Appunti di Analisi Matematica

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1 Appunti di Anlisi Mtemtic Stefno Med e Alberto Peretti Appunti per il corso di Mtemtic I I semestre, /2002 Fcoltà di Scienze Sttistiche Università di Milno-Bicocc c Stefno Med e Alberto Peretti, 2000

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3 Appunti di Anlisi Mtemtic Stefno Med e Alberto Peretti Appunti per il corso di Mtemtic I I semestre, /2002 Fcoltà di Scienze Sttistiche Università di Milno-Bicocc c Stefno Med e Alberto Peretti, 2000

4 Edito in proprio. Sono stti dempiuti gli obblighi di legge, in ottempernz ll rt. 1, D. Lgs. Lgt. n. 660/1945 in dt 29/09/2000. Tutti i diritti sono riservti. È vietto lo sfruttmento fini commercili.

5 A Ginni e Guido con ffetto

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7 Indice sistemtico Prefzione Simbologi i iii Cpitolo 1 Insiemi numerici 1.1 Numeri rzionli Ordinmenti Strutture lgebriche e d ordine Numeri reli L insieme dei numeri reli esteso Binomio di Newton Proprietà metriche dei numeri reli Proprietà ritmetiche dei numeri reli Potenze con esponente rele 15 Cpitolo 2 Limiti 2.1 Limiti d sinistr Limiti d destr e limiti bilteri Limiti e ordinmento Limiti di lcune funzioni elementri Crtterizzzione del limite Algebr dei limiti Mssimo e minimo limite Confronto locle di funzioni Asintoti 47 Cpitolo 3 Funzioni continue 3.1 Funzioni continue: inizione e prime proprietà Funzioni continue in un intervllo Funzioni continue in intervlli e monotoni Limiti di funzioni composte Il numero e 58

8 Cpitolo 4 Derivte 4.1 Derivt: inizione e prime proprietà Clcolo di derivte Studio del comportmento locle di un funzione. I Il teorem del vlor medio Derivte successive 74 Cpitolo 5 Primitive 5.1 Primitiv: inizione e prime proprietà Tecniche di integrzione: I Techniche di integrzione: II. Funzioni rzionli 79 Cpitolo 6 L integrle di Riemnn 6.1 Definizione di integrle di Riemnn Prtizioni didiche Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn Proprietà dell integrle di Riemnn Clcolo degli integrli L integrle di Riemnn generlizzto Criteri di convergenz per integrli generlizzti L distribuzione normle 108 Cpitolo 7 Successioni e serie 7.1 Limiti di successioni Serie Relzioni tr serie e integrli Criteri per serie termini non negtivi Criteri per serie con termini di segno non costnte 125 Cpitolo 8 Formul di Tylor 8.1 Polinomi Polinomio di Tylor Formul di Tylor Studio del comportmento locle di un funzione. II Funzioni convesse 144 Bibliogrfi 151

9 Prefzione Queste dispense sono penste come supporto per un corso di circ 60 ore, che si propone di fornire solide conoscenze di bse dell teori delle funzioni vlori reli inite su intervlli dell rett rele. Il vincolo del numero di ore h imposto un scelt degli rgomenti trttti, che sono: numeri reli, limiti, derivte, primitive, integrle di Riemnn, serie numeriche e formul di Tylor. L teori delle funzioni reli di vribile rele dipende, in ultim nlisi, dll struttur d ordine e dll proprietà dell estremo superiore di R. Abbimo cercto di rendere il più possibile esplicit tle dipendenz nel testo: questo intento, nostro prere, distingue queste dispense di numerosi testi in commercio. I prerequisiti necessri per un uso proficuo di questi ppunti sono contenuti, d esempio, nel testo di P. Boieri e G. Chiti citto in bibliogrfi. Il testo non h pretes di completezz; non bbimo perciò esitto d omettere dimostrzioni di risultti nche importnti. Ci simo, però, ftti scrupolo di fornire un dettglito riferimento bibliogrfico, rimndndo i Lettori interessti i testi di A. Bcciotti e F. Ricci e di W. Rudin, citti in bibliogrfi. In quest versione non bbimo bbondto in esempi; questi, insieme molti esercizi, si possono ricvre d un buon esercizirio, che ritenimo strumento usilirio indispensbile per lo studio dell mteri. Tr i molti in commercio, segnlimo i testi di G. Monti, A. Peretti e R. Pini e di L. De Michele e G. Forti, citti in bibliogrfi. Il secondo è, nostro prere, molto utile se si desider rifinire l preprzione, ed è un ottimo complemento del primo. Quest versione è, per il momento, priv dell indice nlitico, che è strumento molto utile per l consultzione del testo; l Simbologi può in lcuni csi essere un suo ccettbile sostituto. Ad esempio, essendo interessti ll inizione di minimo limite, nell simbologi (colonn centrle) si trov che ess corrisponde ll Def , e quindi è contenut nell Sezione 2.1. Teoremi, inizioni ed esempi hnno un numerzione comune, progressiv ll interno di ogni sezione; d esempio, l Definizione rimnd ll Sezione 2 del Cpitolo 1 e precede il Teorem e gli Esempi All fine di ogni sezione bbimo collocto un serie di esercizi, che sono numerti progressivmente. Abbimo reso disponibile il testo in line ll indirizzo d un lto per fvorire gli studenti che potrnno stmprlo, utilizzndo il progrmm Acrobt Reder, che è disponibile grtuitmente ll indirizzo dll ltro perché colleghi e mici possno prenderne visione. Sremo molto grti coloro che vorrnno segnlrci errori, suggerire migliorie, o esprimere critiche uno dei seguenti indirizzi di post elettronic:

10 Milno, 30 settembre 2001 Gli Autori ii

11 Simbologi prte inter di Sez. 1.7 C([, b]) clsse delle funzioni continue in [, b] Sez. 3.2 C n ([, b]) clsse delle funzioni con derivt n-esim continu in [, b] Def d(x, y) distnz euclide tr x e y Def Df(y) derivt di f in y Def D f(y) derivt sinistr di f in y Def D + f(y) derivt destr di f in y Def D n f(y) derivt n-esim di f in y Def e lim h 0 (1 + h) 1/h E f epigrfico di f Def f (y) derivt di f in y Def (y) derivt sinistr di f in y Def f f + (y) derivt destr di f in y Def inf E estremo inferiore di E Def lim inf x b f(x).. minimo limite di f per x tendente b d sinistr..... Def lim sup x b f(x). mssimo limite di f per x tendente b d sinistr.... Def lim x b f(x)..... limite di f per x tendente b d sinistr Def f(x) mssim minornte non crescente di f per x Sez. 2.2 Es. 2 f(x) minim mggiornte non decrescente di f per x Sez. 2.2 Es. 2 f b (x) mssim minornte non decrescente di f per x b Def f b (x) minim mggiornte non crescente di f per x b Def N numeri nturli {0, 1, 2,...} N N \ {0} n! fttorile di n Def ( n!! semifttorile di n sez. 8.3 Es. 4 n ) k coefficiente binomile Def o, O,, simboli di Lndu Def P([, b]) insieme delle prtizioni di [, b] Def p n,y polinomio di Tylor di grdo n centrto in y def n i=1 i n Q numeri rzionli Sez. 1.1 Q Q \ {0} Sez. 1.1 Q numeri rzionli positivi {q Q : q > 0} Sez. 1.1 R numeri reli Sez. 1.4 R R \ {0} Sez. 1.4 R numeri reli positivi {r R : r > 0} Sez. 1.4

