Simulazione di II prova di Matematica Classe V

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1 Liceo Scientifico Pritrio R. Bruni Pdov, loc. Ponte di Brent, 3/5/28 Simulzione di II prov di Mtemtic Clsse V Soluzione Risolvi uno dei due problemi.. Un tpp giornlier di un percorso di trekking prevede un trgitto di 2 km. Il grfico in figur rppresent l ltitudine y (in metri) in funzione dello spzio percorso (in chilometri) dl punto di prtenz. i. Tr le seguenti fmiglie di funzioni, dipendenti di prmetri reli λ e µ, un sol è dtt rppresentre, per ; 2, il grfico in figur: f ( )= 5e λ2 + µ dove λ,µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ < e µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ,µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ < e µ >. Individu qule, giustificndo degutmente l tu rispost. ii. Tr le funzioni dell fmigli individut, determin i vlori dei prmetri λ e µ che individuno l funzione il cui grfico è dto in figur, spendo che il punto di prtenz è posto un ltitudine di 3 m e che il punto di mssim ltitudine si rggiunge dopo ver percorso 5 km dll prtenz. Determin poi il dislivello in slit e in disces (pprossim i risultti l metro). Determin infine l ltitudine medi dell intero percorso (pprossim il risultto l metro). di 5

2 L pendenz (in vlore ssoluto) di un strd è mtemticmente definito come l tngente dell ngolo cuto ϑ in figur, cioè come rpporto Δy Δl. L misur dello spzio percorso Δ è tuttvi più semplice d determinre rispetto ll misur Δl (si può ottenere semplicemente con un contchilometri). Di ftto l pendenz di un strd è definit nel codice strdle come il seno dell ngolo cuto ϑ in figur, cioè come rpporto Δy Δ. iii. iv. Discuti il vlore di verità di quest ffermzione: Per strde con pendenze inferiori l 2%, l pendenz mtemtic può essere pprossimt ll pendenz definit nel codice strdle, con un errore minore del 2%. Determin in qule punto del trgitto si h l pendenz mssim, si in slit che in disces, ed esprimi tle pendenze mssime in percentule. Polo e Frncesc sono due escursionisti che percorrono il trgitto in esme. Entrmbi prtono lle ore 9: e, cmminndo indipendentemente uno dll ltro, rrivno ll conclusione del percorso lle 6:. Frncesc fferm che deve esserci stto lmeno un istnte, durnte il percorso, in cui l su velocità si stt ugule quell di Polo. Ritieni che Frncesc bbi rgione? Motiv esurientemente l tu rispost. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Risoluzione. i. Tr le seguenti fmiglie di funzioni, dipendenti di prmetri reli λ e µ, un sol è dtt rppresentre, per ; 2, il grfico in figur: f ( )= 5e λ2 + µ dove λ,µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ < e µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ,µ > ; f ( )= 5e λ2 + µ dove λ < e µ >. Individu qule, giustificndo degutmente l tu rispost. Studio l crescenz delle prime due proposte: f ( )> 3λe λ2 >. Se λ < llor f risult decrescente per ; 2, ssurdo visto che visivmente l ltitudine ument grossomodo nei primi 5 km dll prtenz per poi diminuire nel resto del percorso. Se λ > llor f risult crescente per ; 2, ssurdo per qunto ppen detto. 2 di 5

