Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4

Transcript

1 ispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 Qurto trimestre del o nno del Corso di Lure in Ingegneri Elettronic ocente: Murizio Romeo Mggio 25

2 ii

3 Indice Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Integrli doppi Formule di riduzione per gli integrli doppi Cmbimento di vribili negli integrli doppi Clcolo di ree di superfici Integrli di superficie Integrli tripli Appliczioni degli integrli doppi e tripli erivzione sotto il segno di integrle Integrli impropri 3 2. Integrli estesi d intervlli non limitti Integrli di funzioni non limitte Integrli impropri di funzioni di più vribili Esempi di clcolo di integrli impropri Forme differenzili Integrli di line Integrli di forme differenzili Forme differenzili estte e cmpi conservtivi Formul di Green Anlisi vettorile Linee di un cmpo vettorile Flusso di un cmpo vettorile Teorem dell divergenz Cmpi solenoidli Teorem di Stokes Cmpi irrotzionli e cmpi conservtivi Opertori differenzili Serie numeriche efinizioni e operzioni sulle serie Criteri di convergenz Serie lternnti e serie ssolutmente convergenti iii

4 iv INICE 6 Serie di funzioni Convergenz uniforme Serie di potenze Serie di Tylor Serie di Fourier Sistemi trigonometrici Serie trigonometriche Criterio di convergenz Serie di funzioni con periodo rbitrrio Rppresentzione compless dell serie di Fourier Funzioni di un vribile compless 7 8. Premesse Funzioni derivbili e funzioni nlitiche Funzioni elementri Integrzione di funzioni nlitiche Formul integrle di Cuchy

5 Cpitolo Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi misurbili Considerimo il rettngolo R = {(x, y) R 2 : x b, c y d} e denotimo con mis(r) = (b )(d c), l su re. Chimeremo plurirettngolo R l insieme dto dll unione di un numero finito di rettngoli R i, (i =,..., n), privi di punti interni comuni e definiremo mis( R) = n i= mis(r i). Si un insieme limitto di R 2 e denotimo con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenenti e con R l insieme di tutti i plurirettngoli contenuti in. iremo che è misurbile se si verific uno dei seguenti csi. è privo di punti interni e inf {mis( R)} =. R R Allor è un insieme di misur null ovvero mis() =. è dotto di punti interni e risult Allor mis() = A. inf {mis( R)} = R R sup {mis( R )} = A. R R Se l insieme non è limitto esso si dirà misurbile se risultno misurbili le sue intersezioni con un qulunque cerchio. L estremo superiore delle misure di queste intersezioni srà l misur di. Semplici esempi di insiemi misurbili in R 2 sono i domini normli. Sino α(x) e β(x) due funzioni integrbili in [, b] e tli che α(x) β(x), x [, b]. Considerimo l insieme = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si dice che è un dominio normle rispetto ll sse x. Verifichimo che è un insieme misurbile. Inftti, per ogni prtizione P di [, b] si può costruire l insieme R (P ) dei plurirettngoli R P contenenti e l insieme R (P ) dei plurirettngoli contenuti in tli che R P mis(r P ) = S(β, P ) s(α, P ), mis(r P ) = s(β, P ) S(α, P ). dove S e s indicno rispettivmente le somme integrli superiore e inferiore. Si h inf P sup P mis(r P ) = inf[s(β, P ) s(α, P )] = inf P P mis(r P ) = sup P [s(β, P ) S(α, P )] = sup S(β, P ) sup s(α, P ) P P s(β, P ) inf P S(α, P ).

6 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI M per l integrbilità di α e di β si h inf P S(β, P ) = sup P s(β, P ) e sup P s(α, P ) = inf P S(α, P ), e quindi inf mis(r P ) = sup mis(r P ). P P Ne segue l misurbilità di. Si h inoltre mis() = b [β(x) α(x)] dx. Notimo che se fosse α = β = f in [, b], coinciderebbe con il grfico di f. In tl cso si vrebbe un insieme privo di punti interni e tle che inf P mis(r P ) =. Ciò signific che il grfico di un funzione integrbile h misur null. Anlogmente, dte due funzioni integrbili γ(y), δ(y) definite in [c, d], con γ(y) δ(y), y [c, d], l insieme = {(x, y) R 2 : γ(y) x δ(y), c y d}, si dice dominio normle rispetto ll sse y e risult un insieme misurbile, con mis() = d c [δ(y) γ(y)] dy. Se le funzioni α, β, γ, δ degli esempi precedenti sono nche derivbili con derivte prime continue, llor i loro grfici srnno curve regolri ed i domini si dirnno domini normli regolri. Tutti gli insiemi pini delimitti d curve regolri trtti si possono decomporre nell unione di domini normli regolri privi di punti interni in comune, e quindi risultno misurbili (vedi figur). Concetti nloghi possono essere introdotti in R 3. Si R il prllelepipedo definito d {(x, y, z) R 3 : x, b y b, c z c }. enoteremo con mis(r) = ( )(b b)(c c) il suo volume. iremo pluriprllelepipedo R l insieme dto dll unione di un numero finito di prllelepipedi R i (i =,..., n) privi di punti interni comuni e definimo mis( R) = n i= mis(r i). Si T R 3, limitto.

7 .2. INTEGRALI OPPI 3 enotti con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenenti T e con R T l insieme di tutti i pluriprllelepipedi contenuti in T, diremo che T è misurbile (o cubbile) se si verific uno dei seguenti csi. T è privo di punti interni e si h Allor mis(t ) =. inf mis( R) =. R R T L estremo superiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T coincide con l estremo inferiore delle misure dei pluriprllelepipedi di R T. In tl cso mis(t ) = inf mis( R) = R R T sup mis( R ). R R T Un insieme T R 3 non limitto si dice misurbile se sono misurbili le sue intersezioni con un qulunque sfer. L estremo superiore delle misure di tli intersezioni srà l misur di T. to l insieme R 2 e il numero h R +, diremo cilindro (in senso generlizzto) l insieme T R 3 definito d T = [, h]. Si dimostr fcilmente che se è limitto e misurbile llor T è misurbile e si h mis(t ) = mis() h. Si dice pluricilindro l unione di un numero finito di cilindri privi di punti in comune. L su misur srà l somm delle misure dei singoli cilindri. Si f : R 2 R +. L insieme T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)} si dice cilindroide reltivo. Si può dimostrre che se è limitto e misurbile e se f è continu in, llor il cilindroide T è misurbile..2 Integrli doppi Si R 2 un insieme misurbile e si f(x, y) un funzione limitt e non negtiv in. Effettuimo un prtizione P di in un numero finito di sottoinsiemi i tli che = n i= i e i j = per

8 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI i j. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f in i. Considerimo le somme integrli s(f, P ) = n m i mis( i ), S(f, P ) = i= n M i mis( i ), i= che rppresentno le misure di due pluriprllelepipedi, il primo contenuto ed il secondo contenente il cilindroide di f reltivo. Poichè m i M i, (i =,...n), si h, per ogni prtizione P, s(f, P ) S(f, P ). Inoltre, se si consider un rffinmento P dell prtizione P, d esempio in modo tle che gli insiemi i bbino dimetro inferiore quello degli insiemi nell prtizione P, si h Al vrire di tutte le possibili prtizioni, si vrà s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P Si dice llor che f(x, y) è integrbile in se ccde che e si pone sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I, P P I = f(x, y) dxdy, detto integrle doppio di f esteso l dominio. In form più sintetic si scrive nche I = f(x) dx, dove x = (x, y). In bse quest definizione e l risultto del prgrfo precedente sull misurbilità del cilindroide T = {(x, y, z) R 3 : (x, y), z f(x, y)}, l integrle doppio dell funzione f(x, y) continu in ssume il significto geometrico dell misur di T, ovvero del volume del cilindroide di sezione. mis(t ) = f(x) dx Notimo che, se f(x, y) =, (x, y), llor si h m i = M i = e s(f, P ) = S(f, P ) = n i= mis( i) = mis(). Ne segue dx = mis(). Se f h segno vribile in, si può sempre considerre l funzione usiliri g(x, y) = f(x, y) + k dove, essendo f limitt, k è tle che f(x, y) < k. In tl cso g(x, y) è non negtiv in e si h sup[s(g, P )] inf[s(g, P )] = sup[s(f, P )] + kmis() inf[s(f, P )] kmis() P P P P = sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

9 .2. INTEGRALI OPPI 5 Quindi, se g è integrbile lo srà nche f e si vrà f(x) dx = g(x) dx k mis(). Il seguente teorem, che non dimostreremo, costituisce un importnte condizione sufficiente per l integrbilità. Teorem. Si dt f : R 2 R con limitto e misurbile. Se f è continu in, eccettuto l più un insieme U di misur null, llor f è integrbile in. Come corollrio questo teorem segue nche che se f e g sono due funzioni continue, definite in un insieme limitto e misurbile e risult f(x, y) = g(x, y), (x, y) \ U, llor le due funzioni sono integrbili e i loro integrli estesi coincidono. Gli integrli doppi soddisfno proprietà nloghe quelle degli integrli delle funzioni di un vribile. Le più importnti sono le seguenti. ) te due funzioni f e g integrbili in e dti c, c 2 R si h [c f(x, y) + c 2 g(x, y)] dxdy = c f(x, y) dxdy + c 2 g(x, y) dxdy. 2) Sino e 2 due sottoinsiemi misurbili di tli che 2 = e 2 =. Per ogni f integrbile in si h f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. 2 3) Se f e g sono due funzioni integrbili in e tli che f(x, y) g(x, y), (x, y), si h

10 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. 4) ll proprietà precedente segue che, essendo f(x) f(x) f(x), si h f(x) dx f(x) dx f(x) dx, d cui f(x) dx f(x) dx. 5) (Teorem dell medi). Se f è continu in un insieme misurbile chiuso e limitto, esiste un punto x tle che f(x) dx = f( x) mis(). L dimostrzione di quest proprietà è simile l cso delle funzioni di un vribile. Nel nostro cso, detti m ed M rispettivmente il minimo e il mssimo di f in, scrivimo l diseguglinz m f(x) M, x. Integrndo su e tenendo conto delle proprietà ) e 3) si h m mis() f(x) dx M mis(), d cui m f(x) dx M. mis() Per l su continuità, f ssumerà in tutti i vlori compresi tr m ed M e quindi esisterà un x tle che f( x) = f(x) dx. mis().3 Formule di riduzione per gli integrli doppi Considerimo nel pino crtesino un dominio normle rispetto ll sse x, dto d = {(x, y) R 2 : x b, α(x) y β(x)}. Si f(x, y) continu in e quindi integrbile. Fissto x [, b] considerimo l quntità β( x) α( x) f( x, y) dy. Poichè f(x, y) è continu, l su restrizione per x = x è un funzione continu di y. Inoltre, per ogni x [, b] si h α(x) β(x) e quindi α( x) β( x). Queste osservzioni dnno senso ll integrle precedente, comunque si scelg x nell intervllo [, b]. Esso rppresent geometricmente l re dell sezione del cilindroide T di f reltivo, sul pino x = x. efinimo or l funzione G(x) = β(x) α(x) f(x, y) dy.

11 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 7 Si può dimostrre che, se α(x) e β(x) sono continue in [, b], llor G(x) è continu in [, b]. Ess risult quindi integrbile e si h b G(x) dx = sup s(g, P ) = inf S(G, P ), P P dove s(g, P ) e S(G, P ) sono rispettivmente le somme integrli inferiore e superiore di G per un dt prtizione P dell intervllo [, b]. Si può osservre che s e S rppresentno le misure di due pluricilindroidi T s e T S. In generle T s non è contenuto in T, nè T S contiene T. Sussiste tuttvi l diseguglinz s(g, P ) mis(t ) S(G, P ), P. Allor dll integrbilità di G si dovrà necessrimente vere b G(x) dx = mis(t ). Ne segue l formul di riduzione per gli integrli doppi estesi d un dominio normle rispetto ll sse x b β(x) f(x, y) dxdy = dx f(x, y) dy. In modo nlogo, considerto un dominio normle rispetto ll sse y, sotto le corrispondenti ipotesi, si ricv d δ(y) f(x, y) dxdy = dy f(x, y) dx. Se nelle formule precedenti si pone f(x, y) =, (x, y), si ottiene il risultto già noto mis() = dxdy = c α(x) γ(y) { b [β(x) α(x)] dx, se è normle rispetto x d c [δ(y) γ(y)] dy, se è normle rispetto y

12 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Esempi ) Considerimo il dominio compreso tr l rco di ellisse di equzione x2 qudrnte e gli ssi x e y. Voglimo clcolre x dxdy. + y2 2 b 2 = del primo Il dominio risult normle si rispetto ll sse x che rispetto ll sse y. Come dominio normle rispetto ll sse x esso è dto d { x : y b 2 x 2. Medinte l formul di riduzione, ottenimo b 2 x 2 x dxdy = dx x dy = = 2) Clcolimo l integrle doppio b 2 x 2 x dx = b 2 x dx (2x y + 3) dxdy, b 2 x 2 dy 2x 2 x 2 dx = b 3 2. dove è il dominio compreso tr l prbol y = x 2 e l rett y = x. Anche in questo cso il dominio può essere visto come normle rispetto ll sse delle x o ll sse delle y. Considerto come dominio normle rispetto ll sse x si h { x : x 2 y x. Si ottiene così (2x y + 3)dxdy = = = x dx (2x y + 3)dy = [2xy y2 x y ) (2x 2 x x 2x3 + x4 2 3x2 dx (3x 32 ) x2 2x 3 + x4 dx = Considerto come dominio normle rispetto ll sse delle y, si h { y : y x y. ] y=x y=x 2 dx Ne segue che (2x y + 3) dxdy = = dy y y (2x y + 3) dx = (3 y 2y y 3 ) dy = 3 5. [ x 2 xy + 3x ] x= y x=y dy

13 .3. FORMULE I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI 9 3) Voglimo clcolre il volume dell regione T dello spzio delimitt dl prboloide di equzione z = x 2 + y 2 ed il pino z = h 2. Tle volume è dto d (h 2 x 2 y 2 ) dxdy, dove è il cerchio di rggio h e centro nell origine del pino x, y. Considerndo come dominio normle rispetto ll sse x si h { h x h : h 2 x 2 y h 2 x 2. Si ottiene llor (h 2 x 2 y 2 ) dxdy = = = h h h h h h h 2 x 2 dx h 2 x 2 (h 2 x 2 y 2 ) dy [(h 2 x 2 )y y3 3 ] h 2 x 2 h 2 x (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx Quest ultimo integrle può essere risolto medinte l sostituzione x = h sin t. Si ottiene h h 4 3 (h2 x 2 ) h 2 x 2 dx = 4 3 h4 π/2 π/2 cos 4 t dt = h4 2 π. dx 4) Clcolimo l integrle doppio y x 2 dxdy, dove : { x y. A cus del vlore ssoluto, dobbimo distinguere due csi. In si h { y x 2 x (x, y) : y x 2 = { x 2 y x 2 x y (x, y) 2 : y x 2 Utilizzndo l proprietà 2) si ottiene y x 2 dxdy = (y x 2 ) dxdy + (x 2 y) dxdy. 2 Si h y x 2 dxdy = = = dx [ y 2 x 2 (y x 2 ) dy + 2 x2 y ] x 2 dx + (x 4 + ) dx = 2 5. dx x 2 [x 2 y y2 2 (x 2 y)dy ] x 2 dx

14 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI 5) Clcolre l integrle doppio e x+y dxdy, dove è l regione di pino compres tr i due qudrti : Tenuto conto dell proprietà 2) si h Ottenimo così, { x y 2 : { 2 x 2 2 y 2 e x+y dxdy = 2 e x+y dxdy + e x+y dxdy = e x+y dxdy 2 e x+y dxdy = = dx 2 e x dx 2 2 e x+y dy 2 e y dy dx e x+y dxdy. e x dx e x+y dy e y dy = (e 2 e 2 ) 2 (e e ) 2 = 2 cosh 4 2 cosh 2..4 Cmbimento di vribili negli integrli doppi Si K R 2 un dominio con frontier regolre trtti e si Φ : K R 2 un funzione di componenti φ (u, v), φ 2 (u, v), con (u, v) K, tle che Φ C (K), detj(u, v), (u, v) K, essendo J l mtrice jcobin di Φ. ett l immgine di Φ in R 2, ponimo { x = φ (u, v) (u, v) K, (x, y), y = φ 2 (u, v), e supponimo che queste equzioni mettno in corrispondenz biunivoc K con. Allor si può dimostrre che le equzioni precedenti stbiliscono un corrispondenz biunivoc tr tutto K e tutto. Se x e y sono coordinte crtesine in, le funzioni φ e φ 2 individuno nuove coordinte u, v in R 2, che diremo coordinte curvilinee. Preso un punto (u, v ) K le due curve C u : { x = φ (u, v ) y = φ 2 (u, v ), C v : { x = φ (u, v) y = φ 2 (u, v), (u, v) K,

15 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI hnno il grfico in e risultno regolri. Inoltre, i versori tngenti ciscun curv in (u, v ), e u = x / x u u, e v = x / x v v, risultno linermente indipendenti cus dell ipotesi detj. Le curve C u e C v si dicono linee coordinte ed e u, e v, versori del sistem di coordinte u, v. Porremo inoltre detj = J e lo chimeremo jcobino dell trsformzione dlle coordinte u, v lle coordinte x, y. Un esempio già noto di coordinte curvilinee nel pino è quello delle coordinte polri, definite d { x = ρ cos θ K = {(ρ, θ) R 2 : ρ >, θ [, 2π[}. y = ρ sin θ, In tl cso, preso un punto (ρ, θ ) K, le curve C ρ e C θ, pssnti per (ρ, θ ) sono rispettivmente un segmento di rett per l origine ed un rco di circonferenz di centro l origine e rggio ρ. Si h inoltre x x ρ θ J = y y = cos θ { ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ >, e ρ = cos θe + sin θe 2 e θ = sin θe + cos θe 2. ρ θ Ritornndo l cso generle, poichè K è delimitto d un curv regolre trtti, esso risult misurbile. L corrispondenz tr K e e l condizione Φ C (K), implicno che nche è regolre trtti e quindi risult misurbile. Voglimo trovre un formul per esprimere l misur di trmite le nuove coordinte in K. A tle scopo considerimo l insieme R K dei plurirettngoli contenuti in K e l insieme R K dei plurirettngoli contenenti K, ottenuto medinte un prtizione P. Fissto un plurirettngolo di R K considerimo il suo i-esimo rettngolo K i e si (u i, v i ) un suo spigolo (vedi figur). Trmite l trsformzione x = Φ(u, v), K i corrisponderà un qudriltero curvilineo i di vertice (x i, y i ) corrispondente (u i, v i ). ette u e v le misure dei lti di K i si vrà mis(k i ) = u v.

16 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI I lti corrispondenti di i srnno dti dgli incrementi delle scisse curvilinee su C u e C v pssnti per (u i, v i ), ovvero ui + u s(u i ) = x vi + v u du, s(v i) = x v dv, u i e l misur pprossimt di i si potrà pensre come l re di un prllelogrmm curvilineo, il cui vlore è dto dll norm del prodotto vettorile tr i due vettori tngenti i lti curvilinei in (x i, y i ), di lunghezz pri gli incrementi s(u i ) e s(v i ). Se pprossimimo tli incrementi con i corrispondenti differenzili, vremo, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, x mis( i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = x u v dudv Poichè u v = dudv, vremo = J(u i, v i ) dudv. (ui,v i ) mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ), d cui mis( i ) = mis(k i ) J(u i, v i ). i i ltr prte, per ogni prtizione P si può scrivere v i (ui,v i ) s( J, P ) i mis(k i ) J(u i, v i ). Per l integrbilità di J in K segue che sup mis( i ) P i K J(u, v) dudv. Anlogmente, considerndo un plurirettngolo di R K si ottiene mis(k i ) J(u i, v i ) S( J, P ), i

17 .4. CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI OPPI 3 e, sempre per l integrbilità di J, si h inf mis( i ) P d cui concludimo i mis() = K K J(u, v) dudv, J(u, v) dudv. Spendo che mis() = dxdy, possimo enuncire il seguente risultto Teorem.2 Si K un dominio con frontier regolre trtti e si x = Φ(u, v) un trsformzione di coordinte con Φ C (K), vlori in, con J in K e tle d grntire un corrispondenz biunivoc tr K e. Allor dxdy = J(u, v) dudv. Esempio K Clcolimo l re dell superficie dell regione del primo qudrnte del pino x, y delimitto dlle due iperboli xy = 2 e xy = b 2 con < < b e dlle rette y = αx e y = βx, con < α < β (vedi figur). L re dell superficie è dt d mis() = dxdy. Considerimo l trsformzione di coordinte xy = u, y x = v. Il dominio corrispondente è K = {(u, v) R 2 : 2 u b 2, α v β}. Si può scrivere { x = u v y = (u, v) K, uv, e si h J = 2 uv v 2 u u 2v v u 2 v = 2v >. Quest trsformzione soddisf tutte le ipotesi del teorem.2. Si ottiene llor dxdy = K J(u, v) dudv = b 2 2 β du α 2v dv = b2 2 ln β 2 α. L tesi del teorem.2 sussiste nche nel cso in cui le ipotesi non sino soddisftte in un insieme di misur null. Considerimo d esempio il dominio costituito dll coron circolre di centro l origine, rggio interno r e rggio esterno R, = {(x, y) R 2 : r 2 x 2 + y 2 R 2 }. Trsformndo in coordinte polri si ottiene il dominio K = {(ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ [, 2π[}.

18 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI L frontier K non è in corrispondenz biunivoc con in qunto i vlori θ = e r < ρ < R corrispondono i punti interni di dti d r < x < R, y =. Come ltro esempio considerimo il cerchio di centro l origine e rggio R Trsformndo in coordinte polri, si h = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 }. K = {(ρ, θ) R 2 : ρ R, θ [, 2π[}, e, per ρ =, si h J =. In mbedue i csi si può pensre come il limite di un successione di domini per i quli sussistono le ipotesi del teorem.2. In prticolre, nel cso dell coron circolre considerimo l successione {K n }, dove { [ K n = (ρ, θ) R 2 : r ρ R, θ, 2π ]}. n Si h mis() = lim n = lim n 2 n ρ dρdθ = lim K ( n 2π n 2π n dθ R r ρ dρ ) (R 2 r 2 ) = π(r 2 r 2 ). Nel cso del cerchio considerimo l successione {K n }, con K n = {(ρ, θ) R 2 : n [ ρ R, θ, 2π ]}, n e si h mis() = lim n = lim n 2 K n ρ dρdθ = lim n ( 2π n 2π n dθ R n ) (R 2 n ) 2 = πr 2. ρ dρ

19 .5. CALCOLO I AREE I SUPERFICI 5 L conseguenz di questi risultti è che il teorem.2 continu d essere vlido se le ipotesi sono soddisftte per un coppi di successioni di domini {K n } e { n } e se ccde che lim n mis(k n ) = mis(k) e lim n mis( n ) = mis(). Con un dimostrzione nlog quell del teorem.2 si può provre l formul di trsformzione degli integrli doppi per cmbimento di vribili. Sussiste il seguente risultto. Teorem.3 Sotto le stesse ipotesi del teorem.2, dt l funzione f(x, y), continu in, si h f(x, y) dxdy = f[x(u, v), y(u, v)] J(u, v) dudv. Esempio K Clcolre l integrle doppio + x 2 + y dxdy, con = {(x, y) 2 R+ R + : x 2 + y 2 }. Pssndo coordinte polri ottenimo { K = (ρ, θ) R 2 : ρ, θ π }. 2 Poichè J = ρ, si h J = per ρ =. Anche nel cso del teorem.3 vle però l osservzione ftt proposito dell vlidità del teorem.2 e l formul di clcolo per cmbimento di coordinte vle ncor. Si ottiene dxdy + x 2 + y = 2 K π ρ dρdθ = 2 + ρ 2 ρ dρ dθ = π + ρ 2 2 ( 2 )..5 Clcolo di ree di superfici Considerimo un superficie regolre S, definit d x = φ (u, v) S : y = φ 2 (u, v) z = φ 3 (u, v), (u, v) K, dove K R 2 è chiuso, limitto e connesso e Φ C (K). Preso un punto (u, v ) K, si x il punto corrispondente di S. Sppimo che, fissto v = v e fcendo vrire u le equzioni precedenti descrivono un curv regolre C u pssnte per x, il cui versore tngente in x è dto d e u = Φ u (u,v )/ Φ u (u,v ). Anlogmente, fissto u = u e fcendo vrire v si ottiene un curv regolre C v per x, il cui versore tngente è e v = Φ v (u,v )/ Φ v (u,v ).