12 R insieme esteso dei numeri reli { } R { } Sez. 1.5 R ([, b]) clsse delle funzioni integrbili in [, b] def R y rpporto incrementle di f centrto in y Def n i=1 i n sup E estremo superiore di E Def s(f, P ) somm inferiore di Riemnn di f Def S(f, P ) somm superiore di Riemnn di f Def x y x precede y Def x y x precede y o coincide con y Def Z numeri interi reltivi {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Z Z \ {0} (, b) {x R : < x < b} Def [, b) {x R : x < b} Def (, b] {x R : < x b} Def [, b] {x R : x b} Def (, b) {x R : x < b} Def (, b] {x R : x b} Def (, ) {x R : < x} Def [, ) {x R : x} Def b f integrle inferiore di Riemnn di f in [, b] Def b b f integrle superiore di Riemnn di f in [, b] def f integrle di Riemnn di f in [, b] Def f integrle generlizzto di f in R Def f integrle ininito di f Def simbolo di composizione di funzioni Il simbolo A = B inisce A. iv

13 1 Insiemi numerici 1.1 Numeri rzionli Indicheremo con Q l insieme dei numeri rzionli. Introducimo in Q le operzioni di somm + : Q Q Q e di prodotto : Q Q Q, inite d e b + c d = b c d = c bd d + bc bd, c, b, d Z, c Z b, d Z. Sino r in Q e /b un su rppresentzione. Indichimo con r il rzionle che mmette l rppresentzione ( )/b; r si chim l opposto di r Definizione. Dicimo che il numero rzionle /b è positivo se b > 0 (supponimo not l relzione d ordine usule in Z). In tl cso scrivimo /b > 0. Sino, c Z, b, d Z. Dicimo che /b è minore o ugule di c/d se c d b > 0 oppure c d b = 0. In tl cso scriveremo b c d. Ponimo Q+ = {q Q : q > 0} Teorem (struttur di Q). Vlgono le seguenti proprietà: (S1) (proprietà commuttiv) + b = b +, b Q; (S2) (proprietà ssocitiv) ( + b) + c = + (b + c), b, c Q; (S3) + 0 = Q; (S4) + ( ) = 0 Q (P1) (proprietà commuttiv) b = b, b Q; (P2) (proprietà ssocitiv) ( b) c = (b c), b, c Q; (P3) 1 = Q; (P4) per ogni 0, 1 = 1; (D) (proprietà distributiv) ( + b) c = c + b c, b, c Q; (CO1) per ogni y, z Q tli che y < z, e per ogni x Q, si h che x + y < x + z;

14 2 Cpitolo 1. Insiemi numerici (CO2) per ogni x, y Q tli che 0 < x e 0 < y, si h che 0 < xy. Dimostrzione. L dimostrzione consiste in un verific dirett delle proprietà S1 S4, P1 P4, D, CO1 e CO2. Tr due rzionli ci sono infiniti rzionli. Bst mostrre che fr due rzionli ce n è sempre un ltro. Sino r, s Q tli che r < s. Si verific fcilmente che se θ è un numero rzionle tle che 0 < θ < 1, llor r < r + θ(s r) < s. 1.2 Ordinmenti Definizione. Si E un insieme. Un ordinmento in E è un relzione, che indicheremo con, tle che (i) se x, y E, llor vle un e un sol tr le tre relzioni x y, x = y, y x; (ii) (proprietà trnsitiv) se x, y, z E, x y e y z, llor x z. Un insieme dotto di un ordinmento si dice ordinto. L scrittur x y signific x y oppure x = y Esempi. Gli insiemi N, Z e Q sono ordinti rispetto ll usule relzione d ordine. Sino (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) due punti del pino. Dicimo che (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) se x 1 < x 2, oppure se x 1 = x 2 e y 1 < y 2. L insieme dei punti del pino è ordinto rispetto ll relzione. Si E l insieme dei sottoinsiemi del pino; rispetto ll inclusione propri E non è un insieme ordinto, m solo przilmente ordinto. Ad esempio, due circonferenze distinte nel pino non sono confrontbili trmite l relzione di inclusione propri, cioè non vle lcun delle tre relzioni dell Definizione (i) Definizione. Sino E un insieme ordinto e B E, B. Si dice che B è superiormente limitto se esiste un elemento β E tle che x β x B. L elemento β si chim mggiornte di B. Le inizioni di insieme inferiormente limitto e di minornte sono nloghe lle precedenti.

15 Sezione 1.2 Ordinmenti Definizione. Un sottoinsieme non vuoto di un insieme ordinto si dice limitto se è si inferiormente, si superiormente limitto. I numeri interi non negtivi sono un insieme inferiormente limitto, m non superiormente limitto in Z. I numeri interi compresi tr 7 e 5 sono un sottoinsieme limitto di Z Definizione. Sino E un insieme ordinto e B E non vuoto e limitto superiormente. Un elemento α E si chim estremo superiore di B, e si scrive α = sup B, se (i) α è un mggiornte di B (ii) se γ α, llor γ non è un mggiornte di B. Se α B, si dice che α è mssimo di B, e che B mmette mssimo. L estremo superiore di un insieme B, se esiste, è unico. Supponimo che α e β verifichino le proprietà (i) e (ii) dell Definizione Per l (i), α e β sono entrmbi mggiornti di B. Conseguentemente, per l Definizione (ii) non può essere né α β, né β α. Perciò α = β, perché E è ordinto e quindi deve vlere un e un sol delle relzioni dell Definizione 1.2.1, come richiesto Esempi. Sino A = {x Q : x 0} e B = {x Q : x < 0}. Osservimo che: (i) 0 è un mggiornte di A e di B. (ii) se y < 0, y non è un mggiornte né di A, né di B, perché tutti i rzionli tr y e 0 sono si in A, si in B. Perciò, sup A = 0 = sup B. Poiché 0 (A \ B), si h che 0 è il mssimo di A, mentre B non h mssimo. Si E = {1 1/n : n N }. Osservimo che: (i) (ii) 1 è un mggiornte di E si x un rzionle < 1. Allor x 1 1 n n 1 1 x, e quindi x non è un mggiornte di E. Perciò sup E = 1. Siccome 1 / E, 1 non è mssimo. Si E un sottoinsieme finito di Q. Allor E h mssimo Teorem. Vlgono le proprietà seguenti: (i) l insieme {p Q + : p 2 < 2} non h estremo superiore in Q (ii) l equzione p 2 = 2 non h soluzioni in Q +. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Sino E = {p Q + : p 2 < 2} e F = Q + \ E.