3 Studio l crescenz delle seconde due proposte: f ( )> 5( 2λ 2 )e λ2 > 2λ 2 >. Se λ < llor f risult crescente per ; 2, ssurdo per qunto ppen detto. Se λ > llor f risult crescente per ; 2λ, comptibile con il grfico. Poiché d esclusione solo l terz propost risult comptibile, quest ultim rppresent l espressione nlitic dell funzione del grfico dto. Osservo che l condizione sul prmetro µ è inutile. ii. Tr le funzioni dell fmigli individut, determin i vlori dei prmetri λ e µ che individuno l funzione il cui grfico è dto in figur, spendo che il punto di prtenz è posto un ltitudine di 3 m e che il punto di mssim ltitudine si rggiunge dopo ver percorso 5 km dll prtenz. Determin poi il dislivello in slit e in disces (pprossim i risultti l metro). Determin infine l ltitudine medi dell intero percorso (pprossim il risultto l metro). Vlgono le condizioni f ( )= 3 e f ( 5)= : f ( )= 3 µ = 3 µ = 3 m. f ( 5)= 5( 5λ)e 5λ = λ = 5 km L espressione nlitic dell funzione rppresentt è f ( )= e 2 5 ( ). Dislivello in slit: Δh = h MAX h = f ( 5) f ( )= e 2 ( ) 3 = 75 e! 455 m. Dislivello in disces: Δh = f ( 2) f ( 5)= 5( 2 +2e ) 5( 2 + 5e 2 )= 5( 2e e 2 )! 354 m. Altitudine medi: h = e 2 5 ( )d 2 = e 2 5 ( )d 2 = 25 d d = 25 e 2 2 = e = 25 2 ( 2 e )= e ( )! 595 m. iii. Discuti il vlore di verità di quest ffermzione: Per strde con pendenze inferiori l 2%, l pendenz mtemtic può essere pprossimt ll pendenz definit nel codice strdle, con un errore minore del 2%. Determin in qule punto del trgitto si h l pendenz mssim, si in slit che in disces, ed esprimi tle pendenze mssime in percentule. Indico con p M = tn ϑ l pendenz mtemtic e con p S = sin ϑ l pendenz definit nel codice strdle. Noto che ϑ ; π 2, p p. M S 3 di 5

4 Questo punto del problem chiede di verificre che p p M S < 2% per p M < 2%, ovvero p S tn ϑ sin ϑ che < per tn ϑ < 5 ϑ < rctn,2!,97, dove < ϑ < π 2 : sin ϑ 5 tn ϑ sin ϑ < sin ϑ 5 tn ϑ sin ϑ < 5 cosϑ < cosϑ > < ϑ < rccos 5 5 5!,98 Poiché l relzione dt è ver per gli ngoli ϑ ;,97 ;,98, l ffermzione è ver. pendenz mssim (mtemtic): è il vlore mssimo che ssume il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico; per determinre tle vlore mssimo bst studire il segno dell derivt second di f: f ( )= e 2 5 ( ) f ( )= 6( 25 2 )e 2 5 f ( )= 6 25 ( 2 75)e 2 5. f ( ) 6 25 ( 2 75)e 2 5 = 5 3, ovvero: l pendenz mssim in slit si h ll inizio e vle f ( )= 5 m km =,5 = 5%; l pendenz mssim in disces si h dopo 5 3! 8,7 km e vle f ( 5 3)= 3 e e m km p = M f 5 3 pendenz mssim (strdle): ( )!,669 = 6,69%. in = l ngolo che l rett tngente form con l sse vle rctn,5, quindi p S = sin( rctn,5)!,48 = 4,8%. in = 5 3 l ngolo che l rett tngente form con l sse vle rctn(,3 ( e e) ), quindi p S = sin( rctn(,3 ( e e) ))!,668 = 6,68%. iv. Polo e Frncesc sono due escursionisti che percorrono il trgitto in esme. Entrmbi prtono lle ore 9: e, cmminndo indipendentemente uno dll ltro, rrivno ll conclusione del percorso lle 6:. Frncesc fferm che deve esserci stto lmeno un istnte, durnte il percorso, in cui l su velocità si stt ugule quell di Polo. Ritieni che Frncesc bbi rgione? Motiv esurientemente l tu rispost. ( ) e s P ( t) le funzioni che rispettivmente descrivono l posizione di Frncesc e Sino s F t di Polo ll istnte di tempo t (espresso in ore). Tli funzioni sono bnlmente continue in ; 7 e derivbili l suo interno (i due impiegno sette ore compiere l intero percorso). Le funzioni che descrivono l velocità rispettivmente di Frncesc e Polo ll istnte t sono s F ( t) ed s P ( t). Secondo Frncesc esiste un istnte!t nel qule s F (!t )= s P (!t ) s F (!t ) s P (!t )=. Detto diversmente, secondo Frncesc esiste un funzione g( t)= s F ( t) s P ( t) continu in ; 7 e derivbile l suo interno (perché somm di funzioni continue e derivbili nello stesso in- 4 di 5