20 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Per l regolrità di S i prmetri u e v costituiscono un sistem di coordinte curvilinee sull superficie S. In modo nlogo qunto visto per il cmbimento di vribili negli integrli doppi, possimo fre un prtizione P dell superficie S in un numero finito di porzioni S i (i =,..., n), tutte contenute in S e delimitte d rchi di curve C u e C v. Se indichimo con ds(u i ) e ds(v i ) le lunghezze di un coppi di tli rchi, meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto dudv, l re dell superficie dell porzione S i srà dt d A S (S i ) = ds(u i )e u ds(v i )e v = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv. Sommndo i contributi di tutte le porzioni di superficie, l vrire dell prtizione P su S, ottenimo un insieme di ree che mmette come estremo superiore l re dell superficie di S. In ltri termini ottenimo A S (S) = sup A S (S i ) = Φ u Φ v dudv. P i Se l superficie è dt in form esplicit z = f(x, y) dove f è un funzione continu con derivte przili continue in un dominio A R 2 chiuso, limitto e connesso, llor, ponendo x = u S : y = v (u, v) A. z = f(u, v), Si ottiene Φ u Φ v = A + K ( ) f 2 + u ( ) f 2, v e di conseguenz l formul per il clcolo dell superficie divent ( ) f 2 ( ) f 2 A S (S) = + + dxdy. x y Esempi ) Clcolre l re dell superficie di un sfer di rggio R. Le equzioni prmetriche dell sfer di rggio R sono x = R sin θ cos ψ S y = R sin θ sin ψ (θ, ψ) K, z = R cos θ, dove K = [, π] [, 2π[. Si ottiene Φ θ = (R cos θ cos ψ, R cos θ sin ψ, R sin θ), Φ ψ = ( R sin θ sin ψ, R sin θ cos ψ, ), d cui Si ricv così, A S (S) = 2π Φ θ Φ ψ = R 2 sin θ. π dψ R 2 sin θ dθ = 2πR 2 [ cos θ] π = 4πR 2.

21 .6. INTEGRALI I SUPERFICIE 7 Osservzione. Si deve notre che θ, ψ perdono il requisito di coordinte curvilinee su S per θ =, π cus dell non biunivocità dell corrispondenz coi punti dell sse z. Tuttvi, se si considerno i domini K n = [ n, π n] [, 2π[, con n N rbitrrio, le coordinte θ, ψ sono effettive coordinte curvilinee in S ed inoltre, dett A n l re dell porzione di S ottenut per (θ, ψ) K n, si h lim n A n = A S (S). Ciò giustific l vlidità dell formul del clcolo dell re di un superficie nche in tl cso. 2) Clcolre l re dell superficie del cilindro di equzione y 2 + z 2 = R 2 contenut nell regione di spzio individut d z, x y, y. In questo cso possimo esprimere l superficie in form esplicit scrivendo z = f(x, y) = R 2 y 2, (x, y) A, A = {(x, y) R 2 : y R, x y}. Poichè si h si ottiene = A R f x =, f y = + y2 R 2 y 2 dxdy = R y R 2 y 2, ( y y ) R R 2 y dx dy 2 2Ry R 2 y 2 dy = [ 2R R 2 y 2 ] R = 2R2..6 Integrli di superficie Si S un superficie regolre definit d Φ : K R 2 R 3 con K limitto, chiuso e connesso e si f(x) un funzione definit in un dominio T R 3 contenente S, continu in T. Fccimo un prtizione di K in un numero finito di domini K i, non venti punti interni in comune. A questi K i corrispondernno ltrettnte superfici S i, prive di punti interni in comune, l cui re, meno di infinitesimi di ordine superiore in dudv è A S (S i ) = Φ u (ui,v i ) Φ v (ui,v i ) dudv, essendo (u i, v i ) K, con Φ(u i, v i ) S i. Sino m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore dell restrizione di f in S i. Se l vrire dell prtizione P su S si h llor si pone sup P i m i A S (S i ) = inf P I S = S M i A S (S i ) = I S, i f(x) ds, che si chim integrle di superficie dell funzione f. Sotto le condizioni dte, l integrle di superficie di f esiste e si h f(x) ds = f[φ (u, v), φ 2 (u, v), φ 3 (u, v)] Φ u Φ v dudv. S K

22 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Nel cso in cui l superficie mmett l rppresentzione crtesin z = φ(x, y), si h S f(x) ds = dove A è un dominio limitto e connesso. Esempio A f[x, y, φ(x, y)] + ( ) φ 2 + x ( ) φ 2 dxdy, y t l funzione f(x) = x 2 + y 2 + z 2 e l porzione S di prboloide di equzione z = 2 (x2 + y 2 ) con z, clcolre l integrle di superficie di f su S. Si h S f(x) ds = A [ x 2 + y (x2 + y 2 ) 2 ] + x 2 + y 2 dxdy, dove A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2}. Pssndo in coordinte polri si ottiene S f(x) ds = 2π dθ 2 ( ρ ρ4 ) + ρ 2 ρ dρ. Medinte l sostituzione + ρ 2 = t, si h ρ 2 = t 2, ρdρ = tdt, d cui S f(x) ds = 2π 3 [t (t2 ) 2 ] t 2 dt = 2π 35 ( )..7 Integrli tripli L definizione di integrle triplo si può introdurre in modo nlogo l cso dell integrle doppio. Si trtt di estendere domini tridimensionli e funzioni in R 3 qunto è stto detto circ gli integrli di funzioni di due vribili in domini di R 2. Si T R 3 un insieme cubbile ed f : T R un funzione limitt in T. Effettundo un prtizione P T i T j=, di T in un numero finito di insiemi T i (per esempio dei prllelepipedi) tli che T = n i= T i, per i j, denotimo con m i e M i rispettivmente l estremo inferiore e l estremo superiore di f(x) in T i. efinimo le somme integrli inferiore e superiore, s(f, P ) = n m i mis(t i ), S(f, P ) = i= n M i mis(t i ). i= Per ogni prtizione P si h s(f, P ) S(f, P ) ed ogni rffinmento P di P è tle che s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). Al vrire di tutte le possibili prtizioni di T si vrà sup[s(f, P )] inf[s(f, P )]. P P

23 .7. INTEGRALI TRIPLI 9 Si dice che f(x) è integrbile in T se ccde che e si pone I T = T sup[s(f, P )] = inf [S(f, P )] = I T, P P f(x, y, z) dxdydz, o nche I T = T f(x) dx. iversmente dl cso degli integrli doppi, l integrle I T non h, in generle, lcun significto geometrico. Tuttvi, nel cso prticolre in cui f(x) = identicmente in T, si h m i = M i =, per ogni T i e, in bse ll definizione di insieme cubbile, si h dx = mis(t ). T In nlogi con il cso degli integrli doppi, vle l seguente condizione di integrbilità. Teorem.4 Si f : T R 3 R con T limitto e misurbile e si f continu in T eccettuto l più un insieme V di misur null, llor f è integrbile in T. Si h nche, come corollrio, che se f e g sono continue in T limitto e misurbile e se f(x) = g(x), x T \ V, llor le due funzioni sono integrbili in T e i loro integrli coincidono. Per gli integrli tripli si possono provre proprietà nloghe quelle dte per gli integrli doppi. Vlgono, in prticolre, con le dovute modifiche, le proprietà ) 5) del prgrfo.2. Per qunto rigurd il clcolo, gli integrli tripli mmettono formule di riduzione nloghe quelle degli integrli doppi. to un insieme limitto e misurbile e due funzioni φ (x, y) e φ 2 (x, y) continue in e tli che φ (x, y) φ 2 (x, y) (x, y), l insieme T = {x R 3 : (x, y), φ (x, y) z φ 2 (x, y)}, si dice dominio normle rispetto l pino x, y. qunto detto ll fine del prgrfo., essendo T l differenz tr due cilindroidi reltivi, esso risulterà misurbile. Per domini di questo tipo vle l seguente formul di riduzione ( ) φ2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. T φ (x,y) In questo modo, dopo un prim integrzione su z ci si riduce l clcolo di un integrle doppio. Nturlmente vlgono nloghe formule di riduzione per domini normli rispetto gli ltri pini coordinti. ecomponendo un generico dominio T misurbile in domini normli, l uso delle formule di riduzione e dell proprietà di dditività rispetto l dominio, permette il clcolo di un integrle triplo su T. Esempi ) Clcolre il volume del tetredro T delimitto di tre pini coordinti e dl pino di equzione x + 2y + z 6 =.

24 2 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Considerto come dominio normle rispetto l pino x, y, si h T = {x R 3 : (x, y), z 6 x 2y}, = {x R 2 : x 6, y 3 x/2}. Poichè, in questo cso dobbimo porre f(x) =, identicmente, si h ( 6 x 2y ) [ 6 3 x 2 mis(t ) = dz dxdy = = = 4 6 [ 3 x 2 6 (6 x 2y) dy (6 x) 2 dx = 4 [ ] dx = 6 ] 6 (6 x)3 = 8, 3 in ccordo con il risultto ottenibile dll geometri elementre. 2) Clcolre l integrle triplo T y dxdydz, ( 6 x 2y ) ] dz dy dx [ 6y xy y 2 ] 3 x 2 dx dove T è l regione di R + R + R + delimitt dl cilindro di equzione x 2 + z 2 =, di pini coordinti e dl pino y = 2. Si può pensre T come un dominio normle rispetto l pino x, z, ovvero Si ottiene così, T y dxdydz = T = {x R 3 : (x, z), y 2}, = {(x, z) R + R + : x 2 + z 2 } ( 2 ) y dy dxdz = 2 dxdz = 2mis() = π 2.

25 .7. INTEGRALI TRIPLI 2 Così come per gli integrli doppi, si possono ricvre formule per il cmbimento di vribili negli integrli tripli. Senz ripetere le dimostrzioni già ftte, riportimo i risultti essenzili i fini del clcolo degli integrli tripli. Osservimo innnzitutto che le equzioni x = φ (u, v, w) y = φ 2 (u, v, w) z = φ 3 (u, v, w), (u, v, w) K, (x, y, z) T, definiscono un sistem di coordinte curvilinee in T se le funzioni φ, φ 2, φ 3 C (K) stbiliscono un corrispondenz biunivoc tr i punti di K e quelli di T e se detj, (u, v, w) K, essendo J l mtrice jcobin dell trsformzione di coordinte, J = φ u φ 2 u φ 3 u Fissto un punto (u, v, w ) K chimeremo linee coordinte pssnti per x = Φ(u, v, w ) le curve regolri x = φ (u, v, w ) C u : y = φ 2 (u, v, w ) z = φ 3 (u, v, w ), φ v φ 2 v φ 3 v φ w φ 2 w φ 3 w. x = φ (u, v, w ) C v : y = φ 2 (u, v, w ) z = φ 3 (u, v, w ), x = φ (u, v, w) C w : y = φ 2 (u, v, w) z = φ 3 (u, v, w), e denoteremo con e u, e v, e w i loro versori tngenti in x, e u = x / x u u, e v = x / x v v, e w = x / x w w. Le coordinte sferiche e le coordinte cilindriche, sono esempi di coordinte curvilinee in R 3. Nel

26 22 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI primo cso si h x = r sin θ cos ψ y = r sin θ sin ψ z = r cos θ, K = R ++ (, π) [, 2π), sin θ cos ψ r cos θ cos ψ r sin θ sin ψ J = sin θ sin ψ r cos θ sin ψ r sin θ cos ψ cos θ r sin θ = r2 sin θ, e r = (sin θ cos ψ, sin θ sin ψ, cos θ), e θ = (cos θ cos ψ, cos θ sin ψ, sin θ), e ψ = ( sin ψ, cos ψ, ). Le curve C r sono rchi di rette per l origine, le curve C θ sono rchi di circonferenze di centro l origine e con z sse dimetrle, le curve C ψ sono rchi di circonferenze su pini prlleli l pino x, y e con centro sull sse z. Nel secondo cso si h x = r cos ψ y = r sin ψ K = R ++ [, 2π) R, z = z, cos ψ r sin ψ J = sin ψ r cos ψ = r e r = (cos ψ, sin ψ, ) e ψ = ( sin ψ, cos ψ, ) e z = (,, ). Le curve C r sono rchi di rette che intersecno ortogonlmente l sse z, le curve C ψ sono rchi di circonferenze su pini prlleli l pino x, y e con centro sull sse z, le curve C z sono rchi di rette prllele ll sse z. to un dominio misurbile T R 3, introdotte coordinte curvilinee (u, v, w) K medinte l trsformzione x = Φ(u, v, w), (x T ), e denotto con J il determinnte dell mtrice jcobin, si dimostr che mis(t ) = J(u, v, w) dudvdw, d cui segue l formul T dx = K K J(u, v, w) dudvdw. Inoltre, dt un funzione f(x) continu nell insieme misurbile T R 3, si h l seguente formul di trsformzione degli integrli tripli per cmbimento di vribili T f(x) dx = K f[φ (u, v, w), φ 2 (u, v, w), φ 3 (u, v, w)] J(u, v, w) dudvdw.

27 .7. INTEGRALI TRIPLI 23 Esempi ) Clcolre il volume del solido delimitto di due prboloidi di equzioni z = x 2 + y 2 e z = 2 x 2 y 2. Indicto con T il dominio occupto dl solido, si h T = {x R 3 : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 }. L limitzione su z implic che x 2 + y 2. dominio trsformto K, dto d Utilizzndo coordinte cilindriche si ottiene il K = {(r, ψ, z) R 3 : r, ψ 2π, r 2 z 2 r 2 } Considerndo quest ultimo come un dominio normle rispetto l pino r, ψ, essendo J = r, si ottiene mis(t ) = = K 2π r drdψdz ( ) 2 r 2 dψ r dz dr = 2π r 2 (2r 2r 3 ) dr = π. 2) Clcolre l integrle triplo (x 2 + yz) dxdydz, T dove T è l regione di R 3 delimitt dll sfer di centro l origine e rggio e dll fld superiore del cono di equzione x 2 + y 2 z 2 =. Utilizzndo coordinte sferiche il dominio T viene trsformto nel dominio K dto d K = {(r, θ, ψ) R 3 : r, θ π/4, ψ 2π}

28 24 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Tenuto conto che J = r 2 sin θ, si ottiene così (x 2 + yz) dxdydz = = = T π/4 ( 2π π/4 ( 2π π/4 ( ) (r 2 sin 2 θ cos 2 ψ + r 2 sin θ cos θ sin ψ)r 2 sin θ dr ( 5 sin3 θ cos 2 ψ + ) 5 sin2 θ cos θ sin ψ ( ) π 5 sin3 θ dθ = π 5 ) dψ dθ ) dψ dθ.8 Appliczioni degli integrli doppi e tripli Un importnte ppliczione degli integrli di funzioni di più vribili nsce dl più semplice modello mtemtico dei corpi fisici. to un corpo B ssumeremo che esso occupi un regione di spzio T R 3 chius, limitt e misurbile. Nel dominio T definimo un funzione positiv e continu µ : T R dett densità di mss. efinimo mss di B l quntità m(b) = µ(x) dx. Tle definizione soddisf le proprietà elementri del concetto fisico di mss di un corpo, quli l positività e l dditività. Si definisce centro di mss o bricentro di B il punto x G R 3, dto d T µ(x) x dx x G (B) = T T µ(x) dx = m(b) T µ(x) x dx.

29 .8. APPLICAZIONI EGLI INTEGRALI OPPI E TRIPLI 25 In componenti si h x G = µ(x, y, z) x dxdydz, m T y G = µ(x, y, z) y dxdydz, m T z G = µ(x, y, z) z dxdydz. m T Se un delle tre dimensioni spzili del corpo h misur trscurbile rispetto lle ltre, si può definire un funzione densità superficile di mss µ : S R dove S è l superficie occupt dl corpo. L mss di B srà dt llor dll integrle di superficie m(b) = µ(x) ds. Nel cso pino, detto il dominio occupto dl corpo, si vrà µ : R e m(b) = µ(x, y) dxdy. S Il bricentro di un corpo pino srà dto d x G = µ(x, y) x dxdy, y G = µ(x, y) y dxdy. m m Se poi il corpo omogeneo, l densità srà un costnte e l mss del corpo srà dt dll misur dell regione di spzio o di superficie moltiplict per tle costnte. In questo cso il bricentro è dto d x G (B) = x dxdydz, x G (B) = x dxdy mis(t ) T mis() rispettivmente nel cso tridimensionle e bidimensionle. Esempi ) Clcolre l mss e il bricentro del cilindro T = {x R 3 : x 2 + y 2 R 2, z z } di z densità µ(x) = µ z+z in T. ll definizione, fcendo uso di coordinte cilindriche, si h m = T 2π µ(x) dx = µ dψ R r dr z Per l simmetri del problem si h x G = y G =, mentre z G = µ(x, y, z)z dxdydz = m T R 2 z π ln 2 = ln 2 [z z ln z + z ] z = z ln 2 ln 2. z z + z dz = µ R 2 z π ln 2. 2π dψ R z r dr zz z + z dz 2) Clcolre il bricentro di un lmin omogene form di semicerchio di rggio R. Considerimo un riferimento sull lmin pin con origine nel centro del semicerchio e sse x lungo il suo dimetro. Poichè l lmin è omogene, l funzione densità srà costnte, quindi, notndo che x G = e usndo coordinte polri, vremo y G = mis() y dxdy = 2 πr 2 π sin θ dθ R r 2 dr = 4R 3π.

30 26 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Il concetto di bricentro può essere sfruttto per il clcolo del volume dei solidi di rotzione. Considerimo un dominio limitto e misurbile nel pino y, z di un riferimento nello spzio tridimensionle e ssumimo y, (y, z). Fcendo ruotre ttorno ll sse z di un ngolo pri 2π rdinti, si gener un solido di rotzione T. Il dominio T si può trsformre trmite coordinte cilindriche K = {(r, ψ, z) R 3 : (r, z), ψ 2π}. Questo dominio risult normle rispetto l pino r, z e si h dunque 2π mis(t ) = dxdydz = dψ r drdz. T Poichè l coordint r in coincide con y in, si ottiene r drdz = y dydz. In bse ll definizione di bricentro di un corpo pino omogeneo, si h 2π mis(t ) = dψ y dydz = 2π mis() y G. Questo risultto è nche conosciuto come primo teorem di Guldino. Esempio Clcolre il volume di un toro T ottenuto ruotndo l circonferenz di centro C = (, y, ) e rggio R( y ). Il dominio che gener il toro h misur pri πr 2 e bricentro nel centro C dell circonferenz. i conseguenz l ppliczione dirett del primo teorem di Guldino fornisce mis(t ) = 2π(πR 2 )y = 2π 2 R 2 y.

31 .9. ERIVAZIONE SOTTO IL SEGNO I INTEGRALE 27 Considerimo un corpo B che occup un dominio in un pino riferito d un sistem di ssi crtesini x, y. ett µ(x, y) l densità superficile del corpo, si definisce momento di inerzi di B rispetto ll sse x, l quntità I x (B) = µ(x, y) y 2 dxdy. Anlogmente, si definisce il momento di inerzi di B rispetto ll sse y, l quntità I y (B) = µ(x, y) x 2 dxdy. Più in generle, considert un rett del pino, si definisce momento di inerzi del corpo B rispetto ll sse l quntità I (B) = µ(x) d 2 (x, ) dx, dove d(x, ) è l funzione distnz del generico punto x dll rett. I viene nche detto momento d inerzi ssile di B rispetto d. L definizione precedente vle nche nel cso di un corpo tridimensionle che occup un dominio T R 3, essendo un rett dello spzio. Esempio Clcolre il momento d inerzi ssile di un lmin omogene di mss m form di cerchio di rggio R e centro in (, ) rispetto ll sse di equzione y = x. L densità (costnte) dell lmin srà µ = pino dll rett è d = m πr 2. Poichè l distnz del generico punto del x y 2, utilizzndo coordinte polri, si ottiene, (x y ) 2 I = µ dxdy = m 2π R r 2 πr 2 dθ 2 (r cos θ r sin θ )2 dr = m 2π [ R 4 R2 2πR ] 2 R4 sin θ cos θ + 2 R3 (sin θ cos θ) dθ 3 = m 2π [ ] R 4 R2 2πR dθ = m (R )..9 erivzione sotto il segno di integrle Si f(x, y) un funzione continu in = [, b] [c, d]. Allor l funzione dell sol x d c f(x, y) dy risult continu in [, b]. Inftti, poichè f(x, ȳ) è continu per ogni ȳ [c, d], fissto un ε > e scelto un x [, b], si h f(x, ȳ) f(x, ȳ) < ε per ogni x tle che x x < δ(ε, ȳ). Per le proprietà degli integrli, si h d d d H(x, x ) = f(x, y) dy f(x, y) dy f(x, y) f(x, y) dy. c c c

32 28 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI Allor, considerto δ ε = infȳ [c,d] δ(ε, ȳ), si ottiene H(x, x ) < (d c)ε, x : x x < δ ε. In ltri termini si h lim x x H(x, x ) =, ovvero, l continuità di d c f(x, y) dy. Ftt quest premess, voglimo dimostrre che, se l funzione f mmette nche derivt przile rispetto x continu in, llor sussiste l seguente formul di derivzione sotto il segno di integrle, d dx d c f(x, y) dy = d c f (x, y) dy, x x [, b]. A tle scopo osservimo che, se si consider f come funzione dell sol x si h d cui x f x (τ, y) dτ = f(τ, y) x = f(x, y) f(, y), f(x, y) = x Integrndo rispetto y nell intervllo [c, d], bbimo d c f(x, y) dy = d x c f (τ, y) dτ + f(, y). x f (τ, y) dτdy + x d c f(, y) dy. M nell integrle doppio secondo membro si può scmbire l ordine di integrzione e quindi si h d x ( d ) f d f(x, y) dy = (τ, y) dy dτ + f(, y) dy. x c Per l continuità di f/ x, l funzione di τ d f (τ, y) dy, x c c risult continu e quindi, dll equzione precedente, derivndo rispetto x e pplicndo il teorem fondmentle del clcolo integrle, si ottiene d dx che è qunto volevmo dimostrre. Considerimo or l funzione d c f(x, y) dy = F (x, y, z) = z y d c c f (x, y) dy, x f(x, τ) dτ, dove f è continu con derivt f/ x continu. Fcendo ncor uso del teorem fondmentle del clcolo integrle, si ottiene F F (x, y, z) = f(x, y), y (x, y, z) = f(x, z). z Applichimo questi risultti l cso in cui y = α(x), z = β(x) sono funzioni derivbili e rigurdimo l funzione F (x, α(x), β(x)) = β(x) α(x) f(x, τ) dτ,

33 .9. ERIVAZIONE SOTTO IL SEGNO I INTEGRALE 29 come funzione compost. erivndo rispetto x e fcendo uso dell regol di derivzione delle funzioni composte, ottenimo, ovvero d dx d F F [x, α(x), β(x)] = [x, α(x), β(x)] dx x + F y [x, α(x), β(x)]α (x) + F z [x, α(x), β(x)]β (x), β(x) α(x) f(x, τ) dτ = β(x) α(x) f x (x, τ) dτ + β (x)f[x, β(x)] α (x)f[x, α(x)]. Quest ultim formul generlizz l precedente regol di derivzione sotto il segno di integrle. Esempio Clcolre l seguente derivt di integrle, d dx x+3 x (2x 2 y) dy, prim in modo diretto e poi usndo l regol di derivzione sotto segno di integrle. Nel primo modo si h { [ d 2x 2 y y2 dx 2 ] x+3 x } = d [ 2x 3 2x 2 x + dx 2 x2 5 2 x 9 ] = 6x 2 5x x + x Nel secondo cso, osservimo che sono soddisftte le condizioni per l pplicbilità dell regol di derivzione sotto segno di integrle e ottenimo d x+3 x+3 (2x 2 y) dy = 4x dy + 2x 2 x 3 dx x x 2 x (2x2 x) = 4x(x + 3 x) 2x 2 x 3 x x + 2 = 6x2 5x x + x 5 2.

34 3 CAPITOLO. INTEGRAZIONE ELLE FUNZIONI I PIÙ VARIABILI

35 Cpitolo 2 Integrli impropri L teori degli integrli definiti per le funzioni di un vribile er bst sull ipotesi che l intervllo di integrzione fosse finito e che l funzione d integrre fosse limitt. In lcuni csi è possibile definire integrli estesi domini non limitti oppure integrli di funzioni non limitte. 2. Integrli estesi d intervlli non limitti Si f(x) un funzione definit nell intervllo [, + ) e supponimo che per ogni b > ess risulti integrbile in [, b]. Voglimo dre senso ll scrittur + f(x) dx, detto integrle improprio di f in [, + ). Introdott l funzione I(b) = b f(x) dx considerimo il limite di I(b) per b +. Se tle limite esiste ed è finito, porremo + f(x) dx = b lim b + f(x) dx, e diremo che l integrle improprio di f converge. Se il suddetto limite non esiste, o non è finito, diremo che l integrle non converge (o diverge). Esempi ) to l integrle improprio si h b I = + + x 2 dx, dx = rctn b, + x2 d cui b lim b + + x 2 dx = π 2, quindi l integrle improprio I converge. 2) to l integrle improprio I = + x 2 + x 3 dx, 3

36 32 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI si h Ne segue che quindi I non è convergente. b x 2 + x 3 dx = ln b 2b b x 2 + lim b + x 3 dx = +. 3) to l integrle improprio si h d cui I = b b lim b + + cos x dx, cos x dx = sin b, cos x dx = lim sin b. b + M quest ultimo limite non esiste quindi I non è convergente. 4) Considerimo l integrle improprio I = + x α dx, con R ++ e studimo il b lim b + x α dx, l vrire di α. Osservimo innnzitutto che per α = l integrle diverge. Considerimo llor α. Si h d cui, b b α dx = xα α α α, { b α lim b + x α dx = α, se α > +, se α <. Ne segue che I converge per α > e diverge per α. ll definizione di integrle improprio segue che se i due integrli + f(x) dx e + g(x) dx convergono, llor, per ogni coppi di numeri λ e µ, l integrle improprio + [λf(x) + µg(x)] dx, converge. L dimostrzione di quest proprietà segue dll osservre che b [λf(x) + µg(x)] dx = λ b f(x) dx + µ b g(x) dx.

