Integrale e Primitiva

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1 Alm Mter Studiorum Università di Bologn FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Lure in Mtemtic Integrle e Primitiv Tesi di Lure in Anlisi Mtemtic Reltore: Chir.mo Prof. Ermnno Lnconelli Presentt d: Noemi Sponticci Sessione second Anno Accdemico 2010/2011

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3 Indice 1 Integrle di Riemnn e di Cuchy in R 5 3

4 4 INDICE

5 Cpitolo 1 Integrzione di funzioni Reli Definizione 1.1. Si [, b] un intervllo chiuso e limitto di R. Chimimo scomposizione finit di [, b] un sottoinsieme finito σ = { } x 0, x 1, x 2,...x n di [, b], tle che = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b Se σ= { } x 0, x 1, x 2,...x n é un scomposizione finit di [, b], llor l intervllo I k = [x k x k 1 ] si chim k-esimo intervllo componente dell scomposizione, mentre x 0,...x n si chimno punti dell scomposizione. Definimo misi k = x k x k 1 Risult misi k = b Inftti n misi k = (x 1 x 0 ) + (x 2 x 1 ) (x n x n 1 ) = x n x 0 Definimo il prmetro di finezz di σ il numero rele σ = mx { misi k /k = 1, 2,..., n } Indichimo con Ω l totlitá delle scomposizioni di [, b]. Se σ 1 e σ 2 Ω, si dice che σ 1 é piú fine di σ 2 se σ 1 σ 2. 5

6 6 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R Definizione 1.2. Si f : [, b] R un funzione limitt. Se σ = { x 0, x 1, x 2,...x n } Ω, chimimo somm superiore di f reltiv σ il numero rele S(f, σ) = sup f mis I k I k e somm inferiore di f reltiv σ il numero rele s(f, σ) = inf I k mis I k. Osservzione 1. Risult s(f, σ) S(f, σ). Inoltre inf f (b ) = inf f mis I k s(f, σ) quindi S(f, σ) inf sup f mis I k = sup [, b]f (b ), f (b ) s(f, σ) sup f (b ) σ Ω, inf f (b ) S(f, σ) sup f (b ) σ Ω. Definizione 1.3 (Integrle inferiore e superiore). Nelle ipotesi precedenti, si definisce integrle inferiore di f, il numero rele f(x)dx := sup { s(f, σ)/σ Ω } e integrle superiore di f, il numero rele f(x)dx := inf { S(f, σ)/σ Ω }.

7 7 Proposizione Si f : [, b] R un funzione limitt. Allor se σ 1, σ 2 Ω e σ 2 é piú fine di σ 1, ossi σ 2 σ 1, si h s(f, σ 2 ) s(f, σ 1 ) e S(f, σ 2 ) S(f, σ 1 ). Inoltre per ogni σ, τ Ω si h s(f, σ) S(f, τ) Dimostrzione. Provimo l proposizione nel cso σ 1 = σ 2 { c } con c σ 2. Inftti il risultto generle segue pplicndo queste un numero finito di volte. Si σ 2 = { } x 0, x 1,..., x p, x p+1,..., x n e si xp < c < x p+1. Si h: S(f, σ 1 ) S(f, σ 2 ) = = sup [xp,c] f (c x p ) + sup [c,xp+1 ] f (x p+1 c) sup [xp,xp+1 ] f (x p+1 x p ) sup [xp,xp+1 ] f (c x p )+sup [xp,xp+1 ] f (x p+1 c) sup [xp,xp+1 ] f (x p+1 x p ) = = sup [xp,xp+1 ] f (c x p + x p+1 c x p+1 + x p ) = 0 Allo stesso modo: s(f, σ 1 ) s(f, σ 2 ) = = inf [xp,c] f (c x p ) + inf [c,xp+1 ] f (x p+1 c) inf [xp,xp+1 ] f (x p+1 x p ) inf [xp,xp+1 ] f (c x p ) + inf [xp,xp+1 ] f (x p+1 c) inf [xp,xp+1 ] f (x p+1 x p ) = = inf [xp,xp+1 ] f (c x p + x p+1 c x p+1 + x p ) = 0 Ció posto se σ, τ Ω, ponimo ω = σ τ, pertnto ω risult piú fine si di σ che di τ. Allor s(f, σ) s(f, ω) S(f, ω) S(f, τ). Osservzione 2. Osservimo che con l precedente Proposizione segue immeditmente che per ogni funzione limitt f : [, b] R risult f(x)dx f(x)dx.