16 4 Cpitolo 1. Insiemi numerici Osservimo che: ogni elemento di F è un mggiornte di E. Sino r E e s F. Mostrimo che r < s. Inftti, se fosse s r, si vrebbe s 2 r 2 < 2, cioè s srebbe in E. se p E, llor p non è un mggiornte di E. Inftti, il numero r = p p2 2 p + 2 = 2p + 2 p + 2 soddisf le relzioni seguenti: r > p, r 2 2 = 2 p2 2 (p + 2) 2 < 0. se q F, llor esiste un elemento di F più piccolo di q. Inftti, il numero s = q q2 2 q + 2 = 2q + 2 q + 2 soddisf le relzioni seguenti s < q, s 2 2 = 2 q2 2 (q + 2) 2 > 0. L estremo superiore di E, se esistesse, srebbe un rzionle positivo. Poiché Q + = E F, l estremo superiore dovrebbe pprtenere E oppure F. Gli ultimi due punti mostrno che ciò è impossibile. Dimostrimo (ii). Se esistesse x Q tle che x 2 = 2, llor x / E e quindi x F. Abbimo mostrto sopr che esiste y F tle che y < x. Conseguentemente, vremmo y 2 < x 2 = 2, cioè y E; ssurdo, perché E F =. Esercizi 1 Si dino le inizioni di insieme inferiormente limitto, di minornte e di estremo inferiore di un insieme. Si dimostri poi che l estremo inferiore di un insieme, se esiste, è unico. 2 Sino B un sottoinsieme non vuoto di un insieme ordinto, m un minornte e M un mggiornte di B. Si dimostri che m M. 3 Si dimostri che non esistono numeri rzionli tli che x 3 = 2. 4 Si dimostri che l estremo superiore in Q dell insieme {n/(n + 1) : n N} è 1. 5 Si q Q. Si clcolino, qundo esistono, l estremo superiore e l estremo inferiore in Q dell insieme {q n : n N}. 6 Si clcolino l estremo superiore e l estremo inferiore in Q dell insieme {( 1) n /n : n N }.

17 Sezione 1.3 Strutture lgebriche e d ordine Strutture lgebriche e d ordine Definizione. Un insieme C è un cmpo se sono inite due operzioni + : C C C e : C C C con le proprietà seguenti: (S1) (proprietà commuttiv) + b = b +, b C; (S2) (proprietà ssocitiv) ( + b) + c = + (b + c), b, c C; (S3) esiste un elemento 0 in C tle che + 0 = C; (S4) per ogni in C esiste un elemento, detto opposto di e indicto con, tle che + ( ) = 0; (P1) (proprietà commuttiv) b = b, b C; (P2) (proprietà ssocitiv) ( b) c = (b c), b, c C; (P3) esiste un elemento diverso d 0, e indicto con 1, tle che 1 = C; (P4) per ogni 0 esiste un elemento, detto reciproco di e indicto con 1, tle che 1 = 1; (D) (proprietà distributiv) ( + b) c = c + b c, b, c C. Se C è un cmpo, l sottrzione e l divisione si iniscono come segue b = + ( b) e b = b 1 se b Definizione. Un insieme ordinto C è un cmpo ordinto se è un cmpo e (CO1) per ogni y, z C tli che y < z, e per ogni x C, si h che x + y < x + z (CO2) per ogni x, y C tli che 0 < x e 0 < y, si h che 0 < x y. Gli elementi C tli che > 0 si chimno numeri positivi; quelli tli che < 0 si chimno numeri negtivi. Per il Teorem 1.1.2, Q è un cmpo ordinto rispetto lle usuli operzioni di somm e prodotto e ll usule relzione d ordine. Esercizi 1 Si dimostri che in un cmpo l elemento neutro rispetto ll somm e l elemento neutro rispetto l prodotto sono unici. 2 Si dimostri che in un cmpo l opposto di un elemento e il reciproco di un elemento non nullo sono unici. 3 Si dimostri che in un cmpo ordinto C vlgono le proprietà seguenti: (i) 0 = 0 per ogni C; (ii) (legge di nnullmento del prodotto) se b = 0, llor = 0 oppure b = 0; (iii) ( b) = ( b). 4 Si dimostri che in un cmpo ordinto C vlgono le proprietà seguenti: (i) se 0, llor 0;

18 6 Cpitolo 1. Insiemi numerici (ii) se b, llor b 0; (iii) se b e c 0, llor c b c; (iv) per ogni C, si h che 2 0. In prticolre, 1 = 1 1 > Numeri reli Definizione. Dicimo che un insieme ordinto E h l proprietà dell estremo superiore se ogni suo sottoinsieme non vuoto superiormente limitto h estremo superiore in E. Per il Teorem (i), Q non h l proprietà dell estremo superiore Teorem. Esiste un unico ( meno di isomorfismi) cmpo ordinto con l proprietà dell estremo superiore. Esso contiene Q come sottocmpo. Dimostrzione. L dimostrzione è lung e l omettimo. Si ved, p.es., [R, Thm 1.19] Definizione. Il cmpo ordinto con l proprietà dell estremo superiore contenente Q come sottocmpo, l cui esistenz è ssicurt dl Teorem 1.4.2, si chim cmpo dei numeri reli e si indic con R. Gli elementi di R sono detti numeri reli. Gli elementi di R \ Q si chimno numeri irrzionli. Sino x un numero rele ed E x = {y R : y x}. Vle l formul x = sup E x. Inftti, d un lto x è un un mggiornte di E x. Dll ltro, se z < x, llor z non è un mggiornte di E x, perché x è in E x ed è > z Definizione. Sino A, B due sottoinsiemi non vuoti di R. Ponimo: (i) A + B = { + b : A, b B} (ii) AB = {b : A, b B} (iii) A = { : A} (iv) se 0 / A, A 1 = { 1 : A} Proposizione. Sino A, B due sottoinsiemi non vuoti di R. Vlgono le proprietà seguenti: (i) sup(a + B) = sup A + sup B (ii) sup( A) = inf A (iii) se A, B R +, llor sup(ab) = (sup A) (sup B). Dimostrzione. Dimostrimo (i). sup A + sup B è un mggiornte di A + B. Inftti, se A e b B, llor sup A, b sup B e quindi + b sup A + sup B.

19 Sezione 1.5 L insieme dei numeri reli esteso 7 Si x < sup A + sup B. Allor x non è un mggiornte di A + B. Posto ɛ = sup A + sup B x, scrivimo x = (sup A ɛ/2) + (sup B ɛ/2). Poiché sup A ɛ/2 non è un mggiornte di A e sup B ɛ/2 non è un mggiornte di B, esistono A e b B tli che sup A ɛ/2 < < sup A e sup B ɛ/2 < b < sup B. Quindi x = sup A ɛ/2 + sup B ɛ/2 < + b, come richiesto. Per le dimostrzioni di (ii) e (iii) si ved l Esercizio 2. Esercizi 1 Si dimostri che se r 0 è rzionle e x è irrzionle, llor r + x e rx sono irrzionli. 2 Si dimostri l Proposizione (ii) e (iii). 3 Sino A, B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si dimostrino le proprietà seguenti: (i) sup(a B) = sup A inf B (ii) se inf A > 0, llor sup ( A 1) = 1/ inf A (iii) se A, B R \ R +, llor sup(ab) = (inf A) (inf B). 1.5 L insieme dei numeri reli esteso Definizione. Chimimo insieme dei numeri reli esteso, e lo indichimo con R, l insieme ordinto { } R {+ } in cui inimo un relzione d ordine che coincide con quell di R qundo ristrett R e tle che min R = e mx R = +. L figur qui sopr dà un immgine pittoric di R. Ogni sottoinsieme di R è inferiormente limitto d e superiormente limitto d +. Chirmente R è un sottoinsieme proprio di R. Ricordimo che bbimo inito l estremo superiore (risp. inferiore) di sottoinsiemi superiormente (risp. inferiormente) limitti di R. Estendimo queste inizioni l cso di insiemi illimitti nel modo seguente. Se E è un sottoinsieme non vuoto di R non superiormente (risp. inferiormente) limitto, diremo che E h estremo superiore + (risp. estremo inferiore