37 2.. INTEGRALI ESTESI A INTERVALLI NON LIMITATI 33 Poichè i due integrli secondo membro mmettono limite per b +, nche il primo membro mmetterà limite e si vrà + [λf(x) + µg(x)] dx = λ + f(x) dx + µ + g(x) dx. Per gli integrli impropri vle nche l regol di integrzione per prti. Se f e g sono funzioni con derivte continue in [, + ), sussiste l formul + f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] + + purchè due dei tre termini presenti in quest formul bbino senso. Esempio Clcolre, se risult convergente, il seguente integrle improprio I n = + x n e x dx, essendo n N. Medinte un integrzione per prti si h b Pssndo l limite per b + si ottiene f (x)g(x) dx, x n e x dx = [ x n e x] b b + n x n e x dx. I n = ni n. Ripplicndo successive integrzioni per prti ricvimo I n = n(n )(n 2)...2 I = n!i. L integrle I n risult llor convergente se lo è l integrle I. Poichè I = b lim b + concludimo che I n è convergente e vle e x dx = I n = n!. [ lim e x ] b b + =, Non sempre è possibile stbilire se un integrle improprio è convergente o meno, fcendo uso dell definizione. È tuttvi possibile dimostrre lcuni criteri sufficienti per l convergenz degli integrli impropri. Considereremo qui i più importnti. Teorem 2. Sino f(x) e g(x) due funzioni integrbili in [, b], per qulunque b > e supponimo che f(x) g(x) per ogni x. Allor, se + g(x)dx converge, nche + f(x) dx converge, mentre se + f(x) dx diverge, llor diverge nche + g(x) dx.

38 34 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI im. Supponimo che + g(x) dx converg. Posto I(b) = b f(x) dx, J(b) = b g(x) dx, d un not proprietà degli integrli, per b > si h I(b) J(b). Inoltre, essendo f(x) per x, l funzione I(b) risult non decrescente in [, + ). ltr prte, poichè J(b) mmette limite finito per b +, dll diseguglinz precedente risult che I(b) è limitt superiormente. Ne segue che I(b) converge per b +. L second prte del teorem segue immeditmente dll prim. Inftti, se per ipotesi + f(x) dx diverge, + g(x) dx non può convergere senz contrddire l ipotesi. Esempio Studire l convergenz dell integrle Poichè si h ed essendo + < I = + e x + x 2 + cos 2 x dx. e x + x 2 + cos 2 x, x [, + ), + x2 +x 2 dx convergente, in forz del teorem 2., si ottiene l convergenz di I. Teorem 2.2 Sino f(x) e g(x) integrbili in [, b], per qulunque b e non negtive in [, + ). Supponimo che esist un x tle che, per x > x si g(x) >. Allor, se ccde che f(x) lim x + g(x) = k >, l convergenz (o l divergenz) di + f(x) dx implic l convergenz (o l divergenz) di + g(x) dx e vicevers. im. ll definizione di limite segue che, ε > x ε : k ε < f(x) g(x) < k + ε, x > x ε. Preso x > x = mx(x ε, x) si h g(x) strettmente positiv, quindi scegliendo ε < k, si può scrivere < g(x)(k ε) < f(x) < g(x)(k + ε). Se + x g(x) dx converge, convergerà nche + x (k + ε)g(x) dx e, per il teorem 2., converge nche + x f(x) dx. Vicevers, se + x f(x) dx converge, llor + x (k ε)g(x) dx converge e quindi + x g(x) dx converge. Anlogmente, l divergenz di uno dei due integrli implic l divergenz dell ltro. Notimo infine che se, per x >, l integrle + f(x) dx converge (diverge), llor nche + f(x) dx converge (diverge) in qunto i due integrli differiscono per un numero finito. Esempio Stbilire l ntur dell integrle improprio + 2x 2 + x 3 + 3x + 4 dx. x

39 2.. INTEGRALI ESTESI A INTERVALLI NON LIMITATI 35 Osservimo che l integrndo è un infinitesimo dello stesso ordine di x per x +, e si h lim x + 2x 2 + x 3 +3x+4 x = 2 >. l teorem 2.2 segue che l integrle di prtenz si comport come l integrle improprio + x dx, il qule è divergente. Sempre fcendo uso del teorem 2., si può provre fcilmente il seguente risultto di cui omettimo, per brevità, l dimostrzione. Teorem 2.3 Si f(x) integrbile in [, b] per qulunque b >. Supponimo che esist un x > tle che x > x, f(x) M x α, essendo M > e α >. Allor + f(x) dx converge. Se invece, per x > x si h f(x) M x, essendo sempre M >, llor + f(x) dx diverge. Esempio Studire l ntur dell integrle Poichè si può scrivere I = + 3 x 2 x 3 + x 2 + 2x + 5 dx. x 2 x 3 + x 2 + 2x + 5 = x 2 x 2 (x 2) + 3x 2 + 2x + 5 < x 2, per il teorem 2.3 si h l convergenz di I. Si dice che l integrle improprio + f(x) dx è ssolutmente convergente se è convergente l integrle + f(x) dx. Si dimostr fcilmente che ogni integrle improprio ssolutmente convergente è convergente mentre, in generle, non vle il vicevers. Esempi ) Verificre che l integrle è ssolutmente convergente. I = + cos x x 2 dx,

40 36 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI Poichè si h cos x, per ogni x R, medinte il teorem 2.3 concludimo che I è ssolutmente x 2 x 2 convergente. 2) Verificre che l integrle improprio I = + sin x x è convergente m non è ssolutmente convergente. Medinte un integrzione per prti si h + sin x [ x dx = cos x x ] + dx, + cos x + cos x x 2 dx = cos x 2 dx. Poichè l integrle ll ultimo membro è ssolutmente convergente, esso srà nche convergente e quindi I è convergente. Si può verificre in modo simile che + cos x x dx converge. Considerimo or l integrle + sin x Ī = dx. x Poichè si h sin x sin 2 x = b sin x x dx cos 2x 2, si ottiene b cos 2x 2x dx = b b 2x dx cos 2x 2x dx. Prendendo il limite per b + si riconosce che il primo integrle secondo membro diverge mentre il secondo converge. Quindi Ī diverge. 2.2 Integrli di funzioni non limitte Considerimo un funzione f(x) definit in [, b) e integrbile in [, b ɛ] essendo ɛ un numero positivo piccolo picere. Supponimo che f(x) si non limitt in (b ɛ, b). Chimeremo I = b f(x) dx, integrle improprio di f(x) in [, b]. Introdott l funzione di ɛ I(ɛ) = b ɛ f(x) dx, diremo che l integrle improprio I è convergente se esiste ed è finito il lim I(ɛ) = lim ɛ + ɛ + b ɛ f(x) dx. Se tle limite non esiste o non è finito, diremo che I è divergente. Anlogmente, se f(x) definit in (, b] è integrbile in [ + ɛ, b] e non limitt in (, + ɛ), diremo che I è convergente se esiste ed è finito il b lim f(x) dx, ɛ + +ɛ

41 2.2. INTEGRALI I FUNZIONI NON LIMITATE 37 ltrimenti diremo che I è divergente. Si può nche vere il cso in cui f(x) si definit in [, b] escluso un punto interno c e si f(x) integrbile in [, c ɛ] e in [c + ɛ, b], mentre risulti non limitt in (c ɛ, c + ɛ). In tl cso si pone b qulor il limite esist e si finito. Esempi ) Considerimo l integrle improprio [ c ɛ b ] f(x) dx = lim f(x) dx + f(x) dx, ɛ + c+ɛ 2 x dx. Posto I(ɛ) = 2 +ɛ x dx, si h I(ɛ) = [ 2 x ] 2 +ɛ = 2 2 ɛ, d cui, pssndo l limite per ɛ +, ottenimo 2 dx = 2. x Osservimo che questo integrle improprio può essere nche ricondotto d un integrle ordinrio medinte l sostituzione x = t. Si h inftti, 2 2t dx = x t dt = 2 dt = 2. 2) Studire l convergenz dell integrle improprio I = b x α dx, l vrire di α R. ll definizione, per α, bbimo b b [ ] x α b [ ] b α dx = lim dx = lim = lim xα ɛ + ɛ xα ɛ + α ɛ ɛ + α ɛ α. α Tle limite è finito se α < mentre è infinito se α >. Se α = si h b ɛ x dx = [ln x]b ɛ = ln b ln ɛ. Per ɛ + si ottiene un limite infinito. Concludimo che I è convergente per α < e divergente per α. Come nel cso degli integrli estesi d intervlli non limitti, si possono ricvre lcune condizioni sufficienti per l convergenz (o l divergenz) degli integrli di funzioni non limitte. Enunceremo tli risultti senz dimostrrli.

42 38 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI Teorem 2.4 Sino f(x) e g(x) integrbili in [, b ɛ] e non limitte in (b ɛ, b) e tli che f(x) g(x) in [, b). Allor l convergenz di b g(x) dx implic l convergenz di b f(x) dx e l divergenz di b f(x) dx implic l divergenz di b g(x) dx. Teorem 2.5 Sino f(x) e g(x) positive e integrbili in [, b ɛ], non limitte in (b ɛ, b) e tli che f(x) lim x b g(x) = k >. Allor gli integrli impropri b f(x) dx e b g(x) dx sono mbedue convergenti o mbedue divergenti. Si dice che l integrle improprio b f(x) dx è ssolutmente convergente se l integrle b f(x) dx è convergente. Si dimostr nche in questo cso che se un integrle improprio è ssolutmente convergente llor è convergente. Teorem 2.6 (Criterio di Cuchy). Si f(x) continu in [, b) e non limitt in (b ɛ, b). Se esiste un M > ed un α < tli che f(x) M, x (b ɛ, b), (b x) α llor l integrle b f(x) dx è ssolutmente convergente. Se invece esiste un M > ed un α tli che M f(x), x (b ɛ, b), (b x) α llor l integrle b f(x) dx è divergente. 2.3 Integrli impropri di funzioni di più vribili Il concetto di integrzione in domini non limitti o di funzioni non limitte si può estendere l cso di funzioni di più vribili. Per semplicità considerimo qui il cso delle funzioni di due vribili. Si R 2 un dominio non necessrimente limitto ed f(x, y) un funzione non necessrimente limitt in. Voglimo dre un senso ll scrittur f(x, y) dxdy, che chimeremo integrle improprio di f in. Supponimo che esist un successione di domini contenuti in, limitti e misurbili { n } tli che n n+ per ogni n N. Supponimo inoltre che lim n mis( n ) = mis(), essendo mis() l estremo superiore delle intersezioni di con un qulunque cerchio. Se f(x, y) è integrbile in n per qulsisi n, e se esiste ed è finito il lim f(x, y) dxdy, n n indipendentemente dll scelt dell successione { n }, llor diremo che l integrle improprio di f in è convergente e scriveremo f(x, y) dxdy = lim f(x, y) dxdy n n

43 2.4. ESEMPI I CALCOLO I INTEGRALI IMPROPRI 39 Esempi ) Stbilire se l integrle improprio x 2 + y dxdy, con = {(x, y) 2 R2 : x 2 + y 2 } è convergente. L funzione f non è limitt in un intorno dell origine. Considerimo llor l successione di domini { n } con n = {(x, y) R 2 : n 2 x2 + y 2 }. In n l funzione f è integrbile e si h ( 2π ) ( x 2 + y dxdy = 2 ρ ρ dρ dθ = 2π ). n n pssndo l limite, si trov che l integrle improprio converge e si h dxdy = lim dxdy = 2π. x 2 + y2 n n x 2 + y2 n 2) Stbilire se l integrle improprio I = R 2 (x 2 + y 2 + ) 2 dxdy, converge. Il dominio non è limitto e h misur infinit. Considerimo l successione di domini limitti { n } dove n = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 n 2 }. Si h n (x 2 + y 2 + ) 2 dxdy = 2π ( n ) ( ρdρ (ρ 2 + ) 2 dθ = π ) n 2. + Pssndo l limite per n si ottiene l convergenz e il risultto I = π. 2.4 Esempi di clcolo di integrli impropri Considerimo qui lcuni esempi notevoli di integrli impropri il cui clcolo richiede tecniche prticolri. ) Clcolre l integrle I = Osservimo che si può sempre scrivere I 2 = + + e x2 dx e x2 dx. + e y2 dy.

44 4 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI ltr prte + e x2 dx + e y2 dy = e (x2 +y 2) dxdy, dove è il dominio non limitto rppresentto dll intero primo qudrnte. Per clcolre questo integrle doppio improprio considerimo l successione di domini n = {(x, y) R + R + : x 2 + y 2 n 2 }. Ottenimo π ( e (x2 +y2) 2 n ) dxdy = e ρ2 ρdρ dθ = π n 4 ( e n2 + ). d cui pssndo l limite per n si h, I 2 = π 4. Si ottiene così + e x2 dx = π 2. 2) Clcolre, se converge, l integrle improprio Introducimo l integrle usilirio I(β) = I(α, β) = + + sin βx x dx. αx sin βx e dx, x dove α >. Come vedremo tr poco, questo integrle converge e si può quindi considerre I(α, β) come un funzione di β. L funzione integrnd, penst come funzione di β e x risult continu in tutto il primo qudrnte esclus l origine, e mmette derivt przile rispetto β continu. Utilizzndo l regol di derivzione sotto il segno di integrle, bbimo I(α, β) β = + β Medinte un integrzione per prti si h b e αx cos βx dx = ( e Prendendo il limite per b + si ottiene llor ) αx sin βx dx = x + e αx cos βx dx. α 2 + β 2 [α + (β sin b α cos βb)e αb ]. I(α, β) β = α α 2 + β 2. ltr prte I(α, β) β= =. A questo punto integrimo rispetto β, ottenendo α I(α, β) = α 2 + β 2 dβ = rctn β α + c. Imponendo l condizione I(α, ) =, ottenimo c =. Per l continuità di I(α, β) l integrle I(β) si ottiene come limite di I(α, β) per α +. Si h π I(β) = lim rctn β 2 per β > α + α = per β = π 2 per β <.

45 2.4. ESEMPI I CALCOLO I INTEGRALI IMPROPRI 4 3) Clcolre, se converge, l integrle improprio essendo α >. Considerimo l integrle I(α, β) = I b (β) = + b e αx2 cos βx dx e αx2 cos βx dx, dove α h il ruolo di un prmetro. erivndo ottenimo di b (β) dβ Medinte un integrzione per prti, si h di b (β) dβ = 2α e αb2 sin βb β 2α = b b e αx2 sin βx x dx. e αx2 cos βx dx = 2α e αb2 sin βb β 2α I b(β). Quest ultim eguglinz può essere vist come un equzione differenzile del primo ordine per l funzione I b (β). L integrle generle di quest equzione è ( ) I b (β) = Ce β2 β 4α + 2αb e αb2 sin βb cos βb. 2α Pssndo l limite per b + si ricv I(α, β) = lim I b(β) = Ce β b + Per determinre l costnte di integrzione C, osservimo che, dl risultto dell esempio ), + I(α, ) = e αx2 dx = + e y2 dy = π α 2 α. L integrle improprio I(α, β) risult quindi convergente e si h + e αx2 cos βx dx = π 2 2 4α. β 2 α e 4α.

46 42 CAPITOLO 2. INTEGRALI IMPROPRI

47 Cpitolo 3 Forme differenzili 3. Integrli di line Si x = ˆx(t) l rppresentzione prmetric di un curv regolre γ definit per t [, b]. Nell introdurre l sciss curviline s su γ stbilimo un verso di percorrenz, cioè il verso lungo il qule cresce s. Scrivimo llor s(t) = ± t ˆx (τ) dτ, dove vle il segno (+) se il verso di percorrenz è concorde ll crescit del prmetro t, mentre vle il segno ( ) se il verso scelto è quello lungo il qule decresce t. Chimimo P e P b i punti di γ corrispondenti t = e t = b e chimimo L l lunghezz di γ tr P e P b. Sppimo che l curv può essere rppresentt medinte l su sciss curviline nell form x = x(s) e che tle rppresentzione è regolre. Si f(x) un funzione continu in un sottoinsieme A di R 3 contenente l curv γ. L restrizione f γ di f ll curv γ può essere espress come l funzione compost f γ = f( x(s)). efinimo integrle di line di f lungo γ, d P P b, l quntità L f(x) dl = f( x(s)) ds. γ(p P b ) Tenuto conto dell definizione di s, l ultimo integrle si può esprimere in termini del prmetro t. Scegliendo verso concorde tr s e t bbimo b f(x) dl = f(ˆx(t)) ˆx (t) dt. γ(p P b ) In prticolre, se considerimo un curv pin in form crtesin y = φ(x), x [, b], si h γ(p P b ) f(x) dl = b f(x, φ(x)) + (φ (x)) 2 dx. Osservimo che, se invertimo il verso di percorrenz lungo γ, bbimo ds = ˆx (t) dt e quindi γ(p b P ) f(x) dl = b f(ˆx(t)) ˆx (t) dt = b f(ˆx(t)) ˆx (t) dt. Ne segue che l integrle curvilineo di un funzione non dipende dl verso di percorrenz dell curv. 43

48 44 CAPITOLO 3. FORME IFFERENZIALI Un semplice ppliczione dell integrle di line rigurd il clcolo dell mss e del bricentro di un corpo B filiforme con densità di mss linere µ(x). In tl cso si definisce l mss come m(b) = γ µ(x)dl, essendo γ l curv regolre occupt dl corpo. Il bricentro di B è dto d x G = m γ xµ(x) dl, y G = m γ yµ(x) dl, z G = m γ zµ(x) dl. Se il corpo B è omogeneo, l su densità srà costnte e si vrà m = µl, dove L è l lunghezz dell curv γ. Le formule per il clcolo del bricentro si ridurrnno llor Esempi x G = L γ x dl, y G = L γ y dl, z G = L ) eterminre l mss di un rco AB di curv mterile di equzione crtesin y = ln x, con A = (, ), B = (3, ln 3), nel pino, spendo che l su densità di mss è proporzionle l qudrto dell sciss in ogni suo punto. Poichè in tl cso il prmetro è x, esprimendo l densità di mss nell form µ = µ x 2, con x [, 3], si ottiene m = γ µ(x) dl = = µ 3 (x2 + ) µ x 2 + x 2 dx = µ = µ 3 ( 2 2). 3 γ z dl. x x 2 + dx 2) Clcolre il bricentro di un rco di circonferenz mterile omogeneo, di equzioni prmetriche x = r cos t y = r sin t α t α. z = In questo cso si h µ(x) = µ = m/l, d cui x G = xµ(x) dl = m γ L γ x dl, ed essendo L = 2αr, x G = α 2αr y G = 2αr α α α r cos t r dt = r sin α α, r sin t r dt =, z G =.

49 3.2. INTEGRALI I FORME IFFERENZIALI 45 Il concetto di bricentro di un curv pin, può essere sfruttto per il clcolo dell re delle superfici di rotzione. Considerimo un rco γ di curv regolre sul pino yz di un riferimento crtesino nello spzio. Supponimo che γ non intersechi l sse z e che si dt nell form crtesin { y = η(z) z [, b]. z = z, Voglimo clcolre l re dell superficie S che si ottiene ruotndo γ ttorno ll sse z di un ngolo di 2π rdinti. Le equzioni prmetriche dell superficie di rotzione srnno x = η(z) sin ψ y = η(z) cos ψ (z, ψ) = [, b] [, 2π[. z = z, Usndo l formul per il clcolo dell re di un superficie, si vrà 2π b A S (S) = φ z φ ψ dzdψ = dψ η(z) + (η (z)) 2 dz = 2π dove l ultim eguglinz segue dll definizione di integrle di line di un curv pin in form crtesin. Poichè si h y G = L η dl, essendo L l lunghezz dell curv, ricvimo γ A S (S) = 2πy G L. Questo risultto è nche conosciuto come secondo teorem di Guldino. 3.2 Integrli di forme differenzili Si f : A R 3 R 3 un funzione vettorile continu. ette P (x), Q(x), R(x) le componenti di f, si dice form differenzile linere, l espressione ω = P (x)dx + Q(x)dy + R(x)dz. γ η dl.

50 46 CAPITOLO 3. FORME IFFERENZIALI Più sinteticmente, denotto con dx il vettore di componenti dx, dy, dz, si può scrivere ω = f(x) dx. Considert l curv regolre γ di equzione prmetric x = ˆx(t), con t [, b] e supposto che γ si tutt contenut in A, diremo integrle di line dell form differenzile linere ω l quntità ω = f(x) dx, definit d γ(p P b ) f(x) dx = b γ γ(p P b ) [P (ˆx(t))ˆx (t) + Q(ˆx(t))ŷ (t) + R(ˆx(t))ẑ (t)] dt, dove P e P b sono i punti estremi dell curv γ in corrispondenz i vlori e b del prmetro t. Esempi ) Clcolre l integrle di line x = t 2 yzdx + xzdy + xydz, con γ : y = t + γ z = t 3, t [, ]. ll definizione bbimo [(t + )t 3 2t + t 5 + t 2 (t + )3t 2 ] dt = (6t 5 + 5t 4 ) dt = 2. 2) Clcolre l integrle di line γ x dy y dx, lungo l rco di prbol y = x 2 d P = (, ) P b = (, ). Si può considerre x come il prmetro dell curv pin γ. Si ottiene così x dy = 2x 2 dx, d cui x dy y dx = 2x 2 dx x 2 dx = x 2 dx = 3. γ Esiste un legme tr l integrle di line di un form differenzile f dx e l integrle di line definito l prgrfo precedente. Osservimo inftti che, introdott l rppresentzione x = x(s) di γ si h dx = x (s) ds = t(s) ds, dove t è il versore tngente ll curv. Si può llor scrivere L ω = f( x(s)) t(s) ds. γ Quindi l integrle dell form differenzile f dx lungo γ corrisponde ll integrle di line dell funzione sclre f(x) t(x) su γ. È importnte notre che se si cmbi il verso di percorrenz su γ, il versore t cmbierà verso, dovendo mntenere sempre il verso delle s crescenti. i conseguenz si vrà L L f(x) dx = f(x) ( t(x))ds = f(x) t(x)ds = f(x) dx. γ(p b P ) γ(p P b )

51 3.3. FORME IFFERENZIALI ESATTE E CAMPI CONSERVATIVI 47 Ne segue che, contrrimente qunto ccde nell integrle di line di un funzione f(x), cmbindo il verso di percorrenz su γ, l integrle dell form differenzile cmbi segno. Si dice cmpo vettorile tridimensionle un funzione vettorile F : A R 3 E 3, continu, che d ogni punto dell regione A ssoci un vettore dello spzio euclideo E 3. Scelt un bse in E 3, denotimo con F (x), F 2 (x), F 3 (x) le componenti di F(x). Un esempio di cmpo vettorile è il cmpo grvitzionle generto d un mss puntiforme M situt nel punto x, ovvero, posto x = (x, y, z ), F(x) = GM x x 3 (x x ), F = GM x x 3 (x x ) F 2 = GM x x 3 (y y ) F 3 = GM x x 3 (z z ), dove G è l costnte di grvitzione universle. L forz di grvità esercitt dl cmpo F su un mss puntiforme m è dt d f = mf. In meccnic, dt un forz f(x) si definisce lvoro elementre di f, l form differenzile dl = f dx. t un curv regolre γ di equzione x = ˆx(t), con t [, b] ed estremi P, P b, si definisce lvoro compiuto d f nello spostmento d P P b lungo γ l integrle di line dell form differenzile dl, ovvero, L = dl = f(x) dx. Esempio γ(p P b ) γ(p P b ) Clcolre il lvoro compiuto dl cmpo grvitzionle F(x) sull mss m lungo l rco γ di rett di equzione x = x + vt, (t > ), essendo v un versore fissto, pssndo dl punto P (t = ) l punto P b (t = b). L forz è dt d f = mf e si h L = mf(x) dx = GMm γ(p P b ) b ( t dt = GMm t3 b ). Osservimo che scmbindo P con P b il lvoro compiuto dl cmpo F cmbi segno. 3.3 Forme differenzili estte e cmpi conservtivi Si F : A R 3 E 3 un cmpo vettorile di componenti F (x), F 2 (x), F 3 (x). Supponimo che esist un funzione sclre U(x), continu insieme lle sue derivte przili prime in A e tle che In ltri termini supponimo che F(x) = U(x), x A. F (x) = U x (x), F 2(x) = U y (x), F 3(x) = U z (x),

52 48 CAPITOLO 3. FORME IFFERENZIALI in tutto A. In questo cso si dice che F è un cmpo conservtivo in A e l funzione U viene dett potenzile di F. Un importnte proprietà dei cmpi conservtivi è che l integrle dell loro form differenzile lungo un curv γ d P P b non dipende dll prticolre curv γ m di soli punti P e P b. Per dimostrre quest proprietà scrivimo le equzioni prmetriche di γ x = ˆx(t) y = ŷ(t) t [, b], z = ẑ(t) e considerimo l integrle su γ dell form differenzile di F. Si h F(x) dx = F (x)dx + F 2 (x)dy + F 3 (x)dz γ(p P b ) = = γ(p P b ) γ(p P b ) b U x U U (x)dx + (x)dy + y z (x)dz [ U x (t)ˆx (t) + U y (t)ŷ (t) + U z (t)ẑ (t) Usndo l regol di derivzione delle funzioni composte, ottenimo γ(p P b ) F(x) dx = b ] dt. { } d U[ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t)] dt = U(x b ) U(x ), dt dove bbimo usto l formul fondmentle del clcolo integrle e dove x = (ˆx(), ŷ(), ẑ()), x b = (ˆx(b), ŷ(b), ẑ(b)). Il risultto ottenuto stbilisce che l integrle dell form differenzile di un cmpo conservtivo è dto dll differenz dei vlori ssunti dll funzione potenzile in P b e in P. Esso non dipende dunque dll prticolre curv che unisce P con P b. L form differenzile di un cmpo conservtivo si dice form differenzile linere estt. In generle, l form differenzile ω = P (x)dx + Q(x)dy + R(x)dz, è estt qundo le singole funzioni P, Q ed R sono esprimibili come le derivte przili rispetto x, y e z di un unic funzione sclre U(x). Osservimo che se U(x) è un funzione potenzile per un cmpo conservtivo F, llor nche l funzione Ū(x) = U(x) + k, con k costnte, è un potenzile per F. Inftti le due funzioni U e Ū hnno lo stesso grdiente. Inoltre l integrle dell form differenzile di F rimne inlterto sostituendo U con Ū in qunto Ū(x b ) Ū(x ) = U(x b ) + k U(x ) k = U(x b ) U(x ). ll definizione di lvoro bbimo poi che se F è un cmpo di forze conservtivo, il lvoro compiuto d F nello spostmento d P P b è ugule ll differenz U(x b ) U(x ), essendo U(x) il potenzile del cmpo. Esempi ) Il cmpo grvitzionle generto dll mss M post in x F(x) = GM x x 3 (x x ),

53 3.3. FORME IFFERENZIALI ESATTE E CAMPI CONSERVATIVI 49 è conservtivo. Verifichimo che F mmette il potenzile U(x) = GM x x. Clcolimo il grdiente di U. Considerndo U come funzione compost U = g f dove f(x) = x x 2 e g(t) = GM t. Fcendo uso dell regol di derivzione delle funzioni composte e spendo che x x 2 = 2(x x ) ottenimo GM U(x) = 2 x x 3 x x 2 = GM x x 3 (x x ). Applicndo questo risultto l clcolo del lvoro ftto dl cmpo F per spostre l mss m d x = x + v x b = x + vb lungo un qulsisi curv regolre γ congiungente P con P b, bbimo L = mf(x) dx = m[u(x b ) U(x )] γ(p P b ) ( ) = GMm x b x x x ( = GMm b ), che coincide con il risultto del clcolo del lvoro di un cmpo grvitzionle, trovto ll fine del prgrfo precedente. 2) t l form differenzile ω = (x + y)dx + (y x)dy, voglimo clcolrne l integrle di line tr i punti P = (, ) e P 2 = (, ) lungo due diverse curve γ e γ 2. Supponimo che γ si un rco di rett e che γ 2 si un rco di circonferenz di centro (, ). Nel primo cso bbimo { x = t γ : t [, ], y = t d cui Nel secondo cso bbimo d cui γ 2 ω = = γ ω = π/2 = π/2 γ 2 : [( t + t)( ) + (t + t)()] dt [ t 2 (2t 2) dt = 2 2 t { x = cos t y = sin t, ] t [, π/2], =. [(cos t + sin t)( sin t) + (sin t cos t)(cos t)] dt ( ) dt = π 2. In questo esempio l integrle dell form differenzile ω dipende dll curv γ, quindi ω non è un form differenzile estt.

