INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

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1 INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x) f (x)dx = F(x) è l insieme di tutte le PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che F (x) = f(x) E operazione inversa della Derivata prima Le primitive F(X) differiscono per una costante c Si calcola applicando le regole : Integrali immediati Integrali di FunzioneComposta*Derivata(contenuto) Integrali di funzioni composte con metodo di sostituzione Regola per Parti

2 FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzione y=f(x) Primitiva f(x) F(x) Derivata y=x y=x Data una funzione y=f(x) continua in [a, b] si chiama Primitiva F(x) la funzione tale che la sua derivata sia uguale a f(x): F(x) e primitiva di f(x) sse F (x) = f(x) NB: se F(x) è una primiava di f(x) allora lo è anche F(x) ad esempio la funzione f(x)=x ha infinite primi8ve F(x)= x +c una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve

3 Si chiama INTEGRALE INDEFINITO di una funzione y = f(x) conanua l insieme di tune le sue primiave e si indica : Funz. integranda INTEGRALE INDEFINITO f (x)dx = F(x) Primitiva F (x)=f(x) derivando la Primitiva ottengo f(x) Proprietà di linearità K f (x) dx = K f (x) dx - INTEGRALI IMMEDIATI ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx dx = x x dx = ln x +c e x dx = e x x n dx cos x dx senx dx = xn+ n + = senx = cos x x dx = x n dx =... n n x m dx = x m n dx =... dx = x m n dx =... n x m

4 Esercizi a - Integrali immediaa svola (8x + )dx = 8 x + x = 8x + x = 8 x + x (x + 8 x )dx = x + 8ln x = x + 8ln x +c (7x x + 4)dx (4 cos x + senx + e x )dx (x +) dx x dx = x dx 6 x dx = 6 x dx = 7 x6 6 ln x +4x = 7 6 x6 ln x +4x = (x + x +)dx = 4senx cos x + e x = ( x + x = x + + = x 4 4 = 4 x 4 = 4 x + x) = + x + x x = 4 4x 4 = 6 x + + = 6 x = 6 x = x = x 4

5 Esercizi b - Integrali immediaa svola x dx = x 4 dx 4 x dx = x dx 4 x dx = 4 x dx = x 4 dx x = x = x = x = x dx x + + = x = 4 x + + = 4 x = x = x = 4 i x = 8 x = 8 x x dx = x dx = x + + = x 7 7 = 7 7 x = 7 x7 6 x dx = 6 x dx = 6 x + + = 6 x = 6 i x = 8 x dx = x dx x = x + + = x = x = x = = x x

6 - Integrali immediati di FUNZIONI COMPOSTE tipo: F [f(x)]*f (x)dx Poiché la derivata di una funzione composta è D[F(f(x)] = F [f(x)] * f (x) Integrando in senso contrario obengo: D[FunzEsterna] * DerivataContenuto F '[ f (x)] f '(x)dx = F( f (x)) FunzioneComposta DerivataContenuto PrimitivaFunzEsterna l integrale di : FunzioneComposta*Derivata Contenuto si può calcolare immediatamente trovando la Primitiva della FunzioneEsterna [ f (x)] n i f ' (x)dx = [ f (x)]n+ n + f '(x) f (x) dx = ln f (x) +c cos f (x)i f ' (x)dx = senf (x) e f (x) f ' (x)dx = e f (x) senf (x)dx i f ' (x)dx = cos f (x) 6

7 Esercizi a - Integrali immediaa di FunzioneComposta*DerivataContenuto Funzione esterna potenza [ f (x)] n f '(x)dx FunzioneComposta derivatacontenuto = [ f (x)]n+ n + Primitiva funzesterna (7x +) 7dx = (7x +) 7dx = f FunzComposta f D[contenuto] (7x +)4 4 PrimitivaFunzEsterna (x + 4) dx = f f (x + 4)6 6 Nell esempio seguente la derivata f non è già presente nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno (x +) x dx = (x +) x dx = f f (x +) 4 4 = (x +) 4 8 7

