ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione ordinaria

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 00 Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Si AB un segmento di lunghezz e C il suo punto medio. Fissto un conveniente sistem di coordinte crtesine monometriche (O): ) si verifichi che il luogo dei punti P tli che P A k (k costnte positiv ssegnt) è un circonferenz P B (circonferenz di Apollonio) e si trovi il vlore di k per cui l soluzione degener in un rett; b) si determini il luogo geometrico dei punti X che vedono AC sotto un ngolo di 5 ; c) posto X pprtenente in uno dei due semipini di origine l rett per A e per B e indicto con l ngolo XÂC si illustri l ndmento dell funzione f () con f () X B X A e tg. PROBLEMA Nel pino riferito coordinte crtesine ortogonli monometriche (, ) è ssegnt l funzione: ln( b), con e b diversi d zero. ) Si trovino i vlori di e b tli che l curv grfico dell funzione pssi per l origine degli ssi e presenti un minimo ssoluto in. b) Si studi e si disegni. c) Si determini, pplicndo uno dei metodi numerici studiti, un pprossimzione dell intersezione positiv di con l sse. d) Si determini l equzione dell curv simmetric di rispetto ll rett (); e) Si disegni, per i vlori di e b trovti il grfico di ln( b). QUESTIONARIO 5 Provre che un sfer è equivlente i del cilindro circoscritto. Determinre il numero delle soluzioni dell equzione e e 0. Dimostrre che se p() è un polinomio llor tr due qulsisi rdici distinte di p () c è un rdice di p(). Clcolre l derivt dell funzione f () rcsen rccos. Quli conclusioni se ne possono trrre per l f ()? Clcolre l integrle 0 ln d. 0 Con uno dei metodi di qudrtur studiti, si clcoli un pprossimzione dell integrle definito sen d e 0 si confronti il risultto con il vlore estto dell integrle. Znichelli Editore, 00

2 Verificto che l equzione e 0 mmette un sol rdice positiv compres tr 0 e se ne clcoli un pprossimzione pplicndo uno dei metodi numerici studiti. Un clsse è compost d rgzzi e rgzze. Tr i llievi se ne scelgono cso: qul è l probbilità che essi sino tutti mschi? Spiegre il significto di sistem ssiomtico con prticolre riferimento ll sistemzione logic dell geometri. Dire, formlizzndo l questione e utilizzndo il teorem del vlor medio o di Lgrnge, se è vero che se un utomobilist compie un viggio senz soste in cui l velocità medi è 0 km/h, llor lmeno un volt durnte il viggio il tchimetro dell utomobile deve indicre esttmente 0 km/h. Durt mssim dell prov: ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore, 00

3 PROBLEMA ) Fissto il sistem crtesino di origine nel punto C e sse pssnte per i punti A e B (figur ), si prend un punto P (; ) diverso d B (ltrimenti l frzione P A perderebbe di significto). P B Si clcoli l espressione P A k ttrverso l formul dell distnz tr P due punti: P B ( ) k. ( ) A C B Essendo k positivo si elevno l qudrto entrmbi i O membri dell uguglinz e si ottiene: Figur. ( ) k [( ) ] ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 0. Se k, l equzione si riduce ll rett 0 che è l sse del segmento AB. Se k, si ottiene ( k ) 0 con. Si trtt di un circonferenz con centro k nel punto C k ; 0 k k e rggio ugule. k b) L risoluzione non segue l vi unicmente lgebric, perché troppo compless, m si bs su lcune considerzioni geometriche, ricordndo che gli ngoli ll circonferenz, che sottendono lo stesso rco, sono uguli. Osservndo l figur, un punto del semipino 0, che pprtiene l luogo, è il vertice Q del tringolo rettngolo isoscele costruito sul cteto AC. Esso h coordinte Q (0; ). Costruit l circonferenz di dimetro AQ, tutti i suoi punti di ordint positiv soddisfno l proprietà richiest dl luogo. Il centro dell circonferenz, punto medio di AQ, h coordinte C ; A Q. Per 0, l equzione del luogo geometrico è SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 00 Sessione ordinri ovvero 0. Con le stesse considerzioni si trov l rco nel semipino 0: X 5 C ; il rggio vle 5 Q 0. A O C Pertnto l curv h equzione: 0 con 0 0 con 0 Figur. C R Znichelli Editore, 00