54 5 CAPITOLO 3. FORME IFFERENZIALI Riprenderemo in seguito il problem delle condizioni necessrie e sufficienti ffinchè un cmpo si conservtivo ovvero ffinchè un form differenzile si estt, e stbiliremo un metodo per clcolre l funzione potenzile. 3.4 Formul di Green Considerimo un insieme R 2 connesso, l cui frontier si costituit d un o più curve regolri trtti. Si dice che è semplicemente connesso se ogni curv regolre trtti chius, contenut in è l frontier di un insieme contenuto in. L frontier di un insieme semplicemente connesso è costituit d un sol curv chius, regolre trtti. Insiemi connessi l cui frontier è costituit d più curve chiuse si dirnno molteplicemente connessi (vedi figur). Sull frontier di un insieme connesso stbilimo un verso di percorrenz. Per esempio converremo di percorrere l curv mntenendo sempre sinistr i punti interni di (vedi figur). iremo nche che l frontier è orientt. Si F(x) = F (x, y)e +F 2 (x, y)e 2 un cmpo vettorile definito in connesso. Sotto opportune ipotesi è possibile stbilire un legme tr l integrle di line dell form differenzile di F esteso ll frontier di e un integrle doppio esteso. Teorem 3. (di Green). Sino P (x, y) e Q(x, y) due funzioni di clsse C definite in un insieme connesso l cui frontier, orientt, è costituit d curve regolri trtti. Si h ( Q P (x, y)dx + Q(x, y)dy = x P ) dxdy, y dove il simbolo st d indicre l integrle di line su un o più curve chiuse, second che si semplicemente o molteplicemente connesso. im. imostrimo il teorem nel cso più semplice, in cui è un dominio semplicemente connesso, normle rispetto gli ssi coordinti. Questo ci consente di dimostrre seprtmente le uguglinze P P (x, y) dx = y dxdy, Q Q(x, y) dy = x dxdy.

55 3.4. FORMULA I GREEN 5 Prtimo dll prim. Considerimo come normle rispetto ll sse delle x e dividimo l frontier in due prti e 2, corrispondenti i grfici delle funzioni y = α(x) e y = β(x), definite nell intervllo [, b]. Allor si vrà P (x, y) dx = P (x, y) dx + P (x, y) dx. 2 Fcendo uso dell definizione di integrle di line di un form differenzile, considerto x come il prmetro su e 2, vremo b P (x, y) dx = P (x, α(x)) dx + P (x, β(x)) dx = b [P (x, β(x)) P (x, α(x))] dx. Osservimo or che, per ipotesi, P/ y è continu in e, comunque scelto un x [, b], ess, come funzione di y, risult integrbile. In prticolre, per il teorem fondmentle del clcolo integrle, si h β(x) P dy = P (x, β(x)) P (x, α(x)), y α(x) per ogni x [, b]. Integrndo quest ultim eguglinz tr e b e confrontndo con l eguglinz precedente, ottenimo b β(x) P P (x, y) dx = dx α(x) y dy. M per l formul di riduzione degli integrli doppi, il secondo membro di quest ultim equzione è proprio l integrle doppio di P/ y esteso l dominio, ovvero si h P P (x, y) dx = y dxdy. L dimostrzione dell second prte del teorem si ottiene in modo perfettmente nlogo ll prim, considerndo il dominio come normle rispetto l sse y e sfruttndo l continuità dell funzione Q/ x. Mettendo insieme i due risultti si ottiene l tesi. Osservzione. Il teorem di Green può essere dimostrto nel cso di un generico dominio semplicemente connesso. L su estensione l cso di domini molteplicemente connessi può essere giustifict dl seguente rgionmento. Considerimo un dominio doppimente connesso (vedi figur) e effettuimo un tglio medinte un curv regolre γ che connett un punto A dell frontier estern γ con un punto B dell frontier intern γ 2. In questo modo ottenimo un dominio semplicemente connesso che differisce d per l insieme dei punti corrispondenti l tglio, cioè per un insieme di misur null. Quindi ( Q x P ) ( Q dxdy = y x P ) dxdy. y Inoltre, per le proprietà degli integrli di line delle forme differenzili, si h P dx + Qdy = P dx + Qdy = γ γ 2 γ(ab) γ(ba) P dx + Qdy + P dx + Qdy P dx + Qdy = P dx + Qdy. γ(ab) γ(ab) b

56 52 CAPITOLO 3. FORME IFFERENZIALI Questo rgionmento si può ripetere per un qulunque molteplicità di connessione di. Il teorem di Green può essere sfruttto per il clcolo dell misur di domini pini. A questo scopo bst osservre che, scelte P (x, y) = y e Q(x, y) = x si h ydx + xdy = 2 dxdy = 2 mis(). L misur di un dominio pino si può quindi clcolre medinte un integrle di line, secondo l formul mis() = xdy ydx. 2 Esempio Clcolre l re dell regione pin E rcchius dll ellisse di equzione x2 formul del teorem di Green. In form prmetric, l ellisse h equzioni { x = cos t γ : y = b sin t, t 2π. + y2 2 b 2 =, usndo l Si ottiene così A S (E) = xdy ydx = 2 γ 2 2π (b cos 2 t + b sin 2 t) dt = πb.

57 Cpitolo 4 Anlisi vettorile 4. Linee di un cmpo vettorile Si F(x) un cmpo vettorile definito in un insieme A R 3 e supponimo che le sue componenti F (x), F 2 (x), F 3 (x) bbino derivte przili prime limitte in A. È possibile dre un rppresentzione geometric di F(x) medinte le cosiddette linee vettorili, o linee di cmpo di F. Si definisce line di cmpo di F un curv C tle che il vettore F si tngente C in ogni suo punto. È ovvio che per un dto punto di A pss un ed un sol line di cmpo e che tle line non può vere nodi. Inoltre, poichè F è un funzione vettorile continu, nei punti in cui F è diverso d zero, il suo versore risult un funzione vettorile continu. M il versore di F in un punto x, coincide, meno del segno, con il versore tngente ll line di cmpo in x. Ne segue che un line di cmpo è un curv regolre trtti. Si x = ˆx(t) un rppresentzione prmetric di un line di cmpo C e si t = ˆx / ˆx il versore tngente C. ll definizione di C segue che il vettore t deve essere prllelo F in ogni punto di C, ovvero deve essere ˆx (t) F (x(t), y(t), z(t)) = ŷ (t) F 2 (x(t), y(t), z(t)) = 53 ẑ (t) F 3 (x(t), y(t), z(t)).

58 54 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE Queste equzioni rppresentno un sistem di equzioni differenzili nelle funzioni incognite ˆx(t), ŷ(t), ẑ(t). Risolvendo questo sistem ricvimo le equzioni prmetriche di C, che dipendernno d due costnti di integrzione. Otterremo così un fmigli di curve regolri due prmetri. Esempio eterminre le linee di cmpo del cmpo grvitzionle generto d un mss puntiforme M post nel punto x = (x, y, z ). Le componenti del cmpo, in questo cso sono F (x, y, z) = GM x x 3 (x x ), F 2 (x, y, z) = GM x x 3 (y y ), F 3 (x, y, z) = GM x x 3 (z z ). Le linee di cmpo srnno individute dl sistem differenzile x GM(x x ) x x 3 = ovvero, semplificndo, Integrndo, si ottiene d cui y GM(y y ) x x 3 = x (t) x(t) x = y (t) y(t) y = z (t) z(t) z. ln x(t) x = ln y(t) y + c, ln x(t) x = ln z(t) z + c 2, x(t) x = k (y(t) y ), x(t) x = k 2 (z(t) z ), essendo k, k 2 R. Queste equzioni si possono porre nell form x x = k (y y ) = k 2 (z z ), z GM(z z ) x x 3, che rppresent l fmigli di tutte le rette pssnti per x. Ciscun di queste rette si ottiene per un ssegnt coppi di vlori di k e k Flusso di un cmpo vettorile Si S R 3 un superficie regolre definit in K R 2. to un punto x S si n(x ) = n il versore normle d S in x. Considerimo poi un generic curv γ regolre, chius, pssnte per x e pprtenente d S. Prtendo d x, supponimo di muoverci lungo γ prendendo, punto per punto l normle n d S. opo ver percorso l inter curv ed essere ritornti l punto x, supponimo che n torni coincidere, in direzione e verso con l normle n. Se questo risultto vle per ogni scelt di γ su S, diremo che

59 4.2. FLUSSO I UN CAMPO VETTORIALE 55 l superficie S è orientbile. In tl cso, un volt scelto il verso dell normle, esso individuerà uno dei due lti dell superficie. Esistono superfici che non soddisfno quest proprietà come, d esempio, il nstro di Möbius, sul qule non è possibile distinguere un lto dell superficie dll ltro (vedi figur). Si S un superficie regolre, orientbile e supponimo di ver scelto il verso dell su normle. Si F : A R 3 E 3 un cmpo vettorile definito in un regione A contenente S. efinimo flusso di F ttrverso S l integrle di superficie F S (F) = F(x) n(x) ds, dove n(x) è l normle ll superficie in x. S Osservimo che se cmbimo l scelt del verso di n su S, il flusso di F cmbi segno. Se S è l unione di più superfici regolri orientbili S, S 2,..., il flusso di F ttrverso S srà dto dll somm dei singoli flussi ttrverso S, S 2,... Supponimo che l superficie regolre S si dt nell form prmetric x = φ (u, v) S : y = φ 2 (u, v) (u, v) K R 2. z = φ 3 (u, v), Ricordimo che l normle ll superficie, in tl cso, è dt d n(x(u, v)) = Φ u(u, v) Φ v (u, v) Φ u (u, v) Φ v (u, v), dove Φ u (u, v) e Φ v (u, v) sono i vettori che hnno per componenti le derivte przili delle φ, φ 2, φ 3 rispetto u e v. Il verso di n(x) dipenderà dll scelt dell prmetrizzzione e, sotto le ipotesi di regolrità dell rppresentzione di S, è univocmente fisst per tutti i punti di K. Ovvimente, per cmbire il verso di n bst cmbire l ordine dei fttori nel precedente prodotto vettorile.

60 56 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE to un cmpo F(x), dll definizione di integrle di superficie e dll espressione di n si ricv l seguente espressione per il flusso { } Φ u (u, v) Φ v (u, v) F S (F) = F(Φ(u, v)) Φ u (u, v) Φ v (u, v) dudv K Φ u (u, v) Φ v (u, v) = F(Φ(u, v)) Φ u (u, v) Φ v (u, v) dudv. Esempi K ) Clcolre il flusso del cmpo F(x) = ye + xe 2 e xyz e 3 ttrverso l prte estern (cioè considerndo l normle estern) dell superficie cilindric x 2 + y 2 = 4 delimitt di pini z = e x + y + z = 4. Usndo coordinte cilindriche r, ψ, z, il pino x+y+z = 4 ssume l form z = 4 r cos ψ r sin ψ, mentre l equzione del cilindro è r = 2. L superficie in questione, srà llor descritt dlle equzioni prmetriche x = 2 cos ψ y = 2 sin ψ con (ψ, z) K, z = z essendo K = {(ψ, z) R 2 : ψ 2π, z 2(2 cos ψ sin ψ)}. Inoltre si ricv F(ψ, z) = 2 sin ψe + 2 cos ψe 2 e 4z sin ψ cos ψ e 3 Φ ψ = 2 sin ψe + 2 cos ψe 2, Φ z = e 3, d cui Φ ψ Φ z = 2 cos ψe + 2 sin ψe 2. Il vettore Φ ψ Φ z risult così orientto verso l esterno dell superficie, come richiesto dl problem. Si h llor F Φ ψ Φ z = 8 sin ψ cos ψ. Ne segue F S (F) = 2π = 6 dψ 2π 2(2 cos ψ sin ψ) 8 sin ψ cos ψ dz (2 sin ψ cos ψ sin ψ cos 2 ψ sin 2 ψ cos ψ) dψ =. 2) Clcolre il flusso del cmpo vettorile F(x) = xze + yze 2 + z 2 e 3 ttrverso l prte estern dell porzione di superficie sferic di equzione x 2 + y 2 + z 2 = 9 sect dl pino z = 2, per z 2. L superficie h equzioni prmetriche x = 3 sin θ cos ψ y = 3 sin θ sin ψ z = 3 cos θ, (θ, ψ) K, essendo K = {(θ, ψ) R 2 : ψ 2π, θ rccos 2 3 }. Inoltre Φ θ Φ ψ = 9[sin 2 θ cos ψe + sin 2 θ sin ψe 2 + cos θ sin θe 3 ] F(θ, ψ) = 9[sin θ cos θ cos ψe + sin θ cos θ sin ψe 2 + cos 2 θe 3 ]

61 4.2. FLUSSO I UN CAMPO VETTORIALE 57 Il vettore Φ θ Φ ψ risult diretto esternmente ll superficie sferic e si h F Φ θ Φ ψ = 8 sin θ cos θ. Ne segue F S (F) = 2π rccos 2 3 dψ 8 sin θ cos θ dθ = 2π 8 sin2 θ 2 rccos 2 3 = 45π. Se l superficie regolre S è dt nell form crtesin esplicit z = f(x, y) con f C (A) llor l normle n in un punto x S è dt d n(x) = f x e f y e 2 + e 3 ( ) 2 ( ), 2 + f x + f y e, tenuto conto dell espressione dell integrle di superficie in questo cso, il clcolo del flusso di un cmpo F(x) definito in un dominio contenente S fornisce f x F S (F) = F(x, y, f(x, y)) e f y e ( ) 2 + e 3 f 2 ( ) f 2 ( ) A 2 ( ) + + dxdy 2 + f x + f x y y [ = F(x, y, f(x, y)) f x e f ] y e 2 + e 3 dxdy A Formule nloghe vlgono nel cso di superfici dte d forme esplicite del tipo x = g(y, z) e y = h(x, z). Esempio Clcolre il flusso del cmpo vettorile F(x) = xze ttrverso il lto esterno dell porzione di prboloide di equzione z = x 2 y 2, limitt dl pino z = per z. In questo cso l superficie è dt in form esplicit z = f(x, y) e l normle è prllel ed equivers l vettore v = f x e f y e 2 + e 3 = 2xe + 2ye 2 + e 3. Questo vettore è diretto verso il lto esterno dell superficie, come richiesto dl problem. Si h e quindi il flusso è dto d F v = 2x 2 ( x 2 y 2 ), F S (F) = Pssndo coordinte polri si ricv F S (F) = 2π A 2x 2 ( x 2 y 2 ) dxdy. 2 cos 2 θ dθ ρ 3 ( ρ 2 ) dρ = π 6.

62 58 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE 4.3 Teorem dell divergenz Si F un cmpo vettorile definito in un insieme perto A R 3. Supponimo che le sue componenti F (x), F 2 (x), F 3 (x) bbino derivte prime continue in A. efinimo divergenz di F, che indicheremo con divf, l funzione sclre (divf)(x) = F x (x) + F 2 y (x) + F 3 z (x). ll definizione segue che div(αf + βf 2 ) = αdivf + βdivf 2, dove α, β sono costnti e F, F 2 due cmpi in A. Inoltre, se c è un cmpo vettorile costnte, si h div(c) =. Infine, dt un funzione g(x) ed un cmpo vettorile F(x) definiti in A, sussiste l seguente formul Si h inftti, div(gf) = (gf ) x = g + (gf 2) y ( F x + F 2 y + F 3 z div(gf) = g divf + g F. + (gf 3) z Voglimo or dimostrre il seguente importnte risultto. ) + g x F + g y F 2 + g z F 3 = g divf + g F. Teorem 4. (dell divergenz). to un cmpo vettorile F definito in un perto A R 3 si V un insieme chiuso, limitto e connesso contenuto in A, l cui frontier V si un superficie chius, regolre trtti ed orientt in modo che l normle n punti verso l esterno di V. Supposto F C (A), l integrle esteso V dell divergenz di F è ugule l flusso di F ttrverso l frontier di V ovvero, divf dxdydz = F n ds. V im. imostreremo il teorem nel cso di un dominio V normle rispetto i tre pini coordinti e ne dremo poi un estensione l cso di domini dti dll unione di domini normli. Considerimo il cmpo vettorile F(x) = F 3 (x)e 3 con F 3 C (A) e si V un dominio normle rispetto l pino xy, ovvero V = {x R 3 : (x, y), φ (x, y) z φ 2 (x, y)}, essendo R 2 un dominio pino limitto e misurbile e φ, φ 2 C (). Si h V = F 3 z dx dy dz = V ( φ2 (x,y) φ (x,y) ) F 3 z dz dxdy [F 3 (x, y, φ 2 (x, y)) F 3 (x, y, φ (x, y))] dxdy. ltr prte, l frontier di V si può spezzre nelle tre superfici S, S 2, S c, essendo S ed S 2 le superfici regolri descritte rispettivmente dlle equzioni z = φ (x, y) e z = φ 2 (x, y), ed S c l superficie lterle del cilindroide reltivo compreso tr S e S 2. Per l dditività del flusso rispetto ll superficie di integrzione, essendo F = F 3 e 3 e posto n 3 = n e 3, si h F n ds = F 3 n 3 ds = F 3 n 3 ds + F 3 n 3 ds, V V S S 2

63 4.3. TEOREMA ELLA IVERGENZA 59 in qunto, in ogni punto dell superficie S c, si h n 3 =. Ricordndo che n è dirett esternmente V, si h n 3 > per i punti di S 2 ed n 3 < per i punti di S. Coerentemente con quest scelt del segno, si vrà n 3 = + φ 2 x + φ x 2 + φ 2 y 2 + φ y 2 per x S 2 2 per x S. ll formul per il clcolo del flusso si ricv F 3 n 3 ds = F 3 (x, y, φ (x, y)) dxdy S F 3 n 3 ds = F 3 (x, y, φ 2 (x, y)) dxdy, S 2 d cui V F 3 n 3 ds = Confrontndo con il risultto precedente ottenimo F 3 z dxdydz = V [F 3 (x, y, φ 2 (x, y)) F 3 (x, y, φ (x, y))] dxdy. V F 3 n 3 ds. Ripetendo lo stesso rgionmento per un cmpo F = F e, considerndo V come dominio normle rispetto l pino yz, e successivmente, per un cmpo F = F 2 e 2, considerndo V come dominio normle rispetto l pino xz, si ricvno le nloghe formule V F x dxdydz = V F n ds, V F 2 y dxdydz = V F 2 n 2 ds. Sommndo membro membro i tre risultti si ottiene l tesi. Supponimo or che il dominio non si normle rispetto l pino xy m si poss pensre come l unione di due domini V e V b normli rispetto l pino xy (vedi figur), e seprti dll superficie S.