20 8 Cpitolo 1. Insiemi numerici ), e scriveremo sup E = + (risp. inf E = ). Con quest posizione, ogni sottoinsieme non vuoto di R h estremo inferiore e estremo superiore, eventulmente infiniti. Definimo in R un lgebrizzzione przile, ponendo: (i) se x R, x + (+ ) = +, x + ( ) =, (ii) se x è un numero rele > 0, (iii) se x è un numero rele < 0, x = x (+ ) = + e x ( ) = x (+ ) = e x ( ) = + 0 x + = (iv) (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = +. Se z e w sono in R e z+w è init in uno dei prgrfi (i) (iv) del punto precedente, ponimo w + z = z + w; in mnier simile, se z w è init in (i) (iv), ponimo w z = z w. Con queste posizioni, le operzioni di somm e prodotto tr due elementi di R, qundo inite, risultno commuttive Proposizione. Non è possibile inire l somm di e + in modo che R si un cmpo ordinto contenente R come sottocmpo ordinto. Dimostrzione. L tesi segue dl Teorem Inftti, se fosse possibile rendere R un cmpo ordinto contenente Q come sottocmpo, R e R srebbero cmpi ordinti distinti, con l proprietà dell estremo superiore, contenenti Q come sottocmpo, contro l unicità sserit dl Teorem È istruttivo drne un dimostrzione dirett. Se R fosse un cmpo ordinto, + dovrebbe vere un opposto. Or, l opposto di + non può essere un numero rele oppure +, perché bbimo posto x+(+ ) = + per ogni x in R (+ ). Perciò l opposto di + dovrebbe necessrimente essere. Ciò implicherebbe l relzione (+ )+( ) = 0. M, llor, dll relzione 1 + (+ ) = +, ggiungendo d entrmbi i membri, ed usndo l proprietà distributiv, si otterrebbe 1 = 0, relzione fls in qulunque cmpo. Si l R. L operzione l/0 non è init, perché, per inizione di divisione, l eventule risultto, moltiplicto per 0 dovrebbe dre l; or, se l 0, ciò è impossibile, mentre se l = 0, llor ogni numero rele r soddisf l equzione 0 = r 0.

21 Sezione 1.5 L insieme dei numeri reli esteso 9 Più in generle, si può dimostrre che non è possibile inire lcun delle operzioni sottoelencte in modo che R si un cmpo ordinto contenente R come sottocmpo ordinto: ( ) + (+ ), 0 (+ ), 0 ( ), l 0 (l R ), ± ±. Chimimo form indetermint un qulunque delle espressioni precedenti. Per brevità, nel seguito scriveremo invece di Definizione. Sino, b R. Ponimo (, b) = {x R : < x < b} [, b) = {x R : x < b} (, b] = {x R : < x b} [, b] = {x R : x b} (, b) = {x R : x < b} (, b] = {x R : x b} (, ) = {x R : < x} [, ) = {x R : x} (, ) = R. Si chim intervllo di R, più brevemente intervllo, uno qulunque degli insiemi sopr initi. Gli intervlli (, b), (, b), (, ) e (, ) si dicono perti, gli intervlli [, b], (, b] e [, ) si dicono chiusi, [, b) si dice chiuso sinistr e perto destr e (, b] si dice chiuso destr e perto sinistr. Esercizi 1 Sino A, B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si dimostri che vlgono le proprietà seguenti: (i) sup(a + B) = sup A + sup B (d eccezione del cso in cui sup A = e sup B =, o vicevers) (ii) sup( A) = inf A (iii) se A, B R +, llor sup(ab) = (sup A) (sup B).

22 10 Cpitolo 1. Insiemi numerici 1.6 Binomio di Newton Definizione. Si n N. Chimimo fttorile di n il numero n! = n(n 1)(n 2) 1. Ponimo 0! = Definizione. Sino n e k in N. Chimimo coefficiente binomile ( n su k ) il numero ( ) n n! = k k! (n k)! Teorem (potenz del binomio). Sino e b in R, e n in N. Allor ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k. k Dimostrzione. Un dimostrzione di crttere combintorio di quest formul verrà dt nei corsi di probbilità. Nei csi n = 2 e n = 3 ritrovimo le formule ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 e ( + b) 3 = b + 3b 2 + b 3. Esercizi 1 Sino h > 0 e m N. Si dimostri che (1 + h) m 1 + mh. 2 Utilizzndo l Esercizio 1, si dimostri che se x > 1, llor l insieme {x n : n N} non è superiormente limitto. L insieme {( x) n : n N} è inferiormente limitto? 3 Si dimostrino le formule 0 = n ( ) n ( 1) i i i=0 e 2 n = n i=0 ( ) n. i

23 Sezione 1.7 Proprietà metriche dei numeri reli Proprietà metriche dei numeri reli Definizione. L funzione : R R, init d si chim funzione modulo. = { se 0 se < 0, Proposizione. Sino x, y, z R. Vlgono le proprietà seguenti: (i) x 0 e x = 0 se e solo se x = 0 (ii) xy = x y (in prticolre x = x ) (iii) (disuguglinz tringolre) x y x y x + y. Inoltre, x y = x y sse xy 0 e x y = x + y sse xy 0. Dimostrzione. Le dimostrzioni di (i) e di (ii) sono semplici e le omettimo. Dimostrimo l disuguglinz di destr di (iii). Poiché le espressioni x y e x + y sono simmetriche in x e y, possimo, senz ledere l generlità, ssumere che x y. Abbimo che x y = x y (perché x x e y y ) x + y, come richiesto. Inoltre, x y = x + y y y = x x. Poiché il secondo membro dell ultim uguglinz è non negtivo, nche il primo membro deve esserlo; questo forz 0 y, cioè y 0. Con queste restrizioni, il primo membro dell ultim uguglinz è nullo, ergo si deve vere x x = 0, cioè x 0. Ne consegue che xy 0, come richiesto. L disuguglinz di sinistr e l reltiv condizione di uguglinz si dimostrno in modo nlogo.

24 12 Cpitolo 1. Insiemi numerici Definizione. Chimimo distnz euclide di due numeri reli x e y il numero rele non negtivo d(x, y) = x y. Sino E R non vuoto e x R. Chimimo distnz di x d E il numero d(x, E) = inf{ x y : y E}. Sino < b due numeri reli Osservimo che (, b) = {x R : d ( x, ( + b)/2 ) < (b )/2} e che [, b] = {x R : d ( x, ( + b)/2 ) (b )/2}. Osservimo che se x E, llor d(x, E) = 0. Vicevers, d(x, E) = 0 non implic che x pprteng E. Ad esempio, d ( 0, (0, 1] ) = 0, m 0 / (0, 1]. Se E = {y}, llor d(x, E) = x y = d(x, y). Si x R. L prte inter di x è init d x = mx{k Z : k x}. Per esempio, 3/2 = 2, 11/4 = 2, 9 = 9. L mntiss di x, che indicheremo con mnt(x), è init dll formul mnt(x) = x x,

25 Sezione 1.8 Proprietà ritmetiche dei numeri reli 13 ed è un numero rele in [0, 1). Esercizi 1 Si disegni il grfico dell funzione x d(x, Z). 2 Si f : R R. Si dimostri che condizione necessri e sufficiente ffinché è che vlg l impliczione seguente: f(x) x f(x) x f(x) < 0 = x 0. x R 1.8 Proprietà ritmetiche dei numeri reli Proposizione. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) (proprietà di Archimede) dti, b R +, esiste n N tle che n > b; (ii) (densità di Q in R) dti, b R, con < b, esiste q Q tle che < q < b; (iii) (esistenz dell rdice n-esim ritmetic) dti y R + e n N, esiste un unico x R + tle che x n = y. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Osservimo che b 1 b 1 < b 1 + 1, per le proprietà dell funzione prte inter. Posto n = b 1 + 1, bbimo che n > b 1, cioè che n > b, come richiesto. Dimostrimo (ii). Per (i), esiste un intero positivo n tle che n(b ) > 1, cioè tle che nb n > 1. Perciò esiste un intero, che chimimo m, tle che n < m < nb. Dividendo per n, ottenimo < (m/n) < b, come richiesto.