5 tervllo) tle d mmettere un punto stzionrio in!t : g ( t)= s F ( t) s P ( t) g (!t )= s F (!t ) s P (!t )=. Questo è grntito dl Teorem di Rolle: poiché g è continu in ; 7 e derivbile l suo interno, esiste un istnte!t ; 7 tle che g (!t )=. 5 di 5

6 2. Fissto λ!, si g λ l funzione definit dll posizione y = g λ ( )= 3 ( +λ). i. Determin il vlore di λ in modo che il grfico dell funzione mmett un flesso nel punto F di sciss =. Verificto che risult λ = 2, rppresent il grfico Γ di g 2 dopo verne individuto le principli crtteristiche (prità, segno, eventuli sintoti, crescenz e concvità). Trov l equzione dell rett t tngente Γ in F e le coordinte del punto A, ulteriore intersezione tr Γ e l rett t. Determin l re dell regione pin delimitt d tli curve (l rett t e l curv Γ ). ii. Clcol le coordinte del punto B, pprtenente ll rco FA e distinto d F, tle che l tngente Γ in B si prllel t. iii. Determin il vlore del prmetro λ in modo che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle ordinte. Indic, motivndo esurientemente l rispost, se è possibile determinre un vlore di λ in modo tle che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle scisse. Consider, or, l funzione G :!! definit dll posizione y = G( )= g 2 ( t) dt. iv. Verific che l funzione G non mmette estremi reltivi né ssoluti e clcol G( ), G( 3 2) e G( ). Dopo ver trovto i punti stzionri di G e vere studito l concvità dell funzione, trcci un grfico indictivo. [trtto d Simulzione Znichelli 28] Risoluzione. i. Determin il vlore di λ in modo che il grfico dell funzione mmett un flesso nel punto F di sciss =. Verificto che risult λ = 2, rppresent il grfico Γ di g 2 dopo verne individuto le principli crtteristiche (prità, segno, eventuli sintoti, crescenz e concvità). Trov l equzione dell rett t tngente Γ in F e le coordinte del punto A, ulteriore intersezione tr Γ e l rett t. Determin l re dell regione pin delimitt d tli curve (l rett t e l curv Γ tr F e A). L condizione dt si trduce in g λ ( )=, con g λ ( ) g λ ( + )< : g λ ( )= 3 ( +λ) g λ ( )= λ ( ) g λ ( )= 6( 2 +λ), quindi g λ ( )= 6( +λ)= λ = 2. Per tle vlore di λ si h che g λ ( )> e g λ ( + )<. Studio l funzione g 2 ( )= 3 ( + 2). dominio: D =! prità: g 2 ( ) g 2 ( ) g 2 ( ), ovvero l funzione non è né pri né dispri. segno di g 2 : g 2 ( ) per ; in prticolre g 2 ( )= per = =. 6 di 5

7 limiti significtivi ed eventuli sintoti: lim obliqui in qunto lim ± g 2 ( ) = ±. ± g 2 ( )= + m g 2 non mmette sintoti crescenz di g 2 : g 2 ( ) 2 2 ( 2 + 3) 3 2 ; in prticolre g 2 ( )= = 3 2 =, ovvero l funzione g 2 è crescente in 3 2 ; + \ { }, mmette un punto di minimo (ssoluto) m( 3 2 ; 27 6)! (,5;,7) e un punto di flesso tngente orizzontle F O ( ; ). concvità di g 2 : g 2 ( ) 2( +), in prticolre g 2 ( )= = =, ovvero l funzione g 2 è convess in ; ; + e mmette un punto di flesso tngente obliqu F( ; ). grfico di g 2 : Determino l equzione dell rett tngente Γ in F ; y += 2( +) t : y = di 5 ( ) : y f F ( )= f ( F ) F ( ) Determino il punto di intersezione A Γ t : y = 3 ( + 2) = ( 4 )+ ( 2 3 2)= y = 2 + y = 2 + y = 2 + ( 2 ) ( 2 +)+ 2( 2 )= ( 2 ) ( )= ( ) ( +)3 = = = y = 2 + y = 2 + y = 2 + y = y = 3 Quindi A( ; 3). L superficie dell qule determinre l re è rppresentt nell figur ll pgin seguente, ovvero h misur: A ( t( ) g 2 ( ) )d = F ( )d = =