64 6 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE Per l dditività del flusso si può scrivere F 3 n 3 ds = V F 3 n 3 ds + S F 3 n 3 ds, S b e, pplicndo il teorem i due domini V e V b, si h F 3 V z dxdydz = F 3 F 3 n 3 ds, V V b z dxdydz = F 3 n 3 ds. V b ltr prte, posto V = S S e V b = S b S, si può scrivere F 3 n 3 ds = F 3 n 3 ds + F 3 n + 3 ds V S S F 3 n 3 ds = F 3 n 3 ds + F 3 n 3 ds V b S b S dove n + 3 e n 3 sono componenti delle normli S dirette in verso opposto. Tenuto conto dell dditività degli integrli tripli, e osservndo che n 3 = n+ 3 =, si ottiene F 3 V z dxdydz = F 3 n 3 ds + F 3 n 3 ds = F 3 n 3 ds, S S b V in qunto gli integrli su S si elidono perchè uguli e opposti. Ripetendo il rgionmento per i cmpi F e e F 2 e 2, in modo nlogo qunto ftto precedentemente, si ottiene, nche in questo cso, l tesi. Esempio Clcolre il flusso del cmpo vettorile F = 3xe ye 2 ze 3 ttrverso l superficie chius delimitt dl prboloide 9 z = x 2 + y 2 e dl pino z =. Risolvere il problem in due modi, utilizzndo prim l definizione di flusso e poi il teorem dell divergenz. ) Medinte l definizione clcolimo F S (F) = F S (F) + F S2 (F),

65 4.4. CAMPI SOLENOIALI 6 dove S S 2 = S essendo S l porzione di superficie del prboloide e S 2 quell del pino z =. Poichè si h F e 3 = z si ottiene subito F S2 (F) =. Reltivmente d S si h z = f(x, y) con f(x, y) = 9 x 2 y 2 e Ne segue, n = v v con v = 2xe + 2ye 2 + e 3, F(x, y, f(x, y)) v = 7x 2 y 2 9. F S (F) = (7x 2 y 2 9) dxdy, dove = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 9}. Pssndo coordinte polri si ottiene F S (F) = = 2π 2π dθ 3 (7ρ 2 cos 2 θ ρ 2 sin 2 θ 9)ρ dρ [ 2ρ 4 cos 2 θ 4 ρ4 9 ] 3 2 ρ2 dθ = 2π (62 cos 2 θ ) dθ = 8 2 π. In definitiv, F S (F) = 8 2 π. b) Fcendo uso del teorem dell divergenz, bbimo d cui, usndo coordinte cilindriche, F S (F) = = 2π V 3 divf = 3 =, dxdydz = 2π (9 r 2 )r dr = 2π dψ 3 9 r 2 r dr [ 9 2 r2 4 r4 ] 3 dz = 8 2 π. 4.4 Cmpi solenoidli Considerimo un cmpo vettorile F definito in un dominio chiuso, limitto e connesso V. Si x un punto interno V e V un insieme chiuso contenuto in un intorno sferico B δ (x ) V. Applicndo il teorem del vlor medio ll integrle triplo di divf esteso V, bbimo mis(v ) V divf(x) dxdydz = divf( x), essendo x un punto interno V. Tenuto conto dell continuità di F e delle sue derivte prime, clcolimo il limite di mbo i membri dell uguglinz precedente per δ. Si h V lim divf(x) dxdydz = divf(x ). δ mis(v )

66 62 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE ltr prte, fcendo uso del teorem dell divergenz, ottenimo V divf(x ) = lim F n ds, δ mis(v ) dove V è l frontier dell insieme V. Questo risultto implic che l divergenz di un cmpo F C (V ) in un punto x V è pri l limite del rpporto tr il flusso ttrverso un superficie chius V contenente x e il volume dell regione V rcchius d tle superficie qundo V. In ltri termini si può dire che l divergenz di F in x è l densità di volume del flusso del cmpo F in quel punto. Si dice tlvolt che, se divf(x ) > il punto x rppresent un sorgente del cmpo mentre se divf(x ) < il punto è un pozzo del cmpo. Se ccde che divf(x) = in un dominio V, si dice che il cmpo vettorile F è solenoidle in V. l teorem dell divergenz segue che per un cmpo F solenoidle in V il flusso di F ttrverso un superficie chius contenut in V è nullo. Vle nche il vicevers, ovvero, se il flusso di F è nullo ttrverso un qulunque superficie chius contenut in V, llor F è solenoidle in V. Esempio Considerimo il cmpo vettorile E prodotto d un cric elettric puntiforme q posiziont nell origine O di un riferimento nello spzio. Voglimo clcolre il flusso di E ttrverso un qulunque superficie chius contenente l origine. Il cmpo E è dto d E = q x 3 x. Osservimo innnzitutto che il cmpo è definito in tutti i punti dello spzio trnne che nell origine. Inoltre, per x si h ( ) x dive = q div x 3. Fcendo uso dell formul dimostrt ll inizio del prgrfo precedente, div x x 3 = ( ) x 3 divx + x 3 x = 3 [ x ] x x 4 x x = 3 x 3 3 x 3 =. Il cmpo risult così solenoidle in tutto R 3, esclus l origine. Per il clcolo del flusso considerimo dpprim un superficie sferic di centro O e rggio R q x 3 x n ds = q R 3 Rn n ds = q R 2 ds = 4πR2 R 2 q = 4πq. S S Il risultto ottenuto, non dipende quindi dl rggio dell sfer. In reltà esso non dipende nemmeno dll form dell superficie che contiene l origine. Per dimostrre questo bst prendere due superfici distinte S e S 2 contenenti l origine, l prim delle quli è un sfer di rggio R. Poichè nell regione compres tr S e S 2 il cmpo è solenoidle si h F S S 2 (E) =, ovvero E n ds + S E n ds =, S 2 d cui E n ds = E n ds = 4πq. S 2 S S

67 4.4. CAMPI SOLENOIALI 63 Il risultto F S (E) = 4πq è nche noto come Teorem di Guss. Osservzione Se si consider un distribuzione continu di cric in un regione finit V dello spzio, il risultto precedente si può esprimere come F V (E) = 4π σ(x) dx, V dove σ(x) è l densità di cric ed è un funzione continu di x in V. Tenuto conto del risultto dto ll inizio del prgrfo, detto V un intorno sferico di rggio δ di un punto x contenuto in V, si vrà dive(x ) = lim δ V E n ds mis(v ) = 4π lim σ(x) dx = 4πσ(x ), δ mis(v ) V che esprime il teorem di Guss in termini di densità volumetric di flusso e di cric in un punto. Questo teorem vle nche per il cmpo grvitzionle, in cui F, come nel cso elettrico è proporzionle x/ x 3. Si dt, nello spzio, un curv regolre γ, chius e orientt. Considerimo un generic superficie regolre S orientbile, delimitt d γ. Assegnmo d S un orientzione tle che, detto t il versore tngente γ e pres l normle n nei punti prossimi γ, il vettore n t pplicto su γ punti verso l interno dell superficie. Chimeremo γ il bordo di S e diremo che S h l orientzione indott dl bordo. Teorem 4.2 Il flusso di un cmpo vettorile solenoidle F è lo stesso ttrverso un qulunque superficie di bordo fissto γ e con orientzione indott d γ.

68 64 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE im. t l curv chius, regolre e orientt γ, considerimo due superfici distinte S, S 2, di bordo γ e con orientzione indott d γ. Supponimo che S e S 2 non bbino punti in comune l di fuori di γ. ett V l regione chius dello spzio delimitt d S ed S 2, dl teorem dell divergenz e dll ipotesi di cmpo solenoidle, si h F n ds =, V dove n è l normle uscente d V e V = S S 2. ette n ed n 2 le normli rispettivmente S ed S 2 e supposto, per fissre le idee, che n si uscente d V, si vrà n 2 entrnte in V. L uguglinz precedente può essere riscritt llor nell form = V F n ds = F n ds + S F ( n 2 ) ds, S 2 d cui risult F n ds = F n 2 ds. S S 2 Considert in R 3 un superficie pin S non contenente linee di cmpo, limitt d un curv chius, regolre trtti γ, si dice tubo di flusso l superficie descritt d tutte le linee di cmpo pssnti per γ. L superficie S si dice sezione del tubo e viene convenzionlmente orientt concordemente l verso del cmpo. Teorem 4.3 to un cmpo solenoidle F, il flusso di F ttrverso un sezione S di un tubo di flusso è indipendente dll scelt di S. im. Sino S ed S 2 due sezioni di un tubo di flusso prive di punti in comune e si S c l superficie dell porzione di tubo compres tr S e S 2. Fcendo uso del teorem dell divergenz e nell ipotesi di cmpo solenoidle si h = F n ds = S S 2 S c F n ds + S F n 2 ds + S 2 F n c ds. S c

69 4.5. TEOREMA I STOKES 65 ltr prte, per definizione di line di cmpo, risult F n c = per ogni punto dell superficie S c. Ne segue F n ds = F n 2 ds. S S Teorem di Stokes Si γ un curv chius regolre trtti e orientt. Considerimo un cmpo vettorile F definito in un regione A R 3 contenente γ. Si definisce circuitzione del cmpo lungo γ l integrle di line dell form differenzile del cmpo, estes ll inter curv γ. Ess srà indict con il simbolo F dx. γ In bse ll definizione di integrle di line di un form differenzile, dt l rppresentzione prmetric x = ˆx(t) con t (, b) e ˆx() = ˆx(b) dell curv γ si h Esempio γ F dx = b [F (ˆx(t))ˆx (t) + F 2 (ˆx(t))ŷ (t) + F 3 (ˆx(t))ẑ (t)] dt. Clcolre l circuitzione del cmpo F = y 3 e + x 3 e 2 lungo l ellisse di equzione x2 + y2 =. 2 b 2 Un rppresentzione prmetric dell ellisse è { x = cos t t [, 2π). y = b sin t, Applicndo l formul precedente trovimo γ y 3 dx + x 3 dy = 2π (b 3 sin 4 t + 3 b cos 4 t) dt = 3πb 4 (2 + b 2 ). Si F un cmpo vettorile di clsse C (A). Si definisce rotore di F il cmpo vettorile rotf(x) = ( F3 y F ) ( 2 F e + z z F ) ( 3 F2 e 2 + x x F ) e 3. y Più sinteticmente si può ricvre quest formul medinte il determinnte formle e e 2 e 3 rotf = x y z F F 2 F, 3

70 66 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE sviluppto secondo gli elementi dell prim rig. Se F è di clsse C 2 (A) llor si dimostr fcilmente che l divergenz del rotore di F è identicmente null. Si h inftti div rotf = ( F3 x y F ) 2 + ( F z y z F ) 3 + ( F2 x z x F ) y = 2 F 3 x y 2 F 2 x z + 2 F y z 2 F 3 y x + 2 F 2 z x 2 F z y =, dove si è utilizzto il teorem di Schwrz. Possimo concludere llor che ogni cmpo esprimibile come rotore di un ltro cmpo vettorile è un cmpo solenoidle. Teorem 4.4 (di Stokes). Si F un cmpo vettorile di clsse C (A) e si S un superficie contenut in A e vente come bordo un curv orientt γ, regolre trtti. Supponendo che S bbi orientzione indott d γ, si h F dx = rotf n ds, γ ovvero l circuitzione di F lungo γ è ugule l flusso del rotore di F ttrverso S. im. Proveremo il teorem nel cso in cui S si un superficie dt in form crtesin esplicit ed estenderemo poi il risultto d un più generle superficie S. Si z = φ(x, y) l rppresentzione crtesin di S con (x, y). L frontier srà l curv γ proiezione di γ sul pino x, y. Ess srà regolre trtti ed vrà equzioni { x = ˆx(t) t [, b). y = ŷ(t), S Le equzioni prmetriche dell curv γ srnno x = ˆx(t) y = ŷ(t) z = φ(ˆx(t), ŷ(t)), t [, b). ltr prte, denott con n l normle S si h n = φ x e φ y e 2 + e 3 ( ) 2 ( ), 2 + φ x + φ y e si deduce rotf n ds = S [( F3 y F )( 2 φ ) ( F + z x z F )( 3 φ ) ( F2 + x y x F )] dxdy. y Clcolimo or l circuitzione di F lungo γ. ll definizione e tenuto conto delle equzioni prmetriche di γ si h b [ ( φ F dx = F ˆx + F 2 ŷ + F 3 γ x ˆx + φ )] y ŷ dt b [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] φ = F + F 3 ˆx φ + F 2 + F 3 ŷ φ φ dt = F + F 3 dx + F 2 + F 3 dy. x y γ x y

71 4.5. TEOREMA I STOKES 67 Applicndo l formul di Green, si ottiene [ F dx = x γ ( F 2 + F 3 φ y ) ( )] φ F + F 3 dxdy, y x e, tenuto conto che F, F 2, F 3 hnno come rgomento (x, y, φ(x, y)), pplicndo l regol di derivzione delle funzioni composte si h ( F2 F dx = γ x + F 2 φ z x + F 3 φ x y + F 3 φ φ z x y F y F φ z y F 3 φ y x F ) 3 φ φ dxdy z y x [ F2 = x F ( y + F2 z F ) ( 3 φ y x + F3 x F ) ] φ dxdy z y Confrontndo quest ultimo risultto con l espressione trovt precedentemente per S rotf n ds, si ottiene l tesi. Il risultto ottenuto si può ricvre in modo nlogo nel cso in cui S è rppresentbile nell form x = ψ(y, z), oppure y = χ(x, z). Poichè il rotore di F è un cmpo solenoidle, il suo flusso ttrverso un superficie orientt di contorno γ non dipende dll prticolre superficie. Inoltre se l inter superficie non è esprimible nell form esplicit z = φ(x, y), si potrà, per l dditività degli integrli di line, decomporre S in prti, ciscun esprimibile in un form esplicit. L tesi del teorem continu così d essere vlid sotto le ipotesi più generli. Nel cso di un cmpo vettorile pino, con γ curv chius sul pino, il teorem di Stokes si riduce ll formul di Green. In tl cso inftti F 3 =, φ =, d cui ( F2 F dx = x F ) dxdy. y Esempio γ Fcendo uso del teorem di Stokes clcolre l circuitzione del cmpo F = ye xe 2 + e 3 lungo l line chius { x 2 + y 2 = R 2 γ : z = H percors in senso ntiorrio. Clcolimo il rotore del cmpo, e e 2 e 3 rotf = x y z y x = 2e 3. Considerimo l superficie S circolre che h come contorno γ e si trov sul pino z = H. L normle S è e 3. Si ottiene così rotf e 3 ds = 2 ds = 2πR 2. S S

72 68 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE 4.6 Cmpi irrotzionli e cmpi conservtivi Generlizzimo il concetto di dominio semplicemente connesso insiemi di R 3. iremo che T R 3 è semplicemente connesso se, dt un qulunque curv chius, regolre trtti γ contenut in T è possibile trovre un superficie intermente contenut in T vente come bordo γ. Esempi di insiemi semplicemente connessi sono l interno di un cubo o di un sfer o l intero spzio R 3. Esempi di insiemi non semplicemente connessi sono un toro o lo spzio R 3 privto dei punti di un rett. iremo che un cmpo vettorile F C (A) è irrotzionle in A se rotf(x) =, x A. l teorem di Stokes segue che, per ogni cmpo irrotzionle F in un insieme A semplicemente connesso, l circuitzione di F lungo un qulunque curv chius in A è null. Vle nche l ffermzione invers. Si h cioè il seguente risultto. Teorem 4.5 Si A R 3 un dominio semplicemente connesso ed F un cmpo vettorile con derivte prime continue in A. Condizione necessri e sufficiente ffinchè F si irrotzionle è che, pres un generic curv chius, regolre trtti γ, l circuitzione di F lungo γ si null. im. Abbimo già dimostrto l prte necessri. Per dimostrre l prte sufficiente considerimo un punto x interno d A ed un intorno sferico B δ (x ). Su un generico pino π pssnte per x considerimo un curv chius γ, bordo di un intorno di x e tutt contenut in B δ (x ). Poichè A è semplicemente connesso, l superficie Σ delimitt d γ srà tutt contenut in A. Applichimo llor il teorem di Stokes F sull superficie Σ, F dx = rotf n dξdη, γ Σ dove ξ ed η sono coordinte sul pino π. Applicndo il teorem del vlor medio ll integrle secondo membro ottenimo rotf n dξdη = (rotf n)( x) mis(σ) Σ

73 4.6. CAMPI IRROTAZIONALI E CAMPI CONSERVATIVI 69 dove x = ( ξ, η) Σ. ll ipotesi di circuitzione null ricvimo così γ (rotf n)( x) = F dx mis(σ) = Prendendo or il limite per δ, per l continuità delle derivte przili di F, si ottiene lim (rotf n)( x) = (rotf n)(x ) =. δ Questo risultto è indipendente dlle scelt del pino π pssnte per x e quindi è indipendente d n. Ne segue che l proiezione di (rotf)(x ) lungo un qulunque direzione è null e quindi si h (rotf)(x ) =. Nel seguito srà utile il seguente risultto. Teorem 4.6 ti due punti P e P b pprtenenti d A ed un cmpo vettorile F definito in A, condizione necessri e sufficiente ffinchè l integrle di line dell form differenzile F dx d P P b si indipendente dll curv che congiunge P con P b è che l circuitzione di F lungo un qulunque curv chius contenut in A si null. im. Supponimo che comunque scelte due curve γ e γ 2 congiungenti P con P b si bbi F dx = F dx. γ (P P b ) Per un proprietà degli integrli di line si h F dx = Posto γ = γ γ 2, si ottiene γ γ 2 (P P b ) F dx = γ (P P b ) γ 2 (P P b ) γ 2 (P b P ) F dx. F dx + F dx =. γ 2 (P b P ) Vicevers supponimo che l circuitzione di F si null. Congiungimo P e P b medinte due curve γ e γ 2 che non si intersecno. Scelt γ = γ γ 2, si h = F dx = F dx + F dx, γ γ (P P b ) γ 2 (P b P ) e ripetendo ritroso l dimostrzione dell prim prte del teorem si ottiene che gli integrli di line su γ e su γ 2 sono uguli. Abbimo visto l prgrfo 3.3 che, per un cmpo vettorile conservtivo, l integrle di line F dx, γ(p P b ) non dipende dll prticolre curv γ m di soli estremi P e P b. vicevers e quindi vle il seguente risultto. Possimo dimostrre nche il

74 7 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE Teorem 4.7 Condizione necessri e sufficiente ffinchè un cmpo vettorile F, definito in A, si conservtivo è che l integrle di line dell form differenzile F dx tr i punti P e P b di A non dipend dll prticolre curv che congiunge i due punti. im. L prte necessri è stt già dimostrt l prgrfo 3.3. Prtimo dunque dll ipotesi che l integrle F dx, γ(p P b ) si indipendente d γ. Ciò comport che, fissto un punto P, l integrle di line γ(p P ) F dx non dipende dll prticolre curv γ congiungente P con P m è funzione del punto P, vribile in A. etto x il vettore posizione di P, ponimo U(x) = F dx, γ(p P ) Considerimo il punto P con vettore posizione x = x + x e tle che x = xe. Congiungendo P e P con un rco di rett r prllel ll sse x vremo U(x + x) = F dx = γ(p P ) γ(p P ) F dx + r(p P ) F dx = U(x) + x+ x Applicndo il teorem del vlor medio ll integrle secondo membro, vremo U(x + x, y, z) U(x, y, z) = x+ x x F dx = x F (ξ, y, z), x F dx. essendo ξ un opportuno punto dell intervllo (x, x + x). ll definizione di derivt przile vremo U x = lim U(x + x, y, z) U(x, y, z) = lim x x F (ξ, y, z). x Per l continuità di F si ottiene U x = F (x, y, z). Si può rgionre in modo nlogo costruendo gli incrementi x = ye e x = ze 3, rrivndo i risultti U y = F U 2(x, y, z), z = F 3(x, y, z). Si ottiene così F(x) = U(x). Ne segue che F è conservtivo ed U è un funzione potenzile. I teoremi 4.5, 4.6, 4.7 implicno il seguente importnte risultto. Teorem 4.8 Condizione necessri e sufficiente ffinchè un cmpo vettorile F definito in un dominio A semplicemente connesso, vente derivte przili prime continue si conservtivo è che si irrotzionle.

75 4.6. CAMPI IRROTAZIONALI E CAMPI CONSERVATIVI 7 im. L dimostrzione del teorem si ricv subito dl seguente schem, bsto sui teoremi già dimostrti. rotf = = F = U (4.5) (4.7) γ F dx = (4.6) γ F dx = γ 2 F dx L impliczione F = U = rotf =, corrispondente ll condizione necessri del teorem è stt ggiunt perchè può nche essere ricvt in modo diretto dl seguente clcolo ( U rotf = rot( U) = rot x e + U y e 2 + U ) z e 3 ( 2 ) ( U = z y 2 U 2 ) ( U e + y z x z 2 U 2 ) U e 2 + z x y x 2 U e 3 =. x y dove si è utilizzto il teorem di Schwrz, le cui ipotesi sono verificte in forz dell condizione F C (A). L dimostrzione del teorem 4.7 suggerisce un metodo per il clcolo del potenzile di un cmpo conservtivo. Si F un cmpo conservtivo di componenti F, F 2, F 3. Si h meno di un costnte dditiv U(x, y, z) = F (x, y, z) dx + F 2 (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz. γ(p P ) Clcolimo l integrle secondo membro di quest espressione spezzndolo lungo tre segmenti P P, P P 2, P 2 P prlleli rispettivmente gli ssi x, y, z. In questo modo si può scrivere U(x, y, z) = x y z F (τ, y, z ) dτ + F 2 (x, τ, z ) dτ + F 3 (x, y, τ) dτ. x y z

76 72 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE Esempio to il cmpo vettorile F = (y + z)e + (x + z)e 2 + (x + y)e 3, dimostrre che è un cmpo conservtivo e determinre l funzione potenzile. Per verificre se F, che è definito in tutto R 3, è conservtivo, bst verificre che esso è irrotzionle. Si h e e 2 e 3 rotf = x y z y + z x + z x + y =. Clcolimo or il potenzile medinte l formul ppen trovt. Poichè l scelt del punto di prtenz è irrilevnte, sceglieremo P = (,, ). Ottenimo così U(x, y, z) = dove C è un costnte rbitrri. x dx + y (x + ) dy + z (x + y) dz + C = xy + (x + y)z + C = xy + xz + yz + C. 4.7 Opertori differenzili ll definizione di grdiente di un funzione sclre differenzibile f, bbimo f = f x e + f y e 2 + f z e 3. Quest definizione si può rppresentre come l ppliczione del vettore = e x + e 2 y + e 3 z detto nbl, ll funzione f. L ppliczione è di tipo linere in qunto lo è l operzione di derivzione. Per quest rgione si dice che è un opertore differenzile vettorile. Voglimo precisre le proprietà lgebriche di questo opertore in modo d sfruttrle per il clcolo differenzile vettorile. L opertore può nche essere pplicto funzioni vettorili u(x). In prticolre, nbl può operre sclrmente o vettorilmente su u(x). Nel primo cso il risultto dell ppliczione u è l divergenz di u. Inftti si h ( ) u = e x + e 2 y + e 3 (u e + u 2 e 2 + u 3 e 3 ) z = u x + u 2 y + u 3 z = div u. Nel secondo cso, l ppliczione u fornisce il rotore di u. Inftti dll espressione di si h l regol formle già not e e 2 e 3 u = x y z = rot u. u u 2 u 3

77 4.7. OPERATORI IFFERENZIALI 73 Osservimo subito che l opertore oper sempre destr, quindi u u. Inftti u = u x + u 2 y + u 3 z, che rppresent, meno dell norm di u, l operzione di derivt direzionle. Anlogmente u u. Inftti quest ultim è ncor un operzione di derivzione, e e 2 e 3 u = u u 2 u 3 x y z ( ) ( ) ( ) = e u 2 z u 3 + e 2 u 3 y x u + e 3 u z y u 2. x Qundo oper su un prodotto di funzioni dobbimo tenere presente le regole di derivzione del prodotto e considerre l somm delle derivte ftte tenendo costnti tutti i fttori trnne uno. enotndo con un indice c i fttori tenuti costnti, per un coppi di funzioni sclri f e g si h (fg) = (f c g) + (fg c ) = f g + g f. Al prgrfo 4.3 bbimo visto che div(fu) = fdiv u + f u. Ricvimo di nuovo questo risultto fcendo uso dell definizione formle di. Si h Anlogmente si ricv l formul Esempi ) Clcolre (u v). (fu) = (f c u) + (fu c ) = f u + f u. (fu) = (f c u) + (fu c ) = f u + f u. Seguendo l regol formle ust precedentemente, si h (u v) = (u c v) + (u v c ) = (v u c ) + (u v c ), d cui, pplicndo l regol di permutzione del prodotto misto, si ottiene (u v) = u ( v) + v ( u). 2) Clcolre (u v). Si h (u v) = (u c v) + (u v c ), ed utilizzndo l regol per il clcolo del doppio prodotto vettore, (u c v) = ( v)u c (u c )v, (u v c ) = (v c )u ( u)v c, d cui ricvimo (u v) = ( v)u (u )v ( u)v + (v )u.

78 74 CAPITOLO 4. ANALISI VETTORIALE L opertore differenzile si può comporre in modo d ottenere derivte di ordine superiore l primo. Abbimo già visto che div rot u = e rot f = identicmente, ovvero Considerimo llor le seguenti ltre operzioni u =, f =, u, f. ) f 2) ( u) Nel cso ) si ottiene lo sclre ( ) ( ) e x + e 2 y + e f 3 e z x + e f 2 y + e f 3 z Introdotto l opertore differenzile del secondo ordine detto opertore lplcino, possimo scrivere = = 2 x y z 2, f = f. = 2 f x f y f z 2. Il lplcino è un opertore sclre. Applicto d un funzione sclre o d un funzione vettorile d luogo ncor d uno sclre o d un vettore. Nel cso 2) fcendo uso dell formul del doppio prodotto vettorile si h ( u) = ( u) ( )u = ( u) u.

79 Cpitolo 5 Serie numeriche 5. efinizioni e operzioni sulle serie t l successione di numeri reli {y n } n N si dice serie numeric l espressione y + y 2 + y y n +... = y n. Al fine di ttribuire un significto numerico ll somm infinit n= y n, considerimo l successione delle somme przili {S n } n N, definite d n= S = y S 2 = y + y 2 S 3 = y + y 2 + y 3. S n = y + y y n =. Se tle successione mmette limite finito S llor tle limite si dice somm dell serie numeric. L serie si dice llor convergente e si scrive S = lim S n = lim n n n k= n y k. Se il limite è infinito l serie si dice divergente, e se il limite non esiste si dice che l serie è non convergente o oscillnte. Il comportmento di S n per n si dice nche crttere dell serie. k= y k Esempi ) L serie n(n + ) +... = n(n + ) n= 75

80 76 CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE è convergente. Inftti si h d cui S n = n k= k(k + ) = = n + = n k= n n +, 2) to x R, considerimo l serie dett serie geometric. Osservimo che ( k ) = k n n + lim S n n = lim n n n + =. + x + x 2 + x x n +... = S n = + x + x x n = x n, n= { n se x = x n x se x. Quindi, se x = l serie diverge. Se x < risult lim n x n =. Allor l serie converge e si h lim S n = n x. Supponimo or che x >. Allor lim n x n = +, ed essendo x <, si ottiene lim S x n n = lim n n x = +. Infine, se x, il termine x n oscill in qunto risult positivo per n pri e negtivo per n dispri ed inoltre x n. Ne segue che l serie geometric risult oscillnte per x. Rissumendo bbimo, n= x n è oscillnte per x è convergente per < x < è divergente per x. t l serie y + y 2 + y y n +... considero l serie ottenut d quest eliminndo i primi k termini, ovvero y k+ + y k y n +... = y n. n=k+ Quest serie si dice k-esimo resto dell serie dt. Vle l seguente proprietà. Teorem 5. Un serie e tutti i suoi resti hnno lo stesso crttere.

