Integrali impropri di funzioni di una variabile

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1 Integrli impropri di funzioni di un vribile. Le funzioni continue Considerimo nel seguito un delle piú importnti ppliczioni del teorem di uniforme continuitá delle funzioni continue su intervlli chiusi e limitti: l loro integrbilitá. Ricordimo che l integrbilitá secondo Riemnn su intervllo chiuso e limitto [, b] é riconoscibile elementrmente per due sole clssi di funzioni: quelle lipschitzine, quelle monotone e limitte. Teorem.. Si f : E R R continu, llor f é integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo chiuso e limitto [, b] E. Dimostrzione. Essendo f continu in E e quindi nche in [, b], f é, di conseguenz, uniformemente continu in [, b]. Scelto ε > esiste pertnto un δ ε > tle che se l mssim mpiezz degli intervllini dell decomposizione verific l disuguglinz llor riesce = x < x < x 2 <... < x n < x n = b mx x i+ x i δ ε i i : sup f(t) inf f(t) ε t [x i+,x i ] t [x i+,x i ] Indicte pertnto con S + e con S le somme di Riemnn di f reltive tle decomposizione riesce S + S ε (b ) d cui l integrbilitá.

2 2 INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE 2. Integrli impropri Il titolo di integrle improprio si riferisce integrli quli ( ) sin dx, dx, e x sin(x) dx, dx x x x 2 riferiti funzioni non continue gli estremi di intervlli, funzioni integrnde non limitte, intervlli di integrzione non chiusi e limitti. Ricordimo il seguente risultto fondmentle per l integrzione di funzioni f(x) continue su intervlli chiusi e limitti: Teorem 2.. Si f continu nell intervllo chiuso e limitto [, b], sino { n } e {b n } due successioni contenute in [, b] e convergenti rispettivmente d e b llor n () lim f(x)dx = n n f(x)dx L proprietá indict viene ssunt come lgoritmo di definizione dell integrle nei csi impropri precedentemente elencti: perché non definire come lim sin( x ) dx, sin( x ) dx, un volt riconosciut l esistenz di tle limite...? 3. Integrli su intervlli limitti 3.. Funzioni continue e limitte. Teorem 3.. Si f(x) continu sull intervllo perto (, b) e si limitt in modulo: llor comunque si scelgno due successioni { n } e {b n } contenute in (, b) e convergenti rispettivmente d e b esiste il n (2) lim n n Vol. I, 3.5, pg, 3 f(x) dx

3 3. INTEGRALI SU INTERVALLI LIMITATI 3 il cui vlore viene poi ssunto come definizione di f(x) dx Dimostrzione. Si f(x) M, posto I n = n verifichimo l esistenz del limite : n f(x)dx lim I n n trmite il criterio di convergenz di Cuchy, vlido per ogni successione numeric. Riesce I n I m M ( n m + b n b m ) Tenuto conto che { n } e {b n } sono successioni convergenti, i due moduli secondo membro srnno infinitesimi. Quindi infinitesimo riesce nche I n I m e quindi, verificto il criterio di convergenz, se ne deduce l esistenz del limite (2). Esempio 3.2. Il teorem precedente grntisce l esistenz dell integrle improprio di sin(/x) sull intervllo (, π/2), come pure ovvimente su qulunque ltro intervllo [, A]. Considerimo, per ltr vi, l integrle improprio sin( x Tenuto conto che, < < π/2, si h )dx = lim sin( x )dx sin( x )dx = x (cos( 2 ) x ) dx sin( x )dx = x2 cos( π/2 x ) 2 x cos( x )dx I due termini secondo membro hnno limite per : il primo perché esiste, ovvimente, lim 2 cos( ) = il secondo perché l funzione integrnd é prolungbile per continuitá in tutto l intervllo chiuso [, π/2] É quindi riconosciut l esistenz del limite lim sin( x )dx

4 4 INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE purtroppo, non é ltrettnto semplice conoscerne il vlore! 3.2. Numero finito di discontinuitá. Il precedente Teorem (3.) copre nche il cso di lcuni punti di discontinuitá interni ll intervllo di integrzione quli nel cso, vedi Figur,d esempio di sin( sin(x) ) dx Figur. sin( sin(x) ) dx 3.3. Funzioni continue in (, b) non limitte. L questione 2 si riferisce l secondo esempio dx x L costruzione degli integrli I n é l stess del cso precedente: non ltrettnto l loro convergenz che, dipende dll ordine di infinito che l funzione f present in uno o in entrmbi gli estremi. Teorem 3.3. Si f continu in (, b], escluso e b incluso, e riesc llor esiste il limite (3) lim f(x) M x α, α < t t f(x)dx 2 Dire che f(x) continu in (, b) perto non é limitt equivle dire che diverge in modulo in uno o in entrmbi gli estremi.