26 14 Cpitolo 1. Insiemi numerici Dimostrimo (iii). Supponimo y > 1. Si E = {r Q + : r n < y}; E è superiormente limitto. Si x = sup E. Mostrimo che x n = y. Supponimo per ssurdo che x n < y. Sino r in E e N in N tli che r < x < r + 1 N e 1 N n 1 k=0 ( ) n r k < y x n k (l second relzione segue dll proprietà rchimede). Mostrimo che x n < y. Inftti, x < r + 1 N = x n < ( r + 1 N ) n, ( r + 1 N ) n < e ( r + 1 N (perché r < x) (perché 1/N < 1) ( ) n r k N k n k k=0 n 1 ( ) n = r n + r k N k n k ) n = n k=0 < x n + 1 N < x n + 1 N n 1 k=0 n 1 k=0 < x n + y x n = y. ( ) n r k N 1+k n k ( ) n r k k M llor x non è il sup E: ssurdo. Se fosse x n > y, si procede come nel cso precedente. Si or 0 < y < 1. Allor y 1 > 1 e, per qunto ppen dimostrto, esiste z R + tle che z n = y 1. Perciò ( z 1 ) n = ( z n ) 1 = y, come richiesto Definizione. Sino y R + e n N. L unico x R + tle che x n = y si indic con y 1/n e si chim rdice n-esim ritmetic di y se n > 2 e rdice qudrt di y se n = 2. Si us nche l notzione n y invece di y 1/n. 2 è irrzionle. Per inizione di rdice qudrt bbimo che ( 2 ) 2 = 2. Per l Proposizione 1.2.7, l equzione x 2 = 2 non h soluzioni in Q, ergo 2 R \ Q, come richiesto.

27 Sezione 1.9 Potenze con esponente rele Potenze con esponente rele Definizione. Sino R +, m Z. Ponimo (m volte) se m > 0 m = 1 se m = ( m volte) se m < 0. Sino m, p Z e n, q N tli che m n = p q. Allor ( m) 1/n = ( p ) 1/q. Dimostrimo l proprietà richiest nel cso in cui m 0 (e quindi nche p 0). L dimostrzione nel cso in cui m < 0 è simile. Per le inizioni di potenz con esponente intero e di rdice n-esim [ ( ) ] m 1/n nq ( ) = m 1/n ( ) m 1/n }{{}... ( m) 1/n ( ) m 1/n }{{} (perché mq = np) = mq = pn [ ( p = ) ] 1/q nq ; l ultim uguglinz segue dll inizione di potenz con esponente intero e di rdice q-esim. Quindi ( m) 1/n = ( p ) 1/q, perché l rdice (nq)-esim ritmetic di un numero rele positivo è unic Definizione. Sino R +, m Z e n N. Ponimo m/n = ( m ) 1/n. È un buon inizione per il punto precedente Proposizione. Sino R +, x e y Q. Allor x+y = x y. Conseguentemente, se m Z e n N, llor { sup{ q m/n : q Q, q m/n} se 1 = ( ) 1 m/n se < 1. Dimostrzione. Supponimo che x = m/n e che y = p/q, dove m e p sono in Z, e n e q sono in N. Per l proprietà distributiv dei rzionli nq(x+y) = mq+np (per l Def ) = mq np [ ( (n fttori e q fttori) = m ) 1/n ( ] q [ ( m ) 1/n p ) 1/q ( p ) 1/q }{{}}{{} = ( m/n) nq ( ) p/q nq (commuttività del prodotto) = ( m/n p/q) nq. ] n

28 16 Cpitolo 1. Insiemi numerici Per l unicità dell rdice nq-esim, deducimo che x+y = x y, come richiesto. Osservimo che se è in (1, ) e se z è un rzionle positivo, llor z > 1. Perciò l funzione che x Q ssoci x è crescente (vd. l Definizione 2.1.1). Ergo, se 1, llor m/n = sup{ q : q Q, q m/n}. Considerzioni nloghe mostrno che quest formul vle nche se (0, 1). Ciò conclude l dimostrzione dell proposizione Definizione. Sino R +, x R. Ponimo { sup{ x q : q Q, q x} se 1 = ( ) 1 x se < Proposizione (disuguglinz di Bernoulli). Si h (0, ). Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se 0 < x < 1, llor (1 + h) x 1 + hx (ii) se x > 1, llor (1 + h) x 1 + hx. Si h (0, 1). Vlgono le ffermzioni seguenti: (iii) se 0 < x < 1, llor (1 h) x 1 hx (iv) se x > 1, llor (1 h) x 1 hx. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Supponimo dpprim che x Q, x = m/n dicimo, con m N e n N e m < n. Dobbimo mostrre che (1 + h) m/n 1 + m n h. Elevndo mbo i membri ll potenz n, portndo tutto l primo membro e usndo l formul dell potenz di un binomio, ottenimo (1 + h) m (1 + m ) n n h m ( ) m n ( ) n (m ) i = h i i i n h i=0 i=0 m ( ) m (sviluppndo i conti) = 1 + mh + h i 1 n m i n h n ( ) n ( m ) ih i i n i=2 i=2 m [ ( ) ( ) m n (m ) i ] n ( ) n (m ) i (poiché m < n) = h i h i. i i n i n i=2 i=m+1 Per dimostrre che quest ultimo membro è negtivo, è sufficiente mostrre che per ogni i {2,..., m} vle l disuguglinz ( ) ( ) m n (m ) i 0. i i n

29 Sezione 1.9 Potenze con esponente rele 17 Inftti, moltiplicndo mbo i membri per n i i!, ottenimo n i m(m 1) (m i + 1) n(n 1) (n i + 1) m i = (perché n(m j) m(n j) 0 per ogni j) 0, come richiesto. Si or x rele. Per inizione di esponenzile i 1 j=0 n(m j) i 1 j=0 (1 + h) x = sup{(1 + h) r : r Q, r < x} (per l disuguglinz già provt) sup{1 + rh : r Q, r < x} concludendo l dimostrzione di (i). Dimostrimo (ii). Se x > 1, llor per l (i) si h = 1 + xh, (1 + hx) 1/x < 1 + hx 1 x = 1 + h, m(n j) d cui, elevndo ll x si ottiene 1 + hx < (1 + h) x. Dimostrimo (iii). Si dunque 0 < x < 1 e 0 < h < 1. Possimo ffermre che esiste un t > 0 tle che 1 h = (1 + t) 1, e risult h =. Allor si h t 1+t (1 h) x = (1 + t) x (1 + t)1 x = 1 + t 1 + t(1 x) per l (i) < 1 + t = 1 t 1 + t x = 1 hx. Dimostrimo infine (iv). Sino x > 1 e 0 < h < 1. Osservimo intnto che, se 1 hx 0, cioè se x 1/h, llor l disuguglinz è ver in qunto il primo membro è positivo, mentre il secondo è negtivo o nullo. Se invece 1 < x < 1/h, llor, con procedimento nlogo quello di (ii), possimo scrivere (1 hx) 1/x < 1 hx 1 x = 1 h, d cui, elevndo ll x si ottiene 1 hx < (1 h) x Proposizione. Sino R + e x, y R. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) x > 0 e x+y = x y (ii) si x R + ; se > 1, llor x > 1, se < 1, llor x < 1