4 c) Si risolve l domnd per vi trigonometric. Si osservi l figur. Per dimostrzione precedente, l circonferenz h rggio ugule. Per il teorem dell cord: X 5 XA sen(5 ) (cos sen ); A C B per il teorem di Crnot: Figur. XB AX AB XA AB cos sen cos (cos sen ) cos 5 sen cos sen cos Risult llor: X B X A (5 sen cos sencos ) 5tg tg, con 90, e, tenendo conto delle ssegnzioni nell ipotesi, tg e f () (cos sen cos sen ) tg tg X B X A, si ricv: f () 5. ( ) L funzione v considert secondo le limitzioni geometriche del problem: poiché 05 90, risult 0. Per completezz si svolge lo studio di 5 nel suo cmpo di esistenz. ( ) Il C.E. è ; l funzione non è né pri né dispri; intersec l sse nel punto (0; ) e non h intersezioni con l sse delle scisse; è sempre positiv. Tenendo conto che lim 5 e ( ) lim 5 5, l curv mmette sintoto verticle e sintoto orizzontle 5. ( ) L derivt prim è f () ( ) ; pertnto ( ) l funzione è crescente per e e decrescente per. H minimo reltivo M ;. 5 L derivt second vle f () ( ) ; dunque l curv h concvità verso l lto per ( ) e e concvità verso il bsso per. H flesso F (; ). Nell figur, l prte dell curv che rispett le condizioni geometriche è indict con trtto continuo. Figur. M F O PROBLEMA ) Il C.E. dell funzione è b. Per il pssggio dll origine risult ln b 0 e, poiché 0 per ipotesi, si deduce che ln b 0 d cui b e quindi. Considerto ln ( ), l condizione necessri per vere un estremnte nel punto ri- Znichelli Editore, 00

5 chiede che () 0. Dto che (), () 0. L funzione h form ln( ). Or bisogn verificre se è un punto di minimo ssoluto. L derivt prim () f'() 0 + h denomintore sempre positivo, pertnto ess è complessivmente f() positiv se min 0. Tenendo conto dell condizione di esistenz, si riport nell figur 5 il qudro dell monotoni di f. Figur 5. Si ricv che l funzione h un minimo ssoluto in. b) Dt f () ln(), per le precedenti considerzioni, ess h C.E.:, minimo ssoluto M (; ln ) e intersec l sse nell origine del sistem. Non è possibile determinre in modo estto i punti di intersezione con l sse perché l equzione ln( ) 0 non è risolvibile lgebricmente e si rimnd l punto c per il clcolo numerico. Si osserv comunque che f () ln0 e f () 9 ln0 e, quindi, c è un intersezione positiv compres tr e. I limiti gli estremi del cmpo di esistenz vlgono: lim ( ln( )) ; ) lim ( ln( )) lim ln( (De L Hospitl). L funzione h sintoto verticle e non h sintoti orizzontli. Inoltre, poiché lim ( n( )), l funzione non h sintoti obliqui. l L derivt second () è sempre positiv, pertnto l ( ) curv h sempre concvità verso l lto. L figur rppresent il grfico di. ln M Figur. c) Considerimo l intervllo [; ]: poiché f () 0 e f () 0, esiste solo uno zero in tle intervllo essendo in esso l derivt prim non null. Si vlut lo zero ttrverso il metodo di bisezione. L tbell di iterzione è l seguente: n n b n m n n 0 5 = ln(+) O Il vlore pprossimto dell intersezione è 7, con un errore inferiore cioè 0, Znichelli Editore, 00

6 d) Si determini l equzione dell curv simmetric di rispetto ll rett (). L sse di simmetri è () cioè l rett prllel ll sse delle, ln. Le equzioni dell simmetri sono. 8ln L curv trsformt risult di equzione: ln. = ln(+) + ln O e) Il grfico di ln( ) coincide con quello di f () ln( ) per quei vlori di in cui l funzione f è positiv o null, mentre, per i restnti vlori, si trcci l simmetric rispetto ll sse delle. (figur 7). QUESTIONARIO ln Figur 7. L dimostrzione che segue è compiut per vi nlitic osservndo che le due figure sono volumi di rotzione. Fissto un pino crtesino l centro dell sfer di rggio r, quest ultim è ottenut dll rotzione intorno ll sse delle scisse dell semicirconferenz di equzione r, con r r. Pertnto il volume dell sfer vle: V sfer r (r ) d r r. Il cilindro circoscritto è il solido di rotzione intorno ll sse dell rett r, con r r. V cilindro r V r d r sfer. Pertnto r V cilindro. L dimostrzione può essere ftt per vi geometric come nel libro per lo studente, ssumendo note le formule del volume del cilindro e del cono e dimostrt l equivlenz tr l sfer e l nticlessidr. Poiché 0 non è soluzione, l equzione di prtenz è equivlente e e 0. Posto f ()e e, si trtt di determinre qunti zeri h l funzione f. Per 0 ess è sempre positiv, pertnto in questo intervllo non h zeri. Nell intervllo ]0; [ i limiti gli estremi vlgono: lim f 0 e lim f e, essendo l funzione ivi continu, ess ssume si vlori positivi che negtivi. Per il teorem dell esistenz degli zeri, esiste llor lmeno uno zero. Se si ssume che ci sono due zeri, deve vlere f ( ) f ( ) 0. Pertnto per il teorem di Rolle esiste lmeno un punto c ] ; [ tle che f (c) 0. L derivt prim è f (c) e e che è sempre positiv per 0. Inftti per 0 si h e e, quindi e e 0, mentre è un quntità sempre positiv. Si è rggiunto così un ssurdo, quindi l funzione h un solo zero. In conclusione, l equzione e e 0 h un sol rdice. Considert l funzione p (), ess è continu e derivbile nel cmpo rele. Se e sono due rdici distinte di p(), l funzione ssume nei due punti lo stesso vlore, in questo cso, zero, pertnto vle il teorem di Rolle cioè esiste lmeno un c ] ; [ tle che p(c) 0. Il vlore c è quindi rdice di p(). Il cmpo di esistenz dell funzione continu f () rcsen rccos è [; ]. L derivt vle: Znichelli Editore, 00

