f(x) f(x 0 ) lim (x) := f(x) f(x 0)

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1 Cpitolo 3 Derivte 31 Definizione **Definizione 31 (Punto di derivilità) Si f :[, ]! R un funzione e si 2 [, ] Allor f si dice derivile in se esiste finito il In questo cso si dice punto di derivilità per l funzione f Fissto un certo l funzione lim (31) x! x (x) := f(x) f() x (32) prende il nome di rpporto incrementle dell funzione f nel punto Inoltre un scrittur equivlente per (31) è l seguente lim h!0 f( + h) f( ) (33) h **Definizione 32 (Derivt destr e sinistr) Si f :[, ]! R un funzione e si un punto di continuità per l funzione f Allor si definisce derivt destr di f in il limite f 0 +( )= lim x!x + 0 Si definisce derivt sinistr di f in il limite x (34) f 0 ( )= lim x! x (35) 19

2 Teorem 33 Si f :[, ]! R un funzione e si un punto di continuità per l funzione f Allor f è derivile in se e solo se l derivt destr è ugule ll derivt sinistr in ed i vlori sono entrmi finiti Definizione 34 (Funzione derivile) Si f :[, ]! R un funzione Allor f si dice derivile in [, ] se per ogni 2 [, ] l funzione f risult derivile **Teorem 35 Si f :[, ]! R un funzione e si 2 [, ] un punto di derivilità per l funzione f Allor l funzione f è continu in Dimostrzione Poiché l f è d e r i v i l e i n llor esiste finito Allor lim x! x lim (x ) f(x) f() =0, x! x in qunto prodotto di un quntità che v 0 (cioè (x elfunzioneècontinuin lim =0 x! )) e di un limitt Dunque 32 Alcune funzioni derivili L Tell 31 rissume le derivte di lcune funzioni elementri 33 Regole di derivzione Il clcolo di un derivt si s sostnzilmente sul clcolo di un limite; è nturle dunque spettrsi che le proprietà di linerità dell operzione di limite vlgno nche per quell di derivzione Vle inftti il seguente teorem Teorem 36 Sino f(x),g(x) :[, ]! R due funzioni derivili in un punto 2 [, ] e, 2 R Allor ( f + g) 0 ( )= f 0 ( )+ g 0 ( ) (36) Vlgono inoltre le seguenti regole di derivzione 20

3 Tell 31: Derivt di lcune funzioni elementri Funzione Derivt k 0 x x 1 sin x cos x cos x sin x tn x 1/ cos 2 x x x ln log x 1/(x ln ) rcsin x 1/ p 1 x 2 rccos x 1/ p 1 x 2 rctn x 1/(1 + x 2 ) Teorem 37 Sino f,g :[, ]! R due funzioni derivili in un punto 2 [, ] Allor Se inoltre g 0 ( ) 6= 0, llor (fg) 0 ( )=f 0 ( )g( )+f( )g 0 ( ) (37) 0 f ( )= f 0 ( )g( ) f( )g 0 ( ) (38) g [g( )] 2 Teorem 38 Sino f :[, ]! R e g :[c, d]! R con f([, ]) [c, d] Si inoltre f derivile in 2 [, ] e g derivile in y 0 = f( ) 2 [c, d] Allor g f è derivile in e si h 34 Teoremi sulle funzioni derivili (g f) 0 ( )=g 0 (f( ))f 0 ( ) (39) **Definizione 39 (Punto di minimo reltivo) Si f :[, ]! R un funzione 2 [, ] si dice punto di minimo reltivo per f se esiste un intorno U di tle che 8x 2 U \ [, ] **Definizione 310 (Punto di mssimo reltivo) Si f :[, ]! R un funzione 2 [, ] si dice punto di mssimo reltivo per f se esiste un intorno U di tle che f(x) pple f( ) 8x 2 U \ [, ] 21

4 **Teorem 311 (Teorem di Fermt) Si f :[, ]! R un funzione Si 2], [ punto di mssimo o minimo reltivo e di derivilità per f Allor f 0 ( )=0 Dimostrzione Supponimo punti di mssimo reltivo e considerimo l intorno U di in cui f( ) f(x) Si h>0e + h 2 U Considerimoilrpportoincrementledestro + (h) = f( + h) f( ) h Dto che f( + h) f( ) pple 0eh>0, l quntità + x0 (h) èmggioreougule0 PerilTeoremdi permnenz del segno (Teorem 228), si h che f 0 +( )= lim h!0 + + x0 (h) 0 Si or h<0e + h 2 U Considerimoilrpportoincrementlesinistro (h) = f( + h) f( ) h Dto che f( + h) f( ) pple 0eh<0, l quntità (h) èminoreougule0 PerilTeoremdi permnenz del segno (Teorem 228), si h che f 0 ( )= lim h!0 (h) pple 0 Siccome per ipotesi l funzione f è d e r i v i l e n e l p u n t o,sihchedlteorem33 Quindi f 0 ( )=0 0 f 0 ( )=f 0 +( ) 0 **Teorem 312 (Teorem di Rolle) Si f :[, ]! R un funzione continu in [, ], derivile in ], [ e tle che f() =f() Allor esiste un punto c 2], [ tle che f 0 (c) =0 Dimostrzione Poiché l funzione f è continu nell intervllo [, ], per il Teorem di Weierstrss (Teorem 237) esistono punti di mssimo e di minimo x m e x M 22

5 Se {x m,x M } {, }, llorlfunzioneèunfunzionecostnte,inqunto f() =f(x m ) pple f(x) pple f(x M )=f() Pertnto un qulsisi punti interno ll intervllo [, ] h derivt pri 0 Se lmeno uno dei due punti è interno ll intervllo [, ], llor è possiile pplicre il Teorem di Fermt (Teorem 311) Dunque lmeno in questo punto l derivt prim è pri 0 **Teorem 313 (Teorem di Lgrnge) Si f :[, ]! R un funzione continu in [, ], derivile in ], [ Allor esiste un punto c 2], [ tle che f 0 (c) = f() f() Dimostrzione Si consideri l seguente funzione g :[, ]! R definit d g(x) =f(x) f() f() (x ) Tle funzione è continu in [, ] perché somm di funzioni continue; è derivile in ], [ perchésomm di funzioni derivili L su derivt è l funzione g 0 (x) =f 0 (x) f() f() Inoltre si h che f() f() g() =f() =f() ( ) =g() Allor possimo pplicre il Teorem di Rolle (Teorem 312): esiste un punto c 2], [ tleche g 0 (c) =f 0 (c) f() f() =0, edunqueltesi Teorem 314 (Teorem di Cuchy) Sino f,g :[, ]! R due funzioni continue in [, ], derivili in ], [ e si g 0 (x) 6= 0per ogni x 2], [ Allor esiste un punto c 2], [ tle che f 0 (c) g 0 (c) = f() f() g() g() 23

6 35 Esercizi Derivre le seguenti funzioni 1) f(x) = 2x 1 x 2 [] 2) f(x) = p x 1+x [] 3) f(x) = cos x 2x 2 +3 [] 4) f(x) =3x 4 +5x + x 3/2 2x 3 [] 5) f(x) =e 3x (x 2 +2x 1) [] 6) f(x) =x ln x [] 7) f(x) =e 2x (2 sin 3x 4cos3x) [] 8) f(x) =cos2x sin x [] 9) f(x) = p 1+x 2 [] 10) f(x) =x p 1+x 2 [] 11) f(x) =e x+2 x 3 [] 12) f(x) =e p x [] 13) f(x) = x3 1 x 2 +5 [] 14) f(x) =rctn 3x 4 x 2 [] 24