30 18 Cpitolo 1. Insiemi numerici (iii) si x < y. Se > 1, llor x < y ; se < 1, llor x > y (iv) inf{ x : x R} = 0, sup{ x : x R} =. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Poiché > 0, si h che q > 0 per ogni q in Q, d cui segue che x > 0 per ogni x in R. Supponimo che > 1. Per ogni v in R ponimo E v = {r Q : r < v}. Chirmente sup E v = v. Affermimo che E x+y = E x + E y. Inftti, d un lto se r E x e s E y, llor r + s E x+y e quindi E x+y E x + E y. Dll ltro, se t E x+y, llor t < x + y; si r in Q tle che 0 < x r < (1/2) (x + y t). Allor t r < y + r x; siccome r x < 0, possimo concludere che t r < y. Posto s = t r, bbimo che t = r + s, con r < x e s < y, e quindi che t pprtiene {r + s : r E x, s E y }, provndo così l inclusione E x+y E x + E y. Osservimo che, per l inizione di esponenzile, x+y = sup{ t : t E x+y } = sup{ r+s : r E x, s E y } (perché r+s = r s per r, s Q) = sup{ r s : r E x, s E y } (per l Proposizione (iii)) = sup{ r : r E x } sup{ s : s E y } = x y, come richiesto. Si or 0 < < 1. Allor 1 > 1 e si procede come sopr. L dimostrzione di (ii) è semplice e l omettimo. Dimostrimo (iii). Supponimo > 1. Scrivimo y = (y x) + x. Per (i) y = y x x (perché y x > 1 per (ii)) > x, come richiesto. L dimostrzione nel cso 0 < < 1 è nlog. Infine, dimostrimo (iv). Supponimo > 1 e scrivimo = 1 + h, con h > 0. Allor, essendo x x crescente, si h che sup{ x : x R} sup{ n : n N} (dis. di Bernoulli) sup{1 + nh : n N} =,

31 Sezione 1.9 Potenze con esponente rele 19 dimostrndo così l second formul di (iv). Essendo x x crescente, si h che inf{ x : x R} = inf{ m : m Z} = inf{(1/) n : n N} (dis. di Bernoulli) inf{1/(1 + nh) : n N} = 0, e nche l prim formul è dimostrt. L dimostrzione nel cso 0 < < 1 è nlog. Non è possibile inire potenze con bse negtiv ed esponente rele in modo che R continui essere un cmpo ordinto. Supponimo, d esempio, che si possibile inire l rdice qudrt di ( 2). Allor si dovrebbe vere ( 2) 1/2 ( 2) 1/2 = 2, contro l proprietà che il qudrto di un elemento di un cmpo ordinto è non negtivo (vd. Esercizio 4, Sezione 1.3). Funzione logritmo. Dll Proposizione segue che se 1, llor l funzione x x è un bigezione di R su R +. Ess mmette un funzione invers, che è un bigezione di R + su R e che si chim funzione logritmo in bse. Per ogni y in R +, esiste un unico x in R tle che x = y; esso si chim logritmo in bse di y, e si indic con log y.

32 20 Cpitolo 1. Insiemi numerici Esercizi 1 Si x R +. Si clcolino l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme {x 1/n : n N }. 2 Si f : R R non decrescente (vd. Def ). Allor sup{f(x) : x R} = sup{f(n) : n N}.

33 2 Limiti 2.1 Limiti d sinistr Definizione. Sino I un intervllo e f : I R. Dicimo che f è crescente (risp. decrescente) in I se per ogni x, y I tli che x < y vle l formul f(x) < f(y) (risp. f(x) > f(y)). Dicimo che f è non decrescente (risp. non crescente) in I se per ogni x, y I tli che x < y vle l formul f(x) f(y) (risp. f(x) f(y)). Nel seguito, per comodità di notzione, scriveremo inf f(x) invece di inf{f(x) : x I} x I e sup f(x) invece di sup{f(x) : x I}. x I Definizione. Sino < b e f : (, b) R. Sino f b : (, b) R e f b : (, b) R inite d f b (x) = inf f(y) e f b(x) = sup f(y); y [x,b) y [x,b) f b prende il nome di mssim minornte non decrescente di f, e f b prende il nome di minim mggiornte non crescente di f.

34 22 Cpitolo 2. Limiti Proposizione. Sino < b e f : (, b) R. Vlgono le proprietà seguenti: (i) f b è non decrescente; (ii) (iii) (iv) f b è non crescente; inf f(x) f f f x (,b) b b sup f(x); x (,b) sup f b (x) inf f b (z). x (,b) z (,b) Dimostrzione. Le proprietà (i) - (iii) sono conseguenze ovvie delle inizioni di f b e di f b. Dimostrimo (iv). Sino x, z (, b) e v [mx(x, z), b); llor f b (x) = inf f(y) y [x,b) f(v) sup f(y) y [z,b) f b (z). Conseguentemente, f b (x) f b (z) x, z (, b). Prendendo l estremo inferiore l vrire di z in (, b), si deduce che f b (x) inf f b (z) z (,b) x (, b); Prendendo l estremo superiore l vrire di x in (, b), si conclude che sup f b (x) inf f b (z), x (,b) z (,b)

35 Sezione 2.1 Limiti d sinistr 23 come richiesto. Le funzioni f b e f b dipendono d, oltre che d f e d b. Tuttvi, osservimo che se < c < b e g indic l restrizione di f (c, b), llor f b = g b e f b = g b in (c, b) Definizione. Sino < b e f : (, b) R. Supponimo che e indichimo con λ il vlore comune di sup f b (x) = inf f b(x), x (,b) x (,b) sup f b (x) e di x (,b) inf f b(x); λ si chim limite x (,b) di f b d sinistr e si scrive lim f(x) = λ. x b Se λ = 0, si dice che f è infinitesim in b d sinistr; se λ =, oppure λ =, si dice che f è infinit in b d sinistr; se b =, si omette l specificzione d sinistr nell inizione precedente. Se f mmette limite b d sinistr, esso è unico Esempio. Si f : R + R init d { 1 se x (2n, 2n + 1), n N f(x) = 0 se x [2n + 1, 2n + 2], n N. Osservimo che f (x) = 0 e che f (x) = 1 per ogni x R +. Perciò e quindi f non mmette limite. sup f (x) = 0 1 = inf f (x), x R x R L esempio precedente mostr che un funzione può non mmettere limite. È importnte notre che le funzioni monotone mmettono sempre limite. Questo è il contenuto dell seguente fondmentle proposizione.

36 24 Cpitolo 2. Limiti Proposizione (esistenz del limite per funzioni monotòne). Sino < b e f : (, b) R. Vlgono le proprietà seguenti: (i) se f è non decrescente, llor lim f(x) = sup f(y); x b y (,b) (ii) se f è non crescente, llor lim f(x) = inf f(y). x b y (,b) Dimostrzione. Dimostrimo (i); l dimostrzione di (ii) è nlog. Osservimo che f b (x) = inf f(y) y [x,b) (f è non decrescente) = f(x) x (, b), e che f b (x) = sup f(y) y [x,b) (f è non decrescente) = sup f(y) y (,b) x (, b). Conseguentemente inf f b(x) = sup f(y) x (,b) y (,b) = sup f b (x) x (,b) e (i) segue dll inizione di limite. Un importnte conseguenz dell proposizione precedente è l seguente condizione necessri e sufficiente di esistenz del limite. Intuitivmente, un funzione mmette limite b se e solo se non oscill troppo vicino b Proposizione. Sino < b e f : (, b) R. Le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f(x) = λ; x b (ii) lim f x b b (x) = λ = lim f b (x). x b Dimostrzione. Dimostrimo che (i) implic (ii). Poiché f b e f b sono monotone, esse mmettono limite b per l Proposizione 2.1.6, e vlgono le formule lim f (x) = x b b sup f b (y) e lim f b(x) = y (,b) x b inf f b(y). y (,b) Per ipotesi sup f b (y) = λ = inf f b (y), y (,b) y (,b) d cui segue (ii).