5 3. INTEGRALI SU INTERVALLI LIMITATI 5 che puó essere quindi preso come vlore dell integrle improprio f(x) dx Dimostrzione. Sino t, t 2 [, + ɛ], t < t 2 t2 f(x)dx f(x)dx M t t 2 t x dx α = = M ( (t2 ) α (t ) α) M α α ɛ α Figur 2. Sottogrfico di / x (rosso) su [, ] : regione illimitt (in lto...) m re finit. Sottogrfico di /x (nero): re infinit. Esempio 3.4. dx ( x2 )( k 2 x 2 ), k 2 < L funzione integrnd f(x) é continu in [, ), diverge in, m ( ) f(x) k 2 x quindi present in x = un ordine di divergenz con esponente α = /2 legittimo...! Un integrle di questo tipo si incontr nello studio delle oscillzioni del pendolo: vedi Cournt-John, Introduction to Clculus nd Anlysis, Vol. I pg. 4.

6 6 INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE 4. Intervlli illimitti Funzioni continue d integrre su intervlli infiniti (semirette o tutto l sse rele): stesso procedimento bsto sui csi precedenti, si integr su un successione di intervlli leciti e si ssume come integrle improprio il loro limite. Teorem 4. (Criterio sufficiente di convergenz). Si f(x) continu nell intervllo illimitto (, + ) e infinitesim per x con un ordine di infinitesimo α > f(x) lim x + /x = lim f(x) α x + xα = llor esiste il limite t lim f(x) dx t + e tle vlore viene ssunto come integrle improprio f(x) dx L dimostrzione é nlog quell dei csi precedenti. Esempio 4.2. Il sottogrfico di h re finit, π. Inftti f(x) = + x 2 dx = lim + x2, b + + x 2 dx = = lim (rctn(b) rctn()) = π, b + Esempio 4.3. Il sottogrfico di f(x) = e x2, l cmpn di Guss, h re finit, vlore π. 5. Integrli impropri di funzioni positive Proposizione 5.. Si positiv, f(x) : riesce lim c c f : (, b] R R f(x)dx = sup c (,b] c f(x)dx

7 5. INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI POSITIVE 7 Figur 3. In rosso /( + x 2 ), in nero, sotto, e x2 5.. Teoremi di confronto. Teorem 5.2. Sino f e g due funzioni positive, continue in (, b], e tli che f(x) g(x) llor se esiste l integrle improprio di g llor esiste nche quello di f, se non esiste l integrle improprio di f llor non esiste nenche quello di g Convergenz ssolut. Proposizione 5.3. Si f continue in (, b], se esiste l integrle improprio di f llor esiste nche quello di f. Dimostrzione. Indicte con f + ed f l prte positiv e l prte negtiv di f riesce f(x) = f + (x) f (x), f + (x) f(x), f (x) f(x) Pertnto in bse l precedente Teorem di confronto esistono gli integrli impropri si di f + che di f e, quindi, per lineritá nche quello di f Intervlli illimitti. Qunto osservto nei precedenti prgrfi reltivmente l cso di intervlli limitti si estende in modo del tutto nlogo l cso di intervlli illimitti.

8 8 INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE 6. L indipendenz dll successione I precedenti integrli impropri sono stti definiti come limiti di ltri integrli: é importnte riconoscere che i vlori cosí ssunti non dipendno tuttvi dll successione scelt nel clcolo. Supponimo per esempio che qulcuno prlsse dell integrle improprio sin(x)dx dichirndo che esso vle in bse l seguente rgionmento: l successione di punti x k = 2kπ tende + gli integrli xk quindi sin(x)dx = sin(x)dx = xk lim sin(x)dx = k + L errore consiste nel ftto che occorre, per prlre di integrle improprio, poter riconoscere che qulsisi successione x k + si prend esist il limite degli integrli xk sin(x)dx e tle limite si sempre lo stesso, cioé non cmbi cmbindo successione. Nel cso precedente se si scegliesse invece x k = (2k + )π successione ncor divergente + si otterrebbero integrli xk sin(x)dx = che porterebbero, con lo stesso diritto ll dichirzione sin(x)dx = I teoremi dimostrti grntiscono condizioni sufficienti tle indipendenz del limite dll successione scelt per eseguire i clcoli.