Soluzioni a cura di Nicola de Rosa

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1 MINISERO DELL'ISRUZIONE, DELL'UNIVERSIÀ E DELLA RICERCA SCUOLE IALIANE ALL ESERO ESAMI DI SAO DI LICEO SCIENIFICO Sessione suppletiv 005 Clendrio ustrle SECONDA PROVA SCRIA em di Mtemtic PROBLEMA Si consideri l equzione y b.. Si determinino e b in modo che l su curv rppresenttiv Γ si tngente, nel punto A di sciss, ll rett r d equzione y. Si disegni Γ.. L rett r incontr Γ in un ltro punto B. Si clcoli l re dell regione di pino delimitt dl segmento AB e d Γ.. Si determini l equzione dell rett s per l origine degli ssi che delimit con Γ e con l sse y un regione finit di pino, nel secondo qudrnte, di re 5/. PROBLEMA Si f l funzione definit d f ( ) sin ( ) cos( ) b, con [, ]. Clcolte e b in modo che si punto di mssimo reltivo e f(/6)0; 6. rccite il grfico λ dell funzione così ottenut e dite se ess h un mssimo ssoluto e un minimo ssoluto;. Clcolte l re dell regione finit di pino delimitt dll tngente λ nel suo punto di sciss null, d λ e dll rett.

2 QUESIONARIO. L equzione f ( b) f ( ) f ( c)( b ) Determinre c qundo ( ) ' esprime il teorem del vlore medio o di Lgrnge. f, 0 e b.. Un recipiente contiene 000 litri di liquido. Se è un prism regolre bse tringolre, quli ne sono le dimensioni minime, espresse in metri?. Qule è il cono di volume mssimo inscrivibile in un sfer ssegnt?. L funzione ( ) f 0 è invertibile? Perchè? Qule ne è l derivt? In genere, come si clcol l derivt dell funzione invers f? 5. Dimostrre che l funzione ( ) f ] 0 ;]. In quli punti l funzione ssume vlore e in quli? 6. Fr tutte le primitive di f ( ) cos ( ) cos h infiniti punti di mssimo e minimo reltivo in trovre quell il cui grfico pss per il punto (0,5). 7. Spiegre perché l equzione - 5 non mmette soluzioni.. Perché tutte le tngenti ll curv d equzione y formno un ngolo cuto con l direzione positiv dell sse? Illustr le rgioni dell tu rispost. Durt dell prov: 6 ore. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. È consentito l uso dell clcoltrice non progrmmbile.

3 PROBLEMA Si consideri l equzione y b. Punto Si determinino e b in modo che l su curv rppresenttiv Γ si tngente, nel punto A di sciss, ll rett r d equzione y. Si disegni Γ. L tngente nel punto A di sciss - h equzione y di coefficiente ngolre nullo. le coefficiente ngolre è pri ll derivt prim dell funzione vlutt in e cioè è pri ( ) m ed imponendo che si nullo si ricv. Inoltre l curv pss per A(-,), per cui si h b e poiché si h b, L cubic è llor ( ) ( ) y. Studimo l funzione y ( ) ( ) Dominio: R Intersezioni sse : y ( ) ( ) 0, Intersezioni sse y: 0 y Eventuli simmetrie: l curv non è ne pri ne dispri Positività: y ( ) ( ) > 0 ],[ ], [ Asintoti verticli: l funzione non present sintoti verticli Asintoti orizzontli: per come è definit l funzione non present sintoti orizzontli in qunto lim ± ± Asintoti obliqui: per come è definit l funzione non present sintoti obliqui Crescenz e decrescenz: l derivt prim dell funzione y è ' ( ) y per cui l funzione è strettmente crescente in ], [ ], [ e strettmente decrescente in ], [. Concvità e convessità: l derivt second dell funzione y è y' ' 6 per cui l funzione è concv in ] 0, [ e convess in ],0[ flesso tngente obliqu. Inoltre ''( ) 6 > 0, y'' ( ) 6 < 0 e (,0) è un minimo reltivo. e si nnull in 0 in cui l curv present un y per cui (-,) è un mssimo reltivo Il grfico dell funzione è di seguito riportto:

4 Punto L rett r incontr Γ in un ltro punto B. Si clcoli l re dell regione di pino delimitt dl segmento AB e d Γ. L ulteriore intersezione di y con y si clcol risolvendo l equzione 0. Un divisore di è certmente ( ), ed essendo in l funzione tngente ll rett y possimo dire che un divisore di è certmente ( ), per cui possimo scomporre punto di intersezione è B(,). come ( ) ( ) per cui l ulteriore

5 5 L re d clcolre è rppresentt in verde e vle: ( ) [ ] ( ) d Are Punto Si determini l equzione dell rett s per l origine degli ssi che delimit con Γ e con l sse y un regione finit di pino, nel secondo qudrnte, di re 5/. L rett s h equzione m y con 0 < m. L re d clcolre è rppresentt in verde nell figur seguente: Indichimo con ( ) b C, con 0 < il punto di intersezione dell rett m y con l curv y. L re S è pri ( ) [ ] ( ) ( ) m m m d S 0 0. M il punto ( ) b C, pprtiene si ll rett che ll curv, per cui dobbimo imporre l uguglinz m d cui m. Sostituimo tle condizione in S e ottenimo: ( ) S. Imponendo che tle re si pri 5 si h l equzione di qurto grdo Un divisore di

6 ( 5) è ( ) in qunto sostituendo in 5 0 ottenimo l identità 00. Applicndo l regol di Ruffini, il polinomio si scompone in 5 ( )( 5). Ricordndo che per ipotesi cerchimo un vlore < 0, il polinomio di terzo grdo ( 5) è strettmente negtivo, per cui non si nnullerà mi. Quest osservzione ci consente di ffermre che l unico vlore ccettbile < 0 ricvbile dll equzione 5 0 è d cui ricvimo m per cui l rett cerct y. Alterntivmente, possimo pensre di clcolre le tre rdici del polinomio ( 5), pplicndo o uno dei metodi numerici noti o il metodo di Crdno, e scoprire che ( 5) h due rdici complesse coniugte ed un rdice rele positiv, tutte e tre non ccettbili. Applichimo llor il metodo di Crdno ll equzione cubic ( 5) 0. Ponendo y, l equzione divent p y py q 0 con. q 7 Applicndo il metodo di Crdno si ricv che le soluzioni di y py q 0 sono esprimibili nel q q p q q p seguente modo: y. Il delt dell equzione 7 7 q p nel nostro cso è > 0 e questo ci ssicur che un sol delle soluzioni 7 79 è rele mentre le ltre due sono complesse e coniugte. L unic rdice rele di y py q 0 è y r d cui y. 6 che essendo positiv v scrtt come soluzione del nostro problem. 6

7 PROBLEMA Si f l funzione definit d f ( ) sin ( ) cos( ) b, con [, ] Punto Clcolte e b in modo che si punto di mssimo reltivo e f(/6)0; 6 L condizione f(/6)0 impone b 0 ; l derivt prim di f ( ) sin ( ) cos( ) b è f ' ( ) cos( ) sin( ) e 0 è l sciss del punto di mssimo se f (/6)0 e quindi se 6. D ciò segue b. L curv è llor f. f ( ) sin( ) cos( ). le funzione può essere scritt nche come ( ) sin Punto rccite il grfico λ dell funzione così ottenut e dite se ess h un mssimo ssoluto e un minimo ssoluto; f lo ricvimo per deduzione dl grfico dell funzione Il grfico di ( ) sin elementre sin ( ) ttrverso i seguenti pssi:. Si trsl rigidmente il grfico di sin ( ) orizzontlmente verso sinistr di ottenendo il grfico di sin ;. Si ricv il grfico di sin ttrverso un diltzione di fttore rddoppindo tutte le ordinte del grfico di sin ;. Si trsl rigidmente il grfico di sin di un trtto verticle pri verso le f. ordinte negtive ottenendo il grfico di ( ) sin Si f notre inoltre che: 7

