ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrale secondo Riemann

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1 ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrle secondo Riemnn 1 prof. Cludio Sccon, Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: d6081/index.html Ricevimento: ogni lunedì, dlle 8.30 lle () Mrch 23, / 26

2 Un esempio: l re del segmento di prbol Ci proponimo di determinre l re dell regione di pino compres tr l sse delle x, l prbol y = x 2 e l rett verticle x = 1. Dividimo l intervllo [0,1] in n sottointervlli [x i,x i+1 ] di egule mpiezz 1 n e costruimo, come nell figur, i rettngoli di bse [x i,x i+1 ] e di ltezz xi 2 ( rettngoli inferiori ) oppure di ltezz xi+1 2 ( rettngoli superiori ). () Mrch 23, / 26

3 Il plurettngolo superiore P n, risultnte dll unione di tutti i rettngoli superiori contiene l figur F di cui voglimo clcolre l re, mentre quest ultim contiene il plurirettngolo inferiore, P n ottenuto mettendo insieme tutti i rettngoli inferiori. Allor per ogni Are(P n) Are(F) Are(P n) D ltr prte Are(P n) = Are(P n) = n 1 xi 2 i=0 n = 1 n n 1 i=0 n 1 xi+1 2 i=0 n = 1 n ( ) i 2 = 1 n n 3 ( i + 1 n 1 i=0 n n 1 i=0 ) 2 = 1 n 3 i 2 = n i=1 (n 1)n(2(n 1) + 1) 6n 3 i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6n 3 Dto che, per n si h Are(P n) 1 3 e Are(P n) 1, se ne deduce 3 (metodo di esustione ) che l re di F deve essere 1 3. Notimo che in questo discorso si suppone priori di spere cos è l re e di conoscere lcune sue proprietà (per es. A B Are(A) Are(B)). () Mrch 23, / 26

4 Voglimo ripetere questo procedimento in generle. Così fcendo giungeremo DEFINIRE cos è l re di certe (NON TUTTE) figure del pino. In qunto segue prendimo un intervllo [,b] di R e un funzione limitt f : [,b] R (not che f non deve per forz essere continu). Definizione Dto un intero n dividimo l intervllo [,b] in n sottointervlli di egule mpiezz [x i,x i+1 ], dove: x i = + i b n, i = 0,...,n e sceglimo (rbitrrimente) dei punti ξ 1,...,ξ n tli che n 1 i=0 x i ξ i x i+1 i = 0,...,n 1. Diremo che f (ξ i )(x i+1 x i ) = b f (ξ i ) n i=0 è un somm di Cuchy-Riemnn di ordine n per f nell intervllo [,b] n 1 () Mrch 23, / 26

5 Somme di Cuchy-Riemnn. () Mrch 23, / 26

6 Definizione Diremo che l funzione f è integrbile su [,b] se per qulunque successione {S n } tle che S n è un somm di Cuchy-Riemnn di ordine n si h che esiste finito S = lim n S n e tle limite è lo stesso qulunque si l successione. Chimeremo integrle di f su [,b] il limite S trovto sopr, che verrà indicto con f (x)dx = f. () Mrch 23, / 26

7 Osservzione Se definimo l somm inferiore (superiore) n-esim ( n 1 s n = inf S n = i=0 x i x x i+1 f (x) (x i+1 x i ) n 1 i=0 llor ogni somm di Cuchy-Riemnn S di ordine n verific (b ) inf f s n S S n (b )supf. [,b] Inoltre s n S m per ogni n,m interi IDEA DI DIM.. sup f (x) (x i+1 x i ) x i x x i+1 [,b] ) () Mrch 23, / 26

8 Teorem Si f : [,b] R limitt. Allor f è integrbile su [,b] se e solo se lim (S n s n ) = 0 n dove S n è l somm superiore n-esim e s n è l somm inferiore n-esim. Inoltre, se il limite sopr f zero si h: lim S n = lim s n = f (x)dx. n n DIM Dunque, per qunto visto ll inizio, l funzione x x 2 è integrbile sull intervllo [0,1] e il suo integrle f 1 3. () Mrch 23, / 26

9 Esempio (Are del tringolo) L funzione x mx è integrbile su [0,1] e il suo integrle f m 2. DIM Proprietà Se α > 1 si h: n i=1 i α = nα+1 α o( n α+1) DIM Esempio Se ne deduce un proprietà generle. Se α 0 l funzione x x k è integrbile su [0,1] e il suo integrle tr zero e 1 uno f α + 1 DIM Che succede per α ] 1,0[? In questo cso l funzione non è limitt (ricorreremo più vnti ll integrle improprio.) () Mrch 23, / 26

10 Proprietà dell integrle Teorem (linerità) Sino f e g due funzioni integrbili su [,b] e sino c,d due numeri reli. Allor cf + dg è integrbile su [,b] e (cf + dg)(x)dx = c Teorem (dditività rispetto ll intervllo) f (x)dx + d g(x) dx Si f un funzione integrbile su [,b] e si r un numero con r. Allor f è integrbile su [,r] e su [r,b] e si h: r f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. r (dd) () Mrch 23, / 26