8 Esercizi b - Integrali immediaa di FunzioneComposta*DerivataContenuto Funzione esterna /f(x) f '(x) f (x) dx = FunzioneComposta derivatacontenuto 8 8x dx = x x + dx = 8x 8dx = ln 8x +c x + x + x dx = f (x) f '(x)dx = ln f (x) +c x x + i dx = (x +) x + x i dx = i x dx = x + Primitiva funzesterna Negli esempi seguenti la derivata f non è già presente nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno (x + ) x + x i dx = ln(x + ) ln x + x +c 8

9 Esercizi c - Integrali immediaa di FunzioneComposta*DerivataContenuto Funzione esterna esponenziale e f (x) f ' (x)dx = e f (x) FunzioneComposta derivatacontenuto Primitiva della f.esterna e x dx = e x dx = e x e x dx = e x ( ) dx = e x x e x dx = ex x dx = ex e x dx = e x ( )dx = e x 9

10 Esercizi d - Integrali immediaa di FunzioneComposta*DerivataContenuto Funzione esterna cos f (x) f '(x)dx = senf (x) coseno FunzioneComposta derivatacontenuto Primitiva della f.esterna cos(x 4) dx = sen(x 4) Negli esempi seguenti la derivata f non è già presente nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno cos 4x dx = 4 cos 4x 4 dx = 4 sen4x cosx dx = cosx dx = senx 0

11 Esercizi e - Integrali immediaa di FunzioneComposta*DerivataContenuto (x ) 8 dx = (x )9 9 cosx dx = senx e x dx 4x dx = ln 4x + 7 +c = e x Negli esempi seguenti la derivata f non è già nel testo ma basta moltiplicare e dividere per un numero opportuno per ottenerla (4x + ) dx = 4 (4x + ) 4 dx = 4 e x dx = e x dx x dx = = e x (4x + ) 6 x dx = ln x +c 6 = (4x + )6 4 sen7x dx = 7 sen7x 7dx = 7 cos 7x

12 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE Si pone la funzione interna, cioè il contenuto f(x) = t si ricava la x e si calcola il differenziale. Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile t che si risolve. Infine si ri-sostituisce in modo da riportarlo alla variabile x (x ) x dx = pongo x = t x = t + differenziale dx = dt sostituisco (t) ( + t ) dt = = t t 0 (x ) = 6 t 4 + t 4 4 dt = calcolo l 'int egrale = ri _ sostituisco al _ posto_ di t la _ x + (x ) 0

13 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE Si pone la funzione interna, cioè il contenuto f(x) = t si ricava la x e si calcola il differenziale. Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile t che si risolve. Infine si ri-sostituisce in modo da riportarlo alla variabile x (9x + 7) dx = pongo 9x + 7 = t 9x + 7 = t x = t diff dx = t 9 dt sostituisco = 9 t = t = 7 (9x + 7) 7 t t 9 dt = 9 t dt = calcolo_l 'int egrale = ri sostituisco al _ posto_ di _t la _ x

14 4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo: x n e x dx Una funzione si chiama FattorFinito f(x) si deve derivare trovando f (x) L altra è FattorDifferenziale g (x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x) ff fd x n cos x dx f (x) g'(x) dx = f (x) g(x) f '(x) i g(x)dx ff x n ln x dx = INT(fd) - D[ff] INT(fd) NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare ff fd x e x dx = x e x ex i dx = xe x e x ff INT(fd) - D[ff] INT(fd) 4

15 4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI f (x) g'(x) dx = f (x) g(x) f '(x) i g(x)dx ff fd ff INT(fd) - D[ff] INT(fd) x cos x dx ff fd = x i senx senx dx = x i senx ( cos x) = x i senx os x Quando c è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito ln x dx = ln x dx = ln x i x ff fd x i x dx = x ln x dx = x ln x x x ln x dx = fd ff ln x x dx = ln x i x i x x x dx = ln x x x dx = ln x x