37 Sezione 2.1 Limiti d sinistr 25 Dimostrimo che (ii) implic (i). Poiché f b è monoton non decrescente e f b è monoton non crescente, dll Proposizione pplict f b e f b deducimo che lim x b f b (x) = sup f b (y) e lim f b (x) = y (,b) x b inf f b (y). y (,b) Dll ipotesi segue che sup f b (y) = λ = inf f b (y), y (,b) y (,b) cioè l tesi. Sino < b e f : (, b) R. Concludimo quest sottosezione con l osservzione che l esistenz e il vlore del limite di f b dipendono solo di vlori che f ssume vicino b. Formlizzndo, supponimo che g : (c, b) R e che f = g in ( mx(, c), b ). Voglimo mostrre che lim f(x) = lim g(x). x b x b Osservimo che f b = g b e f b = g b in (mx(, c), b). Quindi come richiesto. Esercizi lim f(x) = sup f x b b (x) x (,b) (f b è non decr. e f coincide con g in (mx(, c), b)) = sup g b (x) x (c,b) (per inizione di limite) 1 Si dimostrino le proprietà (i) - (iii) dell Proposizione Per ogni n in Z, si clcoli il lim x xn. = lim x b g(x), 3 Si f : R R init d f(x) = sin x. Si dimostri che f non mmette limite. 4 Sino < b e f : (, b) R. Se f è non decrescente, llor lim x b f(x) = sup n N f(b 1/n).

38 26 Cpitolo 2. Limiti 2.2 Limiti d destr e limiti bilteri Definizione. Sino R e σ : R R l funzione init d σ (x) = (x ); σ si chim simmetri rispetto d. Le proprietà seguenti sono di immedit verific: (i) σ è biunivoc; (ii) σ () = ; ( ) (iii) σ (, b) = (2 b, ); (iv) σ 0 ( (, ) ) = (, ) Definizione. Sino < b e f : (, b) R. Se, e f σ mmette limite d, dicimo che f mmette limite d +, e ponimo lim x + f(x) = lim y (f σ )(y). Inoltre, se f σ 0 mmette limite, dicimo che f mmette limite, e ponimo lim x f(x) = lim (f σ 0)(y). y Definizione. Sino c R e f : (, c) (c, b) R. Se lim f(x) = lim f(x), x c x c + dicimo che f mmette limite c, e ponimo lim x c f(x) = lim f(x). x c + Considerzioni nloghe quelle sviluppte nell Sezione 2.1 vlgono nche per il limite d destr e il limite.

39 Sezione 2.3 Limiti e ordinmento 27 Esercizi 1 Per ogni k in Z, si discut l esistenz dei limiti seguenti: lim x 0 x k, lim x k e lim x k. x 0 + x 0 2 Si f : (, b) R. Sino f e f inite d f(x) = inf f(y) e f(x) = sup f(y). y (,x] y (,x] Si crtterizzi il limite di f d + medinte f e f. 2.3 Limiti e ordinmento In quest sezione esmineremo lcuni risultti, rigurdnti il clcolo dei limiti, che dipendono dll struttur d ordine di R. Per semplificre l esposizione, ci limiteremo l cso dei limiti d sinistr: risultti nloghi si possono formulre per i limiti d destr e per i limiti bilteri Proposizione (permnenz del segno). Sino < b e f : (, b) R. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se sup f b (x) > 0, llor esiste ξ (, b) tle che f ( (ξ, b) ) R + x (,b) (ii) se f ( (, b) ) [0, ) e lim x b f(x) = λ, llor λ 0. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Supponimo che 0 < t < sup f b (x). Per inizione x (,b) di estremo superiore, esiste y (, b) tle che f b (y) > t. Poiché f b è non decrescente, f b (x) > t per ogni x [y, b). L tesi segue dl ftto che f(x) f b (x) in (, b). Dimostrimo (ii). Per inizione di limite λ = sup f b (x) x (,b) (Prop (iii)) inf x (,b) f(x) (f ( (, b) ) [0, )) 0, come richiesto. L ipotesi sup f b (x) > 0 è verifict se, d esempio, lim f(x) > 0. x (,b) x b Proposizione (confronto). Sino < b e f, g, h : (, b) R tli che f g h. Se lim f(x) = λ = lim h(x), x b x b

40 28 Cpitolo 2. Limiti llor lim x b g(x) = λ. Dimostrzione. L ipotesi f g h implic che f b g b g b h b. Quindi λ = sup f b (x) sup g b (x) x (,b) x (,b) inf g b (x) x (,b) inf h b(x) x (,b) = λ, d cui segue che cioè l tesi. sup g b (x) = λ = inf g b(x), x (,b) x (,b) Definizione. Sino < b e f : (, b) R. Si chimno prte positiv e prte negtiv di f le funzioni f + = mx(f, 0) e f = min(f, 0). Osservimo che f + 0, f 0, che f = f + f e che f = f + + f Proposizione. Sino < b e f, g : (, b) R. Vlgono le proprietà seguenti: (i) se f e g sono non negtive e lim x b f(x) = 0 = lim x b g(x) = 0,

41 Sezione 2.3 Limiti e ordinmento 29 llor lim mx ( f(x), g(x) ) = 0; x b (ii) lim f(x) = 0 se e solo se lim f(x) = 0; x b x b (iii) (limitt per infinitesim) se f è limitt e lim g(x) = 0, llor lim (fg)(x) = 0; x b x b (iv) (infinit per discost d zero) se esiste ξ (, b) tle che inf y (ξ,b) g(x) =, llor lim (fg)(x) =. lim x b x b Dimostrzione. Dimostrimo (i). Osservimo che vle l relzione 0 mx ( f(x), g(x) ) b mx( f b (x), g b (x) ). Poiché f b e g b sono non crescenti, tle è mx ( f b, g b ). Per l Proposizione (ii), lim mx ( ) f b, g b = inf mx( f b (x), g b (x) ) x b x (,b) = mx ( inf f b (x), inf g b (x)) x (,b) x (,b) = 0, e l tesi segue dl teorem del confronto. Dimostrimo (ii). Supponimo dpprim che lim f(x) = 0 e dimostrimo che lim f(x) = 0. x b x b In virtù dell inizione di limite e dell ipotesi, bbimo che sup f b (x) = 0 = inf f b(x). x (,b) x (,b) Siccome possimo concludere che f b = f b e f + b = f b, inf f b(x) = 0 = inf f + b(x). x (,b) x (,b) Per (i) (con f l posto di f e f + l posto di g) lim mx( ) f b, f + x b b = 0. Osservimo che 0 f = f + f + f b + f + b 2 mx ( f b, f + b),