81 5.. EFINIZIONI E OPERAZIONI SULLE SERIE 77 im. Chimimo σ k l somm dei primi k termini dell serie. Avremo S n = n n k y p = σ k + y k+p. p= Posto y k+p = ȳ p, l serie p= ȳp è il k-esimo resto dell serie dt ed S n = n p= ȳp l su somm przile. Poichè n k lim S n = lim σ k + ȳ p = σ k + lim S n, n n n p= risult che se S n converge, convergerà nche S n e vicevers. Lo stesso si può dire se S n è divergente o oscillnte. p= te le due serie numeriche e due numeri reli λ, µ, l serie y + y y n +... = n= t + t t n +... = n= y n t n λy + µt + λy 2 + µt λy n + µt n +... = (λy n + µt n ), si dice combinzione linere delle due serie. Si h il seguente risultto n= Teorem 5.2 L combinzione linere di due serie convergenti è convergente. im. ette S n e S n le somme przili delle due serie ed S n l somm przile dell loro combinzione linere, si h S n = n (λy k + µt k ) = λ k= n y k + µ k= n k= t k = λs n + µs n. Ne segue che, detti S e S i limiti delle due somme przili S n e S n, esisterà, finito, il limite S dell successione S n, e si vrà S = lim n S n = λ lim n S n + µ lim n S n = λs + µs. Vle l pen osservre che l combinzione linere di due serie divergenti o oscillnti può essere convergente. Ad esempio, per x <, le due serie (x ) + (x 2 ) (x n ) +... sono mbedue divergenti m hnno per somm il primo resto dell serie geometric, che sotto le ipotesi ftte, risult convergente.

82 78 CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE 5.2 Criteri di convergenz Si {y n } un successione numeric di Cuchy, ovvero tle che ɛ > n ɛ N : n, m > n ɛ y m y n < ɛ. Poichè ogni successione numeric di Cuchy in R è convergente, e vicevers, ogni successione numeric convergente è di Cuchy, possimo stbilire il seguente criterio di convergenz per un serie numeric. Teorem 5.3 (Criterio di Cuchy) Condizione necessri e sufficiente ffinchè l serie numeric n= y n si convergente è che, fissto ɛ >, esist un n ɛ N tle che per n > n ɛ si bbi y n+ + y n y n+p < ɛ, (p =,, 2,...). im. Osservimo che, posto, m = n + p, si può scrivere, per qulunque p, y n+ + y n y n+p = S n+p S n = S m S n. Allor l condizione del teorem si trduce nell condizione che l successione delle somme przili dell serie si un successione di Cuchy. M quest successione è un successione numeric e l condizione di Cuchy risult necessri e sufficiente per l su convergenz. Teorem 5.4 Se l serie numeric n= y n converge, llor lim n y n =. im. ll ipotesi di convergenz dell serie, pplicndo il teorem 5.3 per p = si ottiene che, fissto ɛ > esiste un n ɛ tle che per n > n ɛ si bbi y n < ɛ. M quest ultim condizione equivle dire che lim n y n =. l teorem precedente segue, ovvimente che, se lim n y n oppure se il limite non esiste fftto, l serie n= y n srà divergente o oscillnte. Vicevers, il ftto che y n si infinitesimo non è sufficiente per ffermre che l serie n= y n converge. A questo proposito considerimo l seguente serie, n +... = dett serie rmonic. In questo cso si h lim n n =. Tuttvi l serie diverge. Per provrlo utilizzimo il criterio di Cuchy. Posto p = n, bbimo n= y n y 2n = n + + n n > 2n + 2n } {{ 2n} nvolte Poichè quest disuguglinz vle per qulunque n, bbimo S 2n S n > 2. Scelto ɛ < 2, il criterio di Cuchy non è soddisftto, quindi l serie non è convergente. Inoltre, l successione S n risult crescente e non può essere limitt perchè ltrimenti srebbe convergente. Quindi S n srà divergente. n, = 2. Teorem 5.5 (Criterio del confronto) Sino n= y n e n= t n due serie termini non negtivi e tli che y n t n per ogni n. Allor l convergenz di n= t n implic l convergenz di n= y n e l divergenz di n= y n implic l divergenz di n= t n.

83 5.2. CRITERI I CONVERGENZA 79 im. Le somme przili S n dell serie n= t n, costituiscono un successione termini non negtivi, monotòn non decrescente. Se {S n } è convergente ess srà limitt. ll disuguglinz y n t n, risult llor che S n = n k= y n n k= t n = S n, quindi nche S n è limitt, ed essendo nch ess non decrescente, risulterà convergente. Supponimo or che l successione {S n} si divergente. Allor ess non srà limitt superiormente e, per l diseguglinz y n t n, nche {S n } non srà limitt superiormente e quindi divergerà. Esempi ) Studire l convergenz dell serie 2 n +. n n= Osservimo che l serie è termini positivi e risult 2 n + 2, n. M l serie ( n n n= 2) è il n primo resto dell serie geometric di rgomento 2 ed è quindi convergente /2 =. Per il criterio del confronto l serie di prtenz srà convergente. 2) Considerimo l serie + 2 x + 3 x n x +... = dett serie rmonic generlizzt. Studimo il suo crttere l vrire di x R. Per x = ottenimo l serie rmonic che sppimo essere divergente. Per x = si h y n =, n d cui S n = n, quindi l serie è divergente. Per x si h y n = n x = n x, quindi S n n e, utilizzndo il criterio del confronto, l serie srà divergente. Per < x bbimo y n = n x n, e quindi, sempre per il criterio del confronto l serie diverge. Considerimo infine il cso x >. Introdott l funzione f(t) = t ess risult continu e monotòn non crescente per t. x Applicndo il teorem dell medi ll integrle n+ n t x dt n= n x, si ottiene n+ n t x dt = ξ x (n + ) x. ltr prte, l integrzione dirett fornisce n+ t x dt = [ ] x n x (n + ) x. Ne segue l diseguglinz n (n + ) x [ ] x n x (n + ) x.

84 8 CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE Considerimo l serie dei termini destr di quest ultim diseguglinz, meno del fttore x, 2 x + 2 x x n x +..., (n + ) x l cui somm przile è n= σ n = (n + ) x. Poichè lim n σ n =, quest ultim serie risult convergente e, per il criterio del confronto risult convergente nche l serie n= (n+). M quest ultim non è ltro che il primo resto x dell serie rmonic generlizzt che risult così convergente. Rissumendo { è divergente per x n x è convergente per x >. Teorem 5.6 (Criterio del rpporto o di Alembert) Si n= y n un serie termini positivi. Se ccde che y n+ lim = λ, n y n essendo λ <, llor l serie è convergente. Se invece è λ > l serie è divergente. y im. Supponimo che lim n+ n y n = λ <. Considerto un numero q tle che λ < q < e posto ɛ = q λ, dll definizione di limite esisterà un n ɛ N tle che Ne seguono le diseguglinze Fissto llor un numero m > n ɛ si vrà y n+ y n < q, n > n ɛ. y n+ < qy n, y n+2 < qy n+ < q 2 y n,... n > n ɛ. y m+ + y m < y m q p. Poichè l serie secondo membro di quest diseguglinz è il primo resto dell serie geometric con rgomento minore di uno, che è convergente, l serie y m+ + y m risulterà convergente. M quest ultim è l m-esimo resto dell serie di prtenz, che dunque risulterà convergente. Supponimo or λ >. In questo cso esisterà un indice ν tle che, per n > ν si bbi y n+ > y n. Quindi dovrà versi lim n y n > e questo implic che l serie non può essere convergente. Infine, essendo termini positivi, l serie dovrà necessrimente divergere. p=

85 5.2. CRITERI I CONVERGENZA 8 Esempi ) Studire il crttere dell serie n= n 2 n. Applicndo il criterio del rpporto ottenimo y n+ = n + y n 2 n, il cui limite, per n è 2. L serie è llor convergente. 2) Studire il crttere dell serie n= nn n!. Applico ncor il criterio del rpporto e trovo ( y n+ = + n. y n n) Poichè lim n ( + n) n = e, l serie risulterà divergente. 3) L serie + x! + x2 2! xn (n )! +... = x n (n )!, si dice serie esponenzile. Per x l serie risult essere termini non negtivi. Per x = si h S n = quindi l serie è convergente. Per x > si h n= y n+ y n = xn (n )! n! x n = x n. x Poichè lim n n =, ne segue che l serie esponenzile è convergente per x. 4) L serie x + x2 2 + x3 xn n +... = x n n, n= è dett serie logritmic. Per x ess è termini non negtivi. Poichè si h y n+ y n = nx n +, y ne segue lim n+ n y n = x. Quindi ess è convergente per x < e divergente per x >. Per x = ess coincide con l serie rmonic quindi risult divergente. Teorem 5.7 (criterio dell rdice). Si n= y n un serie termini non negtivi. Supponimo che esist, finito, il limite lim n n yn = l. Allor, se risult l <, l serie converge, mentre se risult l > l serie diverge.

86 82 CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE im. ll ipotesi, fissto ɛ >, esisterà un indice ν N tle che l ɛ < n y n < l + ɛ, per n > ν. Se l <, llor, per ɛ sufficientemente piccolo si h q = l + ɛ < e quindi n yn < q = y n < q n. Poichè q n è il generico termine di un serie geometric di rgione minore di, l serie delle q n converge, e per il criterio del confronto, convergerà nche l serie di prtenz. Se l >, sempre per un opportuno ɛ, si vrà p = l ɛ >, d cui n yn > p, = y n > p n. Poichè in questo cso l serie di termini p n srà divergente, per il teorem del confronto si vrà l divergenz dell serie di prtenz. Esempi ) Studire il crttere dell serie ( n n= Si trtt di un serie termini non negtivi. Applicndo il criterio dell rdice si h (n ) n n 2 ( ) n n ( lim = lim = lim ) n = n n n n n n e <. Ne segue l convergenz dell serie. 2) Studire il crttere dell serie n= n ) n 2 5 n+2 3 n. L serie è termini positivi. Applicndo il criterio dell rdice, n 5 n+2 lim n 3 n = 3 lim 5 n+2 n = 5 n 3 >. L serie risult dunque divergente. Osservzione. Come nel cso del criterio del rpporto, se l = il criterio dell rdice non premette di dedurre l convergenz o l divergenz di un serie. Come esempio si consideri l serie rmonic generlizzt n= n. Si h, per qulunque x, x n lim n n x = lim n n x/n =. Come sppimo, l serie può essere convergente o divergente second del vlore di x m il criterio dell rdice, in questo cso, non permette di stbilire il crttere dell serie..

87 5.3. SERIE ALTERNANTI E SERIE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI Serie lternnti e serie ssolutmente convergenti Si dice lternnte un serie i cui termini sono lterntivmente positivi e negtivi. Se, per esempio, il primo termine è positivo, tutti i termini di posto dispri srnno positivi e tutti quelli di posto pri srnno negtivi. Ad esempio è lternnte l serie ( )n n +... = ( ) n. n Si può dimostrre che se i vlori ssoluti dei termini di un serie lternnte formno un successione monotòn, llor l serie non è divergente. Più in prticolre si h il seguente risultto Teorem 5.8 t un serie lternnte con y >, supponimo che l successione { y n } si monotòn decrescente e che lim n y n =. Allor l serie converge e l su somm è un numero positivo S y. im. Considerimo le somme przili di ordine pri S 2n. Si può scrivere n= S 2n = ( y y 2 ) + ( y 3 y 4 ) ( y 2n y 2n ). Poichè { y n } è decrescente, l successione {S 2n } risult crescente. ltr prte si può nche scrivere S 2n = y ( y 2 y 3 ) ( y 4 y 5 )... y 2n, quindi risult < S 2n < y cioè {S 2n } è limitt. Ess risulterà llor convergente. enotimo con S questo limite. Considerimo or le somme przili di ordine dispri S 2n+. Poichè si h S 2n+ = S 2n + y 2n+, tenuto conto dell ipotesi lim n y n =, si ricv lim S 2n+ = lim (S 2n + y 2n+ ) = S + lim y 2n+ = S. n n n Si conclude llor che le somme przili pri e le somme przili dispri convergono llo stesso limite che è l somm dell serie. Esempio ( ) n Considerimo l serie n= n. Poichè si h > 2 > 3 >... ed nche lim n ( )n n il teorem precedente l serie risult convergente. =, per iremo che l serie n= y n è ssolutmente convergente se risult convergente l serie n= y n. Teorem 5.9 Ogni serie ssolutmente convergente è convergente. im. Osservimo che, per ogni n si h y n y n y n, d cui y n + y n 2 y n. Per ipotesi bbimo che n= y n è convergente e quindi lo srà nche l serie n= 2 y n. Per il criterio del confronto llor srà convergente nche l serie n= (y n + y n ). ltr prte si h S n = n y k = k= n (y k + y k ) k= n y k k=

88 84 CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE d cui, pssndo l limite per n, {S n } risulterà convergente perchè differenz di due successioni convergenti. L semplice convergenz non implic l ssolut convergenz. Per esempio, l serie convergente m l serie dei vlori ssoluti n= n risult divergente. Le serie ssolutmente convergenti godono dell proprietà di commuttività dell somm. Si può dimostrre inftti che se si scmbino di posto i termini di un serie ssolutmente convergente l serie risultnte continu d essere ssolutmente convergente e l su somm non cmbi. Quest proprietà non vle in generle per un serie non ssolutmente convergente. Esempio ( ) n Abbimo già visto che l serie n= n non è ssolutmente convergente m è convergente. Chimimo S l su somm. Cmbimo l ordine degli ddendi dell serie in modo tle che ogni termine positivo si seguito d due termini negtivi, ovvero ( 2 ) ( ) ( ) ( = 2 ) ( ) ( + 8 ) = [ ] +... = ( ) n = 2 n 2 S. Per effetto del cmbimento di ordine l serie h cmbito somm. n= n= ( ) n n è

89 Cpitolo 6 Serie di funzioni Si dice serie di funzioni l serie f (x) + f 2 (x) f n (x) +... = f n (x), i cui termini sono funzioni definite in un certo intervllo A dei reli. Le serie x n, (serie geometric), n= n= n= n= n x, n= (serie rmonic generlizzt), x n, (serie esponenzile), (n )! x n n, (serie logritmic), già considerte nel cpitolo precedente, sono esempi di serie di funzioni. Se un serie di funzioni risult convergente in tutti i punti di un insieme A diremo che l serie è convergente in. iremo poi che n= f n(x) è ssolutmente convergente in se è convergente l serie n= f n(x). L somm S(x) di un serie di funzioni convergente in è un funzione definit in. 6. Convergenz uniforme Si n= f(x) un serie di funzioni, convergente in. Si dice che l serie è uniformemente convergente in Ω se, ɛ >, ν ɛ N : n > ν ɛ, x Ω S n (x) S(x) < ɛ. È importnte notre che il numero ν ɛ dipende qui d ɛ m non d x. L convergenz uniforme implic l convergenz dell serie di funzioni punto per punto in Ω. Tuttvi un serie di funzioni può essere convergente in un punto m non essere uniformemente convergente in quel punto. Esempi ) Verificre che l serie n= ( ) n x 2 + n, 85

90 86 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI converge uniformemente in [, ]. Osservimo che l serie dt è lternnte ed è f (x) = x >, x [, ]. Inoltre, l 2 + successione dei vlori ssoluti { f n (x) } risult monotòn decrescente per ogni x [, ] e si h lim n f n (x) =. Ne segue che l serie è convergente in [, ]. Considerimo or il resto n-esimo dell serie dt, [ ] R n (x) = ( ) n x 2 + n + x 2 + n Poichè si h R n (x) < x 2 +n+ n, dett S(x) l somm dell serie, risult S n (x) S(x) = R n (x) < n. Quindi, fissto ɛ > si h S n (x) S(x) < ɛ per n > ν ɛ = ɛ, per ogni x [, ]. Il numero ν ɛ è indipendente d x quindi l serie è uniformemente convergente in [, ]. 2) Considerimo l serie L somm przile n-esim è (x n x n ). n= S n (x) = (x ) + (x 2 x) + (x 3 x 2 ) x n x n = + x n, quindi lim S n(x) = n { per x < per x =. L serie è dunque convergente in [, ]. Per esminre l uniforme convergenz, osservimo che, fissto un ɛ (, ) l diseguglinz S n (x) S(x) x n < ɛ, x [, ), è soddisftt per n > log x ɛ = ν(ɛ, x). Poichè comunque si scelg ɛ, si h lim x log x ɛ = +, non esiste un ν tle che per n > ν si soddisftt l condizione di convergenz per ogni x [, ]. L serie quindi non è uniformemente convergente in [, ]. Osservimo infine che, se ci restringimo considerre l serie nell intervllo [, δ], con < δ < llor l diseguglinz x n < ɛ risult soddisftt per ln ɛ n > ln( δ) = ν ɛ. Possimo dire llor che l serie risult uniformemente convergente in [, δ]. A ulteriore commento dei due esempi precedenti, riportimo in figur l rppresentzione grfic delle somme przili delle due serie Il seguente teorem stbilisce un condizione sufficiente per l convergenz di un serie di funzioni.

91 6.. CONVERGENZA UNIFORME 87 Teorem 6. (Criterio di Weierstrss). t l serie di funzioni n= f n(x), dove le f n (x) sono definite in, supponimo che per ogni x Ω, con Ω chiuso, si bbi f n (x) n, n =, 2,..., e che l serie numeric n= n si convergente. Allor l serie n= f n(x) risult ssolutmente e uniformemente convergente in Ω. im. ll diseguglinz f n (x) n, n =, 2,..., medinte il criterio del confronto, deducimo che l serie n= f n(x) risult convergente per ogni x Ω quindi l serie è ssolutmente convergente in Ω. Provimo che ess è nche uniformemente convergente. Posto n= f n(x) = S(x) e n= n = σ, si h, per ogni x Ω, S n (x) S(x) = f n+ (x) + f n+2 (x) +... f n+ (x) + f n+2 (x) +... n+ + n = σ σ n. Ne segue che, per l convergenz di n= n, ɛ >, ν ɛ N : n > ν ɛ σ n σ < ɛ. M questo implic che S n (x) S(x) < ɛ, n > ν ɛ indipendentemente d x. Concludimo che l serie di funzioni è uniformemente convergente. Esempio Studire l convergenz dell serie di funzioni sin nx n 2 + (4 x 2 ) n/2. n= I termini dell serie sono funzioni definite in [ 2, 2]. Si h sin nx n 2 + (4 x 2 ) n/2 = sin nx n 2 + (4 x 2 ), n =, 2,..., x [ 2, 2]. n n2 Poichè l serie n= n 2 converge, per il criterio di Weierstrss l serie di funzioni converge uniformemente in [ 2, 2].

92 88 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI Le serie uniformemente convergenti godono di lcune proprietà notevoli. Teorem 6.2 Se si moltiplicno tutti i termini di un serie di funzioni uniformemente convergente in [, b] per un funzione g(x) limitt in [, b], llor l serie risultnte n= g(x)f n(x) è uniformemente convergente in [, b]. im. Poichè si suppone g(x) limitt in [, b], esisterà un C R + tle che g(x) C, x [, b]. Si può scrivere llor n g(x)f k (x) g(x)s(x) = g(x) S n (x) S(x) C S n (x) S(x), k= x [, b]. Se l serie n= f n(x) converge uniformemente, convergerà uniformemente nche l serie n= g(x)f n(x) e l su somm srà g(x)s(x), definit in [, b]. Teorem 6.3 Se l serie n= f n(x) è uniformemente convergente in [, b] e i suoi termini sono funzioni continue in [, b], llor l somm dell serie è un funzione continu in [, b]. im. Considerimo un punto x [, b] ed un incremento h tle che x + h [, b]. Poichè l serie è uniformemente convergente in [, b], fissto ɛ > si vrà S n (x ) S(x ) < ɛ 3, S n(x + h) S(x + h) < ɛ 3, per ogni n > ν ɛ N indipendentemente dll scelt di x in [, b] e di h. Poichè le funzioni f n (x) sono continue, l somm przile S n (x) srà un funzione continu quindi, preso un qulunque n = n, esisterà un δ ɛ tle che per h < δ ɛ si bbi Se sceglimo llor n > ν ɛ e h < δ ɛ, risulterà S(x + h) S(x ) = S n (x + h) S n (x ) ɛ 3. S(x + h) S n (x + h) + S n (x + h) S n (x ) + S n (x ) S(x ) S(x + h) S n (x + h) + S n (x + h) S n (x ) + S n (x ) S(x ) < ɛ. M quest non è ltro che l condizione di continuità dell funzione S(x) in x. Poichè il risultto vle per qulunque x [, b], l somm dell serie risult continu in tutto [, b]. Osservimo che se viene mncre l ipotesi di convergenz uniforme, l semplice continuità dei termini dell serie non è sufficiente grntire l continuità dell somm. Esempi ) Considerimo l serie precedentemente studit (x n x n ). n=

93 6.2. SERIE I POTENZE 89 Abbimo già visto che quest serie non è uniformemente convergente in [, ]. Le funzioni f n (x) = x n x n sono continue in [, ] mentre l somm risult discontinu in x =, in qunto, { per x < S(x) = per x =. 2) Abbimo visto che l serie rmonic generlizzt n= n è convergente per x >. Preso x un α >, quest serie risult uniformemente convergente per x + α. Inftti si h n x n +α, e poichè l serie n= è convergente, per il criterio di Weierstrss l serie rmonic generlizzt è uniformemente convergente per x + α. Ne segue che l n +α funzione ζ(x) = n= n x, è continu per x >. Quest funzione è not come zet di Riemnn. Si possono dimostrre nche i seguenti teoremi che qui non dimostreremo. Teorem 6.4 Se l serie di funzioni n= f n(x) converge uniformemente S(x) in [, b] e le funzioni f n (x) sono continue in [, b], llor l serie è integrbile termine termine ovvero, x x S(ξ) dξ = n= x x f n (ξ) dξ, per ogni x [, b]. Inoltre l serie secondo membro converge uniformemente in [, b]. Teorem 6.5 Si n= f n(x) un serie convergente i cui termini sono funzioni derivbili in [, b]. Supponimo che l serie delle derivte n= f n(x) converg uniformemente in [, b]. Allor l serie è derivbile termine termine ovvero, 6.2 Serie di potenze d dx S(x) = f n(x), n= x [, b]. Si x R e c n R, n N. L serie c n (x x ) n, n= si dice serie di potenze e i numeri c n si dicono coefficienti dell serie. È evidente che ogni serie di potenze converge per x = x. In tl cso inftti si h n= c n(x x ) n = c. Medinte il cmbimento di vribile x x = X si può sempre scrivere un serie di potenze nell form n= c nx n.

