INTEGRALE DEFINITO di una funzione continua y=f(x) nell intervallo [a ; b]

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1 INTEGRALE DEFINITO di un funzione continu y=f(x) nell intervllo [ ; ] f (x)dx = F() F() il risultto e un NUMERO positivo o negtivo + significto GEOMETRICO = AREA con segno serve per clcolre AREE e VOLUMI di figure delimitte d curve h importnti ppliczioni in cmpo fisico e medico: clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso, clcolo del flusso di sngue

2 INTEGRALE INTEGRALE DEFINITO I. DEF. di y=f(x) connu nell intervllo [;] Si y = f(x) connu [;]. Si chim Integrle DEFINITO fr e f (x)dx = + f (x)dx = se f(x) >0 INT DEF positivo Are (con segno) sottes dll funzione f(x) nell intervllo [; ] [ F(x) ] - se f(x)<0 INT DEF negtivo si clcol con l formul di Newton-Leiniz: Primitiv Cioè integrle di y= f(x) = F() F() Primitiv clcolt in Primitiv clcolt in

3 INTEGRALE DEFINITO PROPRIETA ) Se estremi di integrzione uguli!l Integrle Definito =0 f (x)dx = 0 f (x)dx = f (x)dx kf (x)dx = k f (x)dx f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c [ f (x) + g(x) ]dx = f (x)dx + g(x)dx c ) scmindo estremi di integrzione! l I.Def cmi segno ) Proprietà di Linerità : Int.Def del prodotto di costntek per f(x) è = ll costntek per IntDef Int.Def di un somm di funzioni è = ll somm degli IntDefiniti ) Additività Rispetto ll intervllo di integrzione: spezzndo l intervllo di integrzione nell somm di due intervlli contigui! l Integrle Definito non cmi c

4 Come clcolre un Integrle Definito in [;] x dx = x Integrle definito di estremi = e = Primitiv: Integrle indefinito = 9 = 9 = 8 = + Primitiv clcolt in =: sostituisco ll x Primitiv clcolt in =: Sostituisco ll x Svolgo clcoli (x ) i dx = Integrle definito di estremi =- e = x x Primitiv: Integrle indefinito = Primitiv clcolt in = ( ) = () (0) = 6 Primitiv clcolt in =- Svolgo clcoli

5 - Esempi svol : clcolo Integrle Definito Prov tu risolvi i seguenti integrli definiti e controll poi le soluzioni x dx (x ) i dx (x x) i dx (x + 5) dx soluzioni x dx = x (x ) i dx = x x + = x = 6 -(-) + = 8 = ( 8 ) ( ) = 6 ( ) + 6 = 7 = 5 (x x) i dx = x x = 7 7 = = 0 6 (x + 5) dx = x + 5x = = 8 +5(-) + ( ) = 6 + 7/ = 5 5

6 - Esempi svol : clcolo Integrle Definito Prov tu risolvi i seguenti integrli definiti e controll poi le soluzioni e x dx (e x ) dx (x + x) i dx (x + 7) dx 5 soluzioni 5 e x dx = e x 5 = e5 (e x ) dx = e x x (x + x) i dx = x + x (x + 7) dx = x 0 + 7x ( ) ( e ) = e 5 e = e i (e ) = ( e ) ( e 8) = e e + 8 = e e 0 = = = 8 + = = ( 0) = 50 6

7 f (x) dx + - INTEGRALE DEFINITO di y=f(x) continu in [ ; ] " È numero positivo se f(x)>0 " E numero negtivo se f(x)<0 Serve per clcolre AREA TRAPEZOIDE = re compres fr f(x) e sse x nell intervllo [;] Esempi con: rett, prol, iperole, funz. esponenzile Procedimento Clcolo Integrle Definito fr e dell funzione (=Num pos o neg) Rppresento l funzione grficmente ( con opportun tell ) Rppresento le rette verticli x=, x= estremi integrzione coloro AREA compres fr y=f(x), sse x e rette verticli(trpezoide) Scrivo risultto: AREA TRAPEZOIDE=... (re positiv!) 7