42 30 Cpitolo 2. Limiti d cui l tesi segue in virtù dell Proposizione ( ) Supponimo or che lim f(x) = 0. Si verific fcilmente che lim f(x) = 0. x b x b Poiché f f f, l tesi segue dll Proposizione Dimostrimo (iii). In virtù di (i), è sufficiente mostrre che lim (fg)(x) = 0. Posto x b C = sup f(y), osservimo che y (,b) 0 (fg)(x) C g(x) x (, b). Dll ipotesi lim g(x) = 0 e d (i) deducimo che lim g(x) = 0; per l Proposizione 2.3.2, x b x b lim (fg)(x) = 0, come richiesto. x b Dimostrimo (iv). Notimo che se x > ξ, llor [ ] (fg)(x) inf f(y) g(x); y (ξ,b) l tesi segue d quest disuguglinz e dll Proposizione Esempi. sin x Mostrimo che lim x x = 0. Per l Esercizio 2 dell Sezione 2.1 l funzione x 1/x è infinitesim. Poiché sin x 1, l tesi segue dll Proposizione (iii). Mostrimo che lim x (sin x + 2) =. x Per l Esercizio 2 dell Sezione 2.1 l funzione x x è infinit. Poiché (sin x+2) 1, l tesi segue dll Proposizione (iv) Proposizione. Vlgono le proprietà seguenti: (i) (ii) se > 1 e α R, llor lim x x α se > 1, α > 0 e β R, llor lim x x = 0; ( log x ) β x α = 0. Dimostrzione. Dimostrimo (i). Se α 0, l tesi è immedit. Supponimo che α > 0. Ponimo 1/(2α) = 1 + h, d cui h > 0. Notimo che d cui (1 + h) 2x = [(1 + h) x ] 2 (per l dis. di Bernoulli) > (1 + hx) 2 x α [ x = x ( ) 1/(2α) 2x [ x ] α, h 2 x 2 > h 2 x 2, ] α

43 Sezione 2.4 Limiti di lcune funzioni elementri 31 x α che tende zero. Per il teorem del confronto, possimo concludere che lim x x = 0, come richiesto. L dimostrzione di (ii) segue l flsrig di quell di (i) e perciò l omettimo. Per un dimostrzione divers, vd. l Esercizio 4 dell Sezione 3.4. Esercizi 1 Si dimostri che lim x 0 + x sin(1/x) = 0. 2 Si dimostri che lim x 0 + cos x x =. 3 Sino < b e f, g : (, b) R. Si dimostri che se lim f(x) < lim g(x), x b x b llor esiste c (, b) tle che f(x) < g(x) x (c, b). Cos si può dire se si suppone che lim x b f(x) lim x b g(x)? 4 Sino < b e f, g : (, b) R. Si dimostri che le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f b (x) < ; x b (ii) esiste c (, b) tle che f è limitt in (c, b). 2.4 Limiti di lcune funzioni elementri Dimo lcuni risultti di esistenz di limiti d sinistr di funzioni elementri. L dimostrzione dell esistenz dei corrispondenti limiti d destr è nlog. Nelle considerzioni che seguono l Proposizione sull esistenz del limite per funzioni monotone gioc un ruolo fondmentle. In questo prgrfo supponimo che b R. Se f : (, b) R è init d f(x) = C, llor lim f(x) = C. x b Ovvio. lim x = b. x b Poiché x x è crescente, il limite proposto esiste ed è ugule l sup x, che vle b. x<b Se k N, llor lim x k = b k. x b Esiste un intervllo (, b) in cui x x k è monoton. Quindi il limite proposto esiste; se, d esempio, b > 0, llor x x k è crescente in (0, b) e lim f(x) = sup x k = b k. x b 0<x<b

44 32 Cpitolo 2. Limiti lim x b x = b. Supponimo > 1. Allor x x è crescente per l Proposizione e quindi il limite proposto esiste. Si h (inizione di esp.) lim x = sup x b (inizione di esp.) = b, x x<b = sup sup{ q : q Q, q < x} x<b = sup{ q : q Q, q < b} come richiesto. Il cso 0 < < 1 si trtt in modo simile. lim sin x = sin b. x b Esiste un intervllo (, b) in cui x sin x è monoton. esiste. Per l formul di ddizione del seno d cui sin x = sin(x b + b) = sin(x b) cos b + sin b cos(x b), sin x sin b sin(x b) + 1 cos(x b). Quindi il limite proposto Il secondo membro, e quindi nche il primo, è nullo se x b = (2k + 1)π, k Z. Supponimo or che x b (2k + 1)π, k Z. Dlle formule sin(x b) x b e 1 cos(x b) = sin2 (x b) 1 + cos(x b) si deduce per confronto che Esercizi ( lim sin x sin b) = 0, come richiesto. x b 1 Si dimostri che se b R, llor lim x b cos x = cos b. cos x < sin x x < 1, vlid per x [ π/2, π/2], si deduc che sin x lim x 0 x = 1. 2 Si dimostri che: se > 1, llor lim x x = ; se 0 < < 1, llor lim x x = 0; se > 1, llor lim x log x = ; se 0 < < 1, llor lim x log x = ; se > 1, llor lim x 0 + log x = ; se 0 < < 1, llor lim x 0 + log x =. Dll cten di disuguglinze

45 Sezione 2.5 Crtterizzzione del limite Crtterizzzione del limite Proposizione. Sino < b e f : (, b) R. Le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f(x) = λ R; x b (ii) per ogni intervllo perto I contenente λ, esiste x I (, b) tle che f ( (x I, b) ) I. Dimostrzione. Dimostrimo che (i) implic (ii). Dto l intervllo I, considerimo l insieme E I = {x (, b) : f b (x) I e f b (x) I}. Osservimo che: E I. Se x E I llor [x, b) E I. Se x I E I, llor f(x) I per ogni x (x I, b), perchè f b (x) f(x) f b (x). Questo conlude l dimostrzione dell impliczione (i) = (ii). Dimostrimo che (ii) implic (i). Per ipotesi, per ogni n N esiste x n (, b) tle che f ( (x n, b) ) (λ 1/n, λ + 1/n). Perciò, Per il teorm del confronto λ 1/n inf f(y) y (x n,b) f b (x) f b (x) sup f(y) y (x n,b) λ + 1/n x (x n, b). λ 1/n lim x b f b (x) λ + 1/n e λ 1/n lim x b f b (x) λ + 1/n.

46 34 Cpitolo 2. Limiti Poiché queste relzioni devono vlere per ogni n N, possimo concludere che lim f (x) = λ = lim f x b b b(x), x b + e, quindi, che lim x b f(x) = λ per inizione di limite, come richiesto. Crtterizzzioni nloghe dell esistenz del limite nel cso di limite infinito sono lscite per esercizio (vd. Esercizio 1). Esercizi 1 Sino < b e f : (, b) R. Le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f(x) = ; x b (ii) per ogni intervllo dell form (c, ) esiste x I (, b) tle che f ( (x I, b) ) (c, ). 2 Sino < b < e f : (, b) R. Si dimostri che le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f(x) = λ R; x b (ii) per ogni ɛ > 0, esiste δ > 0 tle che f(x) λ < ɛ x (b δ, b). Come si modific (ii) nel cso in cui b =? 3 Sino < b < e f : (, b) R. Si dimostri che le ffermzioni seguenti sono equivlenti: (i) lim f(x) = ; x b (ii) per ogni M > 0, esiste δ > 0 tle che f(x) M x (b δ, b). Come si modific (ii) nel cso in cui b =? 4 Utilizzndo l Proposizione 2.5.1, si dimostri che lim x x x x = 0 e che lim x x 3 1 = 0.