = 3 3 π ( ) ( ) ( ) ; S 2 π = f 2 π = f 2 π = 0. E 2 Dt l seguente successione di funzioni in cmpo complesso f n (z) = en(z )2, z C studirne l convergenz puntule e uniforme. Soluzione: Scrivendo f n (z) = (e (z )2) n = n c è convergenz puntule f(z) = 0 se, non c è convergenz ltrimenti. Quindi e (z )2 e (x+iy )2) e (x2 y 2 2x+) y 2 x 2 2x + = (x ) 2. Quindi c è convergenz puntule in A = {z = x + iy C : y 2 (x ) 2 0}. A 0 2 2

2 L convergenz è nche uniforme, inftti dto che in A vle e (z )2. g n = sup f n (z) f(z) = sup z A z A e n(z )2 n 0, E 3 Clcolre usndo l trsformt di Lplce il segnle che soddisf il seguente problem y (t) = H(t) sen (nt) y(0) = 0 y (0) = dove n N \ {0} e denot il prodotto di convoluzione. Soluzione: Vle Trsformndo l equzione si trov Antitrsformndo si trov D H(t) sen (nt) = s 2 Y (s) = ns t 0 sen (nτ) dτ = cos(nt). n s n(s 2 + n 2 ) Y (s) = s 2 + ns 3 ns(s 2 n 2 ). y(t) = t + t2 2n t2 H(t) sen (nt) = t + n2 2n cos(nt) n 3. (i) Enuncire il teorem dei residui. (ii) Clcolre, il seguente integrle e iz dz dove l curv é il bordo dell insieme T = {z = x + iy : x, y } l vrire di R {0,, 4π,...}. Soluzione: (ii) L funzione integrnd f(z) = e iz h singolrità se eiz = 0, cioè nei punti z k tli che iz k = log = i2kπ, k Z. Quindi z k = 2kπ, k Z. Si trtt di poli semplici, inftti z z k lim z z k e iz = lim inoltre dll precedente segue che res(f(z), z k ) = i. z z k = i ieiz Al vrire di > 0 si osservi che il numero di singolrità che cdono nell insieme T sono +2, dove è l prte inter di. Dl teorem dei residui segue che l integrle cercto vle ( ) ( ) f(z) dz = i + 2 ( i) =

3 D 2 i) Dre un esempio di funzione che bbi un singolritá eliminbile in z 0 = 3i. ii) Provre che se f(z) h in z 0 un singolritá eliminbile in z 0 il suo sviluppo di Lurent di centro z 0 mnc dell prte singolre. Soluzione: (i) Bst uno dei soliti esempi f(z) = z 3i sen (z 3i) oppure f(z) = ez 3i z 3i. Fcendo il limite o scrivendo lo sviluppo in serie di Lurent si verific che si trtt di singolrità eliminbili. 3

4 ANALISI MATEMATICA II Spienz Università di Rom - Lure in Ingegneri Informtic Esme del 3 giugno Soluzioni compito 2 E Dt l funzione periodic di periodo π e definit nell intervllo [ π 2, 3π 2 ) come f(x) = x 3 (cos x) 2, i) dire (motivndo) se l su serie di Fourier converge totlmente in R e dire qunto vle l su somm S(x) per ogni punto x R. ii) Clcolre S( 4 3 π) e S( 5 2 π). Soluzione: (i) Sono verificte le ipotesi del teorem di convergenz totle: l funzione è continu in R con derivt continu in R, quindi è in prticolre regolre trtti oltre che continu su R. Bst controllre che gli estremi dell intervllo i limiti destro e sinistro coincidno. L somm S(x) vle esttmente f(x), come segue dl teorem di convergenz puntule. (ii) ( ) 4 S 3 π = f ( ) 4π = f 3 ( ) ( ) 2 3 = 3 3 π ( ) ( ) 5 5 ( π ) 4 ; S 2 π = f 2 π = f = 0. 2 E 2 Dt l seguente successione di funzioni in cmpo complesso studirne l convergenz puntule e uniforme. Soluzione: (i) Scrivendo f n (z) = enz2 n + f n (z) = (e z2) n n + = z C n n + c è convergenz puntule f(z) = 0 se, non c è convergenz ltrimenti. Quindi e z2 e (x+iy)2) e (x2 y 2) y 2 x 2. Quindi c è convergenz puntule in A = {z = x + iy C : y 2 x 2 0}. A 0 4

5 L convergenz è nche uniforme, inftti e nz2 g n = sup f n (z) f(z) = sup z A z A n + n + dto che in A vle e z2. n 0, E 3 Clcolre usndo l trsformt di Lplce il segnle che soddisf il seguente problem y (t) = H(t) t n y(0) = 0 y (0) = dove n N e denot il prodotto di convoluzione. Soluzione: Trsformndo l equzione si trov Antitrsformndo si trov D s 2 Y (s) = n! s n+2 Y (s) = s 2 + n! s n+4. y(t) = t + t n+3 (n + )(n + 2)(n + 3). (i) Enuncire il teorem dei residui. (ii) Clcolre, il seguente integrle e z dz dove l curv é il bordo dell insieme T = {z = x + iy : x, y } l vrire di R {0,, 4π,...}. Soluzione: (ii) L funzione integrnd f(z) = e z z k = log = i2kπ, k Z. Si trtt di poli semplici, inftti h singolrità se ez = 0, cioè nei punti z z k lim z z k e z = lim z z k e z = inoltre dll precedente segue che res(f(z), z k ) =. Al vrire di > 0 si osservi che il numero di singolrità che cdono nell insieme T sono +2, dove è l prte inter di. Dl teorem dei residui segue che l integrle cercto vle ( ) f(z) dz = i

6 D 2 i) Dre un esempio di funzione che bbi un singolritá essenzile in z 0 = 2i ii) Provre che se f(z) h in z 0 un singolritá essenzile il suo sviluppo di Lurent di centro z 0 h infiniti termini nell prte singolre. Soluzione: (i) Funzioni come f(z) = sen ( z 2i ) oppure f(z) = e z 2i hnno il comportmento cercto. Scrivendo lo sviluppo in serie di Lurent si verific subito che l singolrità è essenzile. 6