8 - Clcol l integrle definito di y=-x+5 nell intervllo [;] e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito ( x + 5) dx = x + 5x ) Rppresento grficmente: l funzione y=-x+5 (rett) con opportun tell le rette verticli corrispondenti gli estremi di integrzione x= x= Coloro l re compres fr L rett, sse x, rette x= e x= ( x + 5) dx = = = x= + I.D.= + X= Are trpezoide= u 8

9 - Clcol Integrle definito di y=/x+ nell intervllo [;5] e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito 5 x + dx = + + x x ) Rppresento grficmente: l funzione y=/x+ (rett) Le rette verticli corrispondenti gli estremi di integrzione x= x=5 Infine coloro il trpezoide ottenuto proiettndo l funzione verso l sse x 5 = = = X= + 5 x + dx + = + 8 = 69 I.D.= +69/ X=5 Are trpezoide = 69/ u 9

10 - Clcol l integrle definito di y=x- nell intervllo [;] e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito (x ) dx = + x x (x ) dx = = +8 + = 5 = 9 ) Rppresento grficmente: l funzione y=x- (rett) le rette verticli corrispondenti gli estremi di integrzione x= x= Infine coloro il trpezoide ottenuto ( che in questo cso è un tringolo) x= x= + Are trpezoide= 9/ u

11 - Clcol l integrle definito di y=-x+ nell intervllo [;] e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito ( x +) dx = x + x ) Rppresento grficmente: l funzione y=-x+ (rett decrescente) con opportun tell le rette verticli corrispondenti gli estremi di integrzione x= x= Infine coloro il trpezoide ottenuto X= ( x +) dx = = [ 8 + ] + [ ] = I.D.= - - X= Are trpezoide= u

12 5-Clcol l integrle definito di y=-x +5 nell intervllo [-;]e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito ( x + 5) dx = x + 5x = = + ( x + 5) dx = = = I.D.= +/ X=- X= ) Rppresento l funzione prol pur utilizzndo Vertice, concvità ed eventule Intersezioni con ssi NB: l prol pur h sempre V=( 0; c) V = 0;5 ( ) Rppresento le rette verticli corrispondenti ll intervllo di integrzione x=- e x= y = x Coloro l re compres fr Prol, sse x, rette x=- e x= Are trpezoide = +/ u

13 6-Clcol l integrle definito di y=x -9 nell intervllo [-;+]e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito + ID = (x 9) dx = x 9x + + ( x 9) dx = = = = 9 7 = 7 = ) Rppresento l prol, utilizzndo Vertice, concvità ed eventule Intersezioni con ssi - Rppresento le rette verticli corrispondenti ll intervllo di integrzione x= - e x= + y = x 9 V = ( 0; 9) X=- - X=+ Integrle Definito = - Are trpezoide=+ u

14 7 - Clcol l integrle definito di y=/x nell intervllo [+;+]e rppresent grficmente il risultto ) Clcolo l integrle definito ID = x dx = = i ln 0 = ln,77 [ iln x ] = i ln i ln X=+ x dx X=+ y = x ) Rppresento l iperole, con opportun tell - Rppresento le rette verticli corrispondenti ll intervllo di integrzione x= e x= + - Coloro l re Integrle Definito = +,77 Are=+,77 u

15 8 -Clcol l integrle definito di y=e x nell intervllo [+;+]e rppresent grficmente il risultto (e x ) dx ) Clcolo l integrle definito e x ID = e x dx = = e e 7,89,78 =,67 ) Rppresento l funzione esponenzile con opportun tell y = e x X=+ X=+ - Rppresento le rette verticli corrispondenti ll intervllo di integrzione x= e x= - Coloro l re Integrle Definito =+,86 Are=+,86 u 5

16 Prov tu : clcol le ree comprese fr f(x) e sse x nell intervllo[;] Es Es Es Es Es 5 Es 6 Es 7 6