8 f non è mi positiv in qunto sin e si. L funzione ( ) sin nnull nei punti in cui sin k k 6. i mssimi reltivi ed ssoluti (coincidenti in qunto l funzione trigonometric seno è limitt in [-,]) di ( ) sin f si hnno qundo sin sin k mentre i minimi reltivi ed ssoluti 6 (coincidenti in qunto l funzione trigonometric seno è limitt in [-,]) si hnno qundo 5 sin sin k 6, per cui in [, ] funzione presenterà un unico mssimo reltivo ed ssoluto in 5 minimo reltivo ed ssoluto in,. 6 Il grfico in [, ] è di seguito presentto:,0 6 l ed un unico Punto Clcolte l re dell regione finit di pino delimitt dll tngente λ nel suo punto di sciss null, d λ e dll rett.

9 9 L rett tngente λ nel suo punto di sciss null ( ), 0 è l rett di equzione ( ) y. L tngente ( ) y intersec l sse delle scisse in ( ),0. L re d clcolre è rppresentt in verde nell figur sottostnte: L re d clcolre è: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin sin d d S

10 QUESIONARIO Quesito L equzione f ( b) f ( ) f ( c)( b ) Determinre c qundo ( ) ' esprime il teorem del vlore medio o di Lgrnge. f, 0 e b. L derivt prim di f ( ) è '( ) f ( b) f ( ) f '( c)( b ) e considerndo che ( 0 ) 0, f ( ) c c. 7 Quesito f, per cui pplicndo l formul f, si h c d cui Un recipiente contiene 000 litri di liquido. Se è un prism regolre bse tringolre, quli ne sono le dimensioni minime, espresse in metri? Un prism regolre bse tringolre è un prism che h come bse un tringolo equiltero di lto L > 0 e l cui re di bse è A Bse L. Il volume del prism per ipotesi è 000 litri e ricordndo che litro dm ( 0 ) m si h che esso è pri [ m ] Il volume del prism regolre bse tringolre è V V. A Bse h per cui V h. L re totle è ABse pri ll somm dell superficie lterle e del doppio dell re di bse. L superficie lterle è il prodotto del perimetro di bse ( L) moltiplicto per l ltezz S A Bse S l L L V L h L L superficie totle l effettuimo trmite clcolo delle derivte: V h, per cui A Bse L. L minimizzzione dell L S' S' ' Si h: L L L L L L 0

11 S' S' L L L L > 0 L > < 0 0 < L < S S strettmente crescente in (, ) strettmente decrescente in ( 0, ) L L Inoltre S '' ( ) > 0 L, per cui il lto di bse L che minimizz l L superficie totle è L [ m] ed in corrispondenz l ltezz vle h 6 [ m] Quesito Qule è il cono di volume mssimo inscrivibile in un sfer ssegnt? Considerimo l figur sottostnte: L 7 Considerimo un sfer di rggio R e ponimo VH, con 0 < < R. Con queste ssunzioni HD R e poiché il tringolo VDB è rettngolo in qunto inscritto in un semicirconferenz, per il teorem di Euclide HB VH HD ( R ) V [ ] ( ) ( HB ) VH ( R ). Il volume del cono è con 0 < < R. L mssimizzzione del volume l effettuimo ttrverso le derivte: V ' V '' ( ) [ R ] Si h: V ' V ' ( ) [ R 6] ( ) [ R ] > 0 0 < < V ( ) R R R strettmente crescente in 0, R ( ) [ R ] < 0 < < R S strettmente decrescente in, R

