Rapporti e proporzioni numeriche
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- Lelio Lelli
- 7 anni fa
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1 Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire che 8 è il rpporto tr 56 e 7 equivle dire che: 56 7 = 8 Dti due numeri e b, si dice rpporto inverso il rpporto ottenuto invertendo l ordine dei termini. Ad esempio dti nell ordine i numeri 3 e 4, il loro rpporto è 3/4 e il loro rpporto inverso è 4/3. Proporzioni. Un proporzione è l uguglinz tr due rpporti. Dti quttro numeri, b, c, d si dice che essi formno un proporzione, nell ordine n cui sono dti, se: Che si legge: st b come c st d. : b = c: d e d sono detti estremi, b e c medi e c sono gli ntecedenti, b e d e conseguenti d è detto qurto proporzionle dopo, b, c. Un proporzione si dice continu qundo i medi sono uguli, cioè : b = b: d In tl cso b è detto medio proporzionle tr e c mentre c è detto terzo proporzionle dopo e b. Proprietà fondmentle delle proporzioni. In un proporzione il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. Inftti considert l proporzione E riducendo le frzioni llo stesso denomintore bbimo d b c = b d b d Avendo le due frzioni lo stesso denomintore vrnno, in virtù dell loro uguglinz, ugule nche il numertore, cioè d = b c 1
2 Termine incognito Si può presentre il problem di dover determinre un termine incognito di un proporzione essendo dti gli ltri tre. Tle problem si risolve pplicndo l proprietà fondmentle e precismente Se il termine incognito è un estremo si determin dividendo il prodotto dei medi per l estremo conosciuto. Se il termine incognito è un medio si determin dividendo il prodotto degli estremi per il medio conosciuto Esempi 2: 3 = x: 9 x = x = 6 2: 6 = 6: x x = x = 18 2: x = x: 8 x 2 = 16 x = 16 x = 4 Altre proprietà delle proporzioni. In un proporzione continu il qudrto del medio proporzionle è ugule l prodotto degli estremi Se in un proporzione si scmbino fr loro i medi o gli estremi, si h ncor un proporzione (proprietà del permutre) Se in un proporzione si inverte ogni ntecedente con il proprio conseguente, si h ncor un proporzione (proprietà dell invertire). In un proporzione l somm del primo e del secondo termine st l primo o l secondo termine, come l somm del terzo e del qurto st l terzo o l qurto rispettivmente (proprietà del comporre) Inftti Inverdendo si h b = d c Aggiungimo d entrmbi i membri b = 1 + d c Sostituimo 1 rispettivmente e c c 2
3 Dl quest ultim, fcendo il m.c.m. si ottiene + b = c c + d c ( + b): = (c + d): c In un proporzione, se ogni ntecedente è mggiore del conseguente, l differenz tr il primo e il secondo termine st l primo o l secondo come l differenz tr il terzo e il qurto st l terzo o l qurto (proprietà dello scomporre) Inftti Inverdendo e cmbindo di segno si h b = d c Aggiungimo d entrmbi i membri 1 1 b = 1 d c Sostituimo 1 rispettivmente e c c Dl quest ultim, fcendo il m.c.m. si ottiene b = c c d c ( b): = (c d): c In un proporzione l somm o l differenz degli ntecedenti st ll somm o ll differenz dei conseguenti come ogni ntecedente st l proprio conseguente. Cioè dt l proporzione : b = c : d, pplicndo tle proprietà, si ottiene ( + c) : (b + d) = : b oppure ( + c) : (b + d) = c : d ( - c) : (b - d) = : b oppure ( - c) : (b - d) = c : d Esempio Dt l proporzione 5 : 10 = 2 : 4 permutndo i medi 3
4 5 : 2 = 10 : 4 permutndo gli estremi 4 : 10 = 2 : 5 invertendo ogni ntecedente con il proprio conseguente 10 : 5 = 4 : 2 si ottiene sempre un proporzione. Applicndo quest ultim proporzione le proprietà del comporre e dello scomporre ottenimo sempre un proporzione (10 + 5) : 5 = (4 + 2) : 2 (10-5) : 5 = (4-2) : 2 Cten di rpporti Dicesi cten o serie di rpporti uguli, l uguglinz di tre o più rpporti. Anche l serie di rpporti uguli gode delle proprietà del comporre e dello scomporre; si può quindi dire che in un cten di rpporti uguli, l somm (differenz) degli ntecedenti st ll somm (dfferenz) dei conseguenti, come ogni ntecedente st l proprio conseguente. Esempio 1 Dt l serie di rpporti uguli 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Componendo si h ( ): ( ) = 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Ossi 90: 135 = 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Esempio 2 Dt l serie di rpporti uguli 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Scomponendo si h ( ): ( ) = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Ossi 30: 45 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 4
5 Bibliogrfi: C. Bettell A. Mrri: Corso di mtemtic vol 1- Pccgnell editore S.p.. - Bologn 5
{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri
Introduzione alle disequazioni algebriche
Introduzione lle disequzioni lgebriche Giovnni decide di fre ttività fisic e chiede informzioni due plestre. Un plestr privt chiede un quot d iscrizione nnu di 312, più 2 per ogni ingresso. L plestr comunle
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1 Unità Didttic N 0 I concetti fondmentli dell ritmetic 01) Il concetto di potenz 0) Proprietà delle potenze 0) L nozione di rdice ritmetic 0) Multipli e divisori di un numero 05) Criteri di divisibilità
Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi
Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice
Scheda per il recupero 2