7 f () 0 con ]; [. Per un conseguenz del teorem di Lgrnge, l funzione f () è costnte nell intervllo e vle f () f (0) rcsen 0 rccos 0. 5 Osservndo che l derivt di ln è, si trtt di un integrle l cui primitiv è un funzione compost. Risult 0 ln d 0 ln c. Si utilizz per il clcolo, il metodo dei trpezi. Dividendo in sei prti uguli l intervllo [0; ] si costruisce l seguente tbell. 0 5 sen 0 0 Per l formul dei trpezi: sen d 0 0 ( ), Secondo il metodo dei trpezi l errore che si compie è minore o ugule 0,07. Con il clcolo estto: sen d. Si osserv che, ,0590 che è, come si spettv, minore di 0, Posto f () e, l funzione è continu e ssume gli estremi dell intervllo [0; ] vlori di segno opposto. Per il teorem dell esistenz degli zeri, esiste llor lmeno uno zero. Se ci sono due zeri, e pprtenenti ]0; [, deve vlere f ( ) f ( ) 0. Pertnto per il teorem di Rolle esiste lmeno un punto c ] ; [ tle che f (c) 0. Poiché l derivt prim f () e è sempre positiv, l funzione è strettmente crescente e ciò v contro l ipotesi di due zeri per f (). Quindi l funzione h un solo zero cioè l equzione e 0 h un sol rdice positiv compres tr 0 e. Si determin il suo vlore pprossimto ttrverso il metodo delle tngenti. L derivt second è negtiv nell intervllo e f (0) 0; il punto di prtenz è quindi 0. Di seguito è riportt l tbell che si ottiene ttrverso l formul di ricorrenz n n, fino n. f ( f ( n) ) n n n 0 0,500 0,575 0,5790 0,5790 0, ,5790 0, Il vlore pprossimto dell rdice dell equzione è 0,5790. Gli insiemi di clsse che si possono formre con elementi sono e questi costituiscono i csi 7 Znichelli Editore, 00

8 9 0 possibili. I csi fvorevoli dell evento E tutti gli studenti scelti sono mschi sono. Pertnto l pro- bbilità dell evento E è: p (E ) L geometri euclide si bs su un struttur ssiomtico-deduttiv evidenzit nell oper Gli elementi di Euclide. Il metodo utilizzto è quello deduttivo: dimostrre un proprietà ttrverso ltre proprietà precedentemente dimostrte. Il sistem ssiomtico è un gruppo di proprietà (ssiomi o postulti) che vengono ssunte come primitive ossi non dedotte m ccettte come vere perché utoevidenti e non dimostrbili. In tle ottic, i teoremi sono enunciti l cui verità può essere dimostrt ttrverso un sequenz di deduzioni prtire di postulti o d ltri teoremi. Gli ssiomi soddisfno lcune crtteristiche: sono indipendenti, cioè un ssiom non può essere dedotto d un ltro; non sono contrdditori, cioè non si può dimostrre prtendo d essi un proposizione e l su negzione. Not l equzione del moto s s (t), l funzione dell velocità è v s (t) mentre l velocità medi tr due generici istnti t e t vle v m (t ; t ) s (t ) s (t ). Se si clcol l velocità medi sull intero trtto con t 0 t t e t T e s (0) 0, risult v m (0; T ) s ( T ) T 0 s ( T ) 0 T 0 km/h. Si pplichi il teorem di Lgrnge ll funzione s nell intervllo [0; T]: s (T ) T s (0) s ( T ) 0 T s (t *) con t * ]0; T [. Pertnto esiste un istnte t * in cui l velocità vle 0 km/h, pri ll velocità medi sull intero percorso. 8 Znichelli Editore, 00