Il metodo di esaustione

Transcript

1 Clcolo integrle

2 Il metodo di esustione

3 Il metodo di esustione y= 2 =0

4 Il metodo di esustione y= 2 k =0= 0 k n n 1 2 = n

5 Il metodo di esustione y= 2 k 0 k n n 1 2 f( ) k n k n 2

6 Il metodo di esustione y= 2 k k n n k n ( k 1) n n n 2 f( ) k k n 2

7 Il metodo di esustione y= 2 k k n n k n ( k 1) n n n 2 <A< n k1 f( ) k k n n 2 k n 2 n 1 1 n ( n 1)(2 n 1) 6 2

8 Integrle definito Si f: [,] R, positiv e continu. y = = n

9 Integrle definito Si f: [,] R, positiv e continu. y i - i-1 i=1,, n m i min f ( ) i 1 i = = n M i m f ( ) i 1 i

10 Somme di Riemnn Si f: [,] R, positiv e continu. y m( ) i1,... n i i1 ( ) f i i 1 i i = = n

11 Somme di Riemnn Si f: [,] R continu. Ess è integrile in [,] se esiste ed è finito il n1 lim ( ) f ( ) f ( ) d k 1 k k 0 k 0

12 Clcolo delle Aree Si f: [,] R positiv e continu. L re sottes dl grfico di f nell intervllo [,] è. f ( ) d Si f: [,] R negtiv e continu. L re sottes dl grfico di f nell intervllo [,] è. f ( ) d

13 Sino f e g: [,] R integrili nel dominio, llor: Proprietà di linerità dell integrle definito f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d c f ( ) d c f ( ) d

14 Proprietà dell integrle definito Si f : [,] R integrile nel dominio, llor: f ( ) d 0 f ( ) d f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c

15 Clcolo delle Aree Si f: [,] R continu. Si D+ il sottoinsieme del dominio in cui l funzione f è positiv e D- il sottoinsieme del dominio in cui l funzione f è negtiv. L re sottes dl grfico di f nell intervllo [,] è f ( ) d f ( ) d. D D

16 Integrle definito di funzioni pri Si f: [-,] R integrile e pri. f ( ) d 0 f ( ) d f ( ) d 2 f ( ) d 0 0

17 ntegrle definito di funzioni dispri Si f: [-,] R integrile e dispri. f ( ) d 0 f ( ) d f ( ) d 0 0

18 Proprietà dell integrle definito Sino f e g : [,] R integrili nel dominio, llor: 1.. cd c( ) 2. se f() g(), [,] f ( ) d g( ) d

19 Teorem Si f : [,] R continu nel dominio, llor f è integrile in A. Teorem dell medi Si f : A=[,] R continu in A, llor 0 A f ( ) d f ( )( ) 0

20 Integrle indefinito funzione integrnd f ( t) dt F( ) funzione integrle

21 Teorem di Torricelli-Brrow Si f : [,] R integrile in [,] e si o T. fondmentle del clcolo integrle F( ) f ( t) dt Se f(t) è continu llor F() è derivile e F ()=f(). F() è dett primitiv di f() ed è quell funzione l cui derivt è f().

22 Integrli indefiniti Si f : [,] R integrile in [,] e si F( ) f ( t) dt Se F() è un primitiv di f(), nche G()=F()+c è un primitiv di f(). F( ) c f ( t) dt F( ) c f ( t) dt 0 F( ) F( ) f ( t) dt

23 Integrli indefiniti Si f : [,] R integrile in [,] e si F( ) c f ( t) dt llor D F( ) c D f ( t) dt f ( ) e G( ) c D f ( t) dt ( ) ( ) D G c D f G( ) c f ( )

24 Risoluzione degli integrli definiti F( ) F( ) f ( t) dt 1. Determinre l primitiv F() risolvendo l integrle indefinito f () t dt. 2. Clcolre l primitiv in e in e sottrrre i risultti.

25 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrli immediti cd c n d n1 n 1 n -1 1 c d ln c >0 e d e c

26 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrli immediti sin d cos cos d sin 1 cos 2 d tn c d rc tn c

27 Esercizi 1 cos d 2 tn d d

28 Esercizi e d sin d e 3 e 1 d

29 Risoluzione degli integrli indefiniti Riconoscimento di funzioni composte g` f ( ) f `( ) d g( ) c 7 7 e d d 2 (6 2) cos(3 2 ) d

30 Risoluzione degli integrli indefiniti Riconoscimento di funzioni composte g` f ( ) f `( ) d g( ) c 1 0 e 31 d 1 tn(2 1) d cos (2 ) d

31 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrzione per prti g`( ) f ( ) d g( ) f ( ) g( ) f `( ) d e d e d 2 ln( ) d

32 Risoluzione degli integrli definiti Integrzione per prti g`( ) f ( ) d g( ) f ( ) g( ) f `( ) d sin d e 2 d 2 ln( ) d

33 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrzione per sostituzione f ( ) d pongo () t con φ invertiile t 1 ( ) d d ( t) `( t) dt t 1 ( ) f ( ) d f ( t) `( t) dt

34 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrzione per sostituzione cos d pongo t 1 d pongo 1 t 1 d pongo 1 t

35 Risoluzione degli integrli indefiniti Integrzione per sostituzione f ( ) d pongo () t f ( ) d F( ) F( ) con φ invertiile t t t 1 ( ) 1 () 1 () d d ( t) `( t) dt

36 Risoluzione degli integrli definiti Integrzione per sostituzione 2 sin 1 d pongo t d pongo 4 t 0 2 1d pongo 1 t 1

37 Clcolo delle Aree Si f e g: [,] R continue f() g(). y A f ( ) g( ) d

38 Clcolo delle Aree y Si f e g: [,] R continue. c A f ( ) g( ) d d c d g( ) f ( ) d f ( ) g( ) d c d

39 Clcolo delle Aree Si f()= e g()=ln(). A ln( ) d