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Vincenzo Zani
5 anni fa
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1 ANALISI Argomenti dell Lezione 35. urve, lunghezze, integrli curvilinei urve regolri. Definizione Un curv regolre Φ é un funzione { (t) : I R φ : I = [, b] R 2 y(t) : I R 25 gennio 2012 continu, con derivt prim φ (t) = { (t), y (t)} continu e divers d zero in ogni punto. I punti φ() = ((), y()) e φ(b) = ((b), y(b)) si dicono primo estremo e secondo estremo dell curv. Se gli estremi coincidono l curv si dice chius. Ogni decomposizione dell intervllo = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b determin l poligonle di vertici ((), y()), ((t 1 ), y(t 1 )),..., ((t n 1 ), y(t n 1 )), ((b), y(b)) che si dice inscritt nell curv Φ. L immgine φ(i) R 2 rppresent un oggetto che corrisponde ll ide intuitiv di curv geometric. Esempio onsiderimo l curv regolre (t) = t, y(t) = 1 t, t [0, 1] L immgine é il segmento di estremi (0, 1) e (1, 0). Definizione L unione di un numero finito {Φ 1, Φ 2,..., Φ n } di curve regolri tli che il primo estremo dell Φ k+1 coincid con il secondo estremo dell Φ k per k = 1,..., n 1 si dice curv regolre trtti. Se le curve {Φ 1, Φ 2,..., Φ n } sono tutti segmenti l curv si dice poligonle. Esempio Un qudrto costituisce un curv regolre trtti. 1

2 2 onsiderimo Tenuto conto che Φ 1 : (t) = t, y(t) = 0, t [0, 1] Φ 2 : (t) = 1, y(t) = t, t [0, 1] Φ 3 : (t) = 1 t, y(t) = 1, t [0, 1] Φ 4 : (t) = 0, y(t) = 1 t, t [0, 1] φ 1 (1) = φ 2 (0), φ 2 (1) = φ 3 (0), φ 3 (1) = φ 4 (0) si riconosce che le quttro curve regolri ssegnte, quttro segmenti, costituiscono un curv regolre trtti il qudrto di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) che costituisce inoltre un curv regolre trtti chius, un poligonle. L condizione φ (t) 0 grntisce che in ogni punto dell immgine φ(i) si definit l rett tngente { = (t0 ) + (t 0 )(t t 0 ) y = y(t 0 ) + y (t 0 )(t t 0 ) Nel cso di un curv regolre trtti Γ l tngente puó mncre negli estremi delle curve regolri che costituiscono Γ. Osservzione non implic che le due curve É nturle che φ(i) = ψ(j) φ : I R 2, ψ : J R 2 sino l stess curv. Le espressioni φ(t), ψ(t) rppresentno, in senso cinemtico, le leggi orrie con le quli tle immgine é percors. Esempio Il segmento di estremi (0, 0) e (1, 1) é l immgine, d esempio delle due curve (t) = y(t) = t, t [0, 1], (t) = y(t) = t 2, t [0, 1] In termini di legge orri nel primo cso si trtt di un movimento velocitá costnte, nel secondo no, piú lento inizilmente, piú veloce verso l fine. Esempio L circonferenz é un curv regolre. (t) = r cos(t), y(t) = r sin(t), t [0, 2π]

3 L curv regolre 35. URVE, LUNGHEZZE, INTEGRALI URVILINEI 3 (t) = r cos(t), y(t) = r sin(t), t [0, 4π] é un circonferenz... percors due volte! Lunghezz di un curv. L lunghezz dei segmenti o delle poligonli é del tutto nturle. Tenuto presente che in ogni curv regolre trtti si possono inscrivere poligonli si ssume l seguente definizione di lunghezz: Definizione L lunghezz di un curv regolre é l estremo superiore delle lunghezze delle poligonli inscritte. Si puó riconoscere che se (t), y(t) 2 ([, b]) l lunghezz l dell curv, cioé l estremo superiore delle poligonli inscritte coincide con l integrle b l = (t) + y (t) dt Il risultto é collegto ll possibilitá di pprossimre l lunghezz di ognuno dei segmenti l k = ((t k ) (t k 1 )) 2 + (y(t k ) y(t k 1 )) 2 delle poligonli inscritte nell curv con (t k ) + y (t k )(t k t k 1 ) e quindi riconoscendo che n b (t k ) + y (t k )(t k t k 1 ) (t) + y (t) dt k=1 L lunghezz di un curv regolre trtti é ssunt, per definizione come l somm delle lunghezze dei trtti regolri che l compongono. L lunghezz l di un curv si indic nche con l = ds simbolo che sottintende il precedente integrle b (t) + y (t) dt Il simbolo ds si chim, spesso, elemento di lunghezz.

4 4 Detti A il primo estremo e P = φ(t P ) l lunghezz dell porzione di curv A,P, t [, t P ] d A P ssoci d ogni P un numero rele non negtivo s(p ) s = ds A,P che si chim sciss curviline di P Integrli curvilinei. Assegnte si definisce un curv regolre : φ : [, b] R 2, φ(t) = ((t), y(t)) un funzione f(, y) definit sui punti di, f(, y) ds = b Tle vlore prende il nome di f[(t), y(t)] (t) + y (t) dt integrle curvilineo di f esteso ll curv. Osservzione Nel cso in cui coincid con l intervllo [, b] dell sse l integrle curvilineo f(, y)ds = b f(, 0)d Anlogmente se coincide con il segmento di estremi (, k) e (b, k) l integrle curvilineo f(, y)ds = b f(, k)d Si considerno nche integrli curvilinei estesi curve regolri trtti, intendendo nturlmente l somm degli integrli curvilinei reltivi ciscun trtto regolre.

5 35. URVE, LUNGHEZZE, INTEGRALI URVILINEI Il significto geometrico. Nel cso f(, y) 0 l integrle curvilineo f(, y)ds rppresent l re dell superficie verticle costruit sull curv di ltezz f(, y) in corrispondenz di ogni punto (, y). Si ritrov in prticolre, nel cso che si il segmento [, b] dell sse il noto significto di re ttribuibile ll integrle delle funzioni non negtive. Esempio γ y 4 ds, γ : 2 + y 2 = 16, 0 Figur 1. γ y 4 ds, γ : 2 + y 2 = 16, 0 π/2 y 4 ds = 4 6 cos(t) sin 4 (t) cos 2 (t) + sin 2 (t)dt = γ π/2 5 L figur 1 indic il significto geometrico dell integrle curvilineo proposto: si trtt dell re di un muro costruito sull semicirconferenz circonferenz di centro l origine e rggio 4 lto in ogni punto (, y), 0 il vlore y 4.

6 Il lvoro di un forz. Assegnti un curv regolre un cmpo di forze : φ : [, b] R 2, φ(t) = ((t), y(t)) L = F (, y) = {A(, y), B(, y)} definito sui punti di, si definisce lvoro L di F (, y) lungo il vlore dell integrle curvilineo L = F. τ ds essendo τ uno (dei due) versori tngenti ll curv. Il lvoro L, tenuto conto che τ = 1 (t) + y (t) { (t), y (t)} si clcol con l integrle b {A[(t), y(t)] (t) + B[(t), y(t)]y (t)} dt

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