La dimostrazione per assurdo
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- Marco Fantini
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1 L dimostrzione per ssurdo L dimostrzione per ssurdo in mtemtic è uno strumento utile per dimostrre certi teoremi. Ess procede secondo i seguenti pssi: 1. Si suppone che il teorem si flso. Si f vedere, medinte rgionmenti corretti, che possono essere nche molto lunghi e complicti, che l negzione del teorem port un contrddizione. 3. L contrddizione implic che il teorem non può essere flso, quindi deve essere vero. L dimostrzione finisce questo punto. negzione del teorem contrddizione verità del teorem Nelle pgine seguenti vedremo come Euclide usò questo metodo per dimostrre che l rdice qudrt di non è un numero rzionle. Numeri di questo tipo sono oggi chimti numeri irrzionli. I Greci non volevno usre questo tipo di numeri e non spevno drsi pce del ftto che l digonle del qudrto non fosse esprimiile, in rpporto l lto, come rpporto di numeri interi. Dl teorem di Pitgor consegue inftti che d l Euclide e i numeri irrzionli pg.1 di 1
2 non può essere espresso come rpporto tr due numeri interi. L dimostrzione procede per ssurdo. Fse 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA Supponimo che il teorem si flso. Esisternno llor due numeri interi, tli che Possimo nche supporre che, non ino divisori comuni perché, se li vessero, potremmo sempre ridurre l frzione i minimi Fse : RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE elevndo l qudrto imo: M questo implic che è multiplo di, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di. Dto che è multiplo di possimo scrivere: k Sostituendo nell relzione ottenimo: ( k 4k k M questo implic che è multiplo di, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di. Aimo quindi ricvto che, sono entrmi multipli di, cos che port un contrddizione dto che vevmo supposto nell fse 1 che, non vessero divisori comuni. L contrddizione ci port d ffermre che il teorem non può essere flso, quindi deve essere vero. Il teorem è dimostrto. Il teorem testé dimostrto equivle dire che non è un numero rzionle. D qui sorse l necessità di llrgre il sistem numerico fino comprendere numeri che non sono rzionli, chimti perciò numeri irrzionli. È importnte sottolinere che lo stesso tipo di dimostrzione può essere usto per dimostrre che nche numeri come 3, 5, 3 7 etc. sono numeri irrzionli. Nelle pgine seguenti vedimo come si procede. Euclide e i numeri irrzionli pg. di
3 3 non può essere espresso come rpporto tr due numeri interi. L dimostrzione procede per ssurdo. Fse 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA Supponimo che il teorem si flso. Esisternno llor due numeri interi, tli che 3 Possimo nche supporre che, non ino divisori comuni perché, se li vessero, potremmo sempre ridurre l frzione i minimi Fse : RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE 3 elevndo l qudrto imo: 3 3 M questo implic che è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 3. Dto che è multiplo di 3 possimo scrivere: 3k Sostituendo nell relzione ottenimo: ( 3k 3 9k 3 3k M questo implic che è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 3. Aimo quindi ricvto che, sono entrmi multipli di 3, cos che port un contrddizione dto che vevmo supposto nell fse 1 che, non vessero divisori comuni. L contrddizione ci port d ffermre che il teorem non può essere flso, quindi deve essere vero. Il teorem è dimostrto. Euclide e i numeri irrzionli pg.3 di 3
4 1 non può essere espresso come rpporto tr due numeri interi. L dimostrzione procede per ssurdo. Fse 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA Supponimo che il teorem si flso. Esisternno llor due numeri interi, tli che 1 Possimo nche supporre che, non ino divisori comuni perché, se li vessero, potremmo sempre ridurre l frzione i minimi Fse : RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE 1 elevndo l qudrto imo: M questo implic che è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 3. Dto che è multiplo di 3 possimo scrivere: 3k Sostituendo nell relzione ottenimo: ( 3k 3 9k 1 3k 4 M questo implic che è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 3. Aimo quindi ricvto che, sono entrmi multipli di 3, cos che port un contrddizione dto che vevmo supposto nell fse 1 che, non vessero divisori comuni. L contrddizione ci port d ffermre che il teorem non può essere flso, quindi deve essere vero. Il teorem è dimostrto. Euclide e i numeri irrzionli pg.4 di 4
5 3 7 non può essere espresso come rpporto tr due numeri interi. L dimostrzione procede per ssurdo. Fse 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA Supponimo che il teorem si flso. Esisternno llor due numeri interi, tli che 3 7 Possimo nche supporre che, non ino divisori comuni perché, se li vessero, potremmo sempre ridurre l frzione i minimi Fse : RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE elevndo l cuo imo: ( * M questo implic che 3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 7. Dto che è multiplo di 7 possimo scrivere: 7k Sostituendo nell relzione ottenimo: ( 7k 7 7 k 7 7 k M questo implic che 3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso è multiplo di 7. Aimo quindi ricvto che, sono entrmi multipli di 7, cos che port un contrddizione dto che vevmo supposto nell fse 1 che, non vessero divisori comuni. L contrddizione ci port d ffermre che il teorem non può essere flso, quindi deve essere vero. Il teorem è dimostrto. Euclide e i numeri irrzionli pg.5 di 5
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