94 9 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI Teorem 6.6 (di Abel). Se l serie di potenze n= c nx n converge per x = x, llor ess converge ssolutmente per tutti gli x tli che x < x. Se ess diverge per x = x 2, llor ess divergerà per tutti gli x tli che x > x 2. im. Se n= c nx n converge in x vremo necessrimente che lim n c n x n =. Ne segue che esiste un mggiornte M dei termini dell serie n= c nx n cioè c nx n M, n. Scelto llor x < x vremo c n x n = c n x n x n Mq n, essendo q = x/x <. M il termine secondo membro è il termine generle di un serie geometric di rgomento minore di uno, che è convergente. Ne segue, per il criterio del confronto, che l serie dt è ssolutmente convergente per x < x. Supponimo or che l serie di potenze diverg per x = x 2 e rgionimo per ssurdo. Supponimo che per un x tle che x > x 2 l serie converg. Allor, per qunto dimostrto prim, ess deve convergere nche per x = x 2. M ciò contrddice l ipotesi, quindi l serie diverge per x > x 2. Il teorem di Abel ci permette di suddividere l sse rele in intervlli di convergenz di un serie di potenze ed intervlli di divergenz. Tli intervlli sono simmetrici rispetto ll origine. x efinimo rggio di convergenz di un serie di potenze, l estremo superiore dell insieme dei vlori x per i quli l serie converge e lo denoteremo con R. iremo quindi che un serie di potenze h rggio di convergenz R se ess converge nell intervllo ( R, R). Tle intervllo può essere chiuso o perto second che l serie converg o meno per x = ±R. Se l serie converge solo per x = llor porremo R =. Se l insieme dei vlori x per i quli l serie converge non è limitto, porremo R =. In generle l intervllo di convergenz dell serie n= c n(x x ) n è l intervllo perto (x R, x + R) oppure l intervllo chiuso [x R, x + R]. Per determinre il rggio di convergenz di un serie di potenze si può fre uso di uno dei criteri di convergenz studiti per le serie numeriche. Supponimo per esempio, che esist e si finito, il seguente limite lim n c n+ c n = L,

95 6.2. SERIE I POTENZE 9 e pplichimo il criterio del rpporto ll serie dei vlori ssoluti n= c nx n. Si h lim c n+ x n+ n c n x n = lim c n+ n c n x = L x, d cui segue che per x L < l serie converge e per x L > l serie diverge. dll definizione di rggio di convergenz si ottiene llor R = /L. Si ricv così l seguente formul per il clcolo del rggio di convergenz R = lim c n. Esempi n c n+ ) eterminre l intervllo di convergenz dell serie di potenze n= ( )n nx n. Clcolimo il rggio di convergenz R = lim n c n c n+ = lim ( ) n n n ( ) n (n + ) = lim n n n + =. Ne segue che l serie è ssolutmente convergente per < x <. Studimo or l convergenz nei punti estremi di questo intervllo. Per x = si ottiene l serie ( ) n n( ) n = n= che è plesemente divergente. Per x = si h ( ) 2n n = n, n= ( ) n n() n = n= ( ) n n, che è un serie oscillnte. Concludimo che l intervllo di convergenz dell serie dt è l intervllo perto (, ). n= 2) eterminre l intervllo di convergenz dell serie di potenze n= Clcolimo R. R = lim n c n c n+ ( ) n n2 n (x + 3) n. n= = lim (n + )2 n+ n n2 n ( = lim 2 + ) = 2. n n unque l serie converge ssolutmente nell intervllo x + 3 < 2, ovvero per 5 < x <. Per x = 5 si h l serie ( ) n n2 n ( 2) n = n= che risult divergente. Per x = si h n= n= ( ) n n2 n 2 n = ( ) 2n n n= = ( ) n n, n= n,

96 92 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI che sppimo essere un serie convergente. Ne segue che l intervllo di convergenz dell serie di prtenz è ( 5, ]. 3) eterminre l intervllo di convergenz dell serie di potenze ( ) n (x 2) n n n. Si h lim n c n c n+ = (n + ) n+ lim n n n = lim n n= ( n + n ) n ( (n + ) = lim + n (n + ) = +. n n) Ne segue che il rggio di convergenz è infinito e l serie converge in tutto R. 4) eterminre l intervllo di convergenz dell serie di potenze n!x n. Poichè si h lim n c n c n+ = lim n n= n! (n + )! = lim n n + =, il rggio di convergenz è zero. L serie converge llor solo per x = e si h S() =. Fcendo uso dei teoremi sulle serie di funzioni uniformemente convergenti, si può dimostrre che un serie di potenze convergente in (x R, x + R), converge ssolutmente e uniformemente in ogni intervllo chiuso contenuto in (x R, x + R). questo risultto segue immeditmente che l somm di un serie di potenze è un funzione continu in un qulunque intervllo chiuso contenuto in (x R, x + R). Risult inoltre che ogni serie di potenze è integrbile termine termine e si h x c n ξ n dξ = n= n= c n n + xn+. L intervllo di convergenz R di quest ultim serie è ugule quello dell serie di prtenz, R. Inftti si h R = lim c n n + 2 n n + c n+ = lim c n n + 2 n c n+ n + = lim c n n c n+ = R. Si può inoltre dimostrre che le serie di potenze possono essere derivte termine termine mntenendo il proprio intervllo di convergenz, ovvero S (x) = d c n x n = nc n x n, dx n= n= R = lim nc n n (n + )c n+ = lim c n n n c n+ n + = lim c n n c n+ = R. Poichè l serie derivt è un serie di potenze con lo stesso rggio di convergenz ess può essere derivt un numero rbitrrio di volte.

97 6.3. SERIE I TAYLOR Serie di Tylor Si dice che un funzione f(x) è sviluppbile nell serie di potenze n= c n(x x ) n nell intervllo (x R, x + R) se l serie di potenze converge e l su somm è f(x). Se l funzione è derivbile un numero rbitrrio di volte, i coefficienti c n dello sviluppo sono univocmente determinti d f(x). Inftti, posto f(x) = c + c (x x ) + c 2 (x x ) c n (x x ) n +..., derivndo n volte si h f (n) (x ) = n!c n d cui c n = f (n) (x ). n! Ne segue che se f(x) è sviluppbile in serie di potenze, il suo sviluppo è f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + 2 f (x )(x x ) n! f (n) (x )(x x ) n +... Si f(x) un funzione derivbile un numero rbitrrio di volte in [, b] e si x (, b). L espressione f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) f (n) (x ) (x x ) n n! f (n) (x ) = (x x ) n, n! n= si dice serie di Tylor dell funzione f(x). Nel cso in cui x = quest serie prende nche il nome di serie di McLurin. qunto visto sinor, un funzione sviluppbile in serie di potenze mmette come sviluppo proprio l serie di Tylor. Vicevers, l serie di Tylor di un funzione f(x) può non convergere f(x) e quindi può non essere lo sviluppo in serie di potenze di f(x). Esempio L funzione f(x) = { e /x2 x x = è derivbile infinite volte in tutto R e si h f (n) () =, n. L su serie di McLurin è dunque + x + x x n +... =. Ne segue che l funzione dt non è sviluppbile in serie di Tylor. Teorem 6.7 Condizione sufficiente ffinchè un funzione f(x) si sviluppbile in serie di potenze (cioè in serie di Tylor), nell intervllo (x R, x + R) è che mmett derivte di qulsisi ordine in (x R, x + R) e che in questo stesso intervllo tli derivte sino limitte.

98 94 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI im. Considerimo l formul di Tylor per l funzione f(x) con resto nell form di Lgrnge f(x) = n k= L dimostrzione del teorem consiste nel provre che ovvero, che f (k) (x ) (x x ) k + f (n+) (ξ) k! (n + )! (x x ) n+, ξ (x, x). f(x) = lim n n k= f (k) (x ) (x x ) k, k! f (n+) (ξ) lim n (n + )! (x x ) n+ =. Sfruttndo l limittezz delle derivte, bbimo f (n+) (x) < M, n, x (x R, x + R) e quindi (x x ) n+ f (n+) (ξ) (n + )! M x x n+ M Rn+ (n + )! (n + )!. M l serie n= R n+ (n + )!, converge in qunto è il primo resto di un serie esponenzile, quindi deve essere necessrimente lim n R n+ (n + )! =. Ne segue che il resto dell serie è un infinitesimo per n e quindi che l serie di Tylor di f(x) converge e h per somm f(x). Esempi ) Serie esponenzile. Considerimo l funzione f(x) = e x che è definit in R ed h derivte di qulunque ordine. Voglimo studire l su sviluppbilità in serie di McLurin. Preso R R +, per x [ R, R] si h f (n) (x) = e x e R, che comport l limittezz delle derivte di qulunque ordine. Per il teorem 6.7 l funzione è dunque sviluppbile in serie di potenze in [ R, R]. M questo risultto vle comunque si scelg R quindi f(x) = e x è sviluppbile in serie di McLurin in tutto R. Si ricv così l not serie esponenzile, e x = + x! + x2 2! xn (n )! ) Sviluppo di sin x e cos x. Considerimo l funzione f(x) = sin x che è definit in tutto R ed è C. R R + si h sin x, cos x, x [ R, R], Comunque preso

99 6.3. SERIE I TAYLOR 95 quindi, per il teorem 6.7 l funzione è sviluppbile in serie di McLurin in [ R, R] e quindi in R. Si ottiene sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! ( )n x 2n (2n + )! Un risultto nlogo si ricv per l funzione cos x il cui sviluppo è 3) Serie binomile. cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! ( )n x 2n +... (2n)! Considerimo l funzione f(x) = ( + x) α con α R, per x >. Osservimo che si h ( + x)f (x) = αf(x), f() =. Voglimo determinre un serie di potenze che converg f(x). Per fre ciò imponimo che l somm di quest ipotetic serie S(x) = + c x + c 2 x c n x n +... soddisfi le uguglinze precedenti. L condizione S() = è già soddisftt, mentre l condizione ( + x)s (x) = αs(x) richiede c + (c + 2c 2 )x + (2c 2 + 3c 3 )x [nc n + (n + )c n+ ]x n +... = α + αc x + αc 2 x αc n x n +... Uguglindo i coefficienti delle potenze dello stesso ordine ottenimo c = α, c 2 = α(α ), c 3 = 2! L somm dell serie di potenze è dunque dt d S(x) = + αx + ed il suo rggio di convergenz risult α(α )(α 2) α(α )...(α n + ),... c n = 3! n! α(α ) x ! R = lim n c n c n+ α(α )...(α n + ) x n +... n! = lim n + n α n =. L serie risult convergente in (, ). Per dimostrre che S(x) = f(x) = ( + x) α, osservimo che l equzione ( + x)f (x) = αf(x), insieme ll condizione f() = costituisce un problem di Cuchy per l funzione f(x). Poichè S(x) è soluzione dello stesso problem, l unicità dell soluzione implic S(x) = f(x). L serie così determint si chim serie binomile. Ess si può porre nell form ( ) ( + x) α α = x n, x (, ), n n= ( ) α dove i numeri, detti coefficienti binomili, sono definiti d n ( ) α = n α(α )...(α n + ), n! ( ) α =,

100 96 CAPITOLO 6. SERIE I FUNZIONI 4) Serie logritmic. Considerimo l serie binomile per α =. Ottenimo lo sviluppo + x = x + x2 x ( ) n x n +..., x (, ). Integrndo mbo i membri ricvimo x dξ + ξ = x ( ξ + ξ 2 ξ ( ) n ξ n +...) dξ, d cui, per l integrbilità termine termine, ottenimo lo sviluppo che risult vlido per x (, ). ln( + x) = x x2 2 + x ( )n x n n +

101 Cpitolo 7 Serie di Fourier 7. Sistemi trigonometrici Considerimo lo spzio vettorile C([, b]) delle funzioni definite e continue in [, b] e definimo un prodotto sclre, in C([, b]) nel seguente modo f, g = b f(x)g(x) dx, f, g C([, b]). ue funzioni f (x), f 2 (x) di C([, b]) risulternno llor ortogonli se b f (x)f 2 (x) dx =. Per esempio, le funzioni f(x) = x e g(x) = e x2 sono ortogonli in [ c, c], (c > ), in qunto c c xe x2 dx = [ ] c 2 ex2 =. c Più in generle, un insieme finito o infinito di funzioni continue in [, b] e non identicmente nulle f (x), f 2 (x), f 3 (x),..., f n (x) si dice un sistem di funzioni ortogonli in [, b] se, k, h con k h risult b f k (x)f h (x) dx =. efinimo sistem trigonometrico l insieme finito o infinito di funzioni, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x,..., cos nx, sin nx,... Verifichimo che ogni sistem trigonometrico è un sistem di funzioni ortogonli in [ π, π]. Le funzioni di un tle sistem sono continue in R. Inoltre, dlle formule di Werner, si h cos mx cos nx = [cos(m n)x + cos(m + n)x] 2 sin mx sin nx = [cos(m n)x cos(m + n)x] 2 sin mx cos nx = [sin(m n)x + sin(m + n)x]. 2 97

102 98 CAPITOLO 7. SERIE I FOURIER Per m n si ottiene llor π cos mx cos nx dx = [ sin(m n)x sin(m + n)x + π 2 m n m + n π sin mx sin nx dx = [ sin(m n)x sin(m + n)x π 2 m n m + n π sin mx cos nx dx = [ cos(m n)x cos(m + n)x 2 m n m + n ltr prte si h π π π sin nx cos nx dx = 2 π π sin 2nx dx = ] π π ] π π ] π =, =, π =, [ ] cos 2nx π =. 2n π Se infine si considerno i prodotti cos mx e sin mx, si ricv subito π [ ] sin mx π π [ cos mx ] π cos mx dx = =, sin mx dx = =, m m π π 7.2 Serie trigonometriche Si chim serie trigonometric un serie di funzioni del tipo π π 2 + ( n cos nx + b n sin nx). n= Poichè ciscun termine dell serie è un funzione periodic di periodo 2π, se l serie trigonometric converge ll somm S(x) llor quest ultim srà un funzione periodic di periodo 2π, definit in tutto R. Si dice che un funzione f(x), periodic di periodo 2π è sviluppbile in serie trigonometric se è possibile trovre un serie trigonometric convergente in R, l cui somm si f(x). Teorem 7. Si f(x) un funzione periodic di periodo 2π, sviluppbile in serie trigonometric in tutto R, ovvero f(x) = 2 + ( n cos nx + b n sin nx), n= e supponimo che l serie secondo membro si uniformemente convergente in [ π, π] e quindi, per l periodicità, si convergente in tutto R. Allor i suoi coefficienti, n, b n (n =, 2,...) sono univocmente determinti d n = π b n = π π π π π f(x) cos nx dx, n =,,... f(x) sin nx dx, n =, 2,... im. Per l continuità dei singoli termini dell serie e per l ipotesi di uniforme convergenz, l serie risult integrbile termine termine e si h π f(x) dx = π π π ) dx + ( n cos nx dx + b n sin nx dx = π, 2 π π n= π π

103 7.2. SERIE TRIGONOMETRICHE 99 d cui si ricv π = f(x) dx. π π Moltiplichimo or mbo i membri dell uguglinz f(x) = 2 + n= ( n cos nx+b n sin nx) per cos mx e integrimo sull intervllo [ π, π]. Anche in questo cso è grntit l integrbilità termine termine e si ottiene π f(x) cos mx dx = π cos mx dx+ π 2 π π π ) + ( n cos mx cos nx dx + b n cos mx sin nx dx n= π Per l ortogonlità del sistem trigonometrico, l unico integrle diverso d zero è quello con m = n di coefficiente n. Si ottiene llor π π f(x) cos mx dx = m cos 2 mx dx = m π, d cui π π m = f(x) cos mx dx. π π In modo perfettmente nlogo, moltiplicndo l uguglinz per sin mx e integrndo su [ π, π] si ricv π π f(x) = 2 + ( n cos nx + b n sin nx) b m = π n= π π f(x) sin mx dx. Osservimo che se f(x) è un funzione integrbile nell intervllo [ π, π], llor è possibile costruire l serie 2 + ( n cos nx + b n sin nx), i cui coefficienti sino dti d m = π π n= π f(x) cos mx dx, b m = π π π f(x) sin mx dx. Tle serie si dice serie di Fourier dell funzione f(x), mentre n e b n si dicono i coefficienti di Fourier. L semplice integrbilità in [ π, π] non grntisce tuttvi l sviluppbilità di f(x), cioè l convergenz dell su serie di Fourier. Il concetto di sviluppbilità in serie di Fourier non rigurd solo le funzioni periodiche di periodo 2π. Supponimo di vere un funzione f(x) definit in [, b]. Operndo l trsformzione X = 2π b ( x b + 2 l funzione ssume l form ˆf(X), definit in [ π, π]. Se l funzione f(x) è integrbile in [, b], l funzione ˆf(X) lo srà in [ π, π]. È dunque possibile costruire l serie di Fourier di ˆf(X) e se quest risult convergente Ŝ(X), llor l funzione ˆf(X) potrà essere prolungt su tutto R con l periodicità 2π, fcendol coincidere con Ŝ(X). Per questo motivo possimo studire l sviluppbilità in serie di Fourier di un funzione f(x) integrbile in [, b] restringendoci considerre funzioni periodiche di periodo 2π, integrbili in [ π, π]. Ritorneremo più vnti su questo punto con degli esempi. ),

104 CAPITOLO 7. SERIE I FOURIER 7.3 Criterio di convergenz Si f(x) un funzione definit in [, b]. iremo che f è lisci trtti se ess è continu trtti in [, b], insieme ll su derivt prim. Un funzione lisci trtti in [, b] è necessrimente limitt in questo intervllo e può solo vere punti di discontinuità di prim specie. In ltri termini, se x = c è un punto di discontinuità in [, b] llor esistono, finiti, i limiti destro e sinistro in c, che denoteremo con lim f(x) = x c f(c+ ), + lim = x c f(c ). Enuncimo, senz dimostrre, il seguente fondmentle criterio di convergenz. Teorem 7.2 Si f(x) periodic di periodo 2π lisci trtti in [ π, π]. Allor l su serie di Fourier converge in ogni punto di [ π, π] e l su somm è tle che S(x) = 2 + ( n cos nx + b n sin nx), n= f(x) x ( π, π) S(x) = 2 [f(x+ ) + f(x )] in ogni punto x di discontinuità 2 [f( π+ ) + f(π )] per x = ±π. Esempi ) Sviluppre in serie di Fourier l funzione f(x) = π x, definit in ( π, π) e prolungt su tutto R con periodo 2π. L funzione dt soddisf le condizioni del teorem 7.2. Clcolimo i coefficienti del suo sviluppo. Si h = π ] π (π x)2 (π x) dx = [ = 2π, π π 2π π e, medinte un integrzione per prti, n = π x) cos nx dx = π π(π [ ] sin nx π (π x) + π sin nx dx =. π n π πn π b n = π x) sin nx dx = π π(π [ cos nx ] π (π x) π cos nx dx π n π πn π = 2 n cos nπ = ( )n 2 n. Si ottiene così, per π < x < π, π x = π + 2 n sin nx ( ) n. n= 2) Sviluppre in serie di Fourier l seguente funzione definit in ( π, π), periodic di periodo 2π, { π < x < f(x) = x x < π

105 7.3. CRITERIO I CONVERGENZA Anche quest funzione soddisf le ipotesi del criterio di convergenz. Tenuto conto che l funzione è null in ( π, ], il clcolo dei coefficienti di Fourier fornisce Poichè si h b n = π π = π π f(x) dx = π n = x cos nx dx = π π cos nπ = πn 2 = ( )n πn 2, π x sin nx dx = π π [ x sin nx n ] π [ x cos nx ] π + n πn x dx = π 2, π sin nx dx πn π { ( ) n 2 per n dispri πn 2 = πn 2 per n pri, cos nx dx = ( )n+. n si ottiene f(x) = π 4 + n= ( ) 2 cos(2n )x π(2n ) 2 ( )n sin nx. n Osservimo che lo sviluppo in serie di Fourier risult semplificto per le funzioni pri e per le funzioni dispri. Inftti se f(x) è pri, llor f(x) cos nx è un funzione pri mentre f(x) sin nx è un funzione dispri. Ne segue che n = π b n = π π π f(x) cos nx dx = 2 π π π f(x) sin nx dx =. π f(x) cos nx dx, L serie di Fourier di un funzione pri contiene dunque solo un somm di coseni, ovvero f(x) = 2 + n cos nx. n= Vicevers, se f(x) è dispri, l funzione f(x) cos nx risult dispri mentre l funzione f(x) sin nx risult pri e si h =, n =, b n = 2 π π e l serie di Fourier corrispondente contiene solo seni, cioè f(x) = b n sin nx. n= f(x) sin nx dx,

106 2 CAPITOLO 7. SERIE I FOURIER Esempi ) Sviluppre in serie di Fourier l funzione f(x) = x 2 definit nell intervllo ( π, π) e periodic di periodo 2π. L funzione è pri e soddisf le ipotesi del criterio di sviluppbilità. Si h d cui = 2 π π x 2 dx = 2 3 π2, n = 2 π π x 2 = π n cos nx ( ) n 2. n= x 2 cos nπ cos nx dx = 4 n 2 = ( ) n 4 n 2, Quest ultim formul vle in prticolre nche per x = ±π. Inftti, poichè l funzione è pri, f( π) = f(π), d cui f( π) + f(π) = f(±π). 2 2) Sviluppre l funzione f(x) = x definit in ( π, π), di periodicità 2π, in serie di Fourier. L funzione è dispri e soddisf le ipotesi del criterio di sviluppbilità. Si h d cui b n = 2 π π x sin nx dx = 2 n x = 2 n+ sin nx ( ) n. n= cos nπ = 2( )n+, n 7.4 Serie di funzioni con periodo rbitrrio Si f(x) un funzione lisci trtti in [, b]. Considerimo il suo prolungmento di periodo b su tutto R, che chimeremo ncor f(x). Voglimo sviluppre in serie di Fourier quest funzione. A tle scopo ponimo + b = x, (b ) = 2l, 2 e operimo il cmbimento di vribile medinte il qule si h f(x) = f x = l π X + x, ( ) l π X + x = ˆf(X). L funzione ˆf(X) risult definit in [ π, π] ed è periodic di periodo 2π. Inftti, essendo f(x + 2l) = f(x), si h ( ) ( ) l l ˆf(X + 2π) = f π X + 2l + x = f π X + x = ˆf(X).

107 7.4. SERIE I FUNZIONI CON PERIOO ARBITRARIO 3 dove Sviluppimo or l funzione ˆf(X) in serie di Fourier. Abbimo ˆf(X) = 2 + ( n cos nx + b n sin nx), n = π b n = π π π π Ritornndo ll vribile x, si ottiene π n= ˆf(X) cos nx dx, n =,, 2,... ˆf(X) sin nx dx, n =, 2,... f(x) = 2 + ( n cos nπ(x x ) + b n sin nπ(x x ) ), l l n= dove n = l b n = l x +l x l x +l x l f(x) cos nπ(x x ) l f(x) sin nπ(x x ) l dx dx Esempi ) Sviluppre in serie di Fourier l funzione f(x) = x, definit nell intervllo [ l, l] e di periodo 2l. In questo cso x = e l funzione è pri, quindi si può scrivere x = 2 + n cos nπx, l n=

108 4 CAPITOLO 7. SERIE I FOURIER dove n = 2 l l x cos nπx l = 2 l dx = l x dx = l 2l n 2 (cos nπ ) = 2l π2 In definitiv, per l continuità di f(x) si ottiene, su tutto [ l, l], x = l 2 + 2l π 2 n 2 [( )n ] cos nπx l = l 2 4l π 2 n= n 2 π 2 [( )n ]. ( cos πx + 3πx cos + 5πx cos +... l 32 l 52 l 2) Sviluppre in serie di Fourier l funzione { x per < x < 2 f(x) = per 2 < x < 3, con periodo 2. Possimo pplicre i risultti precedenti ssumendo x = 2 e l =. Abbimo così d cui n = b n = 2 2 Si ottiene così x cos nπ(x 2) dx + x sin nπ(x 2) dx cos nπ(x 2) dx= sin nπ(x 2) dx= 2 2 x cos nπx dx + x sin nπx dx + = 5 2, n = n 2 π 2 [ ( )n ], n =, 2,... f(x) = n= b n =, n =, 2,... nπ ) { n 2 π 2 [ ( )n ] cos nπx } sin nπx, nπ 2 cos nπx dx, sin nπx dx, per x, 2, 4,... In questi punti c è un discontinuità di prim specie e per l condizione di sviluppbilità 7.2, si h f(x) = f(2 ) + f(2 + ) = Osservimo che in questo cso lo sviluppo precedente fornisce ( ) , d cui si ricv l seguente somm, 3 2 = π π = L stess somm si può ricvre dllo sviluppo dell esempio precedente.

109 7.5. RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA ELLA SERIE I FOURIER Rppresentzione compless dell serie di Fourier lle formule di Eulero e inx = cos nx + i sin nx, e inx = cos nx i sin nx, si ricv cos nx = einx + e inx, sin nx = einx e inx. 2 2i t un funzione f(x) sviluppbile in serie di Fourier nell intervllo [ π, π], il suo sviluppo si potrà scrivere nell form compless f(x) = 2 + e ( inx + e inx n 2 n= = Introducendo i coefficienti complessi e osservndo che si può scrivere l serie ssume l form comptt e inx e inx ) + b n 2i [( n ib n )e inx + ( n + ib n )e inx ] n= c = 2, c n = n ib n, c n = n + ib n, 2 2 c n e inx = n= f(x) = + n= n= c n e inx. c n e inx, In quest espressione, n ssume tutti i vlori interi positivi e negtivi, incluso lo zero. I coefficienti c n si possono esprimere in termini complessi. Inftti c n = n ib n = [ π π ] f(x) cos nx dx i f(x) sin nx dx 2 2π π π = π f(x)e inx dx, 2π e, nlogmente, π In sintesi, per n =, ±, ±2,..., si può scrivere c n = π f(x)e inx dx. 2π π c n = 2π π π f(x)e inx dx. Se l funzione f(x) è definit in [ l, l] e periodic di periodo 2l, bbimo visto che si h f(x) = 2 + n= ( n cos nπx l + b n sin nπx ), l

110 6 CAPITOLO 7. SERIE I FOURIER e, in termini complessi si scriverà dove Esempio c n = 2l l l f(x) = + n= c n e i nπx l, nπx i f(x)e l, dx, n =, ±, ±2,... Sviluppre in serie di Fourier l funzione { per π < x < f(x) = per < x < π, di periodo 2π. L funzione soddisf il criterio di sviluppbilità. Scrivimo il suo sviluppo nell form compless I coefficienti srnno dti d d cui c = /2 e c n = 2π c n = e inπ 2πin = π π f(x) = + n= c n e inx. f(x)e inx dx = π e inx dx, 2π cos nπ 2πin = i 2πn [( )n ], per n. Poichè sono diversi d zero solo i coefficienti c n con n dispri, si potrà scrivere f(x) = 2 i π + n= e i(2n )x 2n, nell intervllo ( π, π) con x. Per x =, dl teorem 7.2, si h f() = /2. Questo risultto è direttmente deducibile dllo sviluppo precedente in qunto f() = 2 i π L serie secondo membro si può scrivere + n= + n= 2n = + ( 2n = + n= ( 3 ) + 2n + ( 3 5 2n. ) ) ( 2n ) n + Poichè si verific fcilmente che quest ultim somm vle zero, si ottiene f() = /2.