8 8 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R Definizione 1.4 (Integrle secondo Riemnn). Si dice che f : [.b] R é integrbile secondo Riemnn se f é limitt e f(x)dx = f(x)dx In questo cso il vlore rele comune degli integrli inferiore e superiore si chim integrle di f e si indic f(x)dx Indichimo con R l insieme delle funzioni f : [, b] R integrbili su [, b]. Il Teorem seguente illustr un prim condizione necessri e sufficiente di integrbitá. Teorem (di Riemnn). Si f : [, b] R un funzione limitt. Condizione necessri e sufficiente ffinché f R é ɛ > 0 σ Ω tle che S(f, σ) s(f, σ) < ɛ. Dimostrzione. Si f R, si h f(x)dx = f(x)dx. ɛ > 0 esitono σ, τ Ω tli che S(f, σ) < f(x)dx + ɛ 2 = f(x)dx + ɛ 2 s(f, τ) > f(x)dx ɛ 2 = f(x)dx ɛ 2 Si or ω = σ τ; poiché ω é piú fine si di σ che di τ, risult S(f, ω) s(f, ω) S(f, σ) s(f, τ) < f(x)dx + ɛ 2 f(x)dx + ɛ 2 = ɛ e quindi S(f, σ) s(f, σ) < ɛ.

9 9 Vicevers, supponimo che per ogni ɛ > 0 esist σ Ω tle che risulti S(f, σ) s(f, σ) < ɛ. Poiché f(x)dx S(f, σ) e f(x)dx s(f, σ) si h 0 f(x)dx e quindi per l rbitrrietá di ɛ f(x)dx S(f, σ) s(f, σ) < ɛ f(x)dx Vlendo nche f(x)dx f(x)dx si h f(x)dx. ossi f R. f(x)dx = f(x)dx Definizione 1.5 (Integrle secondo Cuchy). Si f : [, b] R e σ = { x 0, x 1,..., x n } Ω. Sceglimo d rbitrio n punti ξ 1, ξ 2,...ξ n tli che ξ k I k, 1 k n e considerimo n f(ξ k) misi k. Si dice che f é integrbile su [, b] se esiste l R tle che ɛ > 0 δ(ɛ) > tle che f(ξ k ) misi k l < ɛ per ogni σ Ω con σ < δ(ɛ) per ogni k e qulunque si l scelt dei punti ξ 1,..., ξ n. Il numero rele l si dirá integrle di f secondo l ttule definizione. Vedimo or che le due definizioni di integrle, secondo Riemnn e secondo Cuchy coincidono. Premettimo il seguente lemm. Lemm Si f : [, b] R, limitt, llor per ogni ɛ > 0 esiste δ(ɛ) > 0 tle che f(x)dx s(f, σ) < ɛ, per ogni σinω[, b] tle che σ < δ(ɛ). S(f, σ) f(x)dx < ɛ

10 10 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R Teorem f : [, b] R é integrbile secondo l definizione di Cuchy, se e solo se, lo é secondo l definizione di Riemnn. In tl cso i due integrli coincidono. Dimostrzione. Si f : [, b] R integrbile secondo l definizione di Cuchy. Anzitutto osservimo che f é limitt. Inftti, per ssurdo, se fosse sup f = + llor esisterebbe x n [, b] tle che f(x n ) > n per ogni n N; dll successione ( x n possimo estrrre un sottosuccessione )n N convergente Si vrebbe lim x n = x, x [, b] n + sup f = + ɛ > 0. [x ɛ,x+ɛ] Ció posto, si σ = { x 0, x 1,..., x n } un rbitrri scomposizione di [, b]; si x I m ; fissti i punti ξ 1,...ξ m 1, ξ m+1,...ξ n, per ogni M > 0 esiste ξ m I m tle che f(ξ m ) > M. Ne segue che non esiste l R tle che n f(ξ k)misi k l < ɛ qulunque si l scelt dei punti ξ k, d cui l ssurdo. Fissimo or ɛ > 0. Si σ = { x 0, x 1,..., x n } Ω tle che n f(ξ k)misi k l < ɛ 4 per ogni ξ k I k, 1 k n. Si ξ k I k tle che e si ξ k I k tle che f(ξ k) < inf f + ɛ (b ), 1 k n I k 4 Allor dove f(ξ k) > sup f ɛ (b ), 1 k n. I k 4 f(ξ k)misi k < s(f, σ) + ɛ 4 < f(x)dx + ɛ 4 f(ξ k)misi k > S(f, σ) ɛ 4 > f(x)dx ɛ 4 l ɛ 4 < f(x)dx + ɛ 4, l + ɛ 4 > f(x)dx ɛ 4

11 11 e quindi e quindi, per l rbitrrietá di ɛ, Dunque f R. Osservimo inoltre che f(x)dx f(x)dx = f(x)dx < ɛ f(x)dx. e quindi l f(x)dx < ɛ 2, l = f(x)dx. f(x)dx l < ɛ 2 Vicevers, si f R, si h s(f, σ) = (inf I k f)misi k f(ξ k )misi k S(f, σ) = (sup I k f)misi K per ogni σ = { } x 0, x 1,..., x n Ω e qulunque si l scelt dei punti ξ k I k. Per il lemm precedente, per ogni ɛ > 0 esiste δ(ɛ) > 0 tle che f(x)dx ɛ < s(f, σ), S(f, σ) < per ogni σ Ω, σ < δ(ɛ). Perció f(ξ k )misi k f(x)dx < ɛ f(x)dx + ɛ per ogni σ ω, σ < δ(ɛ) e qulunque si l scelt dei punti ξ k I k. Mostrimo or lcune condizioni sufficienti di integrbilitá. Teorem Se f : [, b] R é continu su [, b] llor f R.