8 + 5 2 = 8 5 =,6. ii. Clcol le coordinte del punto B, pprtenente ll rco FA e distinto d F, tle che l tngente Γ in B si prllel t. Tle punto del problem chiede di pplicre il Teorem di Lgrnge ll funzione polinomile g 2 in ;, cos fttibile visto che ivi l funzione è continu e risult derivbile ll interno di tle intervllo. Cerco quindi c ; tle che g 2 ( c)= g ( ) g ( ) 2 2 2c 2 ( 2c + 3)= 2 2c 3 + 3c 2 = 2c 3 + 2c 2 + c 2 = ( ) 2c 2 ( c +)+ ( c ) ( c +)= ( c +) ( 2c 2 + c )= ( c +) ( 2c 2 + 2c c )= ( c +) ( 2c( c +) ( c +) )= ( c +) 2 ( 2c )= c = c = 2, ovvero B( 2 ; 5 6). iii. Determin il vlore del prmetro λ in modo che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle ordinte. Indic, motivndo esurientemente l rispost, se è possibile determinre un vlore di λ in modo tle che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle scisse. g λ è simmetric g 2 rispetto ll sse y qundo,!, g λ ( )= g 2 ( ) (ricordo che il grfico di f ( ) è simmetrico l grfico di f ( ) rispetto ll sse y), ovvero: g λ ( )= g 2 ( ) ( ) 3 ( +λ)= 3 ( + 2) 3 ( λ)= 3 ( + 2) λ = + 2 λ = ; se = llor g λ ( )= = g 2 ( ). Quindi,!, g ( )= g 2 è simmetrico l grfico di g 2 rispetto ll sse y. ( ), ovvero il grfico di g g λ è simmetric g 2 rispetto ll sse qundo,!, g λ ( )= g 2 ( ) (ricordo che il grfico di f ( ) è simmetrico l grfico di f ( ) rispetto ll sse ), ovvero: 8 di 5

9 g λ ( )= g 2 ( ) 3 ( +λ)= 3 ( + 2) λ = + 2 = λ 2, quindi non per qulsisi vle l uguglinz, ovvero l condizione di simmetri suddett non è rispettt!. iv. Verific che l funzione G non mmette estremi reltivi né ssoluti e clcol G( ), G( 3 2) e G( ). Dopo ver trovto i punti stzionri di G e vere studito l concvità dell funzione, trcci un grfico indictivo. Determino gli estremi reltivi di G: per il Teorem fondmentle del clcolo integrle g 2 ( t) dt = G 2 ( ) G 2 G ( )= G 2 ( ) G 2 ( ), dove G 2 ( )= g 2 ( ) (per il Teorem di Torricelli), quindi ( ( )) G ( )= G 2 ( ) G ( )= g 2 ( ) G ( )= 3 ( + 2) ; dunque ( )!, ovvero l funzione G è ovunque non decrescente G ( ) quindi non mmette mssimi e minimi, né reltivi né ssoluti. G mmette come punti stzionri solmente flessi tngente orizzontle: F ; F 2 ( ; 8 5). G( )= g 2 ( t) dt =. G 3 2 = 3 2 g ( t) dt = g 2 ( t)dt = t 3 ( t + 2)dt = t5 5 + t4 2 G( )= g 2 ( t) dt = 8 5 =, ( ) e = 47 8 =,5875. ( )( 2 + 3) ( ) L concvità di G si studi determinndo il segno di G ( )= G ( ) < 3 2 >, ovvero l funzione G è convess in tli intervlli (estremi esclusi) e mmette un flesso F 3 2 ; 47 8 Il grfico di G è il seguente: ( ). : 9 di 5