Sched A Ripsso Sched per il recupero Numeri rzionli e introduzione i numeri reli Definizioni principli DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos è un frzione? Qundo un frzione si dice ridott i minimi termini? Un
Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune
Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile
I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.
I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle
Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi
Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz
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32 Capitolo 2. Radicali Esercizi dei singoli paragrafi ; ; ; , , 3 25, 100, 125; 216; 8 27 ;
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, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
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Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,
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Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte
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Aritmetic Definizioni di concetti, regole e proprietà per il nno dell scuol medi ) INSIEMI Concetto primitivo Un concetto primitivo è un concetto che non viene definito con precisione, m solo descritto
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RIEPILOGO FRAZIONI ALGEBRICHE Per semplificre un frzione: scomponi numertore e denomintore semplific numertore e denomintore tenendo presente che: il quoziente di due fttori uguli è il quoziente di due
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Programma di matematica Prof.ssa Tacchi Lucia Anno scolastico 2017/2018 classe I A
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Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo
Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle
Algebra delle Matrici
lgebr delle Mtrici Definizione di un mtrice Un mtrice esempio: è definit d m righe e d n colonne come d 8 9 8 In questo cso l mtrice è compost d righe e colonne Se il numero delle righe è ugule l numero
2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
POTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
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MATEMATICA Classe Prima
Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi
Alcune mosse che utilizzano le proprietà delle operazioni in N
Operzioni in N Proprietà commuttiv dell ddizione + b b +,b N Proprietà ssocitiv dell ddizione ( + b) + c + (b + c) + b + c,b,c N Proprietà invrintiv dell sottrzione b ( + c) (b + c) b ( c) (b c),b,c N,b,c
Il calcolo letterale
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Rapporti e proporzioni
Rapporti e proporzioni I rapporti In matematica la parola rapporto indica un quoziente. Può essere indicato da: - Una divisione, es. 9 6 - Una frazione - Un numero decimale, es. 1,5 Def. Il rapporto tra
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Le equazioni di grado superiore al secondo
Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere
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Polinomi Un polinomio è un somm lgeric di monomi. Esempio: ; c sono polinomi. ; I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche essere considerto come un polinomio
2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
1 Equazioni e disequazioni di secondo grado
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Equazioni parametriche di primo grado
Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,
b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di
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fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio
Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +
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Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione
Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente
Esponenziali e logaritmi
Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:
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Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio
B8. Equazioni di secondo grado
B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere
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Corso di Anlisi: Algebr di Bse ^ Lezione Rdicli. Proprietà dei rdicli. Equzioni irrzionli. Disequzioni irrzionli. Allegto Esercizi. RADICALI : Considerto un numero rele ed un numero intero positivo n,
PRODOTTI NOTEVOLI. Esempi
PRODOTTI NOTEVOLI In lger ci sono delle regole per eseguire in modo più reve e più veloce l moltipliczione tr prticolri polinomi. Queste regole (o meglio formule si chimno prodotti notevoli. Anlizzimo
ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con
Algebra lineare. Algebra. Vettori. Vettori. Vettori: uguaglianza. Vettori: elementi corrispondenti
Algebr linere Algebr Un lgebr è un sistem di segni in cui sono definite delle operzioni Algebr sclre Algebr dei vettori Algebr mtricile In lgebr mtricile un numero è chimto sclre Vettori Vettori vettore
7. Derivate Definizione 1
7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte
Esercizi di consolidamento
Esercizi di consolidmento Stilisci per quli vlori delle lettere le seguenti frzioni lgeriche hnno significto. esercizio guidto. L frzione h significto se il denomintore è diverso d zero e ciò ccde se 6¼
0x3 0x5 2 R. Sistemi di disequazioni. Esercizio no.1. Esercizio no.2. Esercizio no.3. Esercizio no.4. Esercizio no.5. Esercizio no.6. Esercizio no.