12 12 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R Dimostrzione. Osservimo subito che per il Teorem di Weierstrss f é limitt e che per il Teorem di Heine-Cntor, f é uniformemente continu su [, b]. Allor per ogni ɛ > 0 esiste ρ > 0 tle che f(x) f(y) < ɛ x, y [, b], x y < ρ. Si or σ = { } x o, x 1,...x n Ω con prmetro di finezz σ < ρ, si h S(f, σ) s(f, σ) = (sup I k f inf I k f)misi k. Sfruttndo ncor il Teorem di Weiestrss, per ogni k { 1, 2,...n }, esistono x k, x k I k tli che f(x k) = sup I k f, f(x k) = inf I k f. D ltr prte, x K x k misi k σ < ρ k = 1, 2,...n. risult llor f(x k ) f(x k ) < ɛ e quindi, per qunto ricvto sopr S(f, σ) s(f, σ) < ɛ misi k = ɛ(b ). Per il Teorem di Riemnn, f R. Teorem Se f : [, b] R é un funzione monoton llor f R Dimostrzione. Supponimo f monoton crescente, f. Allor f() f(x) f(b) per ogni x [, b], quindi f é limitt. Si ɛ > 0 e si σ = { } x 0, x 1,...x n Ω tle che σ < ɛ. Si h S(f, σ) s(f, σ) = (f(x k ) f(x k 1 ))misi k ɛ (f(x k ) f(x k 1 )) < ɛ(f(b) f()). Per il Teorem di Riemnn f R.

13 13 Proposizione Si f : [, b] R un funzione limitt e si c in(, b). Allor f R se e solo se f R [,c] e f R [c,b]. In questo cso si h f(x)dx = c f(x)dx + d c f(x)dx. Lemm Si f : [, b] R un funzione limitt continu su (, b). Allor f R Teorem Si f : [, b] R un funzione limitt e tle che l insieme F = { x [, b]/ f non e continu in x } si finito. Allor f R. Dimostrzione. Escludimo priori il cso in cui F = 0 in qunto l ffermzione coinciderebbe con il cso di f funzione continu su tutto [, b]. Supponimo llor F 0. Possimo ffermre che esiste un numero finito di punti = α 1, α 2,..., α j = b, j 2 tli che f é continu su (α k, α k+1 ), per k = 1,..., j 1. Allor per il lemm precedente f R [αk,α k+1 ] per k = 1,...j 1 e quindi per l Proposizione precedente, f R. Alcune proprietá dell integrle Teorem Sino f e g R. Allor: f + g R e (f(x) + g(x))dx = λf R per ogni λ R e f(x)dx + g(x)dx; λf(x)dx = λ f(x)dx;

14 14 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R se f(x) g(x) per ogni x R, f(x)dx g(x)dx; f R e f(x)dx f(x) dx. Teorem (Teorem dell medi integrle). Si f R. Posto risult µ := 1 b f(x)dx inf f µ sup f. Dimostrzione. Per ogni σ Ω, si h inf f (b ) S(f, σ) sup f (b ) e quindi, poiché f(x)dx = f(x)dx, inf f (b ) f(x)dx sup f (b ). Dunque, poiché si h µ = 1 b f(x)dx, inf f µ sup f. Definizione 1.6. Si f : [, b] R. Si chim primitiv di f un funzione φ : [, b] R derivbile in ogni punto di [, b] e tle che φ (x) = f(x) per ogni x [, b].

15 15 Dimo or due versione del teorem del clcolo fondmentle dell integrle. Teorem ( I Teorem fondmentle del clcolo integrle). Si f R e si φ un primitiv di f. Allor f(x)dx = [ φ(x) ] x=b := φ(b) φ(). x= Dimostrzione. Poiché f R, fissto ɛ > 0, per il Teorem di Riemnn esiste un scomposizione σ = { x 0, x 1,..., x n } Ω tle che S(f, σ) s(f, σ) < ɛ. Possimo scrivere φ(b) φ() = φ(x n ) φ(x 0 ) = (φ(x k ) φ(x k 1 )). Per il teorem del vlor medio, esiste y k (x k 1 x k ) tle che Sostituendo sopr φ(x k ) φ(k k 1 ) = φ (y k )(x k x k 1 ) = f(y k )(x k x k 1 ). φ(b) φ() = f(y k )(x k x ) sup f(x k x k 1 ) [x k 1,x k ] = S(f, σ) < s(f, σ) + ɛ In modo nlogo dimostrimo l disuguglinz φ(b) φ() f(x)dx ɛ. f(x)dx + ɛ. Utilizzndo quest e l precedente e per l rbitrrietá di ɛ ottenimo f(x)dx = φ(b) φ().