10 Risolvi cinque dei dieci quesiti. ( ) in ; 3. Un solido h per bse il trpezoide di f ( )= + 2 ; le sue sezioni ottenute su pini perpendicolri ll sse sono tutti tringoli isosceli di ltezz k, con k!. Determinre il vlore di k in modo che il volume del solido si pri 2. [trtto d Ord26 Americhe] Rispost. Il volume del solido è dto dll somm di tutti i prismi bse il tringolo isoscele (di bse f ( ) e ltezz k ), di ltezz infinitesim d in ; 3 : 3 f ( ) ( k) V = d 2 = k d 2 = k 3 ln( + 2 2) k 2 = 4 4 ln k = 8 ln! 3, D un nlisi di mercto è risultto che il 32% dell popolzione us il dentifricio AtoZ. Scelto cso un gruppo di 2 persone, determinre il vlore medio, l vrinz e l devizione stndrd dell vribile letori X: numero di persone che utilizz il dentifricio AtoZ. Clcolre inoltre l probbilità che, ll interno del gruppo scelto, il numero di persone che usno tle prodotto si compreso tr 2 e 5, estremi inclusi. [trtto Ord25 Europ] Rispost. Si trtt di un vribile letori discret di tipo bernoullino con p = 8 25 ed n = 2. Quindi µ = np = = 3,84, σ 2 = np( p)= 2,62 e σ = !,66. ( )= 2 2 P( 2 X 5)= P( X = 2)+ P( X = 3)+ P( X = 4)+ P X = !,4287 +,224+, ,7866 =,78293! 78,3%- 3. Determin tipo, crttere ed eventule somm dell serie e nln π. [inventto] Rispost. + e nln π + = ( e ln π ) n + ln π2 = ( e ) n + n = = ln π2 n= n= n= e n=. Si trtt di un serie geometri- c di rgione < π 2 < quindi convergente. L somm vle + n= π 2 n + n= π 2!,. 4. Se f ( )= 3 + lnt dt per ; +, qul è il vlore numerico di f ( 2)? [trtto d Ord25 Europ] Rispost. Per il Teorem fondmentle del clcolo integrle 3 + lnt dt = ϕ( 3 ) ϕ( ), dove ϕ è un primitiv dell funzione integrnd. Quindi f ( )= 3 2 ϕ ( 3 )= 32, in prticolre f ( 2)= ln 2 f ( 2)= ln 2! 3,9 3 + ln. di 5

11 5. Consider l funzione: f ( )= ln se k( 2 ) se <, k!. i. Determin i vlori di k per i quli f è derivbile in!. ii. Trcci i grfici di f e di f per uno dei vlori di k ottenuto l punto precedente. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. L funzione f è continu in!\{ ; } per note proposizioni sulle funzioni continue. Impongo l continuità nei due punti esclusi: m lim f ( )= f ( )= lim f ( ) = e + lim f ( )= f ( )= lim f ( ) =, quindi, k!, f è continu in!. + f ( )= se > 2k se <. L funzione f è derivbile in!\ ; Impongo l derivbilità nei due punti esclusi: lim lim f ( )= lim f + grfico di f e di f : { } per note proposizioni sulle funzioni derivbili. f ( )= lim f + ( ) = 2k k = 2 e ( ) 2k = k = 2, quindi, per k = 2, f è derivbile in!. di 5

12 6. Nello spzio coordinto Oyz consider tre punti A( ; ; ), B( ; 2; ), e C( ; 3; 3). i. Determin l equzione del pino pssnte per i tre punti dti. ii. Clcol l re del tringolo ABC. [inventto] Rispost. i. Si π : + by + cz + d =,,b,c,d!, il pino del qule determinre l equzione.!!" AB = ; ; ( ) e AC i j k!!!"! ""! """! = ( ; 2; 3), quindi π = AB AC = 2 3 ii. = ( ; 2; ). Poiché A π, + ( ) + + d = d = 2, d cui π : 2y + z + 2 =. A ABC= 2 AB!!"!!!" 6 AC = = L popolzione di un coloni di btteri è di 4. btteri l tempo t = e di 6.5 btteri l tempo t = 3 (tempo espresso in ore). Si suppone che l crescit dell popolzione si esponenzile, cioè descrivibile dll equzione differenzile y = k y, dove k è un costnte rele non null e y l popolzione di btteri l tempo t. Al tempo t =, l popolzione supererà i 2. btteri? Dopo qunti minuti l popolzione rggiungerà tle numerosità? [trtto d Ord25 Europ] Rispost. Risolvo il problem di Cuchy y = ky y( )= 4. y( 3)= 65 y = ky y y = k y dy = kdt ln y = kt + c y = ekt+c y = h e kt, h = e c, c!. Ottengo che y( t)= he kt y( t)= he kt y( t)= he kt y( t)= he kt y( )= 4 h = 4 h = 4 h = 4 y( 3)= 65 he 3k = 65 k = 3 ln 3 k = ln ( ) 3 ovvero l funzione che risolve il problem di Cuchy è y( t)= 4 ( 3 8) t 3. y( )= 4 ( 3 8) 3! 2.79 > 2.. y (!t )= 2. 4 ( 3 8)! t 3 = 2.!t = 3log h!t = 8log min!t = 597 min., 2 di 5