Edutecnic.it Sistemi di disequzioni Sistemi di disequzioni Esercizio no. Esercizio no. Esercizio no. ) ) Esercizio no. ) ) 9 ) Soluzione pg. [ ] Soluzione pg. [ ] Soluzione pg. 9 Soluzione pg. Esercizio
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Calcolare l area di una regione piana
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SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali
SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione
11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
X X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni
Funzioni Consider le seguenti telle e stilisci se e sono direttmente proporzionli, inversmente proporzionli o se vi è un proporzionlità qudrtic. Scrivi l espressione nlitic delle funzioni e rppresentle
Rapporti e proporzioni
Rapporti e proporzioni Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo. a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo
1 Integrale delle funzioni a scala
INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]
Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti
Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più
2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler
2 Numeri reli M. Simonett Bernei & Horst Thler Numeri interi positivi o Nturli 0 1 2 3 4 Con i numeri Nturli è sempre possiile fre l ddizione e l moltipliczione p.es.: 5+2 = 7; 3*4 = 12; m non sempre l
ESPONENZIALI E LOGARITMI
Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:
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Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,
INSIEMI, RETTA REALE E PIANO CARTESIANO
INSIEMI, ETTA EALE E PIANO CATESIANO ICHIAMI DI TEOIA SUGLI INSIEMI Un insieme E è definito ssegnndo i suoi elementi, tutti distinti tr loro: se x è un elemento di E scrivimo x E, mentre, se non lo è,
a è detta PARTE LETTERALE
I MONOMI Si die MONOMIO un espressione letterle in ui le unihe operzioni presenti sino il prodotto e l divisione. Esempio è detto COEFFICIENTE del monomio e è dett PARTE LETTERALE Un monomio si die ridotto
Risolvere gli esercizi proposti e rispondere a 4 quesiti scelti all interno del questionario. sin = x
Risolvere gli esercizi proposti e rispondere quesiti scelti ll interno del questionrio Clcolre l derivt delle seguenti unzioni cos cos sin sin ( cos ) cos ( cos )( sin ) sin sin cos sin cos ( cos ) ( cos
La scomposizione in fattori dei polinomi
Progetto Mtemtic in Rete L scomposizione in fttori dei polinomi Scomporre in fttori un polinomio signific scriverlo come prodotto di polinomi di grdo inferiore. Esempio: ( )( ) Osservimo che l uguglinz,
Unità Didattica N 3 Le inequazioni. Unità Didattica N 3 Le inequazioni
9 ) Proprietà delle disuguglinze fr numeri reli reltivi ) Inequzioni e loro proprietà ) Inequzioni rzionli intere di primo grdo d un incognit 4) Segno del trinomio di secondo grdo : T = c 5) Inequzioni
I numeri naturali 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, L insieme dei numeri naturali viene indicato col simbolo. Risulta pertanto:
1 Definizione: Tr due insiemi A e B esiste un corrispondenz biunivoc qundo d ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e d ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A. Definizione:
Integrali impropri in R
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