16 16 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R Teorem ( II Teorem fondmentle del clcolo integrle). Si f R. Ponimo F : [, b] R, F (x) = Allor: (i) F é continu in ogni punto di [, b] ; x f(t)dt. (ii) se f é continu in x 0, llor F é derivbile in x 0 e si h F (x 0 ) = f(x 0 ). Dimostrzione. Provimo l continuitá di F. Si x 0 [, b] e si h R { 0 } tle che x 0 + h [, b]. Si h dove F (x 0 + h) F (x 0 ) = = x0 +h x 0 µ(h) = 1 h Per il Teorem dell medi integrle x0 +h f(t)dt f(t)dt = µ(h)h x0 +h x 0 f(t)dt, x0 inf f µ(h) sup f. (x 0,x 0 +h) (x 0,x 0 +h) In prticolre µ(h) sup f. Pertnto f(t)dt = lim (F (x 0 + h) F (x 0 )) = 0. h 0 Provimo or l (ii). Si x 0 un punto di continuitá di f. Allor per ogni ɛ > 0 esiste ρ > 0 tle che, per ogni t [, b] con t x 0 < ρ, si h f(x 0 ) ɛ < f(t) < f(x 0 ) + ɛ, e quindi f(x 0 ) ɛ < f(t) < f(x 0 ) + ɛ, t (x 0, x 0 + h)

17 17 se h < ρ. Integrndo su (x 0, x 0 + h) e dividendo per h si ottiene f(x 0 ) ɛ µ(h) f(x 0 ) + ɛ se h < ρ. Allor quindi lim µ(h) = f(x 0) h 0 µ(h) = F (x 0 + h) F (x 0 ). h E il momento or di soffermrci sul concetto di Primitiv di un funzione. L prim formulzione del teorem fondmentle del clcolo integrle ci dice che un funzione integrbile e dott di primitiv h l integrle ugule ll differenz dei vlori dell primitiv stess clcolt lgi estremi dell intervllo di integrzione. E bene ricordre peró che l esistenz di un primitiv non é condizione necessri e sufficiente di integrbilitá. Vedimo inftti due esempi che dimostrno qunto ppen detto. L esistenz di un primitiv non é condizione necessri di integrbilitá: esempio di un funzione che non h primitive m é integrbile secondo Riemmn. Premettimo il seguente teorem. Teorem (di Drboux). Si I un intervllo non bnle di R e si f : I R funzione derivbile in ogni punto di I. Allor l insieme { f (x)/x I } = f (I) é un intervllo di R. Dimostrzione. Sino x 1, x 2 I e si α R tle che f (x 1 ) < α < f (x 2 ). Dobbimo provre che esiste x I tle che f (x) = α. Per fissre le idee supponimo x 1 < x 2 e ponimo g : [x 1, x 2 ] R, g(x) = f(x) αx.

18 18 1. Integrle di Riemnn e di Cuchy in R L funzione g é continu e derivbile in ogni punto di [x 1, x 2 ] con g (x) = f (x) α per ogni x [x 1, x 2 ]. Poiché g (x 1 ) = f (x) α < 0 e g (x 2 ) = f (x 2 ) α > 0, g non puó essere iniettiv. Inftti, se fosse iniettiv, srebbe g e quindi g 0 su [x 1, x 2 ], oppure g e quindi g 0 su [x 1, x 2 ]. Esistono llor y 1, y 2 [x 1, x 2 ], con y 1 < y 2, tli che g(y 1 ) = g(y 2 ). Per il teorem di Rolle eisiste un punto x (y 1, y 2 ) tle che g (x) = 0. Allor f (x) = α e l ffermzione é provt. Osservzione 3. Dl teorem di Drboux segue che condizione necessri ffinché f : I R si dott di primitiv é chef(i) si un intervllo. Esempio Si f : [ 1, 1] R, { 1, se 0 < x 1 f(x) = 0, se x = 0 1, se 1 x < 0 Quest funzione non h primitive, in qunto f([ 1, 1]) = { 1, 0, 1 } non é un intervllo m é integrbile perché limitt e con un solo punto di discontinuitá. L esistenz di un primitiv non é condizione sufficiente di integrbilitá: esempio di un funzione integrbile non secondo Riemnn m dott di primitive. Esempio