111 Cpitolo 8 Funzioni di un vribile compless 8. Premesse Sppimo che i numeri complessi possono essere messi in corrispondenz biunivoc con i punti di un pino, detto pino complesso. Al pino complesso si possono pplicre i concetti di insieme perto, insieme chiuso, frontier, insieme connesso, insieme semplicemente connesso, insieme molteplicemente connesso e così vi. to un numero complesso z si dice ɛ-intorno di z l insieme dei numeri complessi soddisfcenti l diseguglinz z z < ɛ, dove ɛ >. Si può nche definire un intorno di un punto ll infinito. Considerimo questo proposito un successione di numeri complessi z, z 2, z 3,..., z n,... e supponimo che, fissto rbitrrimente un numero k >, esist un ν k N tle che, per ogni n > ν k si bbi z n > k. Si dice llor che l successione {z n } converge d un punto ll infinito z =. Preso un R >, l insieme dei punti z soddisfcenti l condizione z > R si dice un intorno del punto ll infinito. L insieme dei punti del pino complesso e del punto ll infinito si dice pino complesso esteso. Si un sottoinsieme perto e connesso del pino complesso. Considerimo un legge f : C C che d ogni numero complesso z di fcci corrispondere un ltro numero complesso w. Chimeremo tle legge un funzione compless di vribile compless. Posto z = x + iy ogni funzione f(z) di vribile compless definisce due funzioni u e v di x e y tli che f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Le funzioni u e v si dicono rispettivmente prte rele e prte immginri di f. Per esempio l funzione f(z) = (x + iy) 2 h prte rele u(x, y) = x 2 y 2 e prte immginri v(x, y) = 2xy. Un funzione w = f(z) si dice un foglio in se punti differenti di corrispondono vlori differenti di w. Per esempio l funzione f(z) = z 2 è d un foglio in = {x + iy C : y > } mentre non lo è in = C. Un funzione di vribile compless può inoltre essere più vlori. Per esempio l funzione f(z) = z è un funzione due vlori in tutto il pino complesso esteso d esclusione dei punti z = e z =. 7

112 8 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA t un funzione w = f(z) definit in un intorno B(z ), escluso l più il punto z = x + iy, si dice che f(z) tende d l = l + il b per z z e si scrive lim f(z) = l, z z se ɛ >, δ ɛ > : z B(z ) : z z < δ ɛ f(z) l < ɛ. Osservimo che l nozione di modulo di z z coincide con l distnz tr i punti z e z nel pino complesso delle z e che il modulo di f(z) l rppresent l distnz tr il punto w e il punto l nel pino complesso delle w. Formlmente llor, il concetto di limite ppen introdotto è identico quello per un funzione vettorile di due vribili reli. i conseguenz, condizione necessri e sufficiente ffinchè lim z z f(z) = l è che lim x x y y u(x, y) = l, lim x x y y v(x, y) = l b, A prtire d quest osservzione, si può dimostrre che l operzione di limite sulle funzioni di vribile compless gode delle stesse proprietà del limite delle funzioni di vribile rele. In prticolre vlgono le usuli regole per il clcolo del limite di un combinzione linere di funzioni, per il limite del prodotto di funzioni, per il limite del rpporto di funzioni. l concetto di limite segue poi quello di continuità. Si dice che f(z), definit in è continu in z se lim f(z) = f(z ). z z qunto detto precedentemente segue che un funzione f(z) è continu in z se e solo se lo sono le funzioni u(x, y) e v(x, y) in (x, y ). Un funzione continu in tutti i punti di C, si dirà continu in. 8.2 Funzioni derivbili e funzioni nlitiche Si f(z) definit in C e sino z e h C tli che z + h pprteng d un intorno di z. iremo che f(z) è derivbile in z se esiste, finito, il seguente limite lim h f(z + h) f(z ). h Questo limite, denotto con f (z ) = df dz (z ) si dice derivt di f(z) in z. Si noti che h tende zero seguendo un qulunque cmmino nel pino complesso. ll definizione si dimostr che l operzione di derivzione delle funzioni di vribile compless soddisf le note regole di derivzione di somm, prodotto, rpporto, funzione compost, funzione invers, vlide per le funzioni di vribile rele. Esempio imostrre che l funzione f(z) = Rz non è derivbile in lcun punto del pino complesso. Poichè il limite che compre nell definizione di derivt deve essere indipendente dl modo in cui h tende, considerimo due possibilità. In un primo cso prendimo h = x, ovvero un incremento rele. Allor f(z + x) f(z) x + x x lim = lim =. x x x x Se invece sceglimo h = i y, ovvero un incremento immginrio, bbimo f(z + i y) f(z) x x lim = lim y i y y i y =.

113 8.2. FUNZIONI ERIVABILI E FUNZIONI ANALITICHE 9 Ne segue che il limite non esiste e l funzione non è derivbile. Ciò vle per qulunque z C. Teorem 8. t un funzione f(z) = u(x, y) + iv(x, y) derivbile in z = x + iy, llor esistono le derivte przili di u e v rispetto x e y e si h im. Per ipotesi bbimo Sceglimo h = x e ottenimo u x = v y, u y = v x. f f(z + h) f(z) (z) = lim. h h f u(x + x, y) u(x, y) + i[v(x + x, y) v(x, y)] (z) = lim = u x x x + i v x. Sceglimo or h = i y e ottenimo f u(x, y + y) u(x, y) + i[v(x, y + y) v(x, y)] (z) = lim = i u y i y y + v y. Uguglindo i due risultti ottenimo u x = v y, u y = v x. Queste due relzioni si chimno equzioni di Cuchy-Riemnn. Le prti rele e immginri di ogni funzione compless di vribile compless, derivbile, devono soddisfre queste equzioni. Teorem 8.2 Sino u(x, y) e v(x, y) due funzioni differenzibili in (x, y) tli d soddisfre in quel punto le equzioni di Cuchy-Riemnn. Allor l funzione di vribile compless f(z) = u(x, y) + iv(x, y) è derivbile in z = x + iy. im. Per l differenzibilità di u e v, si h, per h = h x e + h y e 2, x = xe + ye 2, u(x + h) u(x) u h lim =, h h v(x + h) v(x) v h lim =, h h Moltiplicndo l second eguglinz per i e sommndol ll prim ottenimo u(x + h) + iv(x + h) [u(x) + iv(x)] ( u + i v) h lim = lim h h h h u x = lim h x + u y h y + i v x h x + i v h h Posto z = x + iy e z = h x + ih y e fcendo uso delle equzioni di Cuchy-Riemnn, si ottiene y h y u f(z + z) f(z) x lim = lim + i v x z. z z z z.

114 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA Scrivendo z = z e iφ con φ rbitrrio, ottenimo Quindi f(z) risult derivbile. Notimo che per ogni f(z) derivbile si h f(z + z) f(z) lim = u z z x + i v x. f (z) = u x + i v x = v y i u y = v y + i v x. Un funzione f(z) si dice nlitic in z = z se ess è derivbile in z e in tutto un suo intorno. iremo che f(z) è nlitic in se è derivbile in tutti i punti di. Si può dimostrre che un funzione nlitic in un punto è continu in quel punto. Esempi ) Studire l nliticità dell funzione f(z) = z z. Si h f(z) = x 2 + y 2 quindi lle equzioni di Cuchy-Riemnn ottenimo u(x, y) = x 2 + y 2, v(x, y) =. 2x =, 2y =. Queste equzioni sono soddisftte solo per z =. L funzione risult llor derivbile in z = m non è nlitic in lcun punto. 2) Studire l nliticità dell funzione f(z) = e x (cos y + i sin y). Si h e le equzioni di Cuchy-Riemnn sono dte d u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y, e x cos y = e x cos y, e x sin y = e x sin y, che sono soddisftte identicmente in tutto il pino complesso. L funzione è dunque nlitic in C e l su derivt è dt d f (z) = e x (cos y + i sin y) = f(z). Le equzioni di Cuchy-Riemnn possono essere utilizzte per determinre, meno di un costnte dditiv, un funzione nlitic qundo di ess si conosce l prte rele u(x, y) o l prte immginri v(x, y).

115 8.3. FUNZIONI ELEMENTARI Esempio eterminre l funzione nlitic f(z) = u(x, y) + iv(x, y) spendo che u(x, y) = e x cos y e che f() =. Poichè u x = ex cos y, utilizzndo l condizione u x integrndo, v(x, y) = = v v y, ottenimo y e x cos y dy = e x sin y + φ(x), = ex cos y, d cui, essendo φ(x) un funzione incognit. erivimo or l v, così determint, rispetto x e utilizzimo l second condizione di Cuchy-Riemnn. Ottenimo e x sin y + φ (x) = e x sin y, d cui ricvimo φ (x) =, ovvero φ(x) = C. L funzione f srà definit llor meno di un costnte dditiv, come f(z) = e x cos y + i(e x sin y + C). Imponendo l condizione f() = ottenimo C = e infine f(z) = e x (cos y + i sin y). Un funzione di due vribili ϕ(x, y) si dice rmonic in se possiede in derivte continue fino l secondo ordine e se soddisf l equzione di Lplce ϕ =, ovvero 2 ϕ x ϕ y 2 =. Si può dimostrre che un funzione f(z) nlitic in mmette derivte fino qulunque ordine continue. A prtire d questo ftto si ricv che ogni funzione f = u + iv nlitic in è tle che le singole funzioni u(x, y) e v(x, y) sino rmoniche in. Inftti derivndo le equzioni di Cuchy- Riemnn, l prim rispetto x e l second rispetto y si ottiene 2 u x 2 = 2 v x y, 2 u y 2 = 2 v x y, d cui, sommndo membro membro, si ottiene l equzione di Lplce per u. Anlogmente, derivndo le equzioni di Cuchy-Riemnn, l prim rispetto y e l second rispetto x, si ricv l equzione di Lplce per l funzione v. 8.3 Funzioni elementri Considereremo qui lcune funzioni di vribile compless studindone le principli proprietà. ) Esminimo l generic funzione linere w = f(z) = z + b dove, b C con. Ess è definit in tutto il pino complesso. Si trtt di un funzione d un sol vlore ed essendo l su invers z = f (w) = w b,

116 2 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA nch ess d un sol vlore, l funzione f srà d un foglio. Inoltre si h f (z) =, quindi l derivt prim esiste in tutto C e l funzione risult nlitic in C. 2) Considerimo l funzione rzionle w = f(z) = z + b cz + d, dove, b, c, d sono numeri complessi tli che d bc. L funzione è definit per z d c un sol vlore, come l su invers z = f (w) = dw + b cw. Ess risult quindi d un foglio. L derivt è dt d ed è d f (z) = d bc (cz + d) 2, quindi l funzione è nlitic nel suo dominio di definizione. Osservimo che il dominio di un funzione rzionle può essere estes tutto il pino complesso se si conviene di definire il vlore f( d/c) come il punto ll infinito. In tl cso l funzione è d un foglio nel pino complesso esteso. Considerimo il cso prticolre dell funzione f(z) = /z. Ess trsform punti del semipino y > in punti del semipino y < e vicevers, e punti interni l cerchio z = in punti esterni llo stesso cerchio e vicevers. Queste proprietà seguono dlle due eguglinze w = f(z) = x iy x 2 + y 2 = z, w z =. z 2 L funzione può inoltre essere definit nel pino esteso. Per z = ponimo w = e per z = ponimo w =. 3) Esminimo il cso dell funzione f(z) = z n con n N. Ess è definit e derivbile in tutto C e quindi nlitic nel pino complesso. Osservimo che l funzione non è d un foglio in tutto C. Inftti, presi due punti z e z 2 distinti si h Avremo w = w 2 se w = f(z ) = z n e inφ, w 2 = f(z 2 ) = z 2 n e inφ 2. z = z 2, φ 2 = φ + 2πk n. Questo signific che il vlore ssunto d w è lo stesso per vlori di z di pri modulo e i cui rgomenti differiscono per un multiplo di 2π/n. L funzione risult d un solo foglio per ogni intervllo α < rg z < α + 2π n, α R. A titolo di esempio considerimo l funzione w = f(z) = z 5. Se sceglimo < rg z < 2π 5, l funzione ssume un vlore complesso di rgomento compreso tr e 2π, quindi i punti del settore < rg z < 2π 5, l funzione f corrispondere tutto il pino complesso.

117 8.3. FUNZIONI ELEMENTARI 3 4) Considerimo l funzione w = f(z) = n z. Si trtt di un funzione definit in C più vlori. Inftti l vlore z = ρe iθ corrispondono gli n numeri complessi w k = n ρe i θ+2πk n, k =,,..., n. Si h f (z) = n n z, n che è definit per z. L funzione è dunque nlitic in C \ {}. 5) Esminimo or l funzione esponenzile f(z) = e z, che è definit in tutto il pino complesso. Si può scrivere e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y). L derivbilità di quest funzione è già stt discuss in un esempio precedente. L funzione risult nlitic in tutto C e si h f (z) = e z. Così come nel cso rele, l funzione esponenzile gode dell proprietà e z e z 2 = e z +z 2, inftti e z e z 2 = e x (cos y + i sin y )e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x e x 2 (cos(y + y 2 ) + i sin(y + y 2 )) = e x +x 2 +i(y +y 2 ) = e z +z 2. L funzione esponenzile è inoltre periodic di periodo 2πi, in qunto e z+2kπi = e z e i2πk = e z (cos 2πk + i sin 2πk) = e z, e quindi non è d un foglio. Verifichimo infine che l funzione è d un foglio in α < y < α + 2π, α R. Imponendo l uguglinz f(z ) = f(z 2 ) si ricv d cui e x (cos y + i sin y ) = e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ), x = x 2, y = y 2 + 2πk, k =, ±,... Ne segue che l funzione è d un foglio in ogni intervllo di y di mpiezz 2π. 6) Voglimo definire l funzione invers dell funzione esponenzile. Posto z = e w con w = u + iv e z, si h z = e u, rg z = v + 2kπ, k =, ±, ±2,... Ne segue u = ln z, v = rg z + 2kπ. L funzione invers dell funzione esponenzile srà llor dt d w = ln z + i(rg z + 2kπ). Si trtt di un funzione più vlori dett logritmo di z e denott con Ln z. Per k = si h il cosiddetto vlore principle del logritmo che indicheremo con ln z = ln z + irg z. 7) Considerimo infine le funzioni goniometriche e quelle iperboliche. efinimo sin z = eiz e iz 2i, cos z = eiz + e iz. 2

118 4 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA Per z rele tli definizioni coincidono con le usuli funzioni goniometriche. Inoltre esse risultno periodiche di periodo 2π e soddisfno le stesse relzioni trigonometriche di sin x e cos x. Si h (sin z) = cos z, (cos z) = sin z. Le funzioni sin z e cos z risultno nlitiche in tutto il pino complesso. cotngente sono definite d tn z = sin z cos z, cos z cot z = sin z. efinimo infine le funzioni iperboliche nel cmpo complesso. Le funzioni tngente e tnh z = ez e z e z + e z, È infine fcile verificre le seguenti eguglinze sinh z = ez e z, cosh z = ez + e z, 2 2 coth z = ez + e z e z e z, cosh z = cos(iz), cos z = cosh(iz), sinh z = i sin(iz) sin z = i sinh(iz). Esempi ) Clcolre l prte rele e l prte immginri di w = tn z. ll definizione si h w = tn z = = i eiz e iz i(e iz + e iz ) = ei(x+iy) e i(x+iy) i(e i(x+iy) + e i(x+iy) ) (e y e y ) cos x + i(e y + e y ) sin x (e y + e y ) cos x + i(e y e y ) sin x = i(e 2y e 2y ) + 4 sin x cos x (e 2y + e 2y ) + 2(cos 2 x sin 2 x), d cui u(x, y) = sin 2x cosh 2y + cos 2x, v(x, y) = sinh 2y cosh 2y + cos 2x. 2) Clcolre il modulo e il vlore principle dell rgomento di sinh z in z = + iπ/2. Si h d cui w = sinh z = ez e z 2 = e+iπ/2 e iπ/2 2 w = sinh z = 2 (e + /e), rg w = π 2. = i 2 (e + e ). 3) eterminre il logritmo di e. Si h Ln e = ln e + i(rg e + 2kπ) = + i2kπ. 4) Risolvere l equzione sin z = πi.

119 8.4. INTEGRAZIONE I FUNZIONI ANALITICHE 5 L equzione si può scrivere nell form Posto e iz = t, si h e iz e iz le cui soluzioni sono t = π ± π 2 +. Quindi 2i = πi, = 2π = e iz e iz. t 2 + 2πt =, e iz = π ± π 2 + = e iz = π + π 2 +, e iz 2 = π π 2 +. e prendendo il logritmo ottenimo d cui iz = Ln( π + π 2 + ) = ln( π 2 + π) + irg( π + π 2 + ) + i2kπ, Anlogmente si trov z = i ln( π 2 + π) + 2kπ, k =, ±, ±2,... z 2 = i ln( π π) + (2k + )π, k =, ±, ±2, Integrzione di funzioni nlitiche Nel pino complesso considerimo un curv γ regolre trtti e orientt. Si w = f(z) un funzione di vribile compless definit in tutti i punti di γ. Posto f(z) = u(x, y) + iv(x, y), definimo l integrle di f(z) lungo γ come l integrle di line dell form differenzile compless [u(x, y) + iv(x, y)](dx + idy), ovvero f(z) dz = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy. γ γ Scelto un prmetro t [, b] su γ e denotti con P e P b gli estremi dell curv, risult b f(z) dz = f(z(t)) z (t) dt, γ(p P b ) dove z(t) = x(t) + iy(t) e z (t) = x (t) + iy (t). lle proprietà degli integrli di line delle forme differenzili, si h f(z) dz = f(z) dz, γ(p P b ) γ(p b P ) insieme lle proprietà di linerità e di dditività rispetto l dominio di integrzione. Si può dimostrre inoltre che f(z) dz f(z) dz. γ γ γ

120 6 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA Esempio Clcolre l integrle γ dz z z, dove γ è l circonferenz di centro z e rggio r orientt in senso ntiorrio. Scrivimo le equzioni prmetriche dell curv nell form { x = x + r cos t t [, 2π), y = y + r sin t, d cui z = z + re it. Si h dz = rie it dt, e quindi, dz 2π rie it 2π = dt = i dt = 2πi. γ z z reit Teorem 8.3 (di Cuchy) t un funzione f(z) nlitic in un dominio semplicemente connesso, si γ un qulunque curv chius regolre trtti contenut in. Allor si h f(z) dz =. γ im. Chimimo A l insieme dei punti di l cui frontier è γ. Poichè f è nlitic, ess vrà derivt continu e quindi srnno continue nche le derivte przili di u e di v. Sotto quest ipotesi possimo pplicre il teorem di Green lle forme differenzili udx vdy e vdx + udy. si h ( udx vdy = v x u ) dxdy, y γ γ A vdx + udy = A ( u x v ) dxdy, y M per le equzioni di Cuchy-Riemnn, gli integrli nei secondi membri sono nulli quindi si ottiene f(z) dz = udx vdy + i vdx + udy =. γ γ Osservimo che, dt l rbitrrietà di γ, il teorem di Cuchy ci permette di ffermre che in un dominio semplicemente connesso del pino complesso, l integrle di un funzione nlitic f(z) dz, γ(p P b ) non dipende dll prticolre curv γ m di soli estremi P e P b. Per questo motivo, sotto le dette ipotesi potremo scrivere l integrle nell form z f(z) dz = f(z) dz. γ(p P ) z γ

121 8.4. INTEGRAZIONE I FUNZIONI ANALITICHE 7 Osservimo inoltre che si h z z dz = z z. Fcendo uso del teorem di Cuchy si può dimostrre che se l curv γ è l frontier di un dominio semplicemente connesso e se l funzione f è nlitic nei punti interni di e continu su, si h f(z) dz =. Quest ultimo risultto può essere generlizzto l cso di domini molteplicemente connessi. Teorem 8.4 t l funzione nlitic f(z) definit in un dominio semplicemente connesso e fissto un punto z, l funzione F (z) = f(ζ) dζ, z è nlitic in e si h df dz = f(z). im. Costruimo il rpporto incrementle di F per un incremento h di z. Si h d cui F (z + h) F (z) h = h F (z + h) F (z) h ( z+h z f(z) = h z f(ζ) dζ = h z+h z z+h z ) f(ζ) dζ = z h z f(ζ) dζ f(z) h [f(ζ) f(z)] dζ. z+h z z+h z f(ζ) dζ, Per l continuità di f nel punto z, fissto ɛ > è possibile determinre un δ > in modo tle che sussist l impliczione ζ z < δ = f(ζ) f(z) < ɛ. Scelto llor h < δ, usndo un proprietà degli integrli di funzione di vribile compless, e supponendo di collegre z con z + h medinte un rco di rett, si ottiene F (z + h) F (z) f(z) h z+h f(ζ) f(z) dζ < ɛ z+h dζ = ɛ. h h Ne segue z df dz = lim F (z + h) F (z) = f(z). h h L funzione F (z) si dice primitiv di f(z) in. Fccimo vedere che tutte e sole le primitive di f in hnno l form z Φ(z) = f(ζ) dζ + C. z Osservimo subito che derivndo quest ultim espressione, per il teorem precedente si ottiene come risultto f(z) e quindi Φ è un primitiv. Supponimo or che Φ si un primitiv e dimostrimo che ess deve vere l espressione dt. A questo scopo considerimo l funzione w(z) = Φ(z) z z f(ζ) dζ z dζ

122 8 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA Poichè Φ è un primitiv, derivndo w ottenimo zero. Ci rest d fre vedere che w (z) = implic che w è un costnte. Posto w = u + iv si h Allor w = implic w (z) = u x + i v x, w (z) = v y i u y. u x = v y = v x = u y =. M queste equzioni comportno che u(x, y) = C e v(x, y) = C b, d cui w = C + ic b = C. Osservimo infine che Φ(z ) = C, quindi, dt un qulunque primitiv Φ(z) di f(z) si h z z f(ζ) dζ = Φ(z) Φ(z ). Esempio Clcolre il seguente integrle z dζ ζ. L funzione /z è nlitic in tutto il pino complesso esclus l origine. Per l indipendenz dell integrle dl cmmino di integrzione sceglimo un curv di integrzione che connett con z nel modo d rendere il clcolo più semplice possibile. Posto z = re iθ possimo considerre l curv formt dl segmento γ di sse x che v d r e dll rco γ 2 di circonferenz di centro l origine e rggio r compreso tr φ = e φ = θ. Si h z dζ ζ = Il primo integrle è dto d γ dζ ζ = r γ dζ ζ + dx x γ 2 dζ ζ. = ln r = ln z,

123 8.5. FORMULA INTEGRALE I CAUCHY 9 mentre dl secondo integrle, tenuto conto che dζ = dx + idy = (x + iy )dφ = ( r sin φ + ir cos φ)dφ = ire iφ dφ, si ottiene γ 2 dζ ζ = Rccogliendo questi risultti si h z θ dζ ζ ire iφ θ dφ = idφ = iθ = i rg z. reiφ = ln z + i rg z = ln z. In forz del teorem 8.4 possimo concludere che ln z è un funzione nlitic per z e che d dz ln z = z. 8.5 Formul integrle di Cuchy Oltre quelle già ricvte, le funzioni nlitiche godono di ltre proprietà notevoli, utili per gli sviluppi successivi. Teorem 8.5 t un funzione f(z) nlitic nei punti interni di un dominio e continu sull su frontier, in ogni punto interno si h l seguente formul integrle di Cuchy, f(z) = f(ζ) 2πi ζ z dζ, dove l integrle è clcolto seguendo l usule verso di percorrenz di.

124 2 CAPITOLO 8. FUNZIONI I UNA VARIABILE COMPLESSA im. Si B r (z) un r intorno di z. Considerimo il nuovo dominio = \ B r (z). L funzione f(ζ) ζ z risulterà nlitic in e continu sull frontier. Sfruttndo il ftto che l integrle esteso ll frontier di di un qulunque funzione nlitic è nullo e denott con γ r l circonferenz che delimit B r (z), vremo f(ζ) ζ z dζ + γr dove è percors in verso ntiorrio e dove con γr percors in senso orrio. Ne segue che f(ζ) ζ z dζ = γ r f(ζ) dζ =, ζ z bbimo indicto l frontier intern di f(ζ) ζ z dζ = γ r In un esempio del prgrfo precedente bbimo ricvto che dζ = 2πi, γ r ζ z quindi possimo scrivere γ r f(z) dζ = 2πif(z). ζ z f(ζ) ζ z dζ. Utilizzndo questi due risultti possimo scrivere f(ζ) f(ζ) f(z) dζ 2πif(z) = dζ. ζ z γ r ζ z ividendo per 2πi e prendendo i moduli si ottiene f(ζ) dζ f(z) 2πi ζ z = f(ζ) f(z) dζ 2πi γ r ζ z f(ζ) f(z) 2π γ r ζ z dζ 2πr mx f(ζ) f(z) dζ γ r γ r = 2πr mx f(ζ) f(z) 2πr = mx f(ζ) f(z) γ r γ r Poichè f(ζ) è nlitic in z ess srà continu in z e quindi prendendo il limite per r si vrà f(ζ) f(z). Ne segue che lim r mx γr f(ζ) f(z) = e di conseguenz, essendo il termine sinistr dell diseguglinz, indipendente d r, si ottiene l tesi. ll formul integrle di Cuchy si può ricvre un ltr importnte proprietà delle funzioni nlitiche, che non dimostreremo. Teorem 8.6 t un funzione f(z) nlitic nei punti interni di un dominio e continu sull su frontier, ess risult vere derivte di ordine qulsisi in ogni punto interno, e si h f (n) (z) = n! f(ζ) dζ, n =, 2,... 2πi (ζ z) n+