1. Integrali impropri (o generalizzati)

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1 Corso di Lure in Ingegneri delle Teleomunizioni - A.A.- Tri del orso di Anlisi Mtemti L-B. Integrli impropri (o generlizzti) Riferimenti. Brozzi: PCAM, pr..8; Minnj: Mtemti Due, pr.. Si f :[, + ) R un funzione integrbile su ogni intervllo [, b]; diremo he ess è integrbile su [, + ) se esiste finito il ite e si pone b + f() d := b + f() d. Se f è integrbile su [, + ) si die nhe he l integrle f() d è onvergente. Esempio.. Per ogni λ>sih e λ d = λ ( e λb ) λ, per b + ; l ontrrio d =lnb +, per b +. Dunque e λ è integrbile su [, + ), / non è integrbile su [, + ). In modo nlogo, se f :(,b] R è un funzione integrbile su ogni intervllo [, b], si pone f() d := sempre he il ite indito esist finito. Se poi f : R R, edf è integrbile su ogni intervllo omptto, si pone si pone f() d := f() d + ptto he entrmbi gli integrli seondo membro sino onvergenti. Esempio.. Si h e d =, in virtù di qunto visto nell esempio preedente.. Si f :(, b] R un funzione integrbile su ogni intervllo [, b] on <<b; supponimo he f non si prolungbile on ontinuità nel punto (in tl so il prolungmento di f è integrbile su [, b] senz problemi); d esempio f può essere divergente per +. Diremo he f è integrbile su [, b] se esiste finito il ite e si pone + f() d := + f() d.

2 Considerizioni nloghe se f :[, b) R un funzione integrbile su ogni intervllo [, ] on <<b, essendo eventulmente divergente per b. Esempio.. Per l funzione f() =/ si h, per ogni (, ), l ontrrio d = ( ), per + ; d = ln +, per +. Dunque / è integrbile su [, ], / non è integrbile su [, ]. Esempio.. Si h, per ogni (, ), ln d= ln +, dunque l funzione logritmo è integrbile sull intervllo [, ] on integrle ugule.. È interessnte studire l integrbilità delle funzioni del tipo /α, on α>, sugli intervlli [, ] e [, + ). Abbimo ppen visto he per α = gli integrli onsiderti sono entrmbi divergenti. Tenendo presente he un primitiv dell funzione / α = α si srive α α, si trov α> =, α α d = α ; <α< = α d = α,. α Le tre figure seguenti illustrno le diverse situzioni. α =

3 α> α α d = α <α< α α d = α. Teorem di onfronto. Sihl Proposizione. Sino f,g :[, + ) R due funzioni non negtive, e si bbi, f() g(). Allor f() d g() d nel senso he se l integrle seondo membro onverge, nhe l integrle primo membro onverge, se quest ultimo diverge, nhe l integrle seondo membro diverge. Dimostrzione. Per le funzioni resenti f(t) dt e g(t) dt si h, f(t) dt g(t) dt, dunque se g è integrbile su [, + ) tle è nhe f, sef non è integrbile sullo stesso intervllo, tle è nhe g. Esempio.. L funzione pri e è integrbile su R. Inftti ess è integrbile su [, ], in qunto ontinu, ed è integrbile su (, ]esu[, + ) in qunto mggiort d e. e e - Grfio (non monometrio) delle funzioni f() =e, g() =e.

4 Osservzione. L funzione e (funzione gussin) non è integrbile elementrmente, nel senso he non è possibile esprimere un su primitiv ome funzione ompost medinte funzioni elementri. Con vrie tenihe è possibile dimostrre he e d = e d = π. R L funzione ppen onsidert gio un ruolo importnte in Clolo delle Probbilità nell form f() := π e /, (densità dell distribuzione normle N(, ), on medi e devizione stndrd ), il ui integrle su R vle. Trttndosi di un funzione pri, l integrle di f su isuno degli intervlli (, ] esu[, + ) vle /. L primitiv di f hevle/ per = (e dunque tende per ) si indi bitulmente Φ() := e t / dt = π + e t / dt. π Φ(). π e / - - Grfio (non monometrio) dell distribuzione umultiv Φ (= funzione di riprtizione) e dell densità f dell distribuzione normle N(, ). Corollrio. Se f g,per, llor gli integrli f() d e g() d o sono entrmbi onvergenti o sono entrmbi divergenti. Esempio.. L funzione f() :=/( + +)è integrbile su R in qunto f() /,per ±. Esempio.. L integrlseno L funzione (sin )/ è prolungbile on ontinuità per =, ttribuendole il vlore ; dunque l stess funzione è integrbile su ogni intervllo [, ]. Studimo l integrbilità sull intervllo [, + ). Poihé sin, il riterio del onfronto non è direttmente pplibile. Tuttvi un integrzione per prti fornise sin d = os os b b os d. Per b +, (os b)/b tende, mentre il seondo integrle è onvergente in qunto (os )/ /. Dunque (sin )/ è integrbile su [, + ); on tenihe di vribile ompless mostreremo (Anlisi Mtemti L-C) he sin d = π, mentre, dunque f non è ssolutmente integrbile (sinonimo: sommbile) su[, + ). L figur seguente (non in sl monometri) mostr trtto ontinuo il grfio dell funzione (sin t)/t dt, not nhe ome seno integrle (o integrlseno), e in trtteggio l funzione integrnd:

5 π/ π Se l funzione sin / fosse integrbile sull intervllo [, + ), si vrebbe d = d; n (n )π m l ultim serie sritt è divergente in qunto (n )π d (n )π nπ d = nπ, e l serie he h ome termine n-esimo /(nπ) è divergente.. Teorem di onfronto on gli integrli Proposizione. Se f :[, + ) è un funzione positiv e deresente, llor l integrle f() d e l serie f(n) sono entrmbi onvergenti oppure entrmbi divergenti. n Dimostrzione Minnj p.6. Esempio.. L serie rmoni generlizzt Considerimo l serie n α, α >. n Sppimo he ess è divergente per α =;più forte rgione srà divergente per <α<, in qunto, per tli vlori di α, sih/n α /n. P er α> l serie in esme onverge, in virtù dell Proposizione dimostrt, in qunto l funzione / α è integrbile sull intervllo [, + ).