12 R Inoltre V ''( ) [ R 6] R < 0, per cui il volume è mssimo per R e vle R R V Quesito L funzione ( ) 0 R R R. f è invertibile? Perchè? Qule ne è l derivt? In genere, come si clcol l derivt dell funzione invers f? L funzione ( ) f 0 è invertibile in qunto strettmente crescente in tutto R. Riscrivendo l e funzione f ( ) 0 come ( ) ln ( 0 ) ( ) ln0 f e si ricv che l su derivt è ( ) ln0 ( ) e ln0 ln0 0 f ' che risult essere strettmente positiv in tutto R. In generle dett g ( y) l invers di f ( ), l derivt di g, per un noto teorem che recit L derivt di un funzione invers è ugule l reciproco dell derivt dell funzione dirett (purché quest ultim derivt non si null) è g ( y) '. Si f notre che le due derivte che f ' compiono nell formul si intendono clcolte in due punti che si corrispondono. Come esempio, clcolimo l derivt dell funzione invers di ( ) f ( ) 0 è ( y) Log( y) g ' ( 0 ) f ' g e ( 0) ln0 0 ln0 0 0 derivt di g ( y) Log( y) è g ( y) Quesito 5 Dimostrre che l funzione ( ) f ( ) f 0 in 0. L invers di y 0 corrisponde 0 per cui. Controllimo se il vlore clcolto è corretto. L ' e g '( 0 ) come già trovto. ln0 y ln0 0 ] 0 ;]. In quli punti l funzione ssume vlore e in quli? cos h infiniti punti di mssimo e minimo reltivo in I punti di mssimo e minimo reltivo di f ( ) cos, definit in ( 0) ( 0, ) in cui, rispettivmente, si h f ( ) cos e f ( ) cos k,, sono i punti. Clcolimoli:. Mssimi reltivi: f ( ) cos k con k Z 0 Z /{ 0}. Minimi reltivi: ( ) cos ( k ) f con k Z ( k )

13 Considerimo or i mssimi e minimi nell intervllo ] ;] ( intero positivo) 0. Essendo <, per ogni k Z k o per k 0 nel cso di minimo reltivo l sciss del minimo o mssimo reltivo cdrà in ] 0 ;], rgion per cui sono infiniti i mssimi e minimi reltivi di f ( ) cos in qunto infiniti sono gli interi positivi. I punti in cui l funzione ssume vlore e in quli sono esttmente i punti di mssimo e minimo reltivi in qunto l funzione è un funzione coseno limitt in [-,]. Quesito 6 Fr tutte le primitive di f ( ) cos ( ) L funzione f ( ) cos ( ) f ( ) cos ( ) cos( ) sin ( ) trovre quell il cui grfico pss per il punto (0, 5). può essere espress equivlentemente in questo modo: ( ) cos( ) cos( ) sin ( ). Un primitiv di f ( ) cos ( ) è [ cos( ) cos( ) sin ( ) ] d cos( ) d cos( ) sin ( ) d sin( ) sin ( ) C L primitiv pssnte per il punto (0, 5) deve soddisfre ll condizione di pprtenenz del punto (0, 5) e l si trov in corrispondenz di C5. In definitiv l primitiv di f ( ) cos ( ) ( ) sin( ) sin ( ) 5 f. Quesito 7 pssnte per il punto (0,5) è Spiegre perché l equzione - 5 non mmette soluzioni. L funzione f ( ) è strettmente positiv e crescente in tutto R e il suo grfico si trov intermente nel primo e secondo qudrnte di un sistem di riferimento crtesino, mentre l curv 5 7 g ( ) 5 è un prbol con concvità verso il bsso, che h vertice in, e che non intersec mi l sse delle scisse per cui si trov intermente nel terzo e qurto qudrnte di un sistem di riferimento crtesino. D queste due osservzioni ricvimo che le due curve non potrnno mi intersecrsi, rgion per cui l equzione - 5 non mmette soluzioni in R. L figur sottostnte in cui vengono rppresentte entrmbe le curve conferm qunto detto:

14 Quesito Perché tutte le tngenti ll curv d equzione y formno un ngolo cuto con l direzione positiv dell sse? Illustr le rgioni dell tu rispost. Detto (, y 0 0 ) un punto dell cubic d equzione y, l tngente per (, y 0 0 ) y h equzione y m( 0 ) y0 con m y' ( 0 ) ( 0 ) dell tngente essendo espresso come m y' ( ) ( ) 0 0 ll curv. Il coefficiente ngolre, è sempre positivo, per cui l inclinzione in grdi dell generic tngente con l direzione positiv dell sse è [ rctn( )] < 0 < m 90.