11 Proprietà dell integrle Convenzione Se b < convenimo di porre f (x)dx := f (x)dx. b Allor l formul (dd) vle per qulunque tern di numeri,b ed r. Teorem (Monotoni) Se f è integrbile su [,b] e se f 0 llor f (x)dx 0 DIM Notimo che d qunto sopr si deduce che, se f,g sono integrbili: f g f (x)dx g(x) dx () Mrch 23, / 26

12 Proprietà dell integrle Teorem (Prodotto) Se f e g sono integrbili su [,b] llor il prodotto fg è integrbile su [,b]. Teorem (Composizione con un lipschitzin) Se f è integrbile su [,b] e se G : R R è lipschitzin, cioè se per un opportun costnte L G(y 1 ) G(y 2 ) L y 1 y 2 y 1,y 2 R, llor G f è integrbile su [,b]. () Mrch 23, / 26

13 Conseguenz Dto che G(y) = y, y + e y sono lipschizine si deduce f integrbile su [,b] f,f +,f integrbili su [,b] Inoltre ± f (x) + dx + f (x)dx = ± f (x) dx = Ne segue che se f è integrbile su [,b] si h: f (x) + dx f (x)dx f (x) dx. f (x) dx. f (x) dx () Mrch 23, / 26

14 Clssi di funzioni integrbili Teorem (integrbilità delle monotone) Se f : [,b] R è monoton, llor f è integrbile. DIM Teorem (integrbilità delle continue) Se f : [,b] R è continu, llor f è integrbile. DIM. nel cso lipschitzino Esempio (funzione non integrbile) L funzione di Dirichlet f : R R definit d { 0 se x è rzionle, f (x) := 1 se x è irrzionle, non è integrbile su nessun intervllo [,b]. Inftti per qulunque n si h s n = 0 e S n = b e quindi S n s n non tende zero. () Mrch 23, / 26

15 Teorem (dell medi) Se f è integrbile su [,b] llor vle Ricordimo che il numero inf f 1 f (x)dx supf. [,b] b [,b] 1 b f (x)dx b si chim medi integrle di f in [,b]. Se inoltre f è continu (e quindi l integrbilità è utomtic) llor esiste un punto intermedio ξ in [,b] in cui f ssume l su medi, cioè: f (ξ ) = 1 f (x)dx b DIM () Mrch 23, / 26

16 Antiderivt Definizione (primitive) Si f : [, b] R un funzione. Diremo che un ltr funzione F : [, b] R è un primitiv di f (o è un ntiderivt di f ) se F è deivbile in [,b] e vle F (x) = f (x) x [,b]. Teorem Supponimo che f bbi un primitiv F. Allor l insieme di tutte le primitive di f è individuto dll formul: F 1 primitiv di f F 1 = F + c, c R. DIM Notzione È uso indicre con il simbolo f (x)dx (integrle indefinito di f ) l insieme di tutte le primitive di f. () Mrch 23, / 26

17 Dunque se sppimo che F = f (conoscimo un primitiv), si h: f (x)dx = {F + c : c R} (se f è definit su un intervllo!!). Per esempio: 2xdx = { x 2 + c : c R }. Teorem (Teorem fondmentle del clcolo integrle) Supponimo che f : [,b] R si continu e che F : [,b] R si un primitiv di f (cioè che F = f ). Allor ( ) f (x)dx = F(b) F() =: [F] b = [F(x)]x=b x= DIM Notimo che per or NON SAPPIAMO quli funzioni mmettno primitiv vedremo poi che tutte le funzioni continue lo fnno. Sppimo però che, se trovimo esplicitmente un primitiv, llor simo in grdo di clcolre esplicitmente l integrle definito. () Mrch 23, / 26

18 Esempio Se α 0 l funzione x x α è continu e si h (bst l verific): { } x x α α+1 dx = α c : c R d cui 1 0 x α dx = 1 α + 1. È MOLTO PIÙ SEMPLICE COSÌ che ricvrlo dll definizione di integrle. Conviene llor fbbricrci un tbell di primitive. () Mrch 23, / 26

19 Primitive notevoli Funzione Primitive Funzione Primitive x α+1 x α (α 1) α c ex e x + c 1 1 ln( x ) + c x cos 2 tn(x) + c (x) sin(x) cos(x) + c sinh(x) cosh(x) + c cos(x) sin(x) + c cosh(x) sinh(x) + c 1 1 rcsin(x) + c 1 x x 2 rcsinh(x) + c x 2 rctn(x) + c 1 x 2 1 rccosh(x) + c Andrebbe notto che l costnte c dipende dll intervllo. Ricordimo nche che sinh(x) := ex e x, cosh(x) := ex + e x. 2 2 () Mrch 23, / 26

20 Oltre ll tbell delle primitive bbimo disposizione i seguenti teoremi. Teorem (Integrzione per sostituzione) Si f : [c, d] R un funzione continu e si ϕ : [, b] [c, d] derivbile con derivt continu. Allor ϕ(b) f (ϕ(t))ϕ (t)dt = f (x)dx. ϕ() DIM Teorem (Integrzione per prti) Sino f,g,f,g quttro funzioni continue definite sull intervllo [,b]. Supponimo che F (x) = f (x), G (x) = g(x) x [,b]. Allor f (x)g(x)dx = [F(x)G(x)] x=b x= F(x)g(x) dx. DIM () Mrch 23, / 26