13 8. Il grfico in figur è quello dell derivt prim f in!. Tle grfico è simmetrico rispetto ll origine, pss per ; ( ) di un funzione f ( ) continu ( ) ed h come sintoti le rette di equzione = e 5 + 2y =. Descrivere e trccire un possibile grfico di ( ) e di f ( ). [trtto d Ord26 Americhe] f Rispost. f è positiv per < < <, negtiv per < < > e si nnull per = ±. Questo signific che f è crescente per < < <, decrescente per < < > (in = mmette un cuspide) e mmette due punti di mssimo reltivo in = ±. Inoltre f è decrescente in!\{ }, quindi f è ivi negtiv ed f concv. f è dispri, quindi f ed f sono pri. 3 di 5

14 9. Determin l equzione dell sfer pssnte per P ; 2; ( ), Q( ; ; ) e tngente l pi- ( ). [inventto] no π : y = nel punto R ; ; Rispost. Il centro C dell sfer è il punto di intersezione dell rett r per R perpendicolre π con il pino σ perpendicolre PQ pssnte per il punto medio M di tle segmento. Determino l equzione di r: essendo r π, r! = π! = ( ; ; ). Poiché R r, ottengo = r : y = t, t!. z =! Determino l equzione di σ : + by + cz + d =,,b,c,d! : σ = PQ """! = ; ; M( ; 3 2 ; 2) σ, d cui d = d =. Quindi σ : y + z 2 =. Determino il centro C dell superficie sferic: un generico punto di r è ; t; t + 2 = t =. Dunque C( ; ; ). Determino il rggio ρ dell superficie sferic: ρ = CR = ++ =. Finlmente: S: ( ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 =. ( ) e ( ), quindi Osservzione: poiché il punto di tngenz R h l stess quot di P, necessrimente PR rppresent un dimetro dell superficie sferic. Quindi C = M PR = ( ; ; ) e ρ = PR 2 = =, ovvero S: ( )2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 =.. Dimostr che se f è un funzione dispri continu in! llor,!, f ( )d =. Dimostr che se invece f è un funzione pri continu in! llor,!, f ( )d = 2 f ( )d. [inventto] Rispost. Se f è un funzione dispri llor f ( )= f ( ),! (f è continu in! ). Quindi f ( )d = f ( )d + f ( )d = f ( )d + f ( )d = f ( )d + + f ( )d. In f ( )d pongo = t = t d = dt ; inoltre = t = e = t =. Quindi tle integrle divent f ( t)dt. Dunque f ( )d = f ( t)dt+ f ( )d = (il vlore dell integrle è indipendente dll vribile indipendente dell funzione integrnd). 4 di 5

15 Se f è un funzione pri llor f ( )= f ( ),! (f è continu in! ). Quindi f ( )d = f ( )d + f ( )d = f ( )d + f ( )d = f ( t)dt + + f ( )d = f ( t)dt + f ( )d = 2 f ( )d, dove nel terzo pssggio nel primo integrle si è ttuto l sostituzione = t. NOTE: i. Tempo disposizione: 6 ore (36 minuti). È possibile uscire dll ul solo qundo sono trscorse 3 ore (8 minuti) dll inizio dell simulzione. ii. È mmesso l uso dell clcoltrice in ccordo con l llegto ll not MIUR n. 564 del 3 mrzo 28. iii. Punteggio mssimo 5 p.ti. Per l sufficienz è necessrio rggiungere il punteggio di p